第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制
5.1 概述
本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章5.1节为概述。5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。
5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。
本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。
5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点
考虑如下非线性系统
(5.1)
式中x为n维状态向量，是变量x1,x2,…,xn和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解。当t =to时，。于是
在式(5.1）的系统中，总存在
, 对所有t (5.2)
则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。平衡状态的确定不包括式(5.1）的系统微分方程的解，只涉及式(5.2）的解。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点()处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
5.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义
下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。
定义5.1 (Lyapunov意义下的稳定) 设系统
，
之平衡状态的H邻域为
其中，，为向量的2范数或欧几里德范数，即
类似地，也可以相应定义球域S((）和S((）。
在H邻域内，若对于任意给定的，均有
(1) 如果对应于每一个S((），存在一个S((），使得当t趋于无穷时，始于S(()的轨迹不脱离S((），则式(5.1）系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数(与(有关，通常也与t0有关。如果( 与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。
以上定义意味着：首先选择一个域S((），对应于每一个S((），必存在一个域S((），使得当t趋于无穷时，始于S((）的轨迹总不脱离域S((）。
(2) 如果平衡状态，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S((）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S((），且收敛于，则称式(5.1）系统之平衡状态为渐近稳定的，其中球域S((）被称为平衡状态的吸引域。
实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。
(3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1）系统之平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。
在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
(4) 如果对于某个实数(>0和任一个实数( >0，不管这两个实数多么小，在S（(）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S((），那么平衡状态称为不稳定的。
图5.1（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图5.1(a)、(b)和(c)中，域S（(）制约着初始状态，而域S((）是起始于的轨迹的边界。
注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S((）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。
此外，在图5.1（c）中，轨迹离开了S((），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S((）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。
图5.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹
（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。
对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。
最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。
经典控制理论(线性系统）
不稳定 (Re(s)>0)
临界情况 (Re(s)=0)
稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
5.2.3 预备知识
1、纯量函数的正定性
如果对所有在域(中的非零状态，有，且在x = 0处有=0，则在域(（域(包含状态空间的原点）内的纯量函数称为正定函数。
如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得
, 对所有
, 对所有
则称时变函数在域(（(包含状态空间原点）内是正定的。
2、纯量函数的负定性
如果 -是正定函数，则纯量函数称为负定函数。
3、纯量函数的正半定形
如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外，在域(内的所有状态都是正定的，则称为正半定纯量函数。
4、纯量函数的负半定性
如果 -是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。
5、纯量函数的不定性
如果在域(内，不论域(多么小，既可为正值，也可为负值时，纯量函数称为不定的纯量函数。
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[例5.1] 本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量。
1、 正定的
2、 正半定的
3、 负定的
4、 不定的
5、 正定的
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6、二次型
建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。例如，
注意，这里的x为实向量，P为实对称矩称。
7、复二次型或Hermite型
如果x是n维复向量，P为Hermite矩阵，则该复二次型函数称为Hermite型函数。例如
在状态空间的稳定性分析中，经常使用Hermite型，而不使用二次型，这是因为Hermite型比二次型更具一般性（对于实向量x和实对称矩阵P，Hermite型等于二次型）。
二次型或者Hermite型的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指出，二次型或Hermite型为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即
注意，是的复共轭。对于二次型，。
如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的。
如果 -是正定的，则是负定的。同样，如果 -是正半定的，则是负半定的。
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[例5.2] 试证明下列二次型是正定的。
二次型可写为
利用赛尔维斯特准则，可得
因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是正定的。
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5.3 Lyapunov稳定性理论
1892年，A.M.Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。
第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。
第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用Lyapunov第二法，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。
尽管采用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和技巧，然而当其他方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。
5.3.1 Lyapunov第一法
基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后则是判定原非线性系统的稳定性。
5.3.2 Lyapunov第二法
由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的。
Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理（见定理5.1和5.2）的假设条件，都可作为Lyapunov函数（可能十分困难）。
Lyapunov函数与和t有关，我们用或者来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用或表示。在Lyapunov第二法中，和其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。
1、关于渐近稳定性
可以证明：如果x为n维向量，且其纯量函数正定，则满足
的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中C是正常数。随着，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果，则超曲面完全处于超曲面的内部。
对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数，并使其沿轨迹对时间的导数总为负值，则随着时间的增加，将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终变为零，而x也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充要条件。该定理阐述如下：
定理5.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数，且满足以下条件：
1、正定；
2、负定
则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。
进一步地，若，，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。
------------------------------------------------------------------
[例5.3] 考虑如下非线性系统
显然原点（，）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。
如果定义一个正定纯量函数
是负定的，这说明沿任一轨迹连续地减小，因此是一个Lyapunov函数。由于随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理5.1，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
注意，若使取一系列的常值（），则=0对应于状态平面的原点，而，，…，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆，如图5.2所示。还应注意，由于在径向是无界的，即随着，，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。
由于圆完全处在的内部，所以典型轨迹从外向里通过V圆的边界。因此Lyapunov函数的几何意义可阐述如下表示状态x到状态空间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即），则。
图5.2 常数V圆和典型轨迹
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定理5.1是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。
(1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。
(2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。
(3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。
(4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。
显然，定理5.1仍有一些限制条件，比如必须是负定函数。如果在上附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹均不恒等于零，则要求负定的条件可用取负半定的条件来代替。
定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数，且满足以下条件：
1、是正定的；
2、是负半定的；
3、对于任意和任意，在时，不恒等于零，其中的表示在时从出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
注意，若不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲面=C相切，然而由于对任意和任意，在时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上，=0），因而必然要运动到原点。
2、关于稳定性
然而，如果存在一个正定的纯量函数，使得始终为零，则系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。
定理 5.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数，且满足以下条件：
1、是正定的；
2、是负半定的；
3、对于任意和任意，在时，均恒等于零，其中的表示在时从出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是Lyapunov意义下的大范围渐近稳定的。
3、关于不稳定性
如果系统平衡状态x =0是不稳定的，则存在纯量函数，可用其确定平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。
定理5.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
若存在一个纯量函数，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：
1、在原点附近的某一邻域内是正定的；
2、在同样的邻域内是正定的。
则原点处的平衡状态是不稳定的。
5.3.3 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较
在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。
如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov函数的Schultz-Gibson变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。
5.3.4 克拉索夫斯基方法
克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。
在非线性系统中，可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换，将所要研究的平衡状态变换到状态空间的原点。所以，可把要研究的平衡状取为原点。现介绍克拉索夫斯基定理。
定理5.5（克拉索夫斯基定理）考虑如下非线性系统
式中，x为n维状态向量，为的非线性n维向量函数，假定，且对可微（i=1,2,…,n）。
该系统的雅可比矩阵定义为
又定义
式中，是雅可比矩阵，是的共轭转置矩阵（如果为实向量，则是实矩阵，且可将写为），此时显然为Hermite矩阵（如果为实矩阵，则为实对称矩阵）。如果Hermite矩阵是负定的，则平衡状态x =0是渐近稳定的。该系统的Lyapunov函数为
此外，若随着，，则平衡状态是大范围渐近稳定的。
证明: 由于是负定的，所以除外，的行列式处处不为零。因而，在整个状态空间中，除这一点外，没有其他平衡状态，即在时，。因为，在时，，且，所以是正定的。
注意到
从而
因为是负定的，所以也是负定的。因此，是一个Lyapunov函数。所以原点是渐近稳定的。如果随着，，则根据定理5.1可知，平衡状态是大范围渐近稳定的。
注意，克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同，它不局限于稍稍偏离平衡状态。和以或的形式而不是以的形式表示。
前面所述的定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件，对线性系统则给出了充要条件。非线性系统的平衡状态即使不满足上述定理所要求的条件，也可能是稳定的。因此，在应用克拉索夫斯基定理时，必须十分小心，以防止对给定的非线性系统平衡状态的稳定性分析做出错误的结论。
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[例5.4] 考虑具有两个非线性因素的二阶系统
假设，和是实函数且可微。又假定当时，。试确定使平衡状态渐近稳定的充要条件。
在该系统中，为
式中
于是为
由克拉索夫斯基定理可知，如果是负定的，则所考虑系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。因此，若
，对所有
，对所有，
则平衡状态是大范围渐近稳定的。
这两个条件是渐近稳定性的充分条件。显然，由于稳定性条件完全与非线性函数和的实际形式无关，所以上述限制条件是不适当的。
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5.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
5.4.1 引言
前已指出，Lyapunov第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。
利用Lyapunov第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点：
(1) 都是充要条件，而非仅充分条件；
(2) 渐近稳定性等价于Lyapunov方程的存在性；
(3)渐近稳定时，必存在二次型Lyapunov函数及；
(4) 对于线性自治系统，当系统矩阵A非奇异时，仅有唯一平衡点，即原点；
(5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。
众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于连续时间定常系统，渐近稳定的充要条件是：A的所有特征值均有负实部，或者相应的特征方程的根具有负实部。但为了避开困难的特征值计算，如Routh-Hurwitz稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，Nyquist稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的Lyapunov稳定性方法，也是一种代数方法，也不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控制问题。
5.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
(5.3)
式中，。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通过Lyapunov第二法进行研究。
对于式(5.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
式中P为正定Hermite矩阵（如果x是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为
由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有
式中
为正定矩阵。因此，对于式(5.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n(n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由
确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。
定理5.6 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程
这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为
，
特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：
(1) 如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为
(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程
以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件
则沿任意轨迹不恒等于零（见例5.18）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和
则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么的和总不等于零。
(6) 在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定
然后再检验P是否正定。
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[例5.5] 设二阶线性定常系统的状态方程为
显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。
[解] 不妨取Lyapunov函数为
此时实对称矩阵P可由下式确定
上式可写为
将矩阵方程展开，可得联立方程组为
从方程组中解出、、，可得
为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式
显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为
且
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[例5.6] 试确定如图5.3所示系统的增益K的稳定范围。
图5.3 控制系统
[解] 容易推得系统的状态方程为
在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为
(5.4)
(5.5)
(5.6)
由式(5.4）到（5.6）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为
(5.7)
由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意
取恒等于零，意味着也恒等于零。如果恒等于零，也必恒等于零，因为由式(5.6）可得
如果恒等于零，也恒等于零。因为由式(5.4）可得
于是只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(5.7）定义的矩阵Q。
也可检验下列矩阵的秩
显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。
现在求解如下Lyapunov方程
它可重写为
对P的各元素求解，可得
为使P成为正定矩阵，其充要条件为
和
或
因此，当时，系统在Lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。
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5.5 模型参考控制系统分析
迄今为止，本书已经介绍了线性定常控制系统的设计方法。因为所有的物理对象在某种程度上均是非线性的，所以设计出的系统仅在一个有限的工作范围内才能得到满意的结果。如果取消对象方程是线性的这一假设，那么，到目前为止，不能应用本书介绍过设计方法。在这种情况下，本节讨论的对系统设计的模型参考方法可能是有用的。
5.5.1 模型参考控制系统
确定系统性能的一种有效的方法是利用一个模型，对给定的输入产生所希望的输出。模型不必是实际的硬件设备，可以是在计算机上模拟的数学模型。在模型参考控制系统中，将模型的输出和对象有的输出进行比较，差值用来产生控制信号。
5.5.2 控制器的设计
假设对象的状态方程为
(5.8)
式中，，且为n维向量函数。
希望控制系统紧随某一模型系统。设计的关键是综合出一个控制器，使得控制器总是产生一个信号，迫使对象的状态接近于模型的状态，图5.4是一个表示系统结构的方块图。
图5.4 模型参考控制系统
假设模型参考系统是线性的，并由下式确定
(5.9)
式中。
又假设A的所有特征值都有负实部，则该模型参考系统具有一个渐近稳定的平衡状态。
令误差向量为
(5.10)
在该问题中，希望通过一个合适的控制向量u，使得误差向量减小到零。由式(5.8）和（5.10）可得
(5.11)
式(5.11）就是误差向量的微分方程。
现在设计一个控制器，使得在稳态时，和或。因此，原点是一个平衡状态。
在综合控制向量u时，一个方便的出发点就是对式(5.11）给出的系统构造一个Lyapunov函数。
假设Lyapunov函数的形式为
式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。求对时间的导数，可得
(5.12)
式中，为纯量。
如果
1、是一个负定矩阵；
2、控制向量u可选择得使纯量M为非正值
于是，注意到当，有，要看出；平衡状态e =0是大范围渐近稳定的。条件1总可通过选择适当的P而得到满足，因为A的所有特征值均假设具有负实部。因此，这里的问题就是选择一个合适的控制向量u，使得M或等于零，或为负值。
我们将通过一个例子来说明如何使用这种方法来设计非线性控制器。
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[例5.7] 考虑由下式描述的非线性时变系统
式中，是时变参数，b为正常数。设参考模型的方程为
（5.13）
试设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。
[解] 定义误差问量为
Lyapunov函数为
式中，P是正定实对称矩阵。参照式(5.12）,可得为
式中
由式(5.13）确定矩阵A和B，并选择矩阵Q为
可得
式中
如果选取u使得
(5.14)
式中
则
采用由式(5.14）给出的控制函数u时，平衡状态就是大范围渐近稳定的稳定的。因此，方程(5.14)确定了一个非线性控制律，它将保证系统渐近稳定地工作。
注意，瞬态响应收敛的速度取决于矩阵P，矩阵P取决于设计开始阶段所取的矩阵Q。
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5.6 线性二次型最优控制问题
本节将研究基于二次型性能指标的最优控制系统的设计。
考虑如下的线性定常系统
(5.15)
式中，。
在设计控制系统时，我们感兴趣的经常是选择向量 u(t)，使得给定的性能指标达到极小。可以证明，当二次型性能指标的积分限由零变化到无穷大时，如
式中的L（x,u）是x和u的二次型函数或Hermite函数，将得到线性控制律，即
这里，线性状态反馈矩阵。从而
因此，基于二次型性能指标的最优控制系统和最优调节器系统的设计归结为确定矩阵K的各元素。采用二次型最优控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。在设计二次型性能指标为极少的控制系统时，需要解黎卡提方程。MATLAB有一条命令lpr，它给出连续时间黎卡提方程的解，并能确定最优反馈增益矩阵。本章在采用二次型性有指标设计控制系统，将应用MATLAB进行分析和计算。
考虑由式(5.15）描述的系统，性能指标为
(5.16)
式中，Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R为正定Hermite或实对称矩阵，u是无约束的向量。最优控制系统使性能指标达到极小，该系统是稳定的。解决此类问题有许多不同的方法，这里介绍一种基于李亚普夫诺夫第二法的解法。
注意，下面在讨论二次型最优控制问题时，将采用复二次型性能指标（Hermite性能指标），而不采用实二次型性能指标，这是因为复二次型性能指标包含作为特例的实二次型性能指标。对于含有实向量和实矩阵的系统，式(5.16)与下述性能指标
是相同的。
5.6.1 基于Lyapunov第二法的控制系统最优化
从经典意义而言，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性；与此不同的是先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统。如果能用Lyapunov第二法作为最优控制器设计的基础，就能保证系统正常工作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出的系统具有固有稳定特性的结构（注意，如果系统是不可控制的，不能采用二次型最优控制，见例5.10）。
对于一大类控制系统，在Lyapunov函数和用来综合最优控制系统的二次型性能指标之间可找到一个直接的关系式。下面我们将用Lyapunov方法来解简单情况下的最优化问题，该问题通称为参数最优化问题。
5.6.2 参数最优问题的Lyapunov第二法的解法
下面讨论Lyapunov函数和二次型性能指标之间的直接关系，并利用这种关系求解参数最优问题。考虑如下的线性系统
式中，A的所有特征值均具有负实部，即原点是渐近稳定的（称矩阵A为稳定矩阵）。假设矩阵A包括一个（或几个）可调参数。要求下列性能指标
达到极小，式中Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵。因而该问题变为确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。
在求解该问题时，利用Lyapunov函数是很有效的。假设
式中，P是一个正定的Hermite或实对称矩阵，因此可得
根据Lyapunov第二法可知，如果A是稳定矩阵，则对给定的Q，必存在一个P，使得
(5.17)
因此，可由该方程确定P的各元素。
性能指标J可按
计算。由于A的所有特征值均有负实部，可得。所以
(5.18)
因而性能指标J可依据初始条件x(0)和P求得，而P与A和Q的关系取决于式(5.17）。例如，如果欲调整系统的参数，使得性能指标J达到极小，则可对讨论中的参数，用取极小值来实现。由于是给定的初始条件，Q也是给定的，所以P是A的各元素的函数。因此求J为极小，将使得可调参数达到最优值。
应强调的是，参数最最优值通常与初始条件有关。然而，如果只含一个不等于零的分量，例如(0，而其余的初始分量均等于零，那么参数最优值与的数值无关（见下例）。
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[例5.8] 研究图5.5所示的系统。确定阻尼(>0的值，使得系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下，性能指标
达到极小。式中的e为误差信号，并且e =r -c。假设系统开始时是静止的。
图5.5 控制系统
由图5.5可得
或
依据误差信号e的形式，可得
由于输入r(t)是单位阶跃函数，所以，。因此，对于t(0
定义如下状态变量
则状态方程为
式中
性能指标J可写为
这里
由于A是稳定矩阵，所以参照式(5.18），J的值为
式中的P由下式确定
(5.19)
式(5.19）可写为
该方程可化为以下3个方程
对求解以上3个方程，可得
于是性能指标J为
将初始条件：，代入上式，可得
对(?使J为极小，可令，即
可得
因此，(?的最优值是。例如，若，则(的最优值为，即0.707。
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习题
5.1 试确定下列二次型是否为正定的。
5.2 试确定下列二次型是否为负定的。
5.3 试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
5.4 试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
5.5 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性
5.6 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。
这里不妨取
然后求该系统在下列初始条件下的响应。
并画出(、、x 和对t的响应曲线。
