第八章 数值积分 /* Numerical Integration */
近似计算
?? ba dxxfI )(
§ 1 Newton-Cotes 公式
思
路 利用 插值多项式 则积分易算。 )()( xfxP n ?
? 在 [a,b]上取 a ? x0 < x1 <…< xn ? b，做 f 的 n 次插值
多项式,即得到
?
?
?
n
k
kkn xlxfxL
0
)()()(
? ????ba ba knk k dxxlxfdxxf )()()( 0 Ak
? ? ? ??? ba kj xx xxk dxA jk j )( )(
由 决定,
与 无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
? ?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
???
??
b
a
n
k
k
x
n
b
a
n
b
a
n
b
a
n
k
kk
dxxx
n
f
dxxRdxxLxf
xfAdxxf
fR
0
)1(
0
)(
)!1(
)(
)()]()([
)()(
][
?
误差
§ 1 Newton-Cotes Formulae
定义 若某个求积公式所对应的误差 R[ f ]满足,R[ Pk ]=0 对 任
意 k ? n 阶 的多项式成立, 且 R[ Pn+1 ] ? 0 对 某个 n+1 阶多项式
成立, 则称此求积公式的 代数精度 为 n 。
例,对于 [a,b]上 1次插值，有 )()()(
1 bfafxL ab axba bx ???? ??
)]()([)( 2221 bfafdxxfAA abbaab ???? ?? ?
考察其代数精度。 f(x)
a b
f(a)
f(b) 梯形公式
/* trapezoidal rule*/
解,逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1,? ??b
a abdx1
]11[2 ??ab=
代入 P1 = x, =
代入 P2 = x2, ?
2
22 abb
a dxx
??? ][2 baab ??
3
2 33 abb
a dxx
??? ][ 222 baab ??
代数精度 = 1
§ 1 Newton-Cotes Formulae
注,形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 ? 该
公式为 插值型 （即,）
?
?
n
k
kk xfA
0
)(
?? ba kk dxxlA )(
? 当节点 等距分布 时,ni
n
abhhiax
i,...,1,0,,?
????
dxxx xxA nx
x ij ji
j
i ? ?
? ?
??
0 )(
)(
? ?? ?
?
?
?
????????? n
ji
inn
ji
dtjtinin abdthhji hjt
00
)()!(! )1)(()( )(
令 htax ??
Cotes系数 )(n
iC
注,Cotes 系数仅取决于 n 和 i，
可查表得到。与 f (x) 及区
间 [a,b]均无关。 ?
§ 1 Newton-Cotes Formulae
2
1,
2
1 )1(
1)1(0 ?? CC
n = 1,
)]()([2)( bfafabdxxfba ????
Trapezoidal Rule
dxbxaxffR ba x ))((!2 )(][ ????? ? ?
/* 令 x = a+th,h = b?a,用中
值定理 */
1,],[,)(12
1 3 abhbafh ??????? ??
代数精度 = 1
n = 2,
6
1,
3
2,
6
1 )2(
2
)2(
1
)2(
0 ??? CCC
)]()(4)([6)( 2 bffafabdxxf baba ???? ??
Simpson’s Rule
代数精度 = 3
2,),(,)(90
1][ )4(5 abhbafhfR ????? ??
n = 3,Simpson’s 3/8-Rule,代数精度 = 3,)(
803][ )5(5 ?fhfR ??
n = 4,Cotes Rule,代数精度 = 5,)(
9 4 58][ )6(7 ?fhfR ??
Excuses for not
doing homework
I could only get arbitrarily
close to my textbook,
I couldn't actually
reach it,
HW,
p.170
#3
n 为 偶数阶 的 Newton-Cotes
公式至少有 n+1 次代数精度。
近似计算
?? ba dxxfI )(
§ 1 Newton-Cotes 公式
思
路 利用 插值多项式 则积分易算。 )()( xfxP n ?
? 在 [a,b]上取 a ? x0 < x1 <…< xn ? b，做 f 的 n 次插值
多项式,即得到
?
?
?
n
k
kkn xlxfxL
0
)()()(
? ????ba ba knk k dxxlxfdxxf )()()( 0 Ak
? ? ? ??? ba kj xx xxk dxA jk j )( )(
由 决定,
与 无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
? ?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
???
??
b
a
n
k
k
x
n
b
a
n
b
a
n
b
a
n
k
kk
dxxx
n
f
dxxRdxxLxf
xfAdxxf
fR
0
)1(
0
)(
)!1(
)(
)()]()([
)()(
][
?
误差
§ 1 Newton-Cotes Formulae
定义 若某个求积公式所对应的误差 R[ f ]满足,R[ Pk ]=0 对 任
意 k ? n 阶 的多项式成立, 且 R[ Pn+1 ] ? 0 对 某个 n+1 阶多项式
成立, 则称此求积公式的 代数精度 为 n 。
例,对于 [a,b]上 1次插值，有 )()()(
1 bfafxL ab axba bx ???? ??
)]()([)( 2221 bfafdxxfAA abbaab ???? ?? ?
考察其代数精度。 f(x)
a b
f(a)
f(b) 梯形公式
/* trapezoidal rule*/
解,逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1,? ??b
a abdx1
]11[2 ??ab=
代入 P1 = x, =
代入 P2 = x2, ?
2
22 abb
a dxx
??? ][2 baab ??
3
2 33 abb
a dxx
??? ][ 222 baab ??
代数精度 = 1
§ 1 Newton-Cotes Formulae
注,形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 ? 该
公式为 插值型 （即,）
?
?
n
k
kk xfA
0
)(
?? ba kk dxxlA )(
? 当节点 等距分布 时,ni
n
abhhiax
i,...,1,0,,?
????
dxxx xxA nx
x ij ji
j
i ? ?
? ?
??
0 )(
)(
? ?? ?
?
?
?
????????? n
ji
inn
ji
dtjtinin abdthhji hjt
00
)()!(! )1)(()( )(
令 htax ??
Cotes系数 )(n
iC
注,Cotes 系数仅取决于 n 和 i，
可查表得到。与 f (x) 及区
间 [a,b]均无关。 ?
§ 1 Newton-Cotes Formulae
2
1,
2
1 )1(
1)1(0 ?? CC
n = 1,
)]()([2)( bfafabdxxfba ????
Trapezoidal Rule
dxbxaxffR ba x ))((!2 )(][ ????? ? ?
/* 令 x = a+th,h = b?a,用中
值定理 */
1,],[,)(12
1 3 abhbafh ??????? ??
代数精度 = 1
n = 2,
6
1,
3
2,
6
1 )2(
2
)2(
1
)2(
0 ??? CCC
)]()(4)([6)( 2 bffafabdxxf baba ???? ??
Simpson’s Rule
代数精度 = 3
2,),(,)(90
1][ )4(5 abhbafhfR ????? ??
n = 3,Simpson’s 3/8-Rule,代数精度 = 3,)(
803][ )5(5 ?fhfR ??
n = 4,Cotes Rule,代数精度 = 5,)(
9 4 58][ )6(7 ?fhfR ??
Excuses for not
doing homework
I could only get arbitrarily
close to my textbook,
I couldn't actually
reach it,
HW,
p.170
#3
n 为 偶数阶 的 Newton-Cotes
公式至少有 n+1 次代数精度。
