§ 5 微分方程组与高阶方程 /* Systems of Differential
Equations and Higher-Order Equations */
? 一阶微分方程组
IVP的一般形式为,
= ?
= ?
)) (,..,),(,( ) (
...,..,.,
)) (,..,),(,( ) (
1
1 1 1
x y x y x f x y
x y x y x f x y
m m m
m
初值 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 ) (,...,) (,) ( m m y x y y x y y x y = = =
将问题记作 向量形式,令,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
0
0
1
0
11
..
.,
..
.,
..
.
mmm y
y
y
f
f
f
y
y
y
??
?
=
=?
00 )(
),()(
yxy
yxfxy 前述所有公式皆
适用于向量形式。
? 高阶微分方程
§ 5 Systems of DE’s and Higher-Order Equations
= = ? =
? =
-
-
-
1 0
) 1 (
1 0 0 0
) 1 ( ) (
) (,...,) (,) (
),...,,,(
n
n
n n
a x y a x y a x y
y y y x f y
化作 一阶微分方程组 求解。
引入新变量
)1(21,.,,,,-=?== nn yyyyyy
?
?
?
?
?
?
?
=?
=?
=?
-
),.,,,,(
.
.
.
1
1
21
nn
nn
yyxfy
yy
yy 初值条件为,
10
102
001
)(
...
)(
)(
-=
=
=
nn axy
axy
axy
§ 6 边值问题的数值解 /* Boundary-Value Problems */
2 阶常微分方程边值问题
??
?
==
??=??
?? )(,)(
),(),,(
byay
baxyyxfy
? 打靶法 /* shooting method */
先猜测一个初始斜率
y ?(a) = s，通过解初值
问题
?
?
?
?
?
=?
=
?=??
say
aay
yyxfy
)(
)(
),,(
y(b) = ?(s)
找出 s*使得 ?(s*) = ?，即把问
题转化为求方程 ?(s) - ? = 0
的根。
y
x 0 a b
y x ( ) ?
斜率 = s 0
? ( ) s 0
斜率 = s 1
? ( ) s 1
每计算一个 ?(s)
都必须解一个 ODE,
? 有限差分法 /* finite difference method */
§ 6 Boundary -Value Problems
将求解区间 [a,b] 等分为 N 份，取节点 xi = a + ih
(i = 0,…,N )，在每一个节点处将 y ? 和 y ??离散化 。
)(12
)()()()(
)( )4(
2
?yhh h
hxyxy
h
xyhxy
xy -
----?
=??
泰勒展开
)()()(2)( 22 hOh hxyxyhxy ?-?-?=
)(2 )()()( 2hOh hxyhxyxy ?--?=?
??
???
==
-=-=?- -?-?
?? N
ii
ii
iii
yy
Ni
h
yyyxf
h
yyy
,
1,...,1)
2
,,(2
0
11
2
11