第五章 不确定条件下的选择
前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关，然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。
第一节 不确定性选择事例
通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。
不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素，或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。
风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。
下面来看不确定性条件下选择的几个事例。
例1. 抽彩(lottery)
设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品1的概率为，获得奖品2的概率为。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品1的概率为，获得奖品2的概率为。抽彩人得到奖品1后，能获得个单位的效用；获得奖品2后，能获得个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？
要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用表示第一种彩票的预期效用，表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知，
，
比较一下和的大小，如果，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当时，抽彩人会选择第二种彩票。当时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。
这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票有个等级的奖励：1等奖，2等奖，…，等奖(末等奖)，等奖(无奖)。获得等奖的概率为（)，。这个彩票可用它的中奖概率分布来表示。再设抽彩人获得等奖时，可获得个单位的效用，则该彩票的预期效用为。
预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下表加以表示。
表5-1 彩票抽彩
奖励等级
1等奖
2等奖
…
等奖
等奖
中奖概率
…
中奖效用
…
预期效用
例2. 赌博(gamble)
赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西—法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢，乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以50元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得50元，当然也不会付出50元，双方收入50元不变。如果赌，赌赢者可得50元（收入变为100元），赌不赢就要付出50元(收入变为0元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作一下分析。
甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为，法国队赢球的概率为；乙认为巴西队赢球的概率为，法国队赢球的概率为。则，。
用表示甲的货币收入效用函数，表示乙的货币收入效用函数。甲根据自己的概率判断，计算出赌博的预期效用为；乙也根据自己的概率判断，计算出赌博的预期效用为。如果，那么甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果，那么乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，乙会参加赌博。只有当且时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。
赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博，这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。
设有一个赌博，赌输要输掉元，赌赢则可得到元的收获。某人现有货币收入元且，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态度。假定该人认为这场赌博输的概率为，赢的概率为，他的货币收入效用函数为。如果不参加赌博，则收入元不变，效用为；如果参加赌博，则预期收入为，预期效用为。
当时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用大于不赌的效用，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即)，那么他就是一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不赌是一样的(即)，那么就称他是一个风险中立者。
显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数的性态上(如图5-1所示)：
(1) 风险爱好者的效用函数是凸函数，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。
(2) 风险规避者的效用函数是凹函数，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。
(3) 风险中立者的效用函数是线性的，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。
(a) 风险爱好者 (b) 风险规避者 (c) 风险中立者
图5-1 对待风险的态度与效用函数性态
应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多数人来说都是适用的。
我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不赌的收入，称为亏赌。假定效用函数是严格递增的（即收入越多，效用越大）。
对于亏赌来说，。根据的严格递增性，。风险规避者及风险中立者认为，故，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为，因此，与哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都有可能参加（因为有可能）。
对于盈赌来说，，因此。风险爱好者和中立者认为，因而，他们肯定要赌；但风险规避者认为，于是与哪个更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能）。
以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。
表5-2 赌博与对待风险的态度
对待风险的态度
效用函数的性态
公平赌博
盈赌
亏赌
风险爱好者
凸函数
赌
赌
不一定不赌
风险中立者
线性函数
可赌、也可不赌
赌
不赌
风险规避者
凹函数
不赌
不一定赌
不赌
例3. 择业
设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％。
计算一下这两种工作的预期月收入和：
（元）
（元）
可见，月收入的期望值都为1500元。
再计算一下这两种工作月收入的方差和：
所以，两种工作的标准差分别为，。说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）。
这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就会选择第二种工作。
如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工作的收入情况还是如上，则
（元）
（元）
第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作，比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前，人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。
第二节 预期效用
本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话，那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效用理论，回答这个问题。
一、风险选择集合
回到上节例1中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。设共有个等级的奖励：1等奖, 2等奖, …, 等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一种概率分布，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同，而所有彩票的奖励类型都是相同的）。这样一来，每一种彩票都可用购买它的获奖概率分布来表示。当概率分布变为时，便代表了另一种彩票。
抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分布的集合来表示。称此集合为抽彩的选择集合。注意，是欧氏空间的有界闭凸子集。
对于任何两种彩票和，当为某随机事件发生的概率时，代表了一种以概率获得彩票，以概率获得彩票的新彩票，该彩票等同于获奖概率分布为的彩票。称为彩票和的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合的凸性的意义所在。
抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有种商品可供人们选择，确定性商品空间为，确定性的选择集合（消费集合）为。
在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨，就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。用表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用的子集表示。假定每个人都能根据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个人都有自己的概率空间,其中为事件域(即为上的一个域），为上的概率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为上的一个随机向量 (即是从到的一个映射）。这就是说，如果中的状态出现，就选择向量。由于出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择中的哪一个向量。然而，选择中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下，上的维随机向量的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用或表示来表示这个集合，即
并称该集合为经济活动者的风险选择集合。
对于，的数学期望向量称作的预期向量或预期值。
风险选择集合扩充了确定性选择集合，即每一种确定性的选择都可看作是一种特殊的随机选择：（对任何）。更一般地，如果随机向量的取值几乎处处相等，即几乎处处等于某个（也即），则可把这个随机向量看成是确定性的向量，也就是说，可认为。易见，。作了这个解释后，我们可认为。
当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又涉及积分，而积分本身就是一种极限）。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合是空间的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要的凸闭性，哪里就假定是凸闭集，而不再赘述。
从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓是维随机向量的分布函数，是指是一个元实值函数，且对于任何，。分布函数的密度函数，是一个实值函数使得对任何，都有：
(1)
(2)
(3)
由于中的随机向量取值于集合之中，因此可以认为的分布密度函数在集合之外取值为零：当时，。
今后,我们把随机向量与它的分布函数（或者分布密度函数）等同看待。这样，就可用分布函数集合来替代风险选择集合，其中定义如下：
是中的某随机向量的分布函数
象复合抽彩一样，对于一般的随机行为，也有复合随机行为的概念。设为两种随机行为，分别为的分布函数，分别为的密度函数，为一事件发生的概率。
用表示这样的复合随机行为：以概率选择，以概率选择（注意，与的含义不同）。亦即，当事件发生时，按照进行随机选择；当事件不发生时，按照进行随机选择。这也就是说，代表了这样的一种随机选择（随机向量）：如果事件发生，那么每当自然状态出现时，就选择；如果不发生，那么每当自然状态出现时，就选择。称为随机选择和的复合选择，或者称为随机向量和的复合随机向量。
复合随机向量的概率分布可计算如下。对任何，用表示事件，则根据全概率公式（其中）可知，
这说明，复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均。同时也说明了分布函数的加权平均的意义。注意，随机向量的复合不要求确定性选择集合的凸性。既然我们可用分布函数集合代替随机向量集合，可见在带有不确定性的选择环境中，随机选择集合必然是凸集，即是凸集（尽管可能不是凸集）。今后，我们把分布函数称为按概率(和进行的复合分布函数。
容易看出，复合分布的密度函数为。称此密度函数为按概率(和)进行的复合密度函数。
以上分析表明了用分布函数集合替代随机选择集合的优越性所在：复合行为就是对概率分布进行加权平均。鉴于此，今后就直接把称为随机选择集合，即视和为同样的集合。
二、预期效用性质
我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设为抽彩人获得第种奖品时获得的效用量。对于彩票，抽彩人的预期效用为：
当和为两种彩票，为某事件发生的概率时，复合抽彩的预期效用为：
这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所表现出来的这种效用评价特点，称为预期效用性质。
其实，预期效用性质不但为复合抽彩所具有，而且对一般的随机行为也是基本适用的。为了说明这一点，设是消费者在确定性环境下的效用函数，并假定定义在整个商品空间上。对于，设为其分布函数，则的预期效用(也可表示为)定义为：
当为连续型随机变量且为的密度函数时，则的预期效用可写成：
在带有不确定性的选择环境中，消费者的目标是让预期效用最大化。因此，如上的预期效用实际上给出了消费者在风险选择集合上的一个效用函数，称其为预期效用函数。当（)为确定性行为时，。 因此，预期效用函数是原来确定性的效用函数的扩充。
对于任何及，复合随机行为的预期效用为
也即对于任何及，都有。这说明不确定性条件下，从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质。
三、预期效用函数
预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的，也是有力的工具。确定性效用函数引导的预期效用函数，既具有预期效用性质，又诱导出了风险选择集合上的一个偏好关系：对于任何，当且仅当。对于这个偏好关系来说，表示它的效用函数有无穷多个，但是所有这些效用表示中最重要的一个，因为这个效用函数具有预期效用性质。
更一般地，我们有下面的定义。
预期效用性质．风险选择集合上的效用函数叫做具有预期效用性质，是指对任何及任何实数，都有。
如果直接采用随机向量集合表示风险选择集合，那么预期效用性质的表达方式变成为：任何及任何实数，都有。
凡是具有预期效用性质的效用函数（或者），都叫做预期效用函数，或者叫做von Neumann-Morgenstern效用函数，简称为VNM效用函数。不过采取后一种叫法时，其意义已经扩充了原来的von Neumann-Morgenstern效用函数概念。
当一个预期效用函数是上的某个偏好关系的效用表示时，就称是的预期效用表示，或者称是的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做预期偏好。
（一）预期效用公理
下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。为此，设是风险选择集合上的一个偏好关系。我们需要对提出一些附加性公理。
阿基米德公理．对于任何的，如果，则存在使得。
独立性公理．对于任何的及任何实数，如果，则
连续性公理．对于任何的，集合和集合都是闭集。
这三条公理称为预期效用公理，其几何直观意义如图5-2所示。
阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为的好坏程度介于和之间，那么必然存在与的两种复合行为和，使得的好坏程度介于和之间。
独立性公理的经济含义是，如果随机行为不优于，那么对于任何第三种随机行为来说，与的任何复合行为必然也不优于与的相应的复合行为。从独立性公理立即可知，当，即与无差异时，复合行为与也无差异。
连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。实际上，连续性公理蕴含着阿基米德公理。因此，阿基米德公理是关于偏好序连续性的最弱要求。
?
(a) 阿基米德公理 (b) 独立性公理 (c) 连续性公理
图5-2 预期效用公理
预期效用函数定理．设是风险选择集合上的偏好关系。具有预期效用表示当且仅当服从阿基米德公理和独立性公理。当具有预期效用表示时，的预期效用函数在仿射变换下是唯一的，即若和都是的预期效用函数，则必存在实数和，使得对一切，都有。
本定理的证明过于复杂，这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用理论》(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。
（二）预期效用的积分形式
设概率空间中的自然状态集合就是确定性条件下消费者的选择集合，即。这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行为下选择到的一个子集合中的向量的可能性大小，即能估计出概率，这就象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。
同前面一样，对于，用表示取值为常向量的随机向量，用表示的分布函数。于是可以认为，，从而可以认为。另外，我们要求的每个单点子集都是的元素。这就是说，消费者能够估计出每一种随机行为下选择到中的一个向量的可能性大小。
作了这样的看待后，如果是上的偏好关系，那么同时规定了消费者在上的偏好关系。也就是说，对于，是指。
定义(可测的偏好)．上的偏好关系叫做是可测的，是指对于任何的，集合和都是的元素。
单调性公理．对任何及，如果几乎对所有都成立，则；如果几乎对所有的都成立，则。
换个说法，单调性公理是说，对于任意的、及，设为的密度函数，当时，
(1) 如果对一切成立，则；
(2) 如果对一切成立，则。
对此，我们作一点解释。条件是说，随机选择行为的选择结果几乎总是出现在集合中，即几乎总是选择中的商品向量。(1)是说，如果中每个向量对消费者的效用都没有的效用大，那么随机选择的效用也就没有的效用大。(2)是说，如果中每个向量对消费者的效用都不比的效用小，那么随机选择的效用也就不比的效用小。
预期效用的积分表示．设为概率空间，，对一切成立，是上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一个有界可测实值函数使得对一切，都有
而且这个函数在仿射变换下是唯一的。
预期效用函数概念是von Neumann-Morgenstern效用函数概念的扩展，而预期效用的积分表示中的效用函数，才是原来意义下的von Neumann-Morgenstern效用函数。鉴于此，，当一个有界可测实值函数满足如下条件时：
就称是偏好关系的von Neumann-Morgenstern(简称VNM)效用函数。积分表示定理说明，一般情况下偏好关系的VNM效用函数都是存在的。
特别地，当概率空间和偏好关系满足积分表示定理的条件且时，存在的VNM效用函数，从而存在通常意义下的预期效用：对于任何，
一般情况下，如果我们只知道风险选择集合上的某个偏好关系的预期效用函数，而不知道的VNM效用函数是否存在，那么由于具有预期效用性质，我们可以直接认为就是随机选择行动的效用的预期值。
预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率可以确定时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。
第三节 主观概率
上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题，建立了预期效用公理体系，证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而，我们对进入预期效用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观概率”，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到，决策者可根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率”，即决策者主观上认为的某些事件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。事实上，在实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。
象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择行为的何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策？
幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇1954年构建的，1972年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面，我们对萨维奇的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的《统计分析基础》(L.J. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。
一、不肯定性行为的表述
不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客观存在的。用表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为状态空间。用表示的幂集，即的所有子集之集族，也可简记为，即。中的元素称为事件。
用表示一切可能出现的选择结果的集合，称为确定性选择集合。假定是实数集合的子集。
决策者的行为可用一个映射表示，其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自然状态：如果状态出现，那么他就选择。但究竟选择中哪一个结果，则不得而知，并且不知道选择到中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不确定性行为。用表示一切可能的不肯定性行为的全体，即是由所有从到的映射构成的集合，称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为，集合称为的结果集合。
注意，结果集合中的每种结果都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性”行为：对任何，。称这个行为为确定性行为，并把与等同看待。作了这个说明之后，我们今后将不在区分与，并且直接用表示。也就是说，我们认为。
在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间中选择一种行动，这意味着决策者在上有一个偏好关系，它对各种行为的好坏作出了排序。由于，因此上的偏好关系确定了上的偏好关系(仍用表示)，即可用对中的各种结果排出好坏次序来。需要注意，对于和，和具有不同的意义：表示行为不比确定性行为优；而表示结果不比结果优，或者说把结果也当成一种行为来看待的话，确定性行为不比确定性行为优。
状态分划
为了研究不确定性，人们往往会依据某种原则对影响人们选择的各种可能的不确定性因素(即自然状态)进行分门别类。这种做法体现为对状态空间进行分划。所谓状态空间的一种分划，是指由的有限个互不相交的子集构成的集族，满足条件。
(二) 复合行为
设是状态空间的一个分划，是一系列不确定性行为，即中的一个有限序列。我们可以把这个行为复合在一起，构成一种新的不确定性行为：对于每个，当时，。这个新行为叫做行为的复合行为，并记作。
容易看出，对于结果集合为有限集合的不确定性行为，设，并令，则是的一个分划并且。
复合行为的经济意义是什么呢？实际上，这里的复合行为类似于上一节中所说的复合彩票。它是说：如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择；如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择；如此等等，如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择。
经常碰到的是两个行为的复合。设，，为的余集。与的复合行为，就是通过事件的发生与否来决定的一种新的不确定性行为：如果事件发生，就采取行为；否则，采取行为。
(三) 条件偏好
设（即为一事件），为任意两个不确定性行为，为上的一个偏好关系。如果对任何的，都有，则称依事件不优于，或者称依事件不比优，或者称为依事件不次于，记作，或记作。这种由事件决定的偏好关系，称为条件偏好关系。显然，当时，对任何，都有；而当时，偏好与条件偏好一致。
(四) 零事件
设。如果对于任何，都有，则称是零事件。否则，称是非零事件。显然，空集是零事件。
二、主观概率公理体系
萨维奇对上的偏好关系提出了以下六条公理。
确认性公理．对任何及任何，当且仅当。
确认性公理蕴含着对任何事件，条件偏好是非空偏好。这条公理也表明了一种独立性：对于两种不确定的选择行为，决策者关心的只是这两种选择有何不同，他对这两种行为的好坏评价也就只取决于两种选择的不同之处，而与相同之处无关。也就是说，与行为相比，决策者是否更偏好于行为，取决于区别集合，而与具有相同选择结果的集合无关。简言之，不确定性选择上的差别，决定着决策者的偏好。
状态独立公理．对任何非零事件，任何及任何，当且仅当。
状态独立公理表明，决策者在结果集合上对各种结果作出的好坏排序，不依赖于任何非零事件，从而也与自然状态无关。同时这条公理也表明，如果两种不确定行为仅仅在一种自然状态下的选择结果不同，那么着两种不同选择结果之间的优劣比较决定了这两种行为之间的优劣比较。
定性概率公理．对于任何及确定性行为，设且，则 当且仅当。
定性概率公理保证了事件域上实质上存在着某种定性的概率关系，定义如下：对于任何，事件至少与事件等可能发生，记作 * ，是指存在，，使得。
非退化公理．存在满足。
无原子公理．对于任何，如果，则存在的分划，使得和对一切成立。
无原子公理起着连续性假设的作用，它还（与非退化公理一道）蕴含着状态空间的无限性。进一步，无原子公理与如上所述的各公理一道，蕴含着选择集合按照序拓扑可成为一个连通的拓扑空间。
条件单调性公理．对任何及，如果对一切成立，则；同样，如果对一切成立，则。
三、萨维奇定理
函数叫做状态空间上的有限可加概率测度，是指具有以下三条性质：(1) 对任何，都有，
(2) ，
(3) 对于任何有限个两两不交的集合，都有。
测度叫做是无原子测度，是指对任何实数及集合，，都存在满足：(1), (2)。
萨维奇定理．对于行为空间上的任一偏好关系来说，下面两个命题等价：
(1) 服从确认性公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件单调性公理。
(2) 上存在唯一的有限可加无原子概率测度，存在一个在仿射变换下唯一的有界函数，使得对任何，当且仅当。
萨维奇定理指出了保证主观概率和VNM效用函数唯一存在的不确定性经济行为公理。不过这里的概率稍不同于通常所说的概率，它只具有有限可加性，而不具有可数可加性，这是因为在无限状态空间上，当事件域为的一切子集之集族时，满足可数可加性的概率是不存在的。因此，经典概率论中总是要求事件域只是样本空间的一部分子集所组成的集族，然后才要求概率具有可数可加性。如果我们仿效经典概率论的做法来研究主观概率问题，那么我们所得到的主观概率就会同经典概率论中使用的概率具有同样的性质，因而可用经典概率处理主观概率问题。
例1. 主观概率的测定
我们以赌博为例，简要说明一下如何测定主观概率的问题。设赌博的结果只有两种：要不然获得收入，要不然获得收入()。因此，确定性选择集合。设为状态空间，为事件域，它是一个代数。
一切可能的赌博所构成的集合可表示为：，其中是说，获得收入的概率为，获得收入的概率为。现在，消费者不知道一次赌博中获得这两种收入的概率分布情况，但消费者能够对各种可能的赌博作出好坏判断，即他在上有一个偏好关系 。我们看一看如何从这个偏好关系来测定消费者在赌博评价中的主观概率。
任意给定，考虑这样的赌博：当事件发生时，获得收入；当不发生时，获得收入。这个赌博可表示为，即，当时，；当时，。显然，，即在我们考虑的赌博范围之内。这样，在中必然存在着一个赌博满足（即消费者认为与无差异）。
假设该消费者认为（即高收入比低收入好，从而偏好是非退化的），并且认为获得赌博中获得高收入的可能性越大越好（即当且仅当。从而偏好满足独立性公理）。于是与无差异的赌博中的实数是唯一确定的，这个就可认为是消费者对事件发生的可能性大小的主观判断——主观概率。令，可以证明这样定义的函数服从概率的基本性质，因而可看作适赌博者的主观概率测度，也即就是赌博者的主观概率空间。
萨维奇定理和上面事例说明，只要观察到的选择行为服从某些合理似然的公理，那么主观概率和效用函数都可从观察到的行为构建出来。其概率也必然服从贝叶斯定律：
这里为任意两个事件，为条件概率，即事件发生的情况下事件发生的概率。比如彩票抽奖，开始时人们对中奖概率各有自己的判断，当然这个概率是很低的，前来抽彩的人不会那么多。当抽彩进行了一段时间后，如果奖品还未被抽走，那么人们就会修正以前作出的中奖概率判断，得出新的判断，即把先前的概率修改成为了条件概率。修改后的概率较以前要高，从而这个时候他就可能决定抽彩。
贝叶斯定律说明了理性决策者如何根据事实(或依据得到的信息)来调整和修正他的主观概率判断。如果把贝叶斯公式中的解释为某一特定的假设，把解释为推断假设为真的证据，把解释为决策者认为假设为真的主观概率(即)，那么贝叶斯定律说明了决策者如何根据证据来调整他相信假设为真的概率。
贝叶斯定律是重要的，它把先验概率(即在观察证据前假设为真的概率)与后验概率(即在观察证据后假设为真的概率)联系在一起，成为大多数理性学习行为模型的基础。
第四节 两个悖论
到目前为止，我们的分析似乎是直观的、合乎实际的，而且所建立的理论似乎是完美的。但要注意，我们并不能由此就说，该理论是对决策者实际行动的确切描述。且看下面的关于预期效用和主观概率的两个悖论。
悖论1. 阿莱悖论(Allais paradox)(关于预期效用的悖论)
现有四种彩票：，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示。
彩票
奖金(元)
100
500
100
0
100
0
500
0
获奖概率
100％
10％
89％
1％
11％
89％
10％
90％
通过调查发现，很多人都认为且，即偏好于而非，偏好于而非。这可能是因为与相比，购买彩票可稳稳当当地得到100元奖金，而购买彩票虽然以极大的可能性得到100元奖金和以较小的可能性得到500元的更高奖金，但同时还冒有一文不得的风险。既然购买最可能得到的奖金仍是100元，因此没有好，或者说比好。对于彩票和来讲，购买获得500元高额奖金的可能性仅比购买获得100元低额奖金的可能性小1％，而且500元与100元之间的差额不算小，因此购买比购买要好。
设预期效用函数为，那么
而且应该有及。
从可以推出。在此式两边加上可得：，即，这与实际调查结果相矛盾。
阿莱悖论说明，实际中人们往往并不是按预期效用大小来对风险行为进行评价的。因此，预期效用理论也有不切实际的地方和时候。
悖论2. 艾尔斯伯格悖论(Ellsberg paradox)(关于主观概率的悖论)
袋中有红、蓝、绿三种颜色的球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博：
赌博：从带中摸出一球，如果为红球，可得1000元。
赌博：从带中摸出一球，如果为蓝球，可得1000元。
赌博：从带中摸出一球，若不是红球，可得1000元。
赌博：从带中摸出一球，若不是蓝球，可得1000元。
面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为优于，优于。这种偏好可能是由于的确定性程度比高，的确定性程度比高。但这样的偏好不符合主观概率理论。
为了说明上述偏好违背主观概率理论这一事实，用表示赌博者所依据的主观概率，表示在这个主观概率下的预期效用函数，表示摸出红球这一事件，表示摸出蓝球这一事件。则表示摸出的球不是红球，表示摸出的球不是蓝球。
从概率论知识可知，，。计算一下四种赌博的效用：
优于，即，因此。
优于，即，因此。
如此得到的两个不等式相互矛盾，这说明按照主观概率理论不可能有且。然而事实却是如此，调查发现且却是同时发生了。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。
以上两个悖论说明，理论与实际之间存在着矛盾。对于这些矛盾，一些经济学家认为是由于理论的不完善所致，需要建立新的理论或模型来重新解释经济行为。另一些经济学家则认为，出现这些悖论是因为经济人发生了“视觉错误”。比如人们在某些情况下对判断距离无能为力，但这不意味着需要发明一种新的距离概念。因此，预期效用理论以及建立在主观概率基础上的预期效用理论都是正确的。
第五节 风险大小的测定
在带有不确定性的环境中，消费者会意识到他所做出的选择具有一定的风险性。比如说，由于选择结果的不确定，最终的结果可能会让消费者感到满意，也可能会令消费者失望。又如“事后诸葛”常有人在，许多在不确定条件下做出的选择，事后看起来并不一定是最优的。怎样才能在不确定的条件下，使决策的风险降低到最低程度？这涉及到如何衡量风险的问题。显然，风险的大小既与环境的不确定性程度有关，又与消费者对待风险的态度有关。本节就来讨论如何区别消费者对待风险的不同态度以及如何度量风险大小的问题。
一、对待风险的不同态度
第一节例2中对赌博的分析，适用于任何风险行为的研究。从这个例子得到的启示是，一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上。有些人善于更多地想到会出现坏结果，因而他们在决策时比较谨慎，表现出对风险的厌恶态度。另一些人则喜欢去想较好的结果变成为现实，从而他们具有冒险精神，表现出对风险的喜好态度。还有一些人在风险面前表现出既不怎么厌恶风险，也不太喜好风险的中立态度。应该说，大多数人对待风险的态度都是厌恶。如果注意观察数目众多的投保人，就不难看出这一点。许多人不但购买了人寿保险、健康保险和汽车保险，而且还要寻求一份具有相对稳定工资收入的职业或工作。
人们对待风险的这些不同态度，可以用前面建立的预期效用理论加以准确地表述。为此，设为状态概率空间，为确定性选择集合，即为一切可能的选择结果的集合，为行为空间，即为上取值于中的随机向量的全体。对于和，表示以概率采取行为，以概率采取行为的复合行为。当的分布函数为，的分布函数为时，的分布函数为。
设为消费者在行为空间上的偏好关系，并服从阿基米德公理和独立性公理，即是预期偏好关系，因而存在的预期效用函数。再设确定性选择集合是的凸闭子集。既然，同时确定了消费者在确定性选择集合上的偏好关系，即把限制在上时所得到的偏好关系，记作，称为消费者的结果偏好。当把预期效用函数中的自变量限制在中变化时，便得到上的效用函数，它是结果偏好的效用表示，称为消费者的结果效用函数。
对于，的数学期望为中的向量。是行为的预期效用，而是的期望值的效用，这二者是不同的。比较和的大小，就可说出消费者在风险行动中对待风险的态度：
(a)对待风险的爱好态度. 如果(即)，则称消费者在行动中是一个风险爱好者或冒险者(risk loving)。
这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，而另一种是不确定的，带有风险，风险爱好者要采取带有风险的行为，以不放过取得更好结果的机会。
可以看出，在行动中，风险爱好者的结果效用函数在处是局部严格凸函数(如图5-1(a)所示)，即对附近的任何及任何，
(b)对待风险的厌恶态度. 如果(即)，则称消费者在行动中是一个风险厌恶者或风险厌恶者(risk aversion)。
这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，而另一种是不确定的，带有风险，风险厌恶者要采取无风险的确定性行为，以求获得稳妥的最终结果。
可以看出，在行动中，风险厌恶者的结果效用函数在处是局部严格凹函数(如图5-1(b)(本章第一节)所示)，即对附近的任何及任何，
(c)对待风险的中立态度. 如果(即)，则称消费者在行动中是一个风险中立者(risk neutral)。
这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，另一种是不确定的，带有风险，风险中立者认为不论采取这两种行为的哪一种，都不会有什么差异。
可以看出，在行动中，风险中立者的结果效用函数在处是局部线性函数(如图5-1(c)所示)，即对附近的任何及任何，
如果在任何风险行动中，消费者都表现出对待风险的爱好态度，那么就称该消费者是风险爱好者；如果在任何风险行动中，消费者都表现出对待风险的厌恶态度，那么就称该消费者是风险厌恶者；如果在任何风险行动中，消费者都表现出对待风险的中立态度，那么就称该消费者是风险中立者。
风险厌恶者的结果效用函数是严格凹函数，风险爱好者的结果效用函数是严格凸函数，风险中立者的结果效用函数是线性函数(即一次函数)。
例1. 公司经理对待风险的态度
公司经理比普通人更喜欢冒险吗？ 关于这个问题，有人对464名公司经理发出问卷进行调查。问卷调查的结果表明，经理们对待风险的态度差别较大。大约20％的经理相对表现出对风险的中立态度，20％的人明显表现出对风险的厌恶态度，40％的人似乎更喜欢冒险一些，还有20％的经理们对调查问卷没有做答复。
更为重要的是，调查结果表明经理们一般都是以延期决策、再等一等看、不断搜集信息的方式努力防范和克服风险，各人对待风险的态度同风险行为所涉及的收益与损失情况有关。喜欢冒险的那些经理们，在预期收益为负的情况下不甘心，要去冒险；而在预期收益为正的情况下反倒谨慎起来，采取风险较小的行动（本例摘要选自K.R. MacCrimmon & D.A. Donald, The risk in-basket, Journal of Business 57(1984)）。
二、风险的度量
决策者对待风险的态度，反映在他对风险行动和确定性行动的评价上。那么风险的大小是否也反映在和之上呢？或者说，我们如何测定风险行动的风险大小呢？一般来说，测定风险大小的办法有两种，一种是利用风险金测量，另一种是利用方差测量。
(一) 风险金
风险金涉及到货币，进而涉及商品价格，因而需要首先给定商品空间上的价格体系为。在面对风险行为时，决策者为了防范风险，会把风险行为同某种与其效用相同的无风险行为进行比较，得出风险大小的判断。这个用来同风险行为作比较的无风险行为，称为风险行为的确定性等价(certainty equivalent)。
1．确定性等价的确定
我们来看一看风险行为的确定性等价到底是什么样的行为。为此，设，并称集合为的确定性等价类。
(1) 风险厌恶者的确定性等价
对于风险厌恶者(即)，他的结果效用函数(局部)严格凹，因而他的确定性偏好(局部)严格凸。只要非空，那么就在中存在唯一的向量，它是价格体系下中支出最小的向量(如图5-3(a)所示)，即。称这个向量为行为在价格体系下的确定性等价(certainty equivalent)。根据第三章关于希克斯需求的讨论可知，（因为)。
为什么要选择中支出最小的向量作为的确定性等价，而不选择中的其他向量呢？这个问题可从两个方面加以解释。从消费者角度看，可看作是消费者的随机消费选择。根据第三章关于确定性消费选择的讨论，在给定价格体系下和给定的效用水平上，消费者的最优选择是选择这个效用水平上支出最小的向量（即希克斯需求向量）。因此，在价格体系下，的确定性等价应该是，而非其他向量。
再从生产者或投资者的角度看，可看作是决策者的所获，不过是随机的。作为风险厌恶者，决策者首先要考虑的是在保持效用水平不变的情况下，选择确定性方案至少可获得多少收益。就是决策者的选择与同等效用水平时至少可获得的价值（收益），因此是确定性行动中与不确定性行动最好的比较。这便是从最坏处着想，谋求最好的结果。
(2) 风险爱好者的确定性等价
对于风险爱好者(即)，他的结果效用函数(局部)严格凸，因而他的确定性偏好(局部)严格凹。只要非空，那么就在中存在唯一的向量，它是价格体系下中价值最大的向量(如图5-3(b)所示)，即。称这个向量为行为在价格体系下的确定性等价(certainty equivalent)。可以证明，（因为)。
之所以要选择中价值最大的向量作为的确定性等价，是因为风险爱好者不同于厌恶风险者，他的行为与风险厌恶者的行为恰恰相反。风险爱好者为了获得高收入，不惜冒险的代价。这样，在与风险行为具有同等效用的确定性商品向量中，价值最大者的价值将是他不冒险时最多可得到的价值。冒险采取风险行动，尽管预期收益没有大，但没有放弃获得更高收益的机会。因此，他宁愿放弃，也不愿放弃。可见，只有价值最大的向量才能作为风险行为的确定性等价。
再从决策者作为消费者的角度看，风险爱好者认为，选择风险消费行为，预期的支出额为。若选择与效用同等的确定性消费方案，那么最多要指出。既然小于，因此从冒险的角度看，冒险有一定的好处。可见，从消费者角度看，也只有支出最大的向量才能作为风险爱好者选择风险行为的确定性等价。
(3) 风险中立者的确定性等价
(a) 风险厌恶者的确定性等价 (b) 风险厌恶者的确定性等价 (c) 风险厌恶者的确定性等价
图5-3 风险行为的确定性等价
对于风险中立者(即)来说，由于他认为风险行为同无风险行为之间并无差异，因此是他在的确定性等价类中首当其冲的选择。我们就把规定为的确定性等价，并也记作，即。可以看出，风险中立者的确定性等价类是中的(超)平面，如图5-3(c)所示。
总之，风险行为的确定性等价是根据消费者对待风险的不同态度而分别定义的：
2．风险大小的测定
认清了行为的确定性等价后，的预期向量和确定性等价之间的价值比较便很重要，从这个比较中可得到一个价值差，这个价值差可用来判断行为的风险大小。我们把这个价值差称为风险行为的风险金或风险升水或保险费(risk premium)，并记作，或者更明确地记作，以示它与价格体系的关系，即。
风险金可为正，可为负，也可为零。风险厌恶者的风险金为正，风险爱好者的风险金为负，风险中立者的风险金为零。
当决策者面对风险行为时，如果采取，则他预期可得到向量，其预期价值为；如果不采取，而采取的确定性等价，则他毫不含糊地可得到商品向量，并保持了效用水平不变。两种选择出现了价值差。
对于风险厌恶者来说，的确定性等价的价值小于的预期向量的价值，即风险厌恶者采取风险行动比采取同等效用的无风险行动，可预期得到更大的价值。价值差可看作是对风险厌恶者采取风险行为的补偿，是对冒险的回报。也就是说，风险厌恶者认为比好，所以宁愿采取，也不愿采取。如果非要让他采取风险行动，那么必须对他承担风险进行补偿，其补偿额应为价值差。
对于风险爱好者来说，的确定性等价的价值大于的预期向量的价值，即风险爱好者采取风险行动比采取同等效用的无风险行动，可预期得到的价值要小。但他不甘心放过获得更高价值的机会，宁愿放弃确定性等价比预期向量多出的价值，也要“赌”一把去冒这个险。因此，可看作是风险爱好者冒险的代价。
我们已经看到，正的风险金表示了决策者采取风险行动所得到的补偿；负的风险金表示了决策者采取风险行动所付出的代价；零风险金表示决策采取风险行动既无需得到补偿，也无需付出代价。这就是风险金的意义。
换个角度来理解，决策者希望把不确定的选择变成为确定性的选择，当然这种变化要求保持效用不变。于是，风险金表示了从不确定性选择变成为效用同等的确定性选择，决策者愿意付出的价值。这正是风险金的保险费意义，即可把风险金理解为保险费：决策者为了得到与风险行动同等效用的确定性结果，愿意付出金额。
RP RP
(a) 风险厌恶者的风险金 (b) 风险爱好者的风险金
图5-4 货币收入的效用函数下风险金的确定
风险金衡量着风险行为的风险大小。对于风险厌恶者来说，承担的风险越大，理应得到更大的风险回报。否则，他就不会贸然采取风险行动；对于风险爱好者来说，风险越大，冒险的代价也就越大。
当选择结果是以得到的货币多少来衡量时，确定性等价及风险金就有更加直观的意义(如图5-4所示)。此时，成为货币收入的预期效用函数，成为货币收入的确定性效用函数，我们可假定是严格递增函数。此时的确定性等价类也成为单点集：。风险金是图5-4中粗线段RP所代表的部分：RP。
(二) 方差
测定风险大小的第二种尺度是随机变量的方差，其定义为。方差的平方根叫做标准差，记作，即。方差纯粹是从风险的本质来测定风险大小的，因而它与风险金测量手段稍有不同。可以这样说，方差测量出来的风险大小是客观的，描述了选择结果偏离预期值的程度，与消费者的主观评价无关；而风险金测定的风险大小带有主观色彩，与消费者的主观评价(偏好关系)有关。
既然方差客观地反映着随机选择偏离预期值的程度，风险厌恶者自然希望随机选择行为的方差越小越好。比如，某人面临两种风险职业选择，职业和职业。从事第一种职业的收入情况是：干得好，则可得3万元收入，获得18个单位的效用；干不好，只能得1万元收入，只获10个单位的效用。能干好与干不好的概率各为0.5，预期收入为2万元，预期效用为14个单位，即。如果从事一份具有稳定收入1.6万元的工作，那么他也能得到这14个单位的效用。因此，收入为1.6万元的稳定工作，是风险职业的确定性等价，职业的风险金也就为0.4万元，即。
从事第二种职业，获得4万元收入的概率为0.5，一无所获的概率也为0.5。于是，从事职业的预期收入仍为2万元。4万元收入的效用为20，一无所获的效用为0，结果职业的预期效用为10个单位，即。由于1万元收入的效用为10个单位，即，因此，收入为1万元的稳定工作是风险职业的确定性等价。职业的风险金为1万元，即。
计算一下和的方差。
可见且，即方差越大，风险金也越大，为了避免风险所愿意付出的保险费也就越高。
例2. 名牌效应
产品品牌对于消费者选择具有较大的影响。名牌产品常常具有质量好、性能稳定、售后服务好等优点。质量好意味着消费者购买该产品后预期收益大，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品后面临的风险小，因而保险费较低。根据保险费公式可知，购买名牌产品这一行为的确定性等价的价值等于。对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风险金较高。这说明购买非名牌产品之行为的确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价格。这就是所谓的名牌效应。
不法厂商正是利用名牌效应把自己的假冒伪劣产品推向市场，坑害消费者的。在消费者没有得到关于产品的准确信息的情况下，他信以为打着名牌的假冒产品是真正的名牌产品，于是出现了主观概率判断上的错误，给予该产品很高的期望收益和较低的风险，从而愿意为它支付较高的价格，结果吃亏上当。如果不对假冒伪劣产品予以制止，久而久之，就要导致消费者对名牌的预期收益的下降和名牌风险的上升，从而风险金增大，消费者也就不再愿意为名牌产品支付较高的价格，名牌产品生产者的效益也就要下降。
例3. 实行处罚制度，预防不法行为
日常经济生活中，总有一些人违法乱纪，给他人及社会造成危害。比如违章行车、偷税漏税、假冒名牌、环境污染等等，那些以这种方式采取不法行为的人一般都信息灵通，他们的行动可视为符合理性。对他们实行处罚，要比抓起来关监禁好。
假若社会能够不费力气地将不法者抓获，挽回他们给社会造成的损失，那么就去抓不法者并给以处罚以挽回损失好了。然而实际上，抓获不法者是一件极不容易的事情，而且会付出巨大代价，使社会成本猛增。社会治安应该以预防为主，而实行处罚制度是预防不法行为的有效途径，可为社会节约大量的管理成本。那么，处罚金定为多少才合适呢？这个问题可以用本节提出的经济学方法加以解决。一般来说，人们越是厌恶风险，处罚金也就越低。
设Law为某一法律规定(比如不准使用他人商标)。之所以作出这一法律规定，是因为违反规定者可以损人利己。假定经济人违反Law时，自己可得到价值元的非法收入。
如果社会能果不费力气地抓获每一个违反Law的违法者，那么就给每人以元的处罚好了。然而这是做不到的，社会需要定出一个处罚金标准，并要确定出违法者被抓获的概率，使得按照这个处罚标准和这个抓获违法者的可能性，就可阻止不法行为的发生。
为了分析和应该是多少，需要用到经济人的货币收入预期效用函数。用表示违反Law的非法行为，表示不违反Law的合法行为。非法行为带有风险，合法行为没有风险。
采取非法行为的非法收益为元，被抓获处以元罚款的概率为。因此,非法行为的非法预期收益为
的非法预期效用为
当然，合法行为的非法预期收益和非法预期效用都为零。
只有当时，经济人才会去违反Law，因为这时尽管违法有可能被逮住并处以元罚款，但仍然能够获得比合法行为更多的满足。可见，确定和的原则应是，即。
对于风险厌恶者及风险中立者来说，。所以，只要和能使, 即，就能保证，从而保证风险厌恶者和中立者都不去违法。我们当中绝大多数人都是风险的恶者或中立者，可见只要处罚金定得不低于，就能有效地预防违反Law事件的发生。
比如，当(元)时，把处罚金规定为500元，那么只要能在每100个违法者中抓住一个人给以500元罚款，就能有效预防违法事件的发生。
按照上述原则制定的处罚金标准，对于风险中立者恰好，对于风险厌恶者来说有点太高，而对于风险爱好者来说有点偏低。然而，要想想出个能够彻底杜绝非法行为的处罚金标准，那么处罚金就没有一个限度。因此，实行处罚制度只能保证大多数人守法，但不能杜绝违法。
第六节 风险的防范
风险厌恶者面对风险选择时，往往要对风险进行防范。通常，人们防范风险的方法有三种：决策分散化、购买保险、搜集有关信息，本节通过具体事例逐一介绍这些方法。
一、决策分散化
决策分散化是说“不要把鸡蛋全部放在一个篮子里”。只要向多个方向努力，或者把投资投向多种项目或资产，方可化减或消除风险，达到防范风险之目的。下面通过代理商的商品销售事例和股票投资事例，来说明决策分散化的具体意义和好处。
例1．代理商选择的分散化
假如你是一个委托代理商，可选择销售空调或暖气，但你不知道明年夏天是否特别热，也不知道明年冬天是否特别冷，你应如何选择呢？是选择代理销售空调，还是选择代理销售暖气，还是二者兼顾？答案是采取决策分散化，把精力投向二者兼顾的方向，既销售一部分空调，同时又销售一部分暖气，甚至同时销其他产品。
假定你估计明年气温高的可能性为50％，气温低的可能性也为50％。若只选择销售空调，那么如遇明年气温高，夏天特别炎热，则可得到30万元的销售净收入；如遇明年气温低，夏天不太热，则只能得到12万元的净收入。若只选择销售暖气，那么如遇明年气温高，冬季不太寒冷，则只能得到12万元的销售净收入；如遇明年气温低，冬季气候特别寒冷，则可得到30万元的净收入。表1列出了这一收益情况。
表1 销售收入情况
明年气温高
明年气温低
概 率
50％
50％
暖气销售收入
12万元
30万元
空调销售收入
30万元
12万元
计算预期收益可见，不论是只销售空调，还是只销售取暖设备，预期收益都是21万元，但这个净收入是不确定的，你的最终净收入可能是30万元，也可能只有12万元。因此，不论只销售空调设备，还是只销售取暖设备，都是带有风险的。
但是，你若采取分散决策，把一半放在销售空调设备上，另一半精力放在销售取暖设备上，则不论明年天冷天热，你的销售净收入都为21万元，于是原来的风险净收入21万元变成了无风险的21万元净收入。可见，分散决策完全消除了不确定性，消除了风险。
例2．金融投资的分散化
在金融资产投资中，把资金在安全资产购买和风险资产购买之间加以分散，方可消除或化减投资风险。分散化降低了投资者面临的总体风险，至少不会给投资增加风险，有益无害。我们以例来说明这一点。假设有两家公司甲和乙的普通股票，投资者要在这两种股票之间进行选择。
用Ａ表示甲公司的股票，用Ｂ表示乙公司的股票。购买Ａ股票，获得收益率15％的可能性为50％，获得收益率5％的可能性也为50％。购买Ｂ股票的情况一样，获得15％收益率和5％收益率的可能性都是50％。因此Ａ股票和Ｂ股票的预期收益率都为10％。
第一种情况：Ａ和Ｂ两种股票价格变化方向相反。
这种情况下，当Ａ股票的收益率为5％时，Ｂ股票的收益率则高达15％；相反，当Ａ股票的收益率高达15％时，Ｂ股票的收益率仅只有5％。可见，把资金平均用于购买这两种股票，则总可获得10％的稳定收益率，从而消除了收益不稳定的风险，显然要比把资金全部用于购买一种股票，获得10％的预期收益率(不是稳定收益率)更好。
第二种情况：Ａ和Ｂ两种股票的价格相互独立变化。
实际中更常见的是这两种股票价格相互独立变化。此种情况下，把资金平均分摊于Ａ和Ｂ之上，不但预期收益率仍为10％，而且由于持有两种股票，就更有可能真正实现10％的收益率，甚至更高。事实上，通过如下的计算就可看出这一点。
表2 投资于两种股票的收益率概率分布情况
A的收益率为5％
A的收益率为15％
B的收益率为 5％
50％×50％=25％
50％×50％=25％
B的收益率为15％
50％×50％=25％
50％×50％=25％
因此，把资金平均用于购买A股票和B股票，获得5％收益率的概率为25％，获得15％收益率的概率为25％，而获得10％收益率(即，A的收益率为5％，同时B的收益率为15％；或者A的收益率为15％，同时B的收益率为5％)的概率为50％（=25％+25％）。如果仅仅购买一种股票，那么获得的收益率就只有两种可能性：要么5％，要么15％的收益率。而10％只是预期收益率，是实际上不能取得的收益率。可见，平均分摊资金的这种做法，使得10％的预期收益率不但仍然为预期收益率，而且成为更可能得到的实际收益率。
再看一下风险。只购买一种股票，其收益率风险为：
把资金平摊，购买两种股票，其收益率风险为：
可见，把资金平均用于购买两种股票，收益率风险减少了一半。因此，分散化处理使收益情况变好，风险变小。
第三种情况：Ａ和Ｂ两种股票价格变化方向一致。
这种情况下，把资金平均分摊于Ａ和Ｂ之上，同把资金全部投放于一种股票之上，效果是一样的：不但这两种做法的预期收益率一样，而且真正得到的收益率也一样。所以，分散化处理没有坏处。
总之，对于Ａ和Ｂ这两种股票来说，实际情况不外乎上述三种，而不论出现那种情况，多样化处理不但不会使投资者的收益减少，而且更有可能使投资收益稳定或者提高。所以，分散化可以消除或降低投资风险，至少不会使情况变坏，有益无害。
以上两例说明的决策分散化，是一条一般原理。本章第八节将会继续研究这个问题。
二、购买保险
风险厌恶者为了避免风险，甘愿放弃一笔收入而购买保险，以求取得稳定的收益。实际上，在保险成本(即保险费)等于预期损失的情况下，风险厌恶者愿意多多购买保险，以防他们遭受任何财产损失。购买保险，保证了消费者的确定收入不变，而不管是否有损失发生。由于保险成本等于预期损失，这个确定收入就等于消费者在风险场合的预期收入。这种不论选择结果会产生多大或多小的效用，确定收入都不变的保证，在无损失时得到高收入，有损失时得到低收入的风险情况下，对于风险厌恶者来说就显得尤其重要。下面，我们就来具体论证这些结论。
假定保险公司为人们提供保险并不想从个别人身上赚钱，也就是说，保险公司向个人销售保险，其预期收入为零。用表示保险价格，即个人购买一元保险所必需交纳的保险费。显然，。用表示意外事件发生的概率。如果某人购买了一元保险，那么当意外事件发生时，他(她)将从保险公司得到一元的损失赔偿。因此，保险公司销售一元保险的预期收入为：，这表示：如果不发生意外事件，保险公司的收入就为；如果发生意外事件，保险公司的收入为(因为要向被保险人支付１元赔偿)。既然保险公司并不想从个别人身上赚钱，于是保险公司的预期收入为零。由此可知，，即保险费率(保险价格)就等于意外事件发生的概率。
假定某消费者现有财产元，而且他是一个风险厌恶者。如果发生意外事件，他将损失元财产。那么，该消费者愿意购买多少保险呢？为了分析这个问题，用表示该消费者要购买的保险额，用表示他的财富效用函数，。
当该消费者购买元保险时，他的财富情况是这样：如果不意外事件发生，则财富变为；如果发生意外事件，则财富变为。因此，购买元保险的预期效用为：。
最优的保险购买量必然是使预期效用达到最大的所确定的数量，因此对的一阶导数必然为零：
即
也即
注意，上式左边代表意外事件发生时财富的边际效用，右边代表意外事件没有发生时财富的边际效用。因此，最优的保险购买量应当是使意外事件发生时的财富边际效用与意外事件没有发生时的财富边际效用二者相等的保险量。
再注意，对一切成立，即是的严格递减函数。因此，上面的边际效用等式等价于，又等价于(其实，上面的边际效用等式等价于这一事实在对一切成立的情况下也是成立的)。所以，保险的最优购买量等于意外事件发生时消费者的损失额。按照最优购买量购买保险，保险成本是，它等于。即保险成本等于消费者的预期损失。当消费者按照预期损失付出了保险成本以后，即付出了元的保险费后，他的财富就变成了元的稳定财富，不论意外事件是否发生，他都不会再蒙受损失。购买保险所保证的这笔稳定的财富，实际上就等于没有买保险的情况下消费者的预期财富收入。这是因为没有买保险时，消费者的预期财富收入为。这就证明了前面一开始所述的结论：保险所保证的稳定财富收入等于无保险情况下的财富收入的预期值。
例3．家庭财产保险
某家庭面临10％的可能性被盗。该家庭财产价值5万元，发生盗窃后会损失1万元，因此预期损失1千元(0.1万元)，预期财产价值4.9万元(=0.9×5＋0.1×4)。如果该家庭花1千元购买家庭财产保险，那么4.9万元的财产就得到了保证，这个受保证的价值等于不参加保险时的预期财产价值。如果不买家庭财产保险，那么就会冒有遭受1万元财产损失的风险。表3列出了买和不买保险两种情况下，该家庭的财产价值变化情况。
表3 家庭财产在不买保险与购买保险两种情况下的比较
发生盗窃(可能性10％)
安然无恙(可能性90％)
预期财产
不买保险
4.0万元财产
5.0万元财产
4.9万元财产
购买保险
4.9万元财产
4.9万元财产
4.9万元财产
可见，买保险不但没有改变财产的预期价值，而且还削平了两种不同结果的差异。这一现象的出现，正是高预期效用所产生的效应。为什么呢？我们知道，不论是发生盗窃还是安然无恙，该家庭的效用函数不变，而且效用函数是严格凹函数。如果不买保险，那么蒙受损失后该家庭的财产边际效用大于不受损失时的财产边际效用（因为边际效用递减），因此把财产从不受损失的高价值处向受损失的低价值处转移一点，方可使预期效用水平得到提高。这样的财产转移，正是购买保险这一行为所要完成的使命。
回到保险公司的经营问题上。从保险购买者个人的角度看，保险公司销售保险没有赚到钱，因为销售保险的预期收入为零。再加上保险公司经营中花掉的管理费用和支出的人员工资，保险公司就要亏本。实际情况真实如此吗？答案非也。
保险公司以追求利润最大化为目的。它之所以经营保险业务，是因为他们知道只要手中掌握着大量的保险单，他们几乎就没有什么风险可言了。也就是说，保险公司是通过大面积操作来规避风险的。这种以大面积操作达到规避风险之目的的能力，基于概率论中的大数定律。该定律告诉我们，虽然在一次试验中某事件的发生是随机的，且不可预测，但是在无数次的重复独立试验中，该事件发生的平均次数(频率)却是可以预测的。例如，掷一次硬币你很难判断是正面朝上还是反面朝上。但当无限次地掷下去时，正面(反面)朝上的次数接近于试验总次数的一半。类似地，你若销售汽车保险，尽管你不能预测一个司机是否要出车祸，但是你却能够根据以往的经验来推断发生车祸的概率。
通过大面积操作，保险公司能够保证收到的保险费总额将等于用于赔偿客户损失的支出总额。回到例3所述的家庭财产保险上来，一个家庭知道有10％的可能性被盗，一旦发生偷窃，他将蒙受1万元损失。起初面对这个风险时，他计算了一下预期损失，为1千元。但他觉得这是一个实质性的风险，因为有蒙受大损失的10％可能性，于是便决定购买家庭财产保险。假设具有这种同样处境的人100个，他们都从同一家保险公司买了这一保险。由于他们的情况相似，因而保险公司向他们每人收取保险费1千元，得到了10万元的总保险费收入。保险公司依据大数定律推断，这100人的总预期损失为10万元(=0.1×100×1万元)，也即100个家庭中预计会有10家被盗，总损失预计10万元，而且保险公司并不用担心会有比这更大的损失赔偿。
一般情况下，保险公司向客户收取的保险费要比客户的预期损失高一些，这是因为保险公司在经营过程中存在着管理成本。由于收取了较高的保险费，于是许多人都采取了自我保险的做法，而不去从保险公司买保险。自我保险的方法之一就是采取分散决策，例如在投资中采取资产组合，或者购买互助基金（我们前不久成立的证券基金，就是互助基金的一种形式）。另一种自我保险法，是为了预防未来老年时期收入的损失而把资金注入到个人退休基金中去。
例4. 产权保险的价值
在美国，一个家庭第一次购买自己的住宅时，为了保证住宅的买卖交易就此中止，需要销售商拿出房产证。房产证明确了房屋的所有权，销售商如没有房产证，就不能肯定他是房产所有人。当然，销售商在出卖房屋时可以采取欺骗手段，但情况往往是由于销售商不知道所有权的重要性而才没有拿出房产证的。例如，销售商出售房屋时，可能不知道房屋所有人已经负债累累，把房屋当作附属担保品抵压给别人了，或者是房屋在使用上已经受到了某些限制。
假定某家庭愿意为一座住宅出15万美元的价钱，但认为有10％的可能性销售商没有产权。如果没有产权，那么该房屋就只值5万美元。在对产权没有进行保险的情况下，对风险持中立态度的家庭对这座房屋最多愿意出14(=0.9×15＋0.1×5)万美元的价钱。然而那些几乎把自己的全部收入用于购买房屋的家庭，一般都是风险厌恶者，因而他们愿意支付的价钱就更低了，比如愿意支付12万美元。这种情况下，销售商必然要让买方放心，没有产权是没有风险的。销售商做到这一点的办法是去购买产权保险。产权保险公司要调查房产的有关情况，要搞清楚是否有与该房产有关的债务存在。在确认了不存在所有权问题的情况下，产权保险公司才会同意承担可能发生的其他一切风险。产权保险公司是产权保险专家，他们收集有关信息相对比较容易，因而产权保险的成本通常比预期损失要低。1000美元的产权保险费是平常的，而预期损失可能会更高。显然对于销售商来说，值得购买产权保险。购买产权保险后，除了风险爱好者外的所有买方都愿意出更高的价钱购买房屋。事实上，大多数国家都要求销售商在出售房产时提供产权保险。
三、信息的价值
信息是消费者在不确定条件下进行决策的基础。处理信息的贝叶斯方法告诉我们，获取信息可以改变选择结果的概率分布，从而减少主观不确定性，这就是说，消费者获取的信息越多，他越能做出更好的预测，从而减少风险。从这个意义上说，信息是有价值的商品，使用信息应当为信息有所支付，信息的价值也就来自于信息所减少的风险。
需要说明的是，不确定性分为主观不确定性和客观不确定性，当消费者面对的是主观不确定性时，信息的获取可以改变主观概率分布，从而减少主观不确定性造成的风险。当消费者面对客观不确定性时，即使消费者获取了完全信息，风险依然客观地存在着，因而并不能减少客观风险。所以，我们这里所说的信息的价值，来自于获取信息所减少的主观风险。
完全信息的价值是指一种选择结果在完全信息下的预期价值与不完全信息下的预期价值之差。下面，我们以例来说明信息的价值。
例5. 服装订购
某商店经理需要决定到底订购多少件秋季服装。如果订购100件，每件订价180元；如果订购50件，每件订价200元。每件服装的售价为300元，售不出去可以退还，但只能返还订购价的一半给商店。假若没有更多的信息，该商店经理只能相信售出量为100件的概率是0.5，售出量为50件的概率也是0.5。下表给出了两种情况下商店的利润情况。
表4 服装销售利润情况
销售50件
销售100件
预期利润
订购50件
5000元
5000元
5000元
订购100件
1500元
12000元
6750元
在信息不完全的情况下，如果该商店经理是一个风险中立者(或喜好风险爱好者)，那么他(她)会选择订购100件。如果他(她)是风险厌恶者，就可能会选择订购50件，以确保5000元的利润。
在完全信息的情况下，不论销售量是50件，还是100件，商店经理都能正确地做出订购件数的选择。如果销售量是50件，他(她)就订购50件，得到5000元利润；如果销售量为100件，他(她)就订购100件，获得12000元利润。由于销售50件和销售100件的概率都是0.5，因此完全信息情况下商店的预期利润为8500元。
按照不完全信息下的最高预期利润计算，订购100件时，完全信息的价值为8500-6750=1750元。因此，为了得到对销售量的准确预测，值得付出1750元的代价。即使预测并不完美，也值得对这样的能够提供更好的来年预测的市场营销研究进行投资。
第七节 风险规避度量
在分析消费者的风险规避行为时，常常要对风险规避的程度进行测量，这就需要有一种度量风险规避的尺度。通常，要比较两个消费者对待风险的厌恶程度，可从风险金的角度来考虑，愿意付出较多风险金的消费者，其对风险的厌恶程度就较强。直观上看，这种考虑等价于比较两个消费者的VNM效用函数哪一个更凹一些，VNM效用函数越凹，消费者越厌恶风险。下面我们以货币收入的VNM效用函数为代表，考察风险规避的度量问题。
一、风险规避度量
设消费者的风险选择空间是(实数集合)上的随机变量的全体(这里，自然状态的概率空间事先已确定），现有两个消费者和，消费者的预期效用函数为，消费者的预期效用函数为。对于，用表示消费者在风险行动中愿意付出的风险金，用表示消费者在风险行动中愿意付出的风险金。如果 ，就称在风险行动中消费者比消费者具有更强的局部风险规避倾向。如果在所有的非退化风险行动中消费者比消费者具有更强的风险规避倾向，则称消费者A比消费者B具有更强的全部风险规避倾向。所谓非退化风险行动，是指的取值为常数的可能性为零，即是确实带有风险的行动。
(一) 局部风险规避度量
阿罗(K.J. Arrow, 1965)和普拉特(J.W. Pratt, 1964)分别提出了测量消费者的风险规避倾向程度的阿罗─普拉特度量。
直观上看，预期效用函数越凹，消费者的风险规避倾向越强。因此，可以考虑用预期效用函数的二阶导数来对风险规避的程度加以度量。但我们知道，预期效用函数只是在仿射变换下具有唯一性，所以用二阶导数来度量风险规避程度，会因表示同一偏好的效用函数的不同而发生变化。为此，需要对这种度量进行标准化，用一阶导数去除二阶导数。这样，便得到了一个合理的度量，即阿罗─普拉特度量：
这里表示消费者的收入(等同于处处取值为的随机变量)。准确地说，叫做收入为时的局部绝对风险规避度量。
处的接受集
接受集的边界
斜率
图5-5 风险厌恶者的接受集及其边界
下面以赌博为例，对这一度量的合理性作一点解释。设消费者初始拥有元的财富，为该消费者的预期效用函数。用表示这样的赌博：获得收入的概率为，获得收入的概率为(一般来讲，和中有一个为负数，表示赌博有输有赢）。消费者否接受这个赌博，取决于如下不等式是否成立：
使这个不等式成立的赌博的全体，称为消费者在处的接受集,记作(如图3-5所示)，即
假定对一切成立。于是，。
对于风险厌恶者来说，接受集是凸集。事实上，对于任何及任何，令，我们有：
这说明。从而是凸集。
接受集的边界（即与无差异的赌博的全体）是集合：
它可通过方程式所隐含的函数关系式来表达。应用隐函数求导法，在该方程两边对(在处)求导得到：
由此可知，接受集的边界在点处的切线斜率为
接受集
不接受集 切线
图5-6 风险爱好者的接受集及其边界
斜率说明了什么？为了回答这个问题，注意，接受集的边界在点处的切线方程为：，即。因此，接受集的边界在点处的切线上的任何点所代表的赌博是公平赌博(参加赌博的预期总收入等于不赌的确定性收入)。风险厌恶者在公平赌博面前，认为不赌比赌好，因此他的接受集必是切线右上方的某个凸集(不包括切线在内，但代表不赌博的点出外)。风险中立者的接受集是切线右上方整个区域（包括切线在内）。风险爱好者的接受集必然要超出切线的右上方部位，延伸到切线的左下方。实际上，风险爱好者的不接受集是位于切线左下方部位的某个凸集(如图5-6所示)。
了解了切线的意义后，可见接受集的边界在处的切线的斜率说明了消费者接受较小赌博(即附近的赌博)的可能性大小。也就是说，接受集向我们说明了消费者恰好愿意接受一个较小赌博的可能性大小。
计算接受集的边界在(0,0)处的曲率(即二阶导数)，办法是对上面决定的方程两边对求二阶导数，可得
再把和代入，即可得到：
或者写成：。由于只与处的接受集有关，而和反映的是消费者恰好愿意接受较小赌博的可能性大小，因此阿罗─普拉特度量是一个不随(表示同一偏好的)效用函数的变化而变化的绝对量，即只与偏好关系有关，而与表示片好的效用函数具体形式无关。另外，越大，接受集的边界在(0,0)处的弯曲程度(即曲率)越大，这说明预期效用函数在附近越凹，因而消费者对待风险的厌恶倾向越强。
(二) 全部风险规避度量
很多情况下，我们都需要对全部风险规避进行度量，即需要说明一个消费者是否比另一个消费者对所有风险活动都具有不弱或更强的风险规避倾向。一般来说，有三种方式可以表达这一概念。
第一种方式是利用阿罗─普拉特度量函数对全部风险规避进行度量。
消费者的VNM效用函数为，消费者的VNM效用函数为。对于，用表示消费者的阿罗─普拉特风险规避度量函，用表示消费者的阿罗─普拉特风险规避度量函数。如果对任何，都有，就称消费者比消费者具有更强(不弱)的全部风险规避倾向。
第二种方式是比较两个消费者的VNM效用函数凹的程度。
消费者的效用函数越凹，他的全部风险规避倾向越强。即，如果存在递增的(严格)凹函数，使得对所有的，都有，那么就称消费者比消费者具有不弱(更强)的全部风险规避倾向。
第三种方式是比较两个消费者对所有风险行动愿意付出的风险金大小。
对于同样的风险行动，愿意付出较多风险金的消费者，其全部风险规避倾向较强。即，如果对所有(非退化)的，都有，就说消费者比消费者具有更强(不弱)的全部风险规避倾向。
下面的普拉特定理指出，表达全部风险规避度量的这三种方式相互等价。
普拉特定理(严格形式)．设和为两个递增、二阶可微、凹的财富收入VNM效用函数，为风险选择空间（即某概率空间上随机变量的全体）。则下面三个条件相互等价：
(1) 对任何，都有；
(2) 存在递增的严格凹函数，使得对任何，都有；
(3) 对一切，(即非退化)，都有。
普拉特定理(非严格形式)．设和为两个递增、二阶可微、凹的财富收入VNM效用函数，为风险选择空间（即某概率空间上随机变量的全体）。则下面三个条件相互等价：
(1) 对任何，都有；
(2) 存在递增的凹函数，使得对任何，都有；
(3) 对一切，都有。
要证明普拉特定理，需要下面的詹森(Jenson)不等式。
詹森不等式．设是一个实值凹函数，为任一随机变量，则。进而如果是严格凹的，则。
非严格形式的普拉特定理证明起来要简单一些，因此我们选择非严格式的普拉特定理进行证明。至于严格形式的普拉特定理，其证明思路是类似的。
非严格式普拉特定理的证明
．记，定义函数如下：对任何 ()，。从和的递增性和可微性可知，函数的定义没有问题，而且是递增的、二阶可微的、且对于任何，都有。在此式两边对求导数可得：
注意，且，因此对一切成立。以第一个方程除第二个方程可得：
移项整理，并注意(1)成立，即，则可得到：
从而对任何，都有，这说明是凹函数。(2)得证。
．设任意给出，记，则
从的递增性可知，。(3)得证。
．设任意给定。选定一随机变量使且(这样的一定存在）。对任何实数，定义随机变量为：，则且。记。显然。我们有：
(5.7.1)
(5.7.2)
在(5.7.1)式两边对求导数可得：
(5.7.3)
(5.7.4)
把和代入(5.7.3)式，可得，所以。再把、和代入(5.7.4)式，可得
同理可得：，。
现在，应用泰劳(Taylor)公式把和在附近展开，则有：
这告诉我们，。从条件(3)可知，对任何，。因此，。(1)得证。
二、相对风险规避
在研究中我们还会常常碰到这样的问题：风险收入是现有财富的某一倍数，比如投资回报一般是相对于投资水平而言的，是投资水平的某一倍数。这种问题叫做相对风险问题。
以赌博为例，设有一个赌博，参赌者以概率获得他现有收入的倍，以概率获得他现有收入的倍。如果参赌者以预期效用函数对赌博进行评价，那么该赌博的预期效用为。显然，这种相对赌博与以前分析的赌博具有不同的结构。
对于相对风险问题，我们同样需要有一种测量消费者对相对风险的厌恶程度的尺度。幸运的是，经过与前面的绝对风险规避度量同样的分析，我们可以找到合适的度量──阿罗─普拉特相对风险规避度量：
接着，我们应该提出这样的问题：绝对与相对风险规避度量如何随财富收入的变化而变化？下面的回答似乎是合理的：
(1) 绝对风险规避倾向随财富收入的增加而递减。即，当消费者变得更加富有时，他将愿意接受以绝对收入表示的更多的赌博(风险规避倾向变弱)。
(2) 相对风险规避倾向随财富收入的变化而变化的趋势不确定。当消费者更加富有时，他是否愿意去冒损失一定比例的收入的风险，是不能作出肯定的答复的。恐怕假定相对风险规避倾向不随财富收入的变化而变化，是一个并不太坏的假设。至少可以说，对于财富的一个较小比例的变化来说，不变相对风险假设是合乎实际的。
例1. 均值─方差效用
通常，风险行为的预期效用取决于风险结果的全部概率分布。但在某些特殊场合下，预期效用仅取决于某些分布的加和统计，最常见的例子是均值─方差效用函数。
例如，当货币收入的效用函数为二次函数时，风险行为的预期效用为,其中为的均值(即数学期望)，为的方差。可见，预期效用只是均值和方差的函数(注意，货币收入的二次效用函数具有一些不合意的表现：它在某些范围内是收入的递减函数，而且表现出递增的绝对风险规避倾向，因而通常不采用这种函数）。
又如，当服从正态分布时，均值与方差完全刻画了的特征，因此当消费者的风险选择只是一些正态随机变量时，预期效用就完全取决于均值与方差，成为均值与方差的函数。
更令人感兴趣的是，当货币收入效用函数具有形式时，消费者就具有不变的绝对风险规避倾向。进而当风险行为服从正态分布时，
其中为正态密度函数。注意，预期效用对于是递增的，这意味着在某个单调变换下，预期效用函数可变换成为效用函数，它们表示了同一偏好关系。利用对风险行为作评价要方便得多，而且只是均值和方差的函数。
第八节 资产需求理论
大多数人都是风险厌恶者，他们宁愿稳定的较低月收入，也不愿那种虽然平均收入很高，但月收入却忽高忽低的不稳定收入。另一方面，还是这些人，他们把自己储蓄的一部分或者全部投资于股票或其他风险资产上。他们为什么要这样做？为什么要冒损失部分或全部投资的风险呢？人们在投资决策和设计未来时，究竟要承担多大的风险呢？本节就来应用前面所讲的理论，讨论和研究这些问题。
一、资产的有关概念
资产是当代经济学研究的主要对象之一。这里，我们首先对有关资产的几个概念加以界定，它们包括资产、风险资产、安全资产、资产收益率、实际收益率、预期收益率。
(一) 资产概念
资产(asset)是能够向其所有者提供资金流动的特殊商品。比如公寓是资产，租赁后能够向公寓楼的所有者提供租金流动。银行储蓄帐户也是资产，它要向存款户按月支付利息，从而引起资金流动。一般来说，利息支付会再次投资于银行储蓄帐户。
拥有资产而引起的资金流动可以是显性的，例如公寓的租金收入支付、普通股的股息等都属于显性资金流动。但有些时候也可以是隐性的，表现为资产价格(或价值)的上升或下降。当资产价格(价值)上升时，上升后的价格(价值)与上升前的价格(价值)之差，称为资本收益(capital gain)。当资产价格(价值)下降时，下降前的价格(价值)与下降后的价格(价值)之差，称为资本损失(capital loss)。
例如，随着城市人口的增加，城市公寓的价格在上升，公寓所有人便得到了超出租金范围的资本收益。但是，资本收益在资产出售之前是没有实现的。资产不出售，就没有资本收益的支付。因此，在资产出售之前隐藏着一种资金流动，即资本收益(损失)是隐性的资金流动。拥有股票所引起的资金流动部分上也是隐性的，这是因为股票价格在不断变化，每一次变化都会给股民带来收益或损失。
1. 风险资产
风险资产(risky asset)是提供具有一定程度随机性的资金流动的资产。也就是说，风险资产引起的资金流动是不能事先肯定的。股票是典型的风险资产的例子，人们不能确定股票价格会涨跌多少，也不能确定上市公司是否会继续按照同样的股息向股东支付红利。尽管一谈论起风险，人们就会想到股票市场，但是风险资产绝不仅仅是股票。房产就是另一种风险资产的例子，人们不能确定地皮价格到底会涨落多少，不能确定房屋是否能够全部租赁出去，不能确定租户能否当即向房东交付房租。公司债券是又一种风险资产，债务人有可能破产，一旦破产，债务人就无法向债权人还本付息。甚至10年期或20年期的长期国债也是有风险的，这种风险不是源于政府有可能倒台破产，而是因为存在着未来不可预料的通货膨胀。如果在长期国债的到期年发生高通货膨胀，那么偿还的本息就不值了，导致国债贬值。
2. 安全资产
安全资产(riskless or risk-free asset)是引起确定性资金流动的资产。可以认为，短期国库券(Treasury Bill)是安全资产或者是几乎无风险的资产。这些债券的期限很短，只有个把月的时间，因而几乎不受通货膨胀因素的影响，人们完全可以信赖政府不会在这类债务问题上发生违约。银行存折和短期存款单，也都属于安全资产之列。
(二) 资产收益
资产既具有本身的价格(价值)，又引起一定的资金流动。资产收益(return on an asset)就是衡量一项资产引起的资金流量相对于资产本身价格(价值)大小的一种概念，通常以“率”来表达。
1. 资产收益率
资产收益率(rate of return on an asset)是资产引起的资金流量(息金)同资产本身价格(本金)之比。比如有一种面值1000元的债券，购买者每年可得到100元的利息支付，于是该债券的价格为1000元，资金流量为100元，资产收益率为10％。又如有一幢公寓楼资产，去年价格为100万元，今年涨至110万元，还另加有5万元的租金收入，于是这幢公寓楼引起的资金流动为15万元，本金100万元，资产收益率15％。又如某人年初花了80元购买了某种股票一股，结果到年底时该股票价格跌至72元(即资本损失8元，资本损失率10％，当年他得到了4元股息，于是持有该股票而引起的资金流动为-4元，本金80元，资产收益率为-5％。
人们之所以要购买和持有资产，是因为资产具有收益率，即资产能引起资金流动。通过资产之间的收益率比较，可帮助人们对资产进行选择。
2. 实际收益率
上述的资产收益率，没有考虑通货膨胀因素的影响，因而是一种名义收益率(nominal rate of return)概念。当一个人把他的积蓄投资于股票、债券、房地产或其他资产时，他总是希望能够得到高出通货膨胀率的资产收益率，这样才能使他以延迟消费的方式在将来得到更多的消费。实际收益率(real rate of return)就是扣除了通货膨胀因素以后的收益率概念，具体是指资产收益率(名义收益率)与通货膨胀率之差。例如，当每年的通货膨胀率为$5％$时，上面所说的债券、公寓楼、股票的实际收益率分别是5％、10％、-10％。
3. 预期收益率
大多数资产都是风险资产，投资者无法事先知道来年的资产收益具体是多少。例如，公寓楼的价格也可能下跌，股票价格可能回升，但具体涨落情况如何，不得事先而知，这就导致了资产收益的不确定。另外，来年通货膨胀率也是不能确定的，因而导致实际收益率的不确定。然而，理性投资者能够根据自己掌握的信息、知识等来作出判断，给出一个预期收益率(expected rate of return)。通过比较预期收益率，投资者可对风险资产进行选择。
这就是说，风险资产的收益率受随机因素的影响，是一个随机变量。如果表示一种风险资产，为该资产的收益率的话，那么就受到许多随机因素的影响，是(自然状态空间)上的一个随机变量。设的分布函数为(或分布密度函数为)，则风险资产的预期收益率为：
风险资产在某一年度的真实收益率(actual rate of return)可能会比预期收益率高出许多，也可能比预期收益率低得不少。但是经过相当长的时期后，收益率的平均值就接近于预期收益率。
安全资产也可看成是风险资产，只不过是退化的风险资产而已。安全资产的收益率不受随机因素的影响，因而是常数。如果表示某项安全资产的收益率，那么可看成是一个退化的随机变量：对于任何自然状态，。该安全资产的预期收益率也就是它的收益率：。
不同的资产具有不同的预期收益率。下表给出了美国1926—1991年间普通股票、长期公司债券和短期国库券的收益与风险情况。
表1 美国(1926--1991)：投资风险与收益
实际收益率(％)
风险(标准差)(％)
普通股
8.8
21.2
长期公司债券
2.4
8.5
短期国库券
0.5
3.4
从本表可以看出，普通股的实际收益率接近9％，而短期国库券的实际收益率连1％都不到。然而还是有许多人购买了预期收益率很低的短期国库券，而没有投资于预期收益率很高的普通股票。为什么呢？答案是：人们对资产的需求不只依赖于预期收益率，而且同资产的风险程度有关。普通股票的风险(标准差)高达$21.2％$，而短期国库券的风险只有$3.4％$．本表反映出资产预期收益越高，风险也就越大。显然，在资产投资上，人们需要对资产的收益与风险作出权衡，这正是下面要研究的问题。
二、资产组合选择
当消费者面对一种风险资产时，他究竟要把自己储蓄的多大比例拿出来用于风险资产投资呢？现在我们集中研究这个问题。为此，我们假定只有两种资产：风险资产和安全资产，消费者把他的储蓄不是用于风险资产投资，就是用于安全资产投资，或者选择风险资产与安全资产的一种组合进行投资。用表示消费者投资于风险资产的资金数量占他的储蓄的比例，则消费者投资于安全资产的资金占储蓄的比例为。我们的问题是，消费者如何决定这个比例？
(一) 收益与风险的权衡
代表风险资产的资产收益率(这是一个随机变量)，代表风险资产的资产收益率(这是一个常数)。用表示的预期收益率，即，表示的方差。用表示的预期收益率，即。风险资产的预期收益率一定要大于安全资产的收益率，否则对于风险厌恶者来说，就不会有人去投资于风险资产，而要把储蓄全部投资于安全资产。
用表示以比例把储蓄投资于风险资产，以比例把储蓄投资于安全资产的资产组合投资的收益率，表示这个资产组合的预期收益率，即。用表示的方差。我们有：
从而，。注意，是希望确定的量，因而要把作为变量看待。这样，都是要确定的量，要视为变量；为事先已知的数，可视为常数。和所服从的如下关系式：
称为资产组合选择中的预算约束或者预算线方程，它表达了资产组合选择的收益与风险之间的关系，并且告诉我们，资产组合选择的预期收益率随着风险(方差)的增大而增大(如图5-7所示)。鉴于此，我们把预算线方程的斜率称为风险价格，它说明投资者为了得到更高的预期资产收益，要遇到多么大的风险。
(二) 均值─方差效用
预算线
图5-7 均值方差效用：收益与风险的抉择
如果投资者不愿意承受任何风险，就可把他的全部资金都投资于安全资产，获得固定的资产收益率；如果想获得较高的资产收益，就不得不承受一定的风险。比如可以把全部资金都投资于风险资产(即)，获得预期收益率，但同时承受这么大的风险。也可以把一部分资金投资于安全资产，另一部分资金投资于风险资产，获得一个介于和之间的预期收益率，但同时承受着一个大于零而小于的风险。
图5-7显示的风险─收益平面上的每一个点都代表一种资产组合，但只有预算线上的点才是有效的资产组合。风险—收益平面上哪一个点代表了最优资产组合呢？事实上，投资者在选择资产组合时，有一个主观上的评价，这个主观评价可以用效用函数来表达，而且在许多场合下(比如上一节例1所述)这个效用函数就是风险行动的均值与方差的函数。也就是说，对于风险─收益平面上的每个点，都有一个实数（即效用量）与之对应。这个效用函数叫做资产组合的均值─方差效用函数，它具有这样的性质：风险(方差)越小，效用越大；预期收入(均值)越大，效用越大。
图5-7中，无差异曲线代表的效用水平比高，比高。在预算线的上方，与预算线不相交，因此上各点代表的资产组合都是不可行的，因而投资者不得选择上的点。虽然与预算线相交，但交点处的效用没有达到最大，还可得到进一步的改进，因而不是最优投资组合，也不能成为投资者的最终选择。与预算线相切，切点代表的资产组合，既是有效的投资方案，又是所有有效投资方案中效用最大者，因而可作为投资者的最终选择。
以上分析表明，只有无差异曲线的切点代表的资产组合，才是投资者的最优投资方案，是投资者的最终选择，此时的风险与收益分别是和。确定的方程是：
其中对一切成立。一旦得以确定，资产组合中风险资产所占的比例就随之确定了：。
(三) 系数的意义
我们对方程中系数的意义作一点解释。
1. 系数与风险规避
从上面决定的公式知道，是资产组合的风险(标准差)与特定的风险资产的风险(标准差)之比。不同人对待风险的态度不同，他们在风险与收益的选择上也就表现不同。对风险越是厌恶的人，他选择的资产组合也就越靠近(即越靠近安全资产)。如图5-8所示，投资者比投资者具有更强的风险规避倾向，的最优选择点就位于的最优选择点的左边，即且。这说明对风险越是厌恶的人，他的系数也就越小(即)。
图5-8 不同投资者的选择比较
2. 系数的理论回归
系数还可以作为是组合投资的收益率对风险资产的收益率在理论上的回归系数来认识。事实上，从公式出发，计算一下组合投资收益率与风险资产收益率的协方差，可得：
即，这说明是关于的线性回归系数，衡量着特定的风险资产如何对组合投资的风险产生影响(随机变量关于随机变量的线性回归，是指用线性关系式来近似表达与之间的关系，其中、,系数叫做关于的线性回归系数)。
三、资产需求
现在考虑存在多种风险资产的情形。假定投资者准备用元在资产市场上进行投资，为投资者的货币收入效用函数。假定市场有一种安全资产和种风险资产。之所以这样假定，是因为所有无风险资产的收益率都一样。如果说市场上有两种收益率不同的无风险资产，那么还会有谁愿意购买收益率较低的那个无风险资产呢？因此，收益率高的无风险资产将会把收益率低的无风险资产赶出市场。
(一) 风险资产需求
给安全资产编号0，风险资产编号分别为。安全资产(比如银行存款)的收益率是常数，不受随机因素的影响，通常称为利率(interest rate)，记作。风险资产的收益率受随机因素的影响，是随机变量。用表示资产的收益率(随机变量)，表示的预期收益率，即。则。我们来分析投资者是如何在这种资产之间进行选择的。
1. 预期效用最大化
用表示投资者投资于资产的资金额，则。他在安全资产上的投资额为，在风险资产上的投资总额为，组合投资的总收入为。这个是一个与有关的随机变量，因而可记作。
投资者的目标是，选择合适的风险资产组合使得预期效用最大化。注意，资产组合的变化范围是集合：
设是使达到最大值的风险资产组合点，是相应的组合投资总收入，即。这个就是投资者在现有财富和利率以及风险资产收益率下要购买的风险资产组合，称为投资者的风险资产需求，记作，即。显然，利率对风险资产需求有着举足轻重的影响。
2. 决定资产需求的边际条件
设，即是使达到最大值的风险资产组合点。组合投资的总收入是。下面分三种情况讨论。
情形1：，即且
此时，投资者在各种资产(包括无风险资产)上都有投资。根据极大值一阶条件可知：
此方程称为资产组合的边际方程。这说明，各种风险资产的收益率都有高于无风险资产的利率的可能。特别是，如果与风险资产收益率不相关，那么就必有，即风险资产的预期收益率等于无风险资产的利率。
情形2：但
此时，，投资者在各种风险资产上都有投资，但在无风险资产上没有投资。注意，此时每种风险资产的数量都有调小的余地（但不敢说调大），故
这说明风险资产的收益率高于安全资产利率的可能性更大。尤其是当与风险资产收益率不相关时，风险资产的预期收益率至少不低于无风险资产的利率。
情形3：但
此时，投资者在无风险资产上必有投资，而且在某些风险资产上没有投资。由于各种风险资产的数量都有向大调整的余地（但不敢说调小），故
这说明风险资产的收益率低于安全资产利率的可能性更大。尤其是当与风险资产收益率不相关时，风险资产的预期收益率不会超过无风险资产的利率。
一种特殊情况是投资者把他的资金全部投资于无风险资产，即。这种情况下，，因此。这说明，如果各种风险资产的预期收益率都不会高于安全资产利率，那么投资者九部会在任何风险资产上进行投资。
情形4：，且不成立(即对某个，有)
此时，投资者在无风险资产上没有投资，而且在某些风险资产上也没有投资。只要在风险资产上有投资，即，那么就有
即风险资产的预期收益率至少不低于无风险资产利率的可能性更大。尤其是当与风险资产收益率不相关时，风险资产的预期收益率就至少不低于无风险资产的利率。
3. 投资多样化
一般情况下，按照预期效用最大化确定的资产组合落在集合的内部，或者在多种资产上都有投资，而不仅仅投资于某一、两种资产。这表明投资者没有把他的资金全部集中在一种或少数几种资产之上，即没有“压宝”，而是进行多样化处理，把资金在无风险资产和各种风险资产之间加以分散，这就是投资的多样化。投资多样化比单一化要好，这在本章第六节例2中已作了说明。
其实，以上的边际分析表明：如果投资者在各种资产上都确有投资，那么每种风险资产的收益率都可能不低于利率，这是实际情况，因此，“别把鸡蛋全都放在一只蓝子里”，要将资金在安全资产和风险资产之间加以分散；如果投资者把资金全部集中投资于安全资产，那么就没有一种风险资产的预期收益率能高于利率，这又是另外一种实际情况；要想投资者在某个风险资产上进行投资，那么该种风险资产的收益率必须有高于利率的较大可能性。资产需求理论揭示的这些事实，与经验现象是吻合的。
(二) 影响资产需求的因素
从预期效用最大化分析看到，影响资产需求的因素有：财富，利率，以及各种风险资产的收益率或预期收益率。其实，当一个人要决定是否购买并持有一种金融资产、是购买这种资产还是购买别的资产时，他必须考虑这么几个方面的因素：财富、预期收益、风险、资产的流动性。
1. 财富
一般来说，财富越多，资产的需求量也就越大。当然，我们也不能排除那种需求量随财富的增加而减少的资产，这类资产是劣质资产。比如垃圾债券，即信用评级在Baa级以下的公司发行的债券，当人们的财富大量增加时，人们就会多选择购买信用评级高的公司的债券和股票，而减少对垃圾债券的购买量。因此，垃圾债券是劣质资产。
财富对不同资产的需求的影响程度是不同的。反映资产需求对财富变动的敏感程度的经济指标是资产需求的财富弹性，即资产需求量增加幅度(百分比)与财富增加幅度(百分比)之比:
当一项资产的财富弹性小于1时，称该资产缺乏财富弹性；当大于1 时，称该资产是富有财富弹性；当等于1 时，称为财富弹性单一。
根据财富弹性大小，我们可把资产分为两类：必需资产和奢侈资产。必需资产是财富弹性小于或等于1的资产，奢侈资产是财富弹性大于1的资产。比如，通货和支票帐户存款是必需资产，人们为了应付日常交易，必须手持一定数量的通货和保持一定数量的支票帐户存款余额。而股票和债券属于奢侈资产，只有当人们收入变多的时候，才会有多余的资金用来进行股票和债券投资。
2．利率和预期收益率
资产的收益率衡量着人们持有一种资产可获得的利益大小，它与资产的价格(尤其是未来价格)有关。一个人在当期购买了一项资产后，如果该资产的未来价格将高于现期的购买价格，那么持有该资产就会有收益，而且未来价格越高，收益率越高。但是，如果未来低于现期的购买价格，那么购买并持有该项资产就是一种亏损。然而，资产的未来价格受许多随机(不确定性)因素的影响，它是高于还是低于当前价格，这在当前是不得肯定的，人们对它只有作出一种估计或者作出一个预期。如果人们预期某种资产的收益率将较高，那么现期内人们对该资产的购买量就会增加，因而其需求量会增加。可见，资产的预期收益是决定资产需求量的又一个重要因素。
反映预期收益大小的指标是预期收益率。当安全资产的利率高到有可能不低于一切风险资产的预期收益率的程度时，人们就不会去冒险追求高收益而进行风险投资，安全稳妥的办法是把资金全部用于购买安全资产，因此风险资产的需求为零；当利率比较低，使得各种风险资产的收益率都有极大的可能性不低于安全资产的利率的话，人们便会在各种风险资产上都进行投资，从而风险投资数量变大；对于一种风险资产来说，要想人们购买该资产，该风险资产的收益率就要极可能高于安全资产利率。因此，风险资产的预期收益率越大，需求量也就会越大。安全资产的利率越高，人们对风险资产的需求也就越低，当然对安全资产的需求也就越大。
3．风险的大小
对于风险厌恶者来讲，在预期收益率相同的情况下，资产的风险越小越好。因此，风险越小，需求量越大。但对于风险爱好者来说，情况正好相反。但不论是风险厌恶者，还是风险爱好者，资产的风险大小影响着投资者对资产的需求量。
4．资产的流动性
在人们对资产的实际购买中，资产的流动性，即资产的变现能力大小，也是影响人们选择资产的一个重要因素。与其他非货币形式的资产相比，人们之所以更喜欢持有货币，是因为货币是流动性最高的资产。可见，流动性越强的资产，越受到人们的欢迎，其需求量也就越大。这就是所谓的流动性偏好。不过在我们的分析中，流动性因素被视为既定而不再讨论。
(三) 资产定价
我们对风险资产的需求方程作一些形式变化。该方程等价于。
注意，对于一般的随机变量来说，与的协方差为：
所以，从而。由此得到：
上式右边的第二项叫做风险回报率，它取决于收入的边际效用与资产收益率之间的协方差。因此，任何风险资产的预期收益率都是安全资产的利率加上风险回报率，这便是风险资产的定价公式。
当一种风险资产的收益率同财富收入正相关时，对于风险规避者来说，边际效用随财富收入的增加而递减，因此这种资产的收益率一定与边际效用负相关，从而必有一个高于利率的预期收益率，以对承担风险进行补偿。
相反，当一种风险资产的收益率同财富收入负相关时，对于风险规避者来说，边际效用随财富收入的减少而递增，因此这种资产的收益率一定与边际效用正相关，从而该风险资产的预期收益率必然低于安全资产的利率。直观上讲，与财富收入负相关的资产是这样的资产，它对降低风险特别有价值，因而人们为了持有该资产而宁愿牺牲预期收益。
第五章练习
在带有不确定性的环境中，人们是如何评价经济活动的？其评价的依据是什么？
试对确定性环境和不确定性环境下的效用公理体系尽心比较和评论。
研究主观概率的意义何在？请对萨维奇的主观概率公理体系进行评价。
如何看待不确定条件下的选择理论与实际之间存在的矛盾？
解释不确定等价的意义。
试论述决策分散化的好处。
为什么最优的保险购买量应当是使意外事件发生时的财富的边际效用与意外事件没有发生时财富的边际效用二者相等的保险量？
什么是信息的价值？其价值来源于何处？请举例说明。
若消费者的风险规避倾向为常数，该消费者的预期效用函数为何种形式？
解释阿罗—普拉特风险规避度量的合理性。
在权衡投资的风险与收益时，风险—收益平面上的均值—方差效用函数的实际经济含义是什么？
解释最优资产组合方程的意义。
解释风险资产定价公式的经济意义。
设和是两种资产的(随机)收益率，假定和相互独立且服从相同的分布。证明：对于风险规避者来说，他会将投资资金在这两种资产之间进行分配；对于风险爱好者来说，他会将资金全部投入在一种资产上。
某投资者打算用10万元投资于两种资产：一种是无风险资产，收益率为5％；另一种是风险资产，收益率服从正态分布。假定投资者的均值方差效用函数为(这里表示方差，表示预期收益率)。那么该投资者将会用多少资金购买风险资产？如果无风险资产的收益率上升到10％，风险资产的风险(即方差)减少一半，那么该投资者的决策会有什么变化？
