1
Chapter 4 Differential
Relations For Viscous Flow
4.1 Preliminary Remarks
* Two ways in analyzing fluid motion
(1) Seeking an estimate of gross effects over a
finite region or control volume,
Integral
(2) Seeking the point-by-point details of a flow
pattern by analyzing an infinitesimal region of
the flow,
Differential
2
Turbulent Flow VS,Laminar Flow
* Two forms of flow
Turbulent（ 湍，紊 ） flow,laminar（ 层 ） flow
* Viscous flow
Viscosity is inherent nature of real fluid.
Strain(剪切 ) is very strong in internal flow.
Transition
Re UL?
?
?
Reynolds
number Osbrone Reynolds
Reynolds tank
惯性力 /粘性力
3
4.2 The Acceleration Field of a Fluid
(,) (,,,) (,,,) (,,,)V r t iu x y z t jv x y z t k w x y z t? ? ? vv vvv
d V d u d v d wa i j k
d t d t d t d t? ? ? ?
v vvvv
d u u u x u y u z
d t t x t y t z t
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
u u u uu v w
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
Local acceleration
unsteady 0
t
? ?
?
Convective acceleration
nonuniform 0
ix
? ?
?
Nonlinear terms
4
VVtVa ??
??
)( ??????
????????? )( VtDtD ?
In the like manner
Any property Φ
,...T?
()D VD t t?? ? ??? r
Substantial (Material) derivative
随体（物质、全）导数
5
Example
Given,
Find the acceleration of a particle.
23V t i x z j ty k? ? ? vv vv
23,,u t v x z w ty? ? ?
d u u u u uu v w
d t t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
3?
dv v v v vu v w
dt t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
23 tz ty x??
d w w w w wu v w
d t t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
2 2y t y x z??
6
X inlet (mass flow)
udydz?
X outlet
()[] uu d x d y d z
x
?? ??
? dx
y
z
x
dz
dy
Infinitesimal fixed CV
udydz?
()[]uu d x d y d z
x
?? ??
? u m a s s f l u x p e r u n i t a r e a? ?
X flow out
()u d x d y d z
x
??
?
4.3 Differential Equation of Mass Conservation
In the like manner ()v
dxdy dzy?? ? ()w d x d y d z
z
??
?
Flow out off the CV ()V dx dy dz??? v
7
( ) ( ) ( )u v wd x d y d z d x d y d z d x d y d z d x d y d z
x y z t
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( ) ( ) 0u v w
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) 0Vt? ?? ? ? ? ?? v
0u v w Vt x y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? v0???? Vdt
d ???
Loss of mass in the CV
d x d y d zt??? ?
( ) ( ) ( ) 0u v wd x d y d z d x d y d z d x d y d z d x d y d z
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
8
For steady flow ( ) 0V?? ? ?v
For incompressible flow 0??? V?
Example 1
Under what conditions does the velocity field
1 1 1 2 2 2
3 3 3
( ) ( )
()
V a x b y c z i a x b y c z j
a x b y c z k
? ? ? ? ? ?
? ? ?
v vv
v
represents an incompressible flow which conserves
mass? ( where ),,
iiia b c c onst?
9
Solution
0u v wx y z? ? ?? ? ?? ? ?
1 1 1u a x b y c z? ? ? 2 2 2v a x b y c z? ? ? 3 3 3w a x b y c z? ? ?
1 2 3 0a b c? ? ?
Continuity for
incompressible
flow
Example 2
An incompressible velocity field:
u=a(x2-y2),w=b,a,b are const,what v=?
Solution
0u v wx y z? ? ?? ? ?? ? ? 20vax y???? 2
v ax
y
? ??
?
2 (,,)v a x y f x z t? ? ? An arbitrary function of x,z,t
10
Assignment:
P264,P4.1(a),P4.2,P4.4,P4.9(a)
11
Newton’s second law
dVdx dy dz
dt???
v
bs
dVdx dy dz F F
dt? ? ? ?
v
bF R d x d y d z??
v
()X i Y j Zk d x d y d z?? ? ? vvv
4.4 Differential Equation of Linear Momentum
dx dz
dy
Elemental volume
F ma?
What are the surface forces Fs
on the elemental volume?
12
Surface force on an elemental volume:
f o r t h e t w o s u r f a c e s x?
xP dydz
v
()xx PP d x d y d zx?? ?
vv dx
dz
dy
xP
v
x
x
PP d x
x
??
?
vv
Vector Sum
xP d x d y d z
x
?
?
v
xP
v Surface stress
,f o r t h e t w o s u r f a c e s y z?yP d x d y d z
y
?
?
v
zP d x d y d z
z
?
?
v
Net Surface Force:
() yx zs PP PF d x d y d zx y z?? ?? ? ?? ? ?
vv v
13
() yx zPP PdV d x d y d z R d x d y d z d x d y d zd t x y z?? ?? ?? ? ? ?? ? ?
vv vv v
1 []i
i
PdV R
d t x?
???
?
vv v Momentum equation
x x x x y x zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
y y x y y y zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
z z x z y z zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
In the like manner
xx?
xy?
xz?
xP
v
It is not these stresses but their gradient,
which cause a net force on the differential
volume.
14
[ ( ) ( )y x x y y y zyx x zxsF i jx y z x y z? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?vv
( ) ]yzxz zz k dx dy dzx y z?? ??? ?? ? ?? ? ? v
ij ji???Q ij?
x x x y x z
y x y y y z
zx zy zz
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
ij?????
6?
Tensor 张量
1 () yxx x zxdu X
dt x y z
???
?
???? ? ? ?
? ? ?.,,,,,
d v d w
d t d t??
15
Constitutive
Relation 本构~ iij
j
u
x
?
???
?? ????
?????
w
du
dy???
Newton’s Law (广义牛顿内摩擦定律 )
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
1 ()
2
ji
ij
ji
uu
S
xx
??
??
??
ij? ?
1
0 ij?
ij?
1 () jii
i
j
du X
d t x
?
?
???
?
Momentum equation(角 标表示法 )
xy
u
y??
??
?
16
22 ( )
3xx
u VP
x? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
22 ( )
3yy
v VP
y? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
22 ( )
3zz
w VP
z? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
()xy vuyx?? ??????
()xz wuzx?? ??????
()yz vwyz?? ??????
Substitute Newton’s Constitutive Relation into ME
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
Newton fluid,linear fluid (牛顿流体，线性流体 ）
17
211 ()
3
d u PX u V
d t x x???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
d v PY v V
d t y y???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
d w PZ w V
d t z z???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
dV R P V V
dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
2 2 2
2
2 2 2x y z
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
N-S Equation
18
For incompressible flow
1 ( ) 0
3 V?? ? ? ?
v
For inviscid flow
2 1[ ( ) ] 0
3VV? ? ? ? ? ? ?
vv
For 2-D,steady,incompressible flow
22
22
1 ()uu P u uu v X
x y x x y??
?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
22
22
1 ()vv P v vu v Y
x y y x y??
?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0vuxy?? ????
19
F m a? 1 () jii
i
j
du X
d t x
?
?
?
??
?
[ ( ) ( ) ( ) ]iyi x i zs
i i i
F i j k d x d y d zx x x??? ???? ? ?? ? ?
vvv
211 ()
3
dV R P V V
dt
??
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
20
4.5 The Differential Equation of Energy
Infinitesimal fluid element
dx
dz
dyThe first thermodynamic law
.,d E d e
Q W d x d y d zd t d t ?? ? ?
2
2
Veu???
2 2 2
2
u v wu? ????
21
,Qdt?
(1) Thermal conductivity (2) others
,( )xxx qq d y d z q d x d y d zx?? ?
X,Heat flow
xq d x d y d z
x
?
?
yq dx dy dz
y
?
?
zq d x d y d z
z
?
?
dx
dy
dz
xq x
x
qq d x
x
??
?
.
() yx zqq qQ dx dy dz q dx dy dzdt x y z? ??? ?? ? ? ? ?? ? ?
According Fourier’s Law,T
q ? ???? ?
22
,Qdt?,[ ( ) ( ) ( ) ]T T T q d x d y d z
x x y y z z? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
.
[ ( ) ]
ii
T q dx dy dz
xx??
????
??
()R V dx dy dz??vv
()X u Y v Z w d x d y d z?? ? ?
iiX V dx dy dz??
.,,
bsW F F
质量力做功和表面力做功
Body force
23
Surface force
dx
dy
dz
x x x x y x zP i j k? ? ?? ? ?
uuv vvvX:
xP V d y d z?
uv v
()x xPV dx P V dy dzx?? ???
uv v uv v
X,Net power
()x x x y x zu v w d x d y d zx ? ? ??? ? ??
()xP V d x d y d zx? ?? uv uv
()y x y y y zu v w d x d y d zy ? ? ?? ???
()z x z y z zu v w d x d y d zz ? ? ?? ???
Y,Z
24
()i i j j
ii
PV d x d y d z u d x d y d z
xx ?
?? ??
??
uv vNet power by Fs
2 2 2?
() 2d e d u d u v wd t d t d t? ? ? ????
1 () yxx x zxdu X
dt x y z
???
?
???? ? ? ?
? ? ?
2
() 1
2 () yxx x z x
u
ddu
u u X u u u
d t d t x y z
???
?
???
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1 () jx
j
u X u
x
?
?
???
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left
qxTxuxuXdtde
ii
jij
i
ii ?????? ??
?
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??
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??? )()(
25
2 2 2 1
( ) ( )22 iid u v w d uud t d t???? ? () jii i i
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u X u
x
?? ???
?
de
dt? ?
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( ) ( )i i ij j
i i i
TX u u q
x x x? ? ? ?
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? 1()
2 ii
d u d uu
d t d t???
.
()jij
i i i
u T q
x x x? ? ?
? ??? ? ?
? ? ?
?du
dt?
单位
体积
内能
变化
率
热传导
等传热
变型时
表面应
力做功
? () ji
i i i
j
du u X u
d t x
??? ?? ? ?
?
26
k
k
uP
x
?? ? ? ?
?
?du
dt?
.
()i
i i i
u TPq
x x x??
? ??? ? ? ? ? ?
? ? ?
? 1D s D u DTP
D t D t D t ?
????
????
变型时
表面应
力做功
压力做
膨胀功
粘性耗散 Φ>0
1()i
i
u P d dPP
x dt dt
? ?
??
?? ? ? ?
?
由连续方程：
根据热力学公式，熵 s、焓 h和压强 p、密度 ρ 的关系为：
?D h D u D P
D t D t D t ?
????
????
? 11D u D D PP
D t D t D t??
??? ? ?
????
j
ij
i
u
x?
?
?
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
27
.
()
ii
D s TTq
D t x x? ? ?
??? ? ? ?
??
.()
ii
D h D P T q
D t D t x x? ? ?
??? ? ? ? ?
??
.
()
ii
D T TC v P V q
D t x x? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
v
已知 D? = CvDT,Dh = CpDT
.
()
ii
D T D P TC p q
D t D t x x? ? ?
??? ? ? ? ?
??
28
Summary of the Equations
0)( ??????
i
i
x
u
t
??
211 ()
3
dV R P V V
dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
( ) ( ) ( ) 0u v w
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
qxTxuxuXdtde
ii
jij
i
ii ?????? ??
?
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??? )()(
29
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y
w
yz
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x
w
xz
w
y
v
x
u
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p
Z
z
w
w
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t
w
x
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y
w
zz
w
y
v
x
u
y
y
v
yy
p
Y
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
u
x
w
zx
v
y
u
yz
w
y
v
x
u
x
x
u
xx
p
X
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
???
??????
???
??????
???
??????
3
2
2
3
2
2
3
2
2
30
? ?
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
ZwYvXu
wvu
u
Dt
D
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
??
???
???
???
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??
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????
?
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?
?
?
? ??
?
)()()(
)()()(
)()()(
2
?
222
31
equation unknown variables
continuity 1 ?,u,v,w
momentum 3 p,? u,v,w
energy 1 p,? u,v,w,T
perfect gas 1 p,?,T
To Solve A Flow…
32
4.6 Initial (初始 )and Boundary（ 边界 ） Conditions
for the Basic Equations
Initial Conditions：
t = t0, 00
(,,,) (,,)V x y z t V x y z?vv
00(,,,) (,,)p x y z t p x y z?
00(,,,) (,,)x y z t x y z?? ?
00(,,,) (,,)T x y z t T x y z? ?
Boundary Conditions：
flu id w a llVV?
vv (No slip) Velocity
0flu id w a llVV??vv WallIf the wall is stationary
flu id w a llTT?
Temperature
33
Due to the highly complex of the N-S equations,only a
few particular solutions were found up to now,For most
problems,the equations must be solved numerically,
which is a brand new course called CFD (Computational
Fluid Dynamics)
Flow pass a cylinder
An experiment result
A computation result
Solving the N-S equations numerically
34
x
y
oh
h
U
Flow between two parallel walls,
Steady,incompressible,neglect
body force,2-D
0????????? zwyvxu 0???xu )( yuu ?
0,0,0 ??? wvu
Continuity:
Momentum:
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
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2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
v
x
v
y
p
Y
y
v
v
x
v
u
y
u
x
u
x
p
X
y
u
v
x
u
u
?
?
?
?
?
?
4.7 Exact solutions of N-S Equations
35
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
2
2
y
p
y
u
dx
dp
?
2
2
y
u
dx
dp
?
?? ? = constant Integrate relative to y
21
2
2
1 CyCy
dx
dpu ???
?
Boundary condition,hyu ???,0
hyUu ??,
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
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0
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1
00
2
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y
p
y
u
x
p
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?
?
x
y
oh
h
U
36
?
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?
?
?
?
?
?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
Apply the boundary condition
x
y
o
h
-h
u(y)
U
x
y
o
h
-h
0dpdx ?When U=0
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
22
12 hydxdphu ?
Poiseuille
flow
When 0?
dx
dp
?????? ?? hyUu 12
Simple Couette
flow
21
2
2
1 CyCy
dx
dpu ???
?
hyu ???,0
hyUu ??,
37
When 0?
dx
dp
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
When 0?
dx
dp
22 h
U
dx
dp ??
|0yhdudy ?? ?Consider a special case
2 2hUdxdp ??
General case:
y
xo
U
x
y
o
U
xo
y U
38
221[ ( ) ( 1 ) ]
22
h
h
d p U yQ y h d y
d x h??? ? ? ??
2
3211 ( | | ) ( | | )
2 3 2 2
h h h h
h h h h
d p U yy h y y
d x h? ? ? ? ?? ? ? ? ?
32
3
dp h h U
dx?? ? ?
Q=0:
2
3
2
dp U
dx h
??
y
xo
Volume flow rate Q=u*dy
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
39
The wall shear stresses
|w w a lldudy???
yh?? 1
2
d u d p Uy
d y d x h???
| 2wh d p Uhd x h?? ? ? ? ?
2wu
d p Uh
d x h
?? ??
2wl
d p Uh
d x h
?? ? ? ?
40
4.8 Dynamical Similarity & Nondimensionalization
Flow pass a cylinder
D = 5cm
D = 10cm
Measurement for Wing tip vortex
41
N-S equation,2-D,steady,no body force,incompressible
Use U,L as reference velocity and length
Dimensionless quantities
L
yy
L
xx
U
vv
U
uu ???? ',',','
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
?
?
?
x direction:
2' U
pp
??
4.8.1 Nondimensionalization of N-S Equation
42
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
'
'
'
''
'
''
y
u
x
u
ULx
p
y
uv
x
uu
?
?
2',',',',' UppLyyLxxUvvUuu ??????
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
L
yy
L
xx
U
vv
U
uu ???? ',',','
2' U
pp
??
Boundary conditions need to be normalized too …
43
For steady,incompressible,no body force flow,if two
geometrically similar flow fields has same Reynolds
number,then they have similar flow structure when
same boundary conditions are provided.
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
Why Reynolds number?
44
?
?UL?Re
)( 2
2
LU
LU
???
x
uu
?
?
???
?
???
?
?
??
?
?
2
2
2
2
y
u
x
u
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
21
y
u
x
u
x
pX
y
uv
x
uu
?
?
?
LU2
? ?2LU ??
Inertia force / viscous force
两个铁球同时落地？
45
Flow pass a cylinder
D = 5cm
D = 10cm
Flow pass a square
Re = 50
Re = 10000
The flow fields for two objects of the same shape but
different size are said to be geometrically similar.
If,in addition,the Reynolds number are the same,the two
flows are said to be dynamically similar,since the ratio
of relevant forces are the same in the two cases.
4.8.2 Dynamical Similarity
46
Low-Speed Large-Scale Compressor Facility
47
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
Fluid-fluid Boundary
Fluid-solid Boundary
Fluid-gas Boundary
48
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
The video shows the growth of a
laminar boundary layer over a
bullet-shaped object,made
visible by the periodic
introduction of lines or bubbles.
49
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
The two animations show Lagrangian
markers following the flow over a
plate for fluids with high and low
viscosities.
50
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
How the viscous boundary layer
develops close to the surface as
a result of the no-slip condition
at the wall?
51
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
? *?
1?
52
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
1,BL Thickness ? (名义厚度，厚度）
The locus of points where the velocity u
parallel to the plate reaches 99 percent of
the external velocity U.
53
54
55
The thickness of the viscous layer,?,can be
plotted as a function of time for fluids of
different viscosities.
The viscous layer grows with time and at a
given time,it is larger for the higher
viscosity fluid,
56
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
2,Displacement Thickness (排移厚度）
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
*?
Volume flux:
0
u d y Q? ??
Ideal flux:
1QU?? 10 u dy U
? ???
1 0
u dy
U
?? ? ?
*
1 0 ( 1 )
u dy
U
?? ? ?? ? ? ??
57
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
3,Momentum Thickness
(动量厚度，动量损失厚度）
**? ()?
0 u d y u
? ? ??
,
rr e a l M
0 u d yU
? ??
,
iid e a l M
58
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
3,Momentum Thickness
(动量厚度，动量损失厚度）
**? ()?
..
0 ()irM M M u U u d y
? ??? ? ? ? ??
* * 2
0 ()U u U u d y
?? ? ???? **
0
( 1 )uu dyUU???? ? ??
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
动量厚度，动量损失厚度）
59
5.2 Momentum Integral Relation for Flat-plate BL
x
x
y
hU
CV
Stream line
P
?
Free stream
U=const P=const zb??
Steady & incompressible
60
5.2 Momentum Integral Relation for Flat-plate BL
:X Outlet 2
0b u d y
? ??
Inlet 2b u h?
,22
0M b U h b u d y
???? ? ? ? ? 22
0D b U h b u d y
????? ?
Continuity
0hU udy
?? ?
0
uh dy
U
?? ?
0 ()D b u U u d y
?????
2bU???
2d D dbU
d x d x
???
61
Meantime
0( ) ( )
x
wD x b x d x?? ?Q
w
dD b
dx ???
2
w
dU
dx
????
For flat plate boundary layer
U c o n s t? 0dUdx ?
62
2
wd
d x U
??
??
''K a m a n
0
(1 )uu dyUU?? ???
2u a by c y? ? ?
0 0yu?? y u U??? 0uy? ??
2
20,,-UUa b c
??? ? ?
2
2
2u y y
U ????
0 ( )yx???
63
22
0
22( ) ( 1 )y y y y dy??
? ? ? ?? ? ? ??
y?
?令 ＝
1 22
0 ( 2 ) ( 1 2 ) dy? ? ? ? ? ?? ? ? ??
2
15??
2
15
dd
d x d x
??? 2d
d x U
??
??
2|
w y o
uU
y
???
??
???
? 15dxU
??? ?
64
0,0x ???
21 1 5
2 xU
?? ?
5,5 5,5x xU Ux??? ??
5,5
Rex x
? ? * ( ) 1, 8 3
Re
x
x x
? ? ( ) 0,7 4
Re
x
x x
? ?
*3 7, 5? ? ???
*
H ??? Shape factor
65
2
0, 7 3
12
w
f
x
C
U Re
?
?
??
Skin-friction coefficient
0
l
fwX bdx?? ?
212
f
D
XC
U b l??
Drag coefficient
66
5.3 Boundary Layer Equation
Inviscid
67
5.3 Boundary Layer Equation
Outside the boundary layer where the gradients
are small,the viscous stresses are negligible
compared to the inertial forces and we can
approximate the flow as being inviscid.
However,within the boundary layer,velocity
gradients normal to the wall are large,and thus
the viscous stresses are comparable to the
inertial terms.
68
5.3 Boundary Layer Equation
69
5.3 Boundary Layer Equation
If we approximate the magnitudes of the
streamwise velocity by U,the vertical velocity by
V,the streamwise length scale by L,and the
vertical length scale by ?,we can use these
estimates to simplify the continuity and
momentum equations.
70
5.3 Boundary Layer Equation
71
72
5.3 Boundary Layer Equation
The important feature here is the fact that the
pressure field in the boundary layer,and the
velocity at the edge of the boundary layer are
entirely determined by the inviscid solution
obtained for the outer flow.
73
5.3 Boundary Layer Equation
2-D,steady,incompressible,neglect body force
0uvxy??????
22
22
1 ()u u p u uuv
x y x x y??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
22
22
1 ()v v p v vuv
x y y x y??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1[]
Re
[]L? []L?[]L?[]L?
[1]
[1] [1]
[1]
74
For BL,
1L? ??
2
2
1 ()u u p uuv
x y x y??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
0uvxy??????
0py? ?? ()P P x?
dp
dx
External flow UU? 0V ? (Inviscid Flow)
75
Euler Equation 1d U d P
U d x d X???
2
2
u u dU uu v U
x y dx y?
? ? ?? ? ?
? ? ?
2
2 ()
uu
y y y??
? ? ??
? ? ?
1 ()u
yy??
???
??
1
y
?
?
??
?
??
u
y?
?
?
____
''u uv
y??
? ?
?
0,0y u v? ? ?,( )y u U x???
Laminar flow
Turbulent flow
76
Supplementary Reynolds Equation
We can analyze the turbulent
boundary layer by recognizing that we
can think of the velocities and
pressures as being comprises of an
average and fluctuating part.
This representation was first
suggested by Reynolds and is called
the,Reynolds decomposition”.
77
Supplementary Reynolds Equation
__ '
iiiu U u??
78
Supplementary Reynolds Equation
__ '
iiiu U u??
79
Supplementary Reynolds Equation
__ '
iiiu U u??
80
Supplementary Reynolds Equation
__ '
iiiu U u??
81
Supplementary Reynolds Equation
__ '
iiiu U u??
82
Continuity:(For incompressible flow)
0i
i
u
x
? ?
?
__ __vu? __ 0w?
___
'
0ii
ii
Uu
xx
????
??
_____
______
'
0ii
ii
Uu
xx
??
??
??
___
0i
i
U
x
?
?
?
'
0i
i
u
x
?
?
?
83
21i
ji
ji
u puu
xx
?
?
? ?? ? ? ?
??
__
' '
' 2 '() 1 ( )( ) ( )
j
ii
j j j
ji
Uu PpU u U u
xx
?
?
?? ??? ? ? ? ? ?
??
__________ _______________ ________
''
''i i i i
j j j j
j j j j
U u U u
U U u u
x x x x
?? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
'
2'1 ( ) ()
jj
i
Pp Uu
x
?
?
??? ? ? ? ?
?
84
2
2
jjxx
???
??
2
i
jj
U
xx
? ??
??
i
jj
U
xx?
???
??
1 i
jj
U
xx??
???
??
'
' 0i
j
j
u
u
x
?
?
?
_____
''11 ()ii
j i j
j i j j
UU PU u u
x x x x
??
??
?? ??? ? ? ?
? ? ? ?
Reynolds Equation
85
u
u
U(x)
U(x)
0
1
? ?
0
1
1 1
00
11
=
86
Blasius 1908
u
U ()
yy
x xU
?
? ?
??
'( ) ( )u f
U ??? ? ?
( ) ( )fd? ? ????
'' '1 ( ( ) ) 0
2 d??? ? ? ? ??
''' ''1 ( ) 0
2f f f???
0,0y ??? '0,( ) 0uf ???
,by ? ? ??? ',1u U f??
87
5,0
xx Re
? ? * 1,7 2 1
xx Re
? ? 0,6 6 4
xx Re
? ?
|wo uU
y xU?
? ? ?
??
???
?
''| (0 )
o
fU f
xU?
?
? ??
? ?
?
2
0, 6 6 4
1
2
w
f
x
C
ReU
?
?
?? 1,3 2 8
ReD L
C ?
Chapter 4 Differential
Relations For Viscous Flow
4.1 Preliminary Remarks
* Two ways in analyzing fluid motion
(1) Seeking an estimate of gross effects over a
finite region or control volume,
Integral
(2) Seeking the point-by-point details of a flow
pattern by analyzing an infinitesimal region of
the flow,
Differential
2
Turbulent Flow VS,Laminar Flow
* Two forms of flow
Turbulent（ 湍，紊 ） flow,laminar（ 层 ） flow
* Viscous flow
Viscosity is inherent nature of real fluid.
Strain(剪切 ) is very strong in internal flow.
Transition
Re UL?
?
?
Reynolds
number Osbrone Reynolds
Reynolds tank
惯性力 /粘性力
3
4.2 The Acceleration Field of a Fluid
(,) (,,,) (,,,) (,,,)V r t iu x y z t jv x y z t k w x y z t? ? ? vv vvv
d V d u d v d wa i j k
d t d t d t d t? ? ? ?
v vvvv
d u u u x u y u z
d t t x t y t z t
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
u u u uu v w
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
Local acceleration
unsteady 0
t
? ?
?
Convective acceleration
nonuniform 0
ix
? ?
?
Nonlinear terms
4
VVtVa ??
??
)( ??????
????????? )( VtDtD ?
In the like manner
Any property Φ
,...T?
()D VD t t?? ? ??? r
Substantial (Material) derivative
随体（物质、全）导数
5
Example
Given,
Find the acceleration of a particle.
23V t i x z j ty k? ? ? vv vv
23,,u t v x z w ty? ? ?
d u u u u uu v w
d t t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
3?
dv v v v vu v w
dt t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
23 tz ty x??
d w w w w wu v w
d t t x y z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
2 2y t y x z??
6
X inlet (mass flow)
udydz?
X outlet
()[] uu d x d y d z
x
?? ??
? dx
y
z
x
dz
dy
Infinitesimal fixed CV
udydz?
()[]uu d x d y d z
x
?? ??
? u m a s s f l u x p e r u n i t a r e a? ?
X flow out
()u d x d y d z
x
??
?
4.3 Differential Equation of Mass Conservation
In the like manner ()v
dxdy dzy?? ? ()w d x d y d z
z
??
?
Flow out off the CV ()V dx dy dz??? v
7
( ) ( ) ( )u v wd x d y d z d x d y d z d x d y d z d x d y d z
x y z t
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( ) ( ) 0u v w
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) 0Vt? ?? ? ? ? ?? v
0u v w Vt x y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? v0???? Vdt
d ???
Loss of mass in the CV
d x d y d zt??? ?
( ) ( ) ( ) 0u v wd x d y d z d x d y d z d x d y d z d x d y d z
t x y z
? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
8
For steady flow ( ) 0V?? ? ?v
For incompressible flow 0??? V?
Example 1
Under what conditions does the velocity field
1 1 1 2 2 2
3 3 3
( ) ( )
()
V a x b y c z i a x b y c z j
a x b y c z k
? ? ? ? ? ?
? ? ?
v vv
v
represents an incompressible flow which conserves
mass? ( where ),,
iiia b c c onst?
9
Solution
0u v wx y z? ? ?? ? ?? ? ?
1 1 1u a x b y c z? ? ? 2 2 2v a x b y c z? ? ? 3 3 3w a x b y c z? ? ?
1 2 3 0a b c? ? ?
Continuity for
incompressible
flow
Example 2
An incompressible velocity field:
u=a(x2-y2),w=b,a,b are const,what v=?
Solution
0u v wx y z? ? ?? ? ?? ? ? 20vax y???? 2
v ax
y
? ??
?
2 (,,)v a x y f x z t? ? ? An arbitrary function of x,z,t
10
Assignment:
P264,P4.1(a),P4.2,P4.4,P4.9(a)
11
Newton’s second law
dVdx dy dz
dt???
v
bs
dVdx dy dz F F
dt? ? ? ?
v
bF R d x d y d z??
v
()X i Y j Zk d x d y d z?? ? ? vvv
4.4 Differential Equation of Linear Momentum
dx dz
dy
Elemental volume
F ma?
What are the surface forces Fs
on the elemental volume?
12
Surface force on an elemental volume:
f o r t h e t w o s u r f a c e s x?
xP dydz
v
()xx PP d x d y d zx?? ?
vv dx
dz
dy
xP
v
x
x
PP d x
x
??
?
vv
Vector Sum
xP d x d y d z
x
?
?
v
xP
v Surface stress
,f o r t h e t w o s u r f a c e s y z?yP d x d y d z
y
?
?
v
zP d x d y d z
z
?
?
v
Net Surface Force:
() yx zs PP PF d x d y d zx y z?? ?? ? ?? ? ?
vv v
13
() yx zPP PdV d x d y d z R d x d y d z d x d y d zd t x y z?? ?? ?? ? ? ?? ? ?
vv vv v
1 []i
i
PdV R
d t x?
???
?
vv v Momentum equation
x x x x y x zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
y y x y y y zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
z z x z y z zP i j k? ? ?? ? ?
vv vv
In the like manner
xx?
xy?
xz?
xP
v
It is not these stresses but their gradient,
which cause a net force on the differential
volume.
14
[ ( ) ( )y x x y y y zyx x zxsF i jx y z x y z? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?vv
( ) ]yzxz zz k dx dy dzx y z?? ??? ?? ? ?? ? ? v
ij ji???Q ij?
x x x y x z
y x y y y z
zx zy zz
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
ij?????
6?
Tensor 张量
1 () yxx x zxdu X
dt x y z
???
?
???? ? ? ?
? ? ?.,,,,,
d v d w
d t d t??
15
Constitutive
Relation 本构~ iij
j
u
x
?
???
?? ????
?????
w
du
dy???
Newton’s Law (广义牛顿内摩擦定律 )
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
1 ()
2
ji
ij
ji
uu
S
xx
??
??
??
ij? ?
1
0 ij?
ij?
1 () jii
i
j
du X
d t x
?
?
???
?
Momentum equation(角 标表示法 )
xy
u
y??
??
?
16
22 ( )
3xx
u VP
x? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
22 ( )
3yy
v VP
y? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
22 ( )
3zz
w VP
z? ? ?
?? ? ? ? ?
?
v
()xy vuyx?? ??????
()xz wuzx?? ??????
()yz vwyz?? ??????
Substitute Newton’s Constitutive Relation into ME
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
Newton fluid,linear fluid (牛顿流体，线性流体 ）
17
211 ()
3
d u PX u V
d t x x???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
d v PY v V
d t y y???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
d w PZ w V
d t z z???
??? ? ? ? ? ? ? v
211 ()
3
dV R P V V
dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
2 2 2
2
2 2 2x y z
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
N-S Equation
18
For incompressible flow
1 ( ) 0
3 V?? ? ? ?
v
For inviscid flow
2 1[ ( ) ] 0
3VV? ? ? ? ? ? ?
vv
For 2-D,steady,incompressible flow
22
22
1 ()uu P u uu v X
x y x x y??
?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
22
22
1 ()vv P v vu v Y
x y y x y??
?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0vuxy?? ????
19
F m a? 1 () jii
i
j
du X
d t x
?
?
?
??
?
[ ( ) ( ) ( ) ]iyi x i zs
i i i
F i j k d x d y d zx x x??? ???? ? ?? ? ?
vvv
211 ()
3
dV R P V V
dt
??
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
22 ( )
3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
v
20
4.5 The Differential Equation of Energy
Infinitesimal fluid element
dx
dz
dyThe first thermodynamic law
.,d E d e
Q W d x d y d zd t d t ?? ? ?
2
2
Veu???
2 2 2
2
u v wu? ????
21
,Qdt?
(1) Thermal conductivity (2) others
,( )xxx qq d y d z q d x d y d zx?? ?
X,Heat flow
xq d x d y d z
x
?
?
yq dx dy dz
y
?
?
zq d x d y d z
z
?
?
dx
dy
dz
xq x
x
qq d x
x
??
?
.
() yx zqq qQ dx dy dz q dx dy dzdt x y z? ??? ?? ? ? ? ?? ? ?
According Fourier’s Law,T
q ? ???? ?
22
,Qdt?,[ ( ) ( ) ( ) ]T T T q d x d y d z
x x y y z z? ? ? ?
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()R V dx dy dz??vv
()X u Y v Z w d x d y d z?? ? ?
iiX V dx dy dz??
.,,
bsW F F
质量力做功和表面力做功
Body force
23
Surface force
dx
dy
dz
x x x x y x zP i j k? ? ?? ? ?
uuv vvvX:
xP V d y d z?
uv v
()x xPV dx P V dy dzx?? ???
uv v uv v
X,Net power
()x x x y x zu v w d x d y d zx ? ? ??? ? ??
()xP V d x d y d zx? ?? uv uv
()y x y y y zu v w d x d y d zy ? ? ?? ???
()z x z y z zu v w d x d y d zz ? ? ?? ???
Y,Z
24
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ii
PV d x d y d z u d x d y d z
xx ?
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??
uv vNet power by Fs
2 2 2?
() 2d e d u d u v wd t d t d t? ? ? ????
1 () yxx x zxdu X
dt x y z
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2
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2 () yxx x z x
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u u X u u u
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2 2 2 1
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dt?
单位
体积
内能
变化
率
热传导
等传热
变型时
表面应
力做功
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j
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d t x
??? ?? ? ?
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26
k
k
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x x x??
? ??? ? ? ? ? ?
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? 1D s D u DTP
D t D t D t ?
????
????
变型时
表面应
力做功
压力做
膨胀功
粘性耗散 Φ>0
1()i
i
u P d dPP
x dt dt
? ?
??
?? ? ? ?
?
由连续方程：
根据热力学公式，熵 s、焓 h和压强 p、密度 ρ 的关系为：
?D h D u D P
D t D t D t ?
????
????
? 11D u D D PP
D t D t D t??
??? ? ?
????
j
ij
i
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3i j i j i j i jS V P? ? ? ? ?? ? ? ? ?
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27
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.
()
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D T TC v P V q
D t x x? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
v
已知 D? = CvDT,Dh = CpDT
.
()
ii
D T D P TC p q
D t D t x x? ? ?
??? ? ? ? ?
??
28
Summary of the Equations
0)( ??????
i
i
x
u
t
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211 ()
3
dV R P V V
dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v v
( ) ( ) ( ) 0u v w
t x y z
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29
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y
w
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w
y
v
x
u
z
z
w
zz
p
Z
z
w
w
y
w
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x
w
u
t
w
x
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y
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y
w
zz
w
y
v
x
u
y
y
v
yy
p
Y
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
u
x
w
zx
v
y
u
yz
w
y
v
x
u
x
x
u
xx
p
X
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
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??????
???
??????
???
??????
3
2
2
3
2
2
3
2
2
30
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T
k
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T
k
yx
T
k
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w
y
w
x
w
z
v
y
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x
v
z
u
y
u
x
u
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Dt
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)()()(
)()()(
2
?
222
31
equation unknown variables
continuity 1 ?,u,v,w
momentum 3 p,? u,v,w
energy 1 p,? u,v,w,T
perfect gas 1 p,?,T
To Solve A Flow…
32
4.6 Initial (初始 )and Boundary（ 边界 ） Conditions
for the Basic Equations
Initial Conditions：
t = t0, 00
(,,,) (,,)V x y z t V x y z?vv
00(,,,) (,,)p x y z t p x y z?
00(,,,) (,,)x y z t x y z?? ?
00(,,,) (,,)T x y z t T x y z? ?
Boundary Conditions：
flu id w a llVV?
vv (No slip) Velocity
0flu id w a llVV??vv WallIf the wall is stationary
flu id w a llTT?
Temperature
33
Due to the highly complex of the N-S equations,only a
few particular solutions were found up to now,For most
problems,the equations must be solved numerically,
which is a brand new course called CFD (Computational
Fluid Dynamics)
Flow pass a cylinder
An experiment result
A computation result
Solving the N-S equations numerically
34
x
y
oh
h
U
Flow between two parallel walls,
Steady,incompressible,neglect
body force,2-D
0????????? zwyvxu 0???xu )( yuu ?
0,0,0 ??? wvu
Continuity:
Momentum:
?
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2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
v
x
v
y
p
Y
y
v
v
x
v
u
y
u
x
u
x
p
X
y
u
v
x
u
u
?
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?
?
?
?
4.7 Exact solutions of N-S Equations
35
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
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0
2
2
y
p
y
u
dx
dp
?
2
2
y
u
dx
dp
?
?? ? = constant Integrate relative to y
21
2
2
1 CyCy
dx
dpu ???
?
Boundary condition,hyu ???,0
hyUu ??,
?
?
?
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?
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?
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0
1
00
1
00
2
2
y
p
y
u
x
p
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?
?
x
y
oh
h
U
36
?
?
?
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?
?
?
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?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
Apply the boundary condition
x
y
o
h
-h
u(y)
U
x
y
o
h
-h
0dpdx ?When U=0
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
22
12 hydxdphu ?
Poiseuille
flow
When 0?
dx
dp
?????? ?? hyUu 12
Simple Couette
flow
21
2
2
1 CyCy
dx
dpu ???
?
hyu ???,0
hyUu ??,
37
When 0?
dx
dp
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
When 0?
dx
dp
22 h
U
dx
dp ??
|0yhdudy ?? ?Consider a special case
2 2hUdxdp ??
General case:
y
xo
U
x
y
o
U
xo
y U
38
221[ ( ) ( 1 ) ]
22
h
h
d p U yQ y h d y
d x h??? ? ? ??
2
3211 ( | | ) ( | | )
2 3 2 2
h h h h
h h h h
d p U yy h y y
d x h? ? ? ? ?? ? ? ? ?
32
3
dp h h U
dx?? ? ?
Q=0:
2
3
2
dp U
dx h
??
y
xo
Volume flow rate Q=u*dy
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????????? ??
22
1212 hydxdphhyUu ?
39
The wall shear stresses
|w w a lldudy???
yh?? 1
2
d u d p Uy
d y d x h???
| 2wh d p Uhd x h?? ? ? ? ?
2wu
d p Uh
d x h
?? ??
2wl
d p Uh
d x h
?? ? ? ?
40
4.8 Dynamical Similarity & Nondimensionalization
Flow pass a cylinder
D = 5cm
D = 10cm
Measurement for Wing tip vortex
41
N-S equation,2-D,steady,no body force,incompressible
Use U,L as reference velocity and length
Dimensionless quantities
L
yy
L
xx
U
vv
U
uu ???? ',',','
???
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???
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?
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2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
?
?
?
x direction:
2' U
pp
??
4.8.1 Nondimensionalization of N-S Equation
42
???
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???
?
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?
???
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2
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21
y
u
x
u
x
p
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uv
x
uu
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u
x
u
ULx
p
y
uv
x
uu
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2',',',',' UppLyyLxxUvvUuu ??????
???
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???
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???
?
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?
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2
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'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
L
yy
L
xx
U
vv
U
uu ???? ',',','
2' U
pp
??
Boundary conditions need to be normalized too …
43
For steady,incompressible,no body force flow,if two
geometrically similar flow fields has same Reynolds
number,then they have similar flow structure when
same boundary conditions are provided.
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
???
?
???
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?
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?
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?
???
?
??
?
?
2
2
2
2
'
'
'
'
Re
1
'
'
'
''
'
''
y
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x
v
y
p
y
vv
x
vu
Why Reynolds number?
44
?
?UL?Re
)( 2
2
LU
LU
???
x
uu
?
?
???
?
???
?
?
??
?
?
2
2
2
2
y
u
x
u
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
2
2
2
21
y
u
x
u
x
pX
y
uv
x
uu
?
?
?
LU2
? ?2LU ??
Inertia force / viscous force
两个铁球同时落地？
45
Flow pass a cylinder
D = 5cm
D = 10cm
Flow pass a square
Re = 50
Re = 10000
The flow fields for two objects of the same shape but
different size are said to be geometrically similar.
If,in addition,the Reynolds number are the same,the two
flows are said to be dynamically similar,since the ratio
of relevant forces are the same in the two cases.
4.8.2 Dynamical Similarity
46
Low-Speed Large-Scale Compressor Facility
47
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
Fluid-fluid Boundary
Fluid-solid Boundary
Fluid-gas Boundary
48
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
The video shows the growth of a
laminar boundary layer over a
bullet-shaped object,made
visible by the periodic
introduction of lines or bubbles.
49
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
The two animations show Lagrangian
markers following the flow over a
plate for fluids with high and low
viscosities.
50
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
How the viscous boundary layer
develops close to the surface as
a result of the no-slip condition
at the wall?
51
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
? *?
1?
52
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
1,BL Thickness ? (名义厚度，厚度）
The locus of points where the velocity u
parallel to the plate reaches 99 percent of
the external velocity U.
53
54
55
The thickness of the viscous layer,?,can be
plotted as a function of time for fluids of
different viscosities.
The viscous layer grows with time and at a
given time,it is larger for the higher
viscosity fluid,
56
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
2,Displacement Thickness (排移厚度）
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
*?
Volume flux:
0
u d y Q? ??
Ideal flux:
1QU?? 10 u dy U
? ???
1 0
u dy
U
?? ? ?
*
1 0 ( 1 )
u dy
U
?? ? ?? ? ? ??
57
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
3,Momentum Thickness
(动量厚度，动量损失厚度）
**? ()?
0 u d y u
? ? ??
,
rr e a l M
0 u d yU
? ??
,
iid e a l M
58
Chapter 5 Boundary Layer(BL)
3,Momentum Thickness
(动量厚度，动量损失厚度）
**? ()?
..
0 ()irM M M u U u d y
? ??? ? ? ? ??
* * 2
0 ()U u U u d y
?? ? ???? **
0
( 1 )uu dyUU???? ? ??
5.1 Three Thicknesses of a Boundary Layer
动量厚度，动量损失厚度）
59
5.2 Momentum Integral Relation for Flat-plate BL
x
x
y
hU
CV
Stream line
P
?
Free stream
U=const P=const zb??
Steady & incompressible
60
5.2 Momentum Integral Relation for Flat-plate BL
:X Outlet 2
0b u d y
? ??
Inlet 2b u h?
,22
0M b U h b u d y
???? ? ? ? ? 22
0D b U h b u d y
????? ?
Continuity
0hU udy
?? ?
0
uh dy
U
?? ?
0 ()D b u U u d y
?????
2bU???
2d D dbU
d x d x
???
61
Meantime
0( ) ( )
x
wD x b x d x?? ?Q
w
dD b
dx ???
2
w
dU
dx
????
For flat plate boundary layer
U c o n s t? 0dUdx ?
62
2
wd
d x U
??
??
''K a m a n
0
(1 )uu dyUU?? ???
2u a by c y? ? ?
0 0yu?? y u U??? 0uy? ??
2
20,,-UUa b c
??? ? ?
2
2
2u y y
U ????
0 ( )yx???
63
22
0
22( ) ( 1 )y y y y dy??
? ? ? ?? ? ? ??
y?
?令 ＝
1 22
0 ( 2 ) ( 1 2 ) dy? ? ? ? ? ?? ? ? ??
2
15??
2
15
dd
d x d x
??? 2d
d x U
??
??
2|
w y o
uU
y
???
??
???
? 15dxU
??? ?
64
0,0x ???
21 1 5
2 xU
?? ?
5,5 5,5x xU Ux??? ??
5,5
Rex x
? ? * ( ) 1, 8 3
Re
x
x x
? ? ( ) 0,7 4
Re
x
x x
? ?
*3 7, 5? ? ???
*
H ??? Shape factor
65
2
0, 7 3
12
w
f
x
C
U Re
?
?
??
Skin-friction coefficient
0
l
fwX bdx?? ?
212
f
D
XC
U b l??
Drag coefficient
66
5.3 Boundary Layer Equation
Inviscid
67
5.3 Boundary Layer Equation
Outside the boundary layer where the gradients
are small,the viscous stresses are negligible
compared to the inertial forces and we can
approximate the flow as being inviscid.
However,within the boundary layer,velocity
gradients normal to the wall are large,and thus
the viscous stresses are comparable to the
inertial terms.
68
5.3 Boundary Layer Equation
69
5.3 Boundary Layer Equation
If we approximate the magnitudes of the
streamwise velocity by U,the vertical velocity by
V,the streamwise length scale by L,and the
vertical length scale by ?,we can use these
estimates to simplify the continuity and
momentum equations.
70
5.3 Boundary Layer Equation
71
72
5.3 Boundary Layer Equation
The important feature here is the fact that the
pressure field in the boundary layer,and the
velocity at the edge of the boundary layer are
entirely determined by the inviscid solution
obtained for the outer flow.
73
5.3 Boundary Layer Equation
2-D,steady,incompressible,neglect body force
0uvxy??????
22
22
1 ()u u p u uuv
x y x x y??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
22
22
1 ()v v p v vuv
x y y x y??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1[]
Re
[]L? []L?[]L?[]L?
[1]
[1] [1]
[1]
74
For BL,
1L? ??
2
2
1 ()u u p uuv
x y x y??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
0uvxy??????
0py? ?? ()P P x?
dp
dx
External flow UU? 0V ? (Inviscid Flow)
75
Euler Equation 1d U d P
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Laminar flow
Turbulent flow
76
Supplementary Reynolds Equation
We can analyze the turbulent
boundary layer by recognizing that we
can think of the velocities and
pressures as being comprises of an
average and fluctuating part.
This representation was first
suggested by Reynolds and is called
the,Reynolds decomposition”.
77
Supplementary Reynolds Equation
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78
Supplementary Reynolds Equation
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79
Supplementary Reynolds Equation
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80
Supplementary Reynolds Equation
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Supplementary Reynolds Equation
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82
Continuity:(For incompressible flow)
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