在上节所讲的Vi+1=Vi+Wi中 V就是尺度空间，即我们观察事物所采用的尺度，也就是分辨率。 W就是细节空间，即不同尺度空间观察事物的差异。 并且知道 一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息即 一幅图像=系数 * 尺度基 + 系数 * 细节空间基 在Harr小波中若一个事物可用如下2个尺度基描述（尺度相同，位移不同） 记为1尺度 那么当我们用一个大尺度基描述时（即取平均），就会有一个失真 记为0尺度 此细节差异就对应描述基如下（补空间基） 正如富里叶变换是将一个周期函数用无穷项正玄或余玄基逼近，小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。富里叶变换是以ejwt 为核进行积分，小波变换以小波基为核进行积分. 函数W(x) 为母小波，那么通过尺度变换和平移变换，可得到不同小波基记为Wa,b=| a |-1/2 W( (x-b) /a ) 因为我们希望小波级数能无条件收敛，故母小波应满足一些条件 1. 小波函数值的绝对值在整个R上是可积的 L1函数空间即小波函数在无穷大处的值应该趋向于0，保证收敛性 2. 小波函数值的平方值在整个R上是可积的 L2函数空间即小波函数的能量也是一个有限值，否则就将一个有限能量函数变换到无限能量级数上，其级数很难收敛 当然母小波和被变换函数还应该满足一些其他条件，以保证反变换存在，否则意义也不大。 在实际应用中，我们经常使用离散的2进小波变换。即尺度是2 j , 位移是k Wj,k= 2 j/2 W ( 2 j x- k ) 构造二进小波函数和尺度函数的方法 Vn空间中，设S (x)是一个尺度基，则S (x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2函数空间n尺度下的完备基。 Vn+1空间中，S(2x)是一个尺度基，则S(2x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2空间n+1尺度下的完备基。 如上Harr小波图 n+1尺度是比n尺度更精细的空间，而Vn空间属于Vn+1空间，故Vn空间中的基可用Vn+1空间中的基表示即 S (x)= ∑ Pk * S (2x-k) Pk 是系数。 对应的有其补空间基 W (x)= ∑ Qk * S (2x-k) Qk 是系数。 这就是著名的两尺度差分方程，它说明了Vn空间的基与Wn空间的基可由Vn+1空间的基经过某种方式滤波产生（简单的说 就是可由Vn+1空间的基乘以不同系数）。从而我们只需求出系数，就可以由尺度函数生成小波函数。（有些书上，也把Vn称作小波）。此处再次思考一下概念，我们就更明白了多分辨率小波分析用不同尺度观察事物的思想。 其对应滤波器图如下 通过2个滤波器P, Q 将信号分解，然后通过其(逆)共轭滤波器P*, Q*进行合成. 所谓滤波过程可以简单的认为就是将信号乘以一些系数 例上述harr小波两尺度差分方程为 S (x)= 1/2 * S (2x)+ 1/2 * S (2x-1) W (x)= S (2x) - S (2x-1) 对应滤波器系数如图就很明了了。 P =[1/2 , 1/2 ] Q =[1, -1] P*=[1, 1 ]T Q*=[1/2, -1/2 ]T 依图所示，我们有如下关系 Sj-1 = Sj * P Dj-1 = Sj * Q Sj = Sj-1 * P* + Dj-1 * Q* 对于双正交滤波器，信号Sj-1 与 Dj-1 不相关那么P 应该可以无损的重构信号 ，故 P * P* = I ( 单位矩阵) 同理 Q * Q* = I ( 单位矩阵) 经Q滤波后的信号 如果经P* 重构后，值应该为0，保证2滤波器正交， Q * P* =0 同理 P * Q*=0 为使Sj能够重构 我们很容易验证上面Harr小波的滤波器系数这也说明了小波变换与滤波器的关系? -----FEATHERSKY
