第九讲
构造研究中的
应力分析基础
1.力和应力的概念
1.1 外力和内力
处于地壳和岩石圈中
的任何地质体, 都会受到
相邻介质的作用力 。
外力 被研究物体
（对象）以外的物体施
加于所研究物体的作用
力。
内力 由外力作用
引起的物体内部各部分
之间的相互作用力。
1.2 应力
单位面积上的作用力的大小。
??作用力 / 面积 ?P / A
??dP / dA
A
一般地，应力是矢量。
当 P不垂直于 A时，有：
正应力 垂直于被作用面
A的应力，用 ?表示
剪应力 平行于被作用面
A的应力，用 ?表示
1.3 应力符号
约定,正应力 以挤压
为正、以拉张为负； 剪应
力 以逆时针方向为正、以
顺时针方向为负。
1.4 一点的应力状态
一点的应力状态, 在
直角坐标系中可以近似地
看成是一个无限微小的正
六面体单元体 。
一
点
的
应
力
状
态
1.4.1 主应力
弹性力学可以证明：对于给
定的一个单元体，总能够找到这
样一种取向：单元体表面上的剪
应力分量都为零，即 三个 正交截
面上 没有剪应力 作用而 只有正应
力 作用，这种情况下的 正应力 称
为该点的 主应力,分别以 ?1,?2、
?3表示。
且约定,?1 ??2??3,其中,?1、
?2,?3分别代表最大、中间和最小
主应力。
应
力
椭
球
当 ?1,?2, ?3 中有两个主应力为
零，而另一个不为零时，称为 单轴应
力 状态；
当 ?1,?2, ?3 中有两个主应力不
为零，而另一个为零时，称为 双轴应
力 状态；
当 ?1,?2, ?3 中三个主应力均不
为零时，称为 三轴应力 状态。特殊地，
当 ?1= ?2 = ?3时，称为 均压 状态。
而 ?1－ ?2 = ??称为 差异应力,
它是引起物体发生形变的力。
A,单轴压应力 B,静水压力 C,三轴压应力
D,双轴压应力 E,平面应力 F,纯剪应力
1.4.2 主方向
主应力作用的方向
1.4.3 主平面
三个分别包含其中两个
主应力的正交截面。
主
方
向(A
)
主
平
面(B
)
2,二维应力分析和应力莫尔圆
2.1 二维应力分析
对于在以 ?1为横坐标, ?2
为纵坐标的直角坐标系中的任一
单位斜截面 AB,假设其法线与
横坐标 ?1的夹角为 ?,并沿该坐
标轴方向受到双向挤压应力 ?1和
?2的作用, 那么, 在这个截面上
把应力 ?1和 ?2分别转换成平行于
坐标轴的作用力 P1和 P2,则有：
因为 AB=1（单位长
度）,OA=sin?,
OB=cos? 所以
P1 =?1cos?
P2 =?2sin?
则, 垂直于 AB截面的作用力为：
Pn = P1 cos? + P2 sin?
因为 AB=1 所以该截面上的
正应力 ?? 为
??= Pn / AB = P1 cos? + P2 sin?
= ?1cos? cos? +?2sin? sin?
或 ??= (?1+?2) / 2
+ (?1-?2) / 2× cos2? (1)
平行于 AB面的剪切作用力 Pt 为
Pt =P1 sin? － P2 cos?
则，剪应力为
?? = Pt / AB = ?1 cos? sin?
－ ?2sin? sin?
= (?1-?2) / 2× sin2? (2)
从 (2)式可得：
当 2? = 90?时,??为最大
所以，最大剪应力作用面与 ?1 和 ?2轴
的夹角为 45?。
2.2 应力莫尔圆
由上述 (1)2 + (2)2 得：
(?? － (?1+?2) / 2 )2 + (??)2
= ((?1-?2) / 2)2 (3)
(3)式为：以 ?为横坐
标轴和 ?为纵坐标的直角坐
标系中的一个圆的方程式,
这个圆称为 应力莫尔圆 。
应力莫尔圆
（ 1）当 ?=0?时,??=?1,??= 0；
（ 2）当 ?=90?时,??=?2,??= 0；
（ 3）当 ?=45?或 135?时,??= 最大值，
为 (?1-?2) / 2；
（ 4）当 ?1=?2,?= 0时，为均压无剪应
力；在 三维状态中，当 ?1= ?2 = ?3
时，为静水压力。
应力莫尔圆的 物理意义 是：
3,应力场及其表示方法
3.1 应力场
某个地质体（物体）内
部各点的瞬时应力状态在三
维空间上的组成的总体，称
为应力场。
3.2 应力场的表示方法
一般地，用地质体
（物体）内各点的主应
力 ?1,?2,?3，或最大
或最小剪应力 ?的大小和
方位来表示其应力场的
状态和特征。
依次沿相邻的各点的主应力或
剪应力方向连接得到的轨迹线称为
应力轨迹线,由它们绘制而成的 应
力轨迹图 能够客观地形象地定性表
示某个地质体（物体）内的应力分
布状态；而主应力或剪应力的 应力
等值线图 能定量地表示某个地质体
（物体）内各点的应力分布及其变
化特点。因此，这两种图件是常用
的有效的应力状态表示方法之一。
构造研究中的
应力分析基础
1.力和应力的概念
1.1 外力和内力
处于地壳和岩石圈中
的任何地质体, 都会受到
相邻介质的作用力 。
外力 被研究物体
（对象）以外的物体施
加于所研究物体的作用
力。
内力 由外力作用
引起的物体内部各部分
之间的相互作用力。
1.2 应力
单位面积上的作用力的大小。
??作用力 / 面积 ?P / A
??dP / dA
A
一般地，应力是矢量。
当 P不垂直于 A时，有：
正应力 垂直于被作用面
A的应力，用 ?表示
剪应力 平行于被作用面
A的应力，用 ?表示
1.3 应力符号
约定,正应力 以挤压
为正、以拉张为负； 剪应
力 以逆时针方向为正、以
顺时针方向为负。
1.4 一点的应力状态
一点的应力状态, 在
直角坐标系中可以近似地
看成是一个无限微小的正
六面体单元体 。
一
点
的
应
力
状
态
1.4.1 主应力
弹性力学可以证明：对于给
定的一个单元体，总能够找到这
样一种取向：单元体表面上的剪
应力分量都为零，即 三个 正交截
面上 没有剪应力 作用而 只有正应
力 作用，这种情况下的 正应力 称
为该点的 主应力,分别以 ?1,?2、
?3表示。
且约定,?1 ??2??3,其中,?1、
?2,?3分别代表最大、中间和最小
主应力。
应
力
椭
球
当 ?1,?2, ?3 中有两个主应力为
零，而另一个不为零时，称为 单轴应
力 状态；
当 ?1,?2, ?3 中有两个主应力不
为零，而另一个为零时，称为 双轴应
力 状态；
当 ?1,?2, ?3 中三个主应力均不
为零时，称为 三轴应力 状态。特殊地，
当 ?1= ?2 = ?3时，称为 均压 状态。
而 ?1－ ?2 = ??称为 差异应力,
它是引起物体发生形变的力。
A,单轴压应力 B,静水压力 C,三轴压应力
D,双轴压应力 E,平面应力 F,纯剪应力
1.4.2 主方向
主应力作用的方向
1.4.3 主平面
三个分别包含其中两个
主应力的正交截面。
主
方
向(A
)
主
平
面(B
)
2,二维应力分析和应力莫尔圆
2.1 二维应力分析
对于在以 ?1为横坐标, ?2
为纵坐标的直角坐标系中的任一
单位斜截面 AB,假设其法线与
横坐标 ?1的夹角为 ?,并沿该坐
标轴方向受到双向挤压应力 ?1和
?2的作用, 那么, 在这个截面上
把应力 ?1和 ?2分别转换成平行于
坐标轴的作用力 P1和 P2,则有：
因为 AB=1（单位长
度）,OA=sin?,
OB=cos? 所以
P1 =?1cos?
P2 =?2sin?
则, 垂直于 AB截面的作用力为：
Pn = P1 cos? + P2 sin?
因为 AB=1 所以该截面上的
正应力 ?? 为
??= Pn / AB = P1 cos? + P2 sin?
= ?1cos? cos? +?2sin? sin?
或 ??= (?1+?2) / 2
+ (?1-?2) / 2× cos2? (1)
平行于 AB面的剪切作用力 Pt 为
Pt =P1 sin? － P2 cos?
则，剪应力为
?? = Pt / AB = ?1 cos? sin?
－ ?2sin? sin?
= (?1-?2) / 2× sin2? (2)
从 (2)式可得：
当 2? = 90?时,??为最大
所以，最大剪应力作用面与 ?1 和 ?2轴
的夹角为 45?。
2.2 应力莫尔圆
由上述 (1)2 + (2)2 得：
(?? － (?1+?2) / 2 )2 + (??)2
= ((?1-?2) / 2)2 (3)
(3)式为：以 ?为横坐
标轴和 ?为纵坐标的直角坐
标系中的一个圆的方程式,
这个圆称为 应力莫尔圆 。
应力莫尔圆
（ 1）当 ?=0?时,??=?1,??= 0；
（ 2）当 ?=90?时,??=?2,??= 0；
（ 3）当 ?=45?或 135?时,??= 最大值，
为 (?1-?2) / 2；
（ 4）当 ?1=?2,?= 0时，为均压无剪应
力；在 三维状态中，当 ?1= ?2 = ?3
时，为静水压力。
应力莫尔圆的 物理意义 是：
3,应力场及其表示方法
3.1 应力场
某个地质体（物体）内
部各点的瞬时应力状态在三
维空间上的组成的总体，称
为应力场。
3.2 应力场的表示方法
一般地，用地质体
（物体）内各点的主应
力 ?1,?2,?3，或最大
或最小剪应力 ?的大小和
方位来表示其应力场的
状态和特征。
依次沿相邻的各点的主应力或
剪应力方向连接得到的轨迹线称为
应力轨迹线,由它们绘制而成的 应
力轨迹图 能够客观地形象地定性表
示某个地质体（物体）内的应力分
布状态；而主应力或剪应力的 应力
等值线图 能定量地表示某个地质体
（物体）内各点的应力分布及其变
化特点。因此，这两种图件是常用
的有效的应力状态表示方法之一。
