山东科技大学2005—2006学年第 二 学期
《矢量分析与场论》重修考试试卷 参考答案
计算题（每题6分，共12分）
1、解： ………………………………6分
2、解：切向矢量………4分
对应单位矢量 ………………………………………………6分
计算题（每题6分，共12分）
1、解：
…………………………………………………6分
2、解： ……………………3分
………………………………………………6分
三、计算题（本题共16分）
解：令，则，将点代入，可得，
…………………………………………………………4分
所求等值面方程为 …………………………………………6分
解：矢量场的矢量线所应满足的微分方程为 ……………4分
由可得，将代入，解得……………6分
由，可得，将代入，
解得……………………………………………………8分
所求矢量线方程为……………………………………………10分
四、计算题（本题共20分）
（1）……………………4分
（2）
……………………………………6分
因，故为管形场. ……………………………………………………8分
（3）矢量的方向余弦为，……………………2分
………………4分
………………………6分
………………………………………………8分
五、计算题（本题14分）
解： ………………4分
………………………………………………………6分
又在方向的单位矢量为 ……………………………………8分
于是有
……………………………14分
六、解答题（本题共16分）
解：…………………………………………4分
证明：由的雅可比矩阵可得
…………4分
故为有势场 ……………………………………………………………………6分
又由…………………………………………8分
………………………………………………………………10分
故势函数的全体为……………………………12分
（本题也可用不定积分法求势函数）
七、证明题（本题10分）
证明：在高斯公式中，取可得
……………………10分
