习题课一,判断线性系统如果 )]([)()],([)( 2211 nxTnynxTny
有 )]([)]([)]()([ 22112211 nxTanxTanxanxaT
则系统为线性系统。
)(nx )(nyT[ ]
例 1,判断下列系统是否为线性系统。
5)(3)()(
);()()(
);()()(
);()()(
2
2

nxnyd
nxnyc
nxnyb
nnxnya
解,(a)
)]([)(() ],([)()(
)()(
222111 nxTnnxnynxTnnxny
nnxny

）?
)]([)]([
)()(
)()()]()([
2211
2211
22112211
nxTanxTa
nyanya
nnxannxanxanxaT



故为线性系统。 操作：乘 n
（ b)
)]([)(()],([)()(
)()(
2
2
221
2
11
2
nxTnxnynxTnxny
nxny

）?
)]([)]([
)()(
)()()]()([
2211
2211
2
22
2
112211
nxTanxTa
nyanya
nxanxanxanxaT



故为线性系统。
操作：
2nn?
)]([)(() ],([)()(
)()(
2
2
221
2
11
2
nxTnxnynxTnxny
nxny

）?
)()(2)()(
)]()([)]()([
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22112211
nxnxaanxanxa
nxanxanxanxaT


故不是线性系统。
操作：平方。
(c)
)]([)]([)]()([ 22112211 nxTanxTanxanxaT可见：
)()()]([)]([ 2222112211 nxanxanxTanxTa
(d)
。加即，系统操作为乘
）
53
)]([5)(3()],([5)(3)(
5)(3)(
222111 nxTnxnynxTnxny
nxny


5)]()([3)]()([ 22112211 nxanxanxanxaT
故不是线性系统。
)]([)]([)]()([ 22112211 nxTanxTanxanxaT可见：
2221112211 5)(35)(3)]([)]([ anxaanxanxTanxTa
如果 有,则系统为移（时）不变系统
)()]([ nynxT? )()]([ mnymnxT
二,判断移不变系统,
[例 2] 判断系统 是否是移不变系统。
其中 a和 b均为常数
bnaxny )()(
解：
)()()]([
)()()]([
mnybmnaxmnxT
nybnaxnxT


故为移不变系统。
[例 3] 判断系统 是否是移不变系统。 )1.02s i n ()()( nnxny
解：
][
)1.02s i n ()()]([
)()1.02s i n ()()]([
系统操作




nmnxmnxT
nynnxnxT?
故不是移不变系统。
又：
][
]1.0)(2s i n [)()(
函数操作
mnmnxmny
显然 )()]([ mnymnxT
);1()()()(
);()()(

nxnxnyb
nnxnya
例 4,判断下列系统是否为移不变系统。
解：
系统操作

)()]([
)()()]([
mnnxmnxT
nynnxnxT?
故不是移不变系统。
又,函数操作 )()()( mnxmnmny
显然 )()]([ mnymnxT
（ a）
)1()()]([
)()1()()]([
)1()()(



mnxmnxmnxT
nynxnxnxT
nxnxny
故是移不变系统。
又,)1()()( mnxmnxmny
显然 )()]([ mnymnxT
（ b)
一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这完全由边界条件决定。例如：差分方程
（ c) 边界条件 时，既不是线性的也不是移不变的。
三,判断线性移不变系统,
)()1()( nxnayny
（ a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。0)0(?y
（ b) 边界条件 时，是线性移不变的。0)1(y
1)0(?y
的情况）解：（ 0)1(yb
)()(1 nnx
令
1)0()1()0( 11ayy
aayy )1()0()1( 11?
211 )2()1()2( aayy
….
nannayny )()1()( 11?
所以,)()(
1 nuany n?
)()1()( nxnayny
)1()(2 nnx?又令
0)1()1()0( 22ayy则：
….
所以,)1()( 1
2 nuany n
1)0()0()1( 22ayy
aayy )1()1()2( 22?
122 )1()1()( nannayny?
可见 是移一位的关系,亦是移一位的关系。因此是移不变系统。
)()( 21 nxnx? )()( 21 nyny?
)]([)()()()( 111 nxTnuanynnx n
由上述分析可知：
)]([)1()()1()( 2122 nxTnuanynnx n
)1()()(3 nnnx又令：
代入差分方程，得：
1)10()0()1()0( 33ayy
1)0()1()0()1( 33 aayy
aaayy 233 )1()2()1()2(
2333 )2()3()2()3( aaayy
……..
13 )( nn aany
所以,)]()([)()()(
2113 nxnxTnuanuany nn
)]([)]([)()()( 21213 nxTnxTnynyny
因此为线性系统。
（ c）的证明见教科书 [例 1-19](p.32)
四,判断因果系统。
如果一个系统的某个时刻的输出，只决定于某个时刻的输入和过去的输入，与未来的输入没有关系，换言之，因果系统的输出不能领先于输入，亦即其输出不能无中生有，故称之为因果。
即 则有
0,0)( nnnx 0
,0)( nnny
且 )](),.,,,,,,1(),([)( knxnxnxfny
（ b）由于 领先于,故为非因果系统。
[例 5] 判断下列系统是否为因果系统。
)2()()()( nxnxnya
)1()()1()( nxnxnyb
)()()( kxnyc
n
k

)()()( nxnyd
（ a) 为因果系统，由定义可知。
)1(?ny )(nx
解：
由于 由目前和过去的输入所决定，故为因果系统。
)(ny
由于 n=-1时，有 y（ -1） =x(1)；
也就是 领先于,故为非因果系统。)(ny )( nx?
)()()( kxnyc
n
k

)()()( nxnyd