第二节
函数的幂级数展开
一、泰勒级数
上节例题 )11()1l n ()1(
1
1 ???????
?
?
? xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
?? ?
?
?
存在幂级数在其收敛
域内以 f(x)为和函数
问题, 1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n ??
?
?
?
?? ??????? nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内具有任意阶导
数,且在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx ?
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
??
泰勒系数
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 00 ?x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
??
?
???
定义
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( ??? nf n且
?
?
?
??
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( ????? xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除 ?
在 x=0点任意可导,
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
??? ?
?
?
),()()( 1 xsxfxR nn ????
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn ?????
?? ?? )(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn ??? ?;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([lim 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(l i m 1 xfxs nn ????即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0?? M,对
),(
00
RxRxx ????,恒有 Mxf
n
?)(
)(
),2,1,0( ??n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx ?? 内可展
开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()( ?
?
??? n
n
n xxn
fxR ??
,)!1(
1
0
?
?? ?
n
xxM n
),( 00 RxRxx ???,),(
)!1(0
1
0 收敛在 ????
?
???
?
?
n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0 ?
?
?? ?
?? n
xx n
n,0)(l i m ??? xR nn故
.0 的泰勒级数可展成点 x?
),( 00 RxRxx ???
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
例 1
解
.)( 展开成幂级数将 xexf ?
,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
?? ?????? nx xnxxe !1!211 2
,0??M 上在 ],[ MM? xn exf ?)()( Me?
),2,1,0( ??n ?? ??????? nx x
nxxe !
1
!2
11 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf ?
解 ),2s i n()()( ??? nxxf n,2s i n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?)()( xf n且 )2s i n(
?? nx 1? ),( ?????x
?? ?????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf ??? ??
解,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??
),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n
??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1lim ?
??
? 1???? n n,1?,1?? R
若内在,)1,1( ?
??? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(
??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
??? ?? ????????? nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2 ??????
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm ???????
?
??? ???利用
)()1( xsx ???
??? ????????????????? ? 1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs??
,1)( )( xxs xs ???? ?,1)0( ?s且
两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx ??
?
??? )1,1(??x
得 ),1l n ()0(ln)(ln xsxs ????
即,)1l n ()(ln ??? xxs
,)1()( ?xxs ???
)1,1(??x
??? ????????????????
?? ?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1,1(??x
牛顿二项式展开式
注意,,1 的取值有关处收敛性与在 ???x
);1,1(1 ???? 收敛区间为
];1,1(11 ????? 收敛区间为
].1,1[1 ??? 收敛区间为
有时当,21,1 ????
)1,1()1(11 1 32 ?????????? ?? nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
?
?????
??
??
?
???? ?? nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
?
?????
??
???
?
????
?
?? nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方
法,求展开式,
例如 )( s i ncos ?? xx
?? ???????? )!2()1(!41!211c os
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
? ?? x xdxx 0 21ar c t an
?? ????????
?
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[??x
? ??? x xdxx 0 1)1l n(
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( ???? xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成 ?
)1(3
1
4
1
???? xx?
,
)
3
11(3
1
??? x
])3 1()3 1(3 11[31 2 ?? ????????? nxxx
31 ??x
xxx
x
????
??
4
1)1(
4
1
?? ?????????? n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31 ??x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf ?故
,31n?
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答
从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运
算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数
展开式的方法称之,
一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的
区间,
1,
x
a ； 2, )1l n ()1( xx ?? ;
3,
xa r c s i n； 4,
3
)1(
1
x
x
?
?
.
二,将函数
3
)( xxf ? 展开成 )1( ?x 的幂级数,并求展
开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2
??
?
xx
xf 展开成 )4( ?x 的幂级
数,
四,将级数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成
)1( ?x
的幂级数,
练 习 题
练习题答案
一,1, )(
!
)(l n
0
???????
?
?
xx
n
a
n
n
n；
2, )11(
)1(
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1
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xx
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x
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三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
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四,?
?
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?
?
0
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n
n
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2
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n
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