第十一章
? 习题课
(1) 定义
形如 n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,00 时当 ?x
其中 na 为幂级数系数,
1、
n
n
n xa?
?
? 0
幂级数
如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;
(2) 收敛性
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
定义, 正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,定理 2 如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
l i m ( 或 ??
??
n
nn alim )
(1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
(3) 当 ???? 时,0?R,
(2 ) 当 0?? 时,???R ;
a.代数运算性质,
加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
(3)幂级数的运算
乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
b.和函数的分析运算性质,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
幂级数 ?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
2、幂级数展开式 如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0?x 的 麦克劳林级数,
(1) 定义
定理 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
.
(2) 充要条件
(3) 唯一性
定理 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ?
的幂级数,即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
,
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
(3) 展开方法
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过
变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积
分 等方法,求展开式,
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
?? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
?? ??????? )!2()1(!41!211c o s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
(4) 常见函数展开式
)1,1(??x
??? ??????????
?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2 ??????
?
)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
(5) 应用
a.近似计算
b.欧拉公式
,si nco s xixe ix ??
,2c o s
itit ee
t
??
?
,2s i n ieet
itit ??
?
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数 ?
?
?
??
n
nxn例 1
解,1)1)(1(
0
????
?
?
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 ???? x收敛域为,20 ?? x即
则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
??
?
???
n
nxnxs
两边逐项积分
??
?
???
0
1
1)1(
n
xnx
? ?? ?
?
???
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
??
?
???
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
??
??
x
x,
2
1
x
x
?
??
求导，得两边再对 x
)2 1()( ???? xxxs,)2( 1 2??
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数
展开成麦将 xxxxf ???例 2
解,32)1ln (
32
?? ????? xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22 ?? ????????? ?
n
xxxxx nn
)11( ??? x
? ?? x dxxx 0 21 1a r ct a n又
? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ??
?? ?????????
?
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( ??? x
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna r c t a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
?? ?
?
??
?
?
?????? 0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22??
?
?
???? n
n
n
nn
x)11( ??? x
的幂级数．成
的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
?
?
?
? ??
?
?
?
?
x
n
x n
n
n
n
例 5
解
．设法用已知展开式来解
的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
?
?
?
?
?
??
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s in2
x?
2
11s i n2 ??? x