1
管 理 运 筹 学
? 绪论
? 线性规划（运输问题）
? 整数规划
? 动态规划
? 存储论
? 排队论
? 对策论
? 决策分析
2
第一章 绪论
运筹学（ Operational Research) 直译为“运作研究”
运筹学是应用分析、试验、量化的方法，
对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源
进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方
案，以实现最有效的管理。
? 运筹学有广泛应用
? 运筹学的产生和发展
3
§ 1 决策、定量分析与管理运筹学
决策过程（问题解决的过程）：
1）提出问题：认清问题
2）寻求可行方案：建模、求解
3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径
4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等
5）选择最优方案：决策
6）方案实施：回到实践中
7）后评估：考察问题是否得到完满解决
1） 2） 3）：形成问题； 4） 5）分析问题：定性
分析与定量分析。构成决策。
4
§ 2 运筹学的分支
? 线性规划
? 非线性规划
? 整数规划
? 图与网络模型
? 存储模型
? 排队论
? 排序与统筹方法
? 决策分析
? 动态规划
? 预测
*** 多目标规划、随机规划、模糊规划等
5
§ 3运筹学在工商管理中的应用
? 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下
料、配料问题、物料管理等
? 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存
量等
? 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、
运输工具的调度以及建厂地址的选择等
? 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编
制、人员合理分配，建立人才评价体系等
? 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与
销售计划制定等
? 财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管
理、现金管理等
*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等
6
运筹学方法使用情况 (美 1983)
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20
30
40
50
60
70
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7
运筹学方法在中国使用情况 (随机抽样 )
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20
30
40
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70
80
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8
运筹学的推广应用前景
? 据美劳工局 1992年统计预测,
运筹学应用分析人员需求从 1990年到 2005
年的增长百分比预测为 73%,增长速度排到各项
职业的前三位,
结论,
? 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的
? 工商企业对运筹学应用和需求是很大的
? 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做
9
§ 4如何学习运筹学
? MBA学员学习运筹学要把重点放在结合实际的应用上，不
要被一些概念、理论的困难吓倒，要用好计算机这个强有力
的工具。
? MBA学员学习运筹学要充分发挥自己实践经验丰富和理论
联系实际能力强的优势。
? MBA学员学习运筹学要把注意力放在“入口”和“出口”
两头，中间过程尽可能让计算机软件去完成：
“入口”即结合实际问题建立运筹学模型；
“出口”即解决问题的方案或模型的解。
? 本书附有运筹学教学软件，使用方法很简单。 MBA学员必
须尽快学会使用这个运筹学教学软件，并借助它来学好本课
程。
10
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用
? 合理利用线材问题：如何下料使用材最少
? 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润
? 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大
? 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获
利最大
? 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
? 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
线性规划的组成：
? 目标函数 Max f 或 Min f
? 约束条件 s.t,(subject to) 满足于
? 决策变量 用符号来表示可控制的因素
11
§ 1问题的提出
例 1,某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时
及 A,B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？
甲 乙 资源限制
设备 1 1 300 台时
原料 A 2 1 400 千克
原料 B 0 1 250 千克
单位产品获利 50 元 100 元
线性规划模型：
目标函数,Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件,s.t,x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1,x2 ≥ 0
12
线 性 规 划 模 型
? 一般形式
目标函数,Max （ Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
约束条件,s.t,a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =,≥ ） b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =,≥ ） b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =,≥ ） bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
? 标准形式
目标函数,Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
约束条件,s.t,a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
13
§ 2 图 解 法
例 1.
目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
s.t,
x1 + x2 ≤ 300 (A)
2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C)
x1 ≥ 0 (D)
x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50,x2 = 250
最优目标值 z = 27500
14
进 一 步 讨 论
? 线性规划的标准化内容之一,—— 引入松驰变量（含义是资源的剩余量）
例 1 中引入 s1,s2,s3 模型化为
目标函数,Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3
约束条件,s.t,x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1,x2,s1,s2,s3 ≥ 0
对于最优解 x1 =50 x2 = 250, s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
说明：生产 50单位甲产品和 250单位乙产品将消耗完所有可能的设备台时
数及原料 B，但对原料 A则还剩余 50千克。
解的性质：
1） 线性规划的最优解如果存在，则必定有一个顶点（极点）是最优解；
2） 有的线性规划问题存在无穷多个最优解的情况；
3） 有的线性规划问题存在无有限最优解的情况，也称无解；
4） 有的线性规划问题存在无可行解的情况 。
作业,P24---1,2,3,4,5
15
§ 3图解法的灵敏度分析
? 灵敏度分析,建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数
（系数） ci,aij,bj 变化时，对最优解产生的影响。
3.1 目标函数中的系数 ci的灵敏度分析
考虑例 1的情况,ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率，
目标函数 z = 50 x1 + 100 x2
在 z = x2 (x2 = z 斜率为 0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率为 -1 )之间时，
原最优解 x1 = 50,x2 = 100 仍是最优解。
? 一般情况：
z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2 = - (c1 / c2 ) x1 + z / c2
目标函数等值线的斜率为 - (c1 / c2 )
当 -1 ? - (c1 / c2 ) ? 0 （ *） 时，原最优解仍是最优解
? 假设产品乙的利润 100元不变，即 c2 = 100，代到式 （ *） 并整理得
0 ? c1 ? 100
? 假设产品甲的利润 50 元不变，即 c1 = 50,代到式 （ *） 并整理得
50 ? c2 ? + ?
? 假若产品甲、乙的利润均改变，则可直接用式 （ *） 来判断。
? 假设产品甲、乙的利润分别为 60元,55元，则
- 2 ? - (60 / 55) ? - 1
那麽，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100,x2 = 200 。
16
3.2 约束条件中右边系数 bj的灵敏度分析
? 当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优
解的变化。
? 考虑例 1的情况,假设设备台时增加 10个台时，即 b1变化为 310，这时可行域扩
大,最优解为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 = 60,x2 = 250 。
变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润
(50*60+100*250) - (50*50+100*250) = 500, 500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少） 1个台时的设备能力就可增加（减少） 50元利
润，称为该约束条件的对偶价格。
? 假设原料 A 增加 10 千克时，即 b2变化为 410，这时可行域扩大，但 最优解仍为
x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50,x2 = 250 。
此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0 。
解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有 50千克的剩余，因此增加 10千克值增加了
库存，而不会增加利润。
? 在一定范围内，当约束条件右边常数增加 1个单位时
1）若约束条件的对偶价格大于 0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；
2）若约束条件的对偶价格小于 0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；
3）若约束条件的对偶价格等于 0，则其最优目标函数值不变。
? 作业,P24---6,7,8
17
第三章 线性规划问题的计算机求解 (1)
? 管理运筹学软件 1.0版使用说明：（演示例 1）
一、系统的进入与退出：
1、在 WINDOWS环境下直接运行 main.exe文件，或者在 DOS下 UCDOS中文平台环
境下运行，也可直接运行各可执行程序。
2、退出系统的方法可以在主菜单中选退出项，也可按 Ctrl+Break键直接退出。
3、在 WINDOWS环境下直接运行软件，如果出现乱码，那是因为启用了全屏幕方
式，解决办法是按 ALT+ENTER键,即可转换成非全屏的界面（一般就会消除
乱码，如果还是乱码，可以点击菜单的“汉”选项）；若要每次启动程序都没
有乱码，则需要修改屏幕设置的相应属性。具体方法是：在非全屏界面下点击
菜单的“属性”选项，再选择“窗口”选项，然后选中其中的“窗口”项，并
取消“启动时恢复设置”项，这样就可保证每次运行软件时以非全屏方式显示。
二、输入部分：
1、线性规划、整数规划的目标函数和约束的输入必须按由小到大的序号顺序输入，
同时约束变量必须放在运算
符的左侧。如（ x1+x2-x3=0，不能输为 x2-x3+x1=0； x1-x2+x3=0，不能输为
x1+x3=x2）
2、输入的约束中不包括 ">="或 "<="，而是用 ">"或 "<"代替，这不会影响求解。如
对于约束 X1>=2,则输入 X1>2,而不是 X1>=2。
18
第三章 线性规划问题的计算机求解 (2)
? 结果考察：（演示例 1）
1、当目标函数的系数 ci 单一变化时，只要不超过其上、下限，最优解不变；
2、当约束条件中右边系数 bj 变化时，当其不超过上、下限，对偶价格不变（最优
解仍是原来几个线性方程的解）；
3、当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
? 百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右边常数值），
当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过 100%时，最优解不
变（对偶价格不变，最优解仍是原来几个线性方程的解）
* 允许增加量 = 上限 - 现在值 c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50
b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
* 允许减少量 = 现在值 - 下限 c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50
b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
* 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量
* 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
19
第三章 线性规划问题的计算机求解 (3)
? 例,c1 变为 74,c2 变为 78,则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%，故最优解
不变。
b1 变为 315,b3 变为 240,则 (315 - 50) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对
偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。
? 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意：
1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增
加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作 0；
2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；
3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束
条件右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只有重新求
解。
20
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (1)
一、人力资源分配的问题
例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公
交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务
人员?
班次 时间 所需人数
1 6, 00 —— 10, 00 60
2 10, 00 —— 14, 00 70
3 14, 00 —— 18, 00 60
4 18, 00 —— 22, 00 50
5 22, —— 2, 00 20
6 2, 00 —— 6, 00 30
解：设 xi 表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的
数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件,s.t,x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
21
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (2)
一、人力资源分配的问题
例 2．福安商场是个中型的百货商场，它
对售货员的需求经过统计分析如右表：
为了保证售货人员充分休息，售货人员
每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两
天是连续的。问应该如何安排售货人员的作
息，既满足工作需要，又使配备的售货人员
的人数最少？
时间 所需售货员人数
星期日 28
星期一 15
星期二 24
星期三 25
星期四 19
星期五 31
星期六 28
解：设 xi ( i = 1 - 7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的
数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件,s.t,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
22
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (3)
二、生产计划的问题
例 3．明兴公司生产甲、乙、
丙三种产品，都需要经过铸造、
机加工和装配三个车间。甲、乙
两种产品的铸件可以外包协作，
亦可以自行生产，但产品丙必须
本厂铸造才能保证质量。数据如
右表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两
种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时 ( 小时 / 件 ) 5 10 7 8000
机加工工时 ( 小时 / 件 ) 6 4 8 12000
装配工时 ( 小时 / 件 ) 3 2 2 10000
自产铸件成本 ( 元 / 件 ) 3 5 4
外协铸件成本 ( 元 / 件 ) 5 6 --
机加工成本 ( 元 / 件 ) 2 1 3
装配成本 ( 元 / 件 ) 3 2 2
产品售价 ( 元 / 件 ) 23 18 16
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，
x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和
可得到 xi （ i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15,10,7,13,9 元。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件,s.t,5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
23
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (4)
二、生产计划的问题
例 4．永久机械厂生产 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ 三种产品，均要经过 A,B两道工
序加工。设有两种规格的设备 A1,A2
能完成 A 工序；有三种规格的设备
B1,B2,B3能完成 B 工序。 Ⅰ 可在 A、
B的任何规格的设备上加工； Ⅱ 可在
任意规格的 A设备上加工，但对 B工序，
只能在 B1设备上加工； Ⅲ 只能在 A2与 B2设备上加工；数据如右上表。问：为使该厂获得最大利
润，应如何制定产品加工方案？
产品单件工时
设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
设备的
有效台时
满负荷时的
设备费用
A 1 5 10 6000 300
A 2 7 9 12 10000 321
B 1 6 8 4000 50
B 2 4 11 7000 783
B 3 7 4000 200
原料 （元 / 件） 0,2 5 0,3 5 0,5 0
售价 （元 / 件） 1,2 5 2,0 0 2,8 0
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。
利润 = [（销售单价 - 原料单价） * 产品件数 ]之和 - （每台时的设备费用 *设备实际
使用的总台时数）之和。 这样我们建立如下的数学模型,
Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-
1.2304x322-0.35x123
s.t,5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ）
7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ）
6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ）
4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ）
7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （ Ⅰ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x211+ x212- x221 = 0 （ Ⅱ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x312 - x322 = 0 （ Ⅲ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
24
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (5)
三、套裁下料问题
例 5．某工厂要做 100套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各
一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解,设计下列 5 种下料方案
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8
2, 9 m 1 2 0 1 0 1 0 0
2, 1 m 0 0 2 2 1 1 3 0
1, 5 m 3 1 2 0 3 1 0 4
合计 7, 4 7, 3 7, 2 7, 1 6, 6 6,5 6,3 6, 0
剩余料头 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 8 0, 9 1,1 1, 4
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
约束条件,s.t,x1 + 2x2 + x4 ≥ 100
2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100
3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
25
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (6)
四、配料问题
例 6．某工厂要用三种原料 1、
2,3混合调配出三种不同规格的
产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利
润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价 （元 / k g ）
甲 原材料 1 不少于 50%,原材料 2 不超过 25% 50
乙 原材料 1 不少于 25%,原材料 2 不超过 50% 35
丙 不限 25
原材料名称 每天最多供应量 单价 （元 / k g ）
1 100 65
2 100 25
3 60 35
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数
学模型时，要考虑：
对于甲,x11,x12,x13；
对于乙,x21,x22,x23；
对于丙,x31,x32,x33；
对于原料 1,x11,x21,x31；
对于原料 2,x12,x22,x32；
对于原料 3,x13,x23,x33；
目标函数,利润最大，利润 = 收入 - 原料支出
约束条件,规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
26
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (6续 )
例 6．（续）
目标函数,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t,0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1不少于 50%）
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2不超过 25%）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1不少于 25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2不超过 50%）
x11+ x21 + x31 ≤ 100 ( 供应量限制）
x12+ x22 + x32 ≤ 100 ( 供应量限制）
x13+ x23 + x33 ≤ 60 ( 供应量限制）
xij ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2,3
? ****例 7由学员自己看懂
27
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (7)
五、投资问题
例 8．某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项
目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第
一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额
不能超过 30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规
定最大投资额不能超过 80万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本
利 155%，但规定最大投资额不能超过 100万元；
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最
大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330万元
的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
项目 风险指数 （次 /万元）
A 1
B 3
C 4
D 5, 5
解,1） 确定决策变量：连续投资问题
设 xij ( i = 1 - 5,j = 1,2,3,4)表示第 i 年初投资于 A(j=1),B(j=2),C(j=3)、
D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C x33
D x24
28
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (7续 )
2）约束条件：
第一年,A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；
第二年,B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
B,C,D的投资限制,xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
3）目标函数及模型：
a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
xij ≥ 0 ( i = 1, 2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1, 2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
29
第七章 运 输 问 题（ 1）
§ 1 运 输 模 型
例 1,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 200
A 2 6 5 5 300
销量 150 150 200
解,产销平衡问题,总产量 = 总销量
设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj的运输量，得到下列运输量表：
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 200
A 2 x 2 1 x 2 2 x 2 3 300
销量 150 150 200
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
s.t,x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
xij ≥ 0 ( i = 1, 2； j = 1,2,3）
30
第七章 运 输 问 题（ 2）
? 设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
m n
Min f = ? ? cij xij
i = 1 j = 1
n
s.t,? xij = si i = 1,2,…,m
j = 1
m
? xij = dj j = 1,2,…,n
i = 1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
?一般运输模型,产销平衡
A1,A2,…, Am 表示某物资的 m个产地； B1,B2,…, Bn 表示某物质的 n个销地； si
表示产地 Ai的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价。
?变化：
1）有时目标函数求最大 如求利润最大或营业额最大等；
2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可直接加入（等式或不等式）约
束；
3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。
31
第七章 运 输 问 题（ 3）
§ 2 运输问题的计算机求解
例 2,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
解,增加一个
虚设的销地
运输费用为 0
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 3 00
A 2 6 5 5 300
销量 150 150 200B
1 B 2 B 3 B 4 产量
A 1 6 4 6 0 3 00
A 2 6 5 5 0 300
销量 150 150 200 100
例 3,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
解,增加一个
虚设的产地
运输费用为 0
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 200
A 2 6 5 5 300
销量 250 200 200
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 2 00
A 2 6 5 5 300
A 3 0 0 0 150
销量 250 200 200
32
第七章 运输问题（ 4） § 3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例 4,石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤 3000,1000,2000吨，由
河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为 1500,4000
吨，运价为：
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少 0--200吨，二区必须满足需求量，三区
供应量不少于 1700吨，试求总费用为最低的调运方案。
一区 二区 三区 产量
山西盂县 1,6 5 1, 7 0 1, 7 5 4000
河北临城 1,6 0 1, 6 5 1, 7 0 1500
需要量 3000 1000 2000
解,根据题意，作出产销平衡与运价表：
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31,x33,x34取值为 0。
一区 一区 二区 三区 三区 产量
山西盂县 1,6 5 1,6 5 1,70 1,75 1,75 4000
河北临城 1,6 0 1,6 0 1,6 5 1,70 1,70 1500
假想生产点 M 0 M M 0 500
需要量 2800 2 00 1000 1700 3 00
33
第七章 运输问题（ 5） § 3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例 5,设有 A,B,C三个化肥厂供应 1,2,3,4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关
数据如下表：
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
1 2 3 4 产量
A 1 6 1 3 22 17 50
B 14 1 3 19 15 60
C 19 20 23 --- 50
最低需要量 30 70 0 10
最高需要量 50 70 30 不限
解,根据题意，作出产销平衡与运价表：
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M,而最高要求与最低要求的差
允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适
当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
1 ’ 1, 2 3 4 ’ 4, 产量
A 1 6 1 6 1 3 22 17 17 50
B 14 14 1 3 19 15 15 60
C 19 19 20 23 M M 50
D M 0 M 0 M 0 50
销量 30 20 70 30 10 50
34
第七章 运输问题（ 6） § 3 运输问题的应用
二、生产与储存问题
例 6,某厂按合同规定须于当年每个季度末分
别提供 10,15,25,20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机
的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不
交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费
用 0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
生产能力 （台） 单位成本 （万元）
一季度 25 1 0, 8
二季度 35 1 1, 1
三季度 30 1 1, 0
四季度 10 1 1, 3
解,设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那末应满足：
交货,x11 = 10 生产,x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25
x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 ≤ 35
x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 ≤ 30
x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 ≤ 10
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目
看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。可构造下列产销平衡问题：
目标函数,Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 D 产量
第一季度 10.80 1 0.95 11,1 0 11.2 0 25
第二季度 M 11.10 1 1.25 11.40 0 35
第三季度 M M 11.00 11.15 0 30
第四季度 M M M 11.30 0 10
销量 10 15 25 20 30
35
第七章 运输问题（ 7） § 3 运输问题的应用
二、生产与储存问题
例 7,光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知 1至 6月份各月的生产能力、合同销量
和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
已知上年末库存 103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到
分厂库房，每台增加运输成本 0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。
在 7--8月份销售淡季，全厂停产 1个月，因此在 6月份完成销售合同后还要留出库存 80台。
加班生产机器每台增加成本 1万元。问应如何安排 1--6月份的生产，可使总的生产费用
（包括运输、仓储、维护）最少？
正常生产能力 （台） 加班生产能力 （台） 销量 （台） 单台费用 （万元）
1 月份 60 10 104 15
2 月份 50 10 75 14
3 月份 90 20 1 1 5 1 3, 5
4 月份 100 40 160 13
5 月份 100 40 103 13
6 月份 80 40 70 1 3, 5
解,这个生产存储问题可化为运输问题来做。考虑,各月生产与交货分别视为产地和销地
1） 1--6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为 743台，销量为 707台。设一假想销
地销量为 36；
2）上年末库存 103台，只有仓储费和运输费，把它列为的 0行；
3） 6月份的需求除 70台销量外，还要 80台库存，其需求应为 70+80=150台；
4） 1--6表示 1--6月份正常生产情况,1’--6’表示 1--6月份加班生产情况。
36
第七章 运输问题（ 8） § 3 运输问题的应用
产销平衡与运价表：
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 虚销地 正常产量 加班产量
0 0, 3 0, 5 0, 7 0, 9 1, 1 1, 3 0 103
1 15 1 5, 3 1 5, 5 1 5, 7 1 5, 9 1 6, 1 0 60
1 ’ 16 1 6, 3 1 6, 5 1 6, 7 6, 9 1 7, 1 0 10
2 M 14 1 4, 3 1 4, 5 1 4, 7 1 4, 9 0 50
2 ’ M 15 1 5, 3 1 5, 5 1 5, 7 1 5, 9 0 10
3 M M 1 3, 5 1 3, 8 1 4, 0 1 4, 2 0 90
3 ’ M M 1 4, 5 1 4, 8 1 5, 0 1 5, 2 0 20
4 M M M 1 3, 0 1 3, 3 1 3, 5 0 100
4 ’ M M M 1 4, 0 1 4, 3 1 4, 5 0 40
5 M M M M 1 3, 0 1 3, 3 0 100
5 ’ M M M M 1 4, 0 1 4, 3 0 40
6 M M M M M 1 3, 5 0 80
6 ’ M M M M M 1 4, 5 0 40
销量 104 75 1 1 5 160 103 150 36
37
第七章 运 输 问 题（ 9）
例 8,腾飞电子仪器公司在大连和广州有两个分
厂生产同一种仪器，大连分厂每月生产 450台，
广州分厂每月生产 600台。该公司在上海和天津
有两个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛
四个城市的仪器供应。另外因为大连距离青岛较
近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输费
用如下图，单位是百元。问应该如何调运仪器，
可使总运输费用最低？ 图中 1- 广州,2 - 大连、
3 - 上海,4 - 天津,5 - 南京,6 - 济南,7 - 南昌,8 - 青岛
三、转运问题：
在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 ?转运站、转运站 ?销地、产地 ?产地、产
地 ?销地、销地 ? 转运站、销地 ?产地等 。
解,设 xij 为从 i 到 j 的运输量，可得到有下列特点的线性规划模型：
目标函数,Min f = 所有可能的运输费用（运输单价与运输量乘积之和）
约束条件：
对产地（发点） i,输出量 - 输入量 = 产量
对转运站（中转点）：输入量 - 输出量 = 0
对销地（收点） j,输入量 - 输出量 = 销量
38
第七章 运 输 问 题（ 10）
例 8．（续）
目标函数：
Min f = 2x13+ 3x14+ 3x23+ x24+ 4x28 + 2x35+ 6x36+ 3x37+ 6x38+ 4x45+ 4x46+ 6x47+ 5x48
约束条件：
s.t,x13+ x14 ≤ 600 ( 广州分厂供应量限制）
x23+ x24+ x28 ≤ 450 ( 大连分厂供应量限制）
-x13- x23 + x35 + x36+ x37 + x38 = 0 （上海销售公司，转运站）
-x14- x24 + x45 + x46+ x47 + x48 = 0 （天津销售公司，转运站）
x35+ x45 = 200 （南京的销量）
x36+ x46 = 150 （济南的销量）
x37+ x47 = 350 （南昌的销量）
x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量）
xij ≥ 0,i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8
用“管理运筹学”软件求得结果：
x13 = 550 x14 = 0 ；
x23 = 0 x24 = 150 x28 = 300 ；
x35 = 200 x36 = 0 x37 = 350 x38 = 0 ；
x45 = 0 x46 = 150 x47 = 0 x48 = 0 。
39
第七章 运输问题（ 11）
例 9,某公司有 A1,A2,A3三个分厂生产某种物质，分别供应 B1,B2,B3,B4四个地区的销售公司销
售。假设质量相同，有关数
据如右表：
试求总费用为最少的调
运方案。
假设,1、每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中一起运；
2、运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；
3、除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。
运价如下表：
B 1 B 2 B 3 B 4 产量
A 1 3 1 1 3 10 7
A 2 1 9 2 8 4
A 3 7 4 10 5 9
销量 3 6 5 6 和 = 20
A
1
A
2
A
3
T
1
T
2
T
3
T
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
1 3 2 1 4 3 3 1 1 3 10
A
2
1 --- 3 5 --- 2 1 9 2 8
A
3
3 --- 1 --- 2 3 7 4 10 5
T
1
2 3 1 1 3 2 2 8 4 6
T
2
1 5 --- 1 1 1 4 5 2 7
T
3
4 --- 2 3 1 2 1 8 2 4
T
4
3 2 3 2 1 2 1 --- 2 6
B
1
3 1 7 2 4 1 1 1 4 2
B
2
11 9 4 8 5 8 --- 1 2 1
B
3
3 2 10 4 2 2 2 4 2 3
B
4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
40
第七章 运输问题（ 12）
解,把此转运问题转化为一般运输问题：
1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；
2、运输表中不可能方案的运费取作 M，自身对自身的运费为 0；
3、产量及销量可定为：中转站 流量 +20=20，产地 产量 +20，销地 销量 +20。 20为各点可能变化的
最大流量；
4、对于最优方案，其中 xi i 为自身对自身的运量，实际上不进行运作。
扩大的运输问题产销平衡表：
A
1
A
2
A
3
T
1
T
2
T
3
T
4
B
1
B
2
B
3
B
4 产量
A
1
0 1 3 2 1 4 3 3 1 1 3 10 27
A
2
1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24
A
3
3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29
T
1
2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20
T
2
1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20
T
3
4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20
T
4
3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20
B
1
3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20
B
2
11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20
B
3
3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20
B
4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20
销量 20 20 20 20 20 20 20 23 26 25 26
管 理 运 筹 学
? 绪论
? 线性规划（运输问题）
? 整数规划
? 动态规划
? 存储论
? 排队论
? 对策论
? 决策分析
2
第一章 绪论
运筹学（ Operational Research) 直译为“运作研究”
运筹学是应用分析、试验、量化的方法，
对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源
进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方
案，以实现最有效的管理。
? 运筹学有广泛应用
? 运筹学的产生和发展
3
§ 1 决策、定量分析与管理运筹学
决策过程（问题解决的过程）：
1）提出问题：认清问题
2）寻求可行方案：建模、求解
3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径
4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等
5）选择最优方案：决策
6）方案实施：回到实践中
7）后评估：考察问题是否得到完满解决
1） 2） 3）：形成问题； 4） 5）分析问题：定性
分析与定量分析。构成决策。
4
§ 2 运筹学的分支
? 线性规划
? 非线性规划
? 整数规划
? 图与网络模型
? 存储模型
? 排队论
? 排序与统筹方法
? 决策分析
? 动态规划
? 预测
*** 多目标规划、随机规划、模糊规划等
5
§ 3运筹学在工商管理中的应用
? 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下
料、配料问题、物料管理等
? 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存
量等
? 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、
运输工具的调度以及建厂地址的选择等
? 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编
制、人员合理分配，建立人才评价体系等
? 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与
销售计划制定等
? 财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管
理、现金管理等
*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等
6
运筹学方法使用情况 (美 1983)
0
10
20
30
40
50
60
70
í±
??
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?ú
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2ó °? ê1 ó? óD ê±ê1 ó? ?- ±￡ ê1 ó?
7
运筹学方法在中国使用情况 (随机抽样 )
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
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8
运筹学的推广应用前景
? 据美劳工局 1992年统计预测,
运筹学应用分析人员需求从 1990年到 2005
年的增长百分比预测为 73%,增长速度排到各项
职业的前三位,
结论,
? 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的
? 工商企业对运筹学应用和需求是很大的
? 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做
9
§ 4如何学习运筹学
? MBA学员学习运筹学要把重点放在结合实际的应用上，不
要被一些概念、理论的困难吓倒，要用好计算机这个强有力
的工具。
? MBA学员学习运筹学要充分发挥自己实践经验丰富和理论
联系实际能力强的优势。
? MBA学员学习运筹学要把注意力放在“入口”和“出口”
两头，中间过程尽可能让计算机软件去完成：
“入口”即结合实际问题建立运筹学模型；
“出口”即解决问题的方案或模型的解。
? 本书附有运筹学教学软件，使用方法很简单。 MBA学员必
须尽快学会使用这个运筹学教学软件，并借助它来学好本课
程。
10
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用
? 合理利用线材问题：如何下料使用材最少
? 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润
? 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大
? 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获
利最大
? 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
? 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
线性规划的组成：
? 目标函数 Max f 或 Min f
? 约束条件 s.t,(subject to) 满足于
? 决策变量 用符号来表示可控制的因素
11
§ 1问题的提出
例 1,某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时
及 A,B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？
甲 乙 资源限制
设备 1 1 300 台时
原料 A 2 1 400 千克
原料 B 0 1 250 千克
单位产品获利 50 元 100 元
线性规划模型：
目标函数,Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件,s.t,x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1,x2 ≥ 0
12
线 性 规 划 模 型
? 一般形式
目标函数,Max （ Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
约束条件,s.t,a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =,≥ ） b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =,≥ ） b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =,≥ ） bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
? 标准形式
目标函数,Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
约束条件,s.t,a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
13
§ 2 图 解 法
例 1.
目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
s.t,
x1 + x2 ≤ 300 (A)
2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C)
x1 ≥ 0 (D)
x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50,x2 = 250
最优目标值 z = 27500
14
进 一 步 讨 论
? 线性规划的标准化内容之一,—— 引入松驰变量（含义是资源的剩余量）
例 1 中引入 s1,s2,s3 模型化为
目标函数,Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3
约束条件,s.t,x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1,x2,s1,s2,s3 ≥ 0
对于最优解 x1 =50 x2 = 250, s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
说明：生产 50单位甲产品和 250单位乙产品将消耗完所有可能的设备台时
数及原料 B，但对原料 A则还剩余 50千克。
解的性质：
1） 线性规划的最优解如果存在，则必定有一个顶点（极点）是最优解；
2） 有的线性规划问题存在无穷多个最优解的情况；
3） 有的线性规划问题存在无有限最优解的情况，也称无解；
4） 有的线性规划问题存在无可行解的情况 。
作业,P24---1,2,3,4,5
15
§ 3图解法的灵敏度分析
? 灵敏度分析,建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数
（系数） ci,aij,bj 变化时，对最优解产生的影响。
3.1 目标函数中的系数 ci的灵敏度分析
考虑例 1的情况,ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率，
目标函数 z = 50 x1 + 100 x2
在 z = x2 (x2 = z 斜率为 0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率为 -1 )之间时，
原最优解 x1 = 50,x2 = 100 仍是最优解。
? 一般情况：
z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2 = - (c1 / c2 ) x1 + z / c2
目标函数等值线的斜率为 - (c1 / c2 )
当 -1 ? - (c1 / c2 ) ? 0 （ *） 时，原最优解仍是最优解
? 假设产品乙的利润 100元不变，即 c2 = 100，代到式 （ *） 并整理得
0 ? c1 ? 100
? 假设产品甲的利润 50 元不变，即 c1 = 50,代到式 （ *） 并整理得
50 ? c2 ? + ?
? 假若产品甲、乙的利润均改变，则可直接用式 （ *） 来判断。
? 假设产品甲、乙的利润分别为 60元,55元，则
- 2 ? - (60 / 55) ? - 1
那麽，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100,x2 = 200 。
16
3.2 约束条件中右边系数 bj的灵敏度分析
? 当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优
解的变化。
? 考虑例 1的情况,假设设备台时增加 10个台时，即 b1变化为 310，这时可行域扩
大,最优解为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 = 60,x2 = 250 。
变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润
(50*60+100*250) - (50*50+100*250) = 500, 500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少） 1个台时的设备能力就可增加（减少） 50元利
润，称为该约束条件的对偶价格。
? 假设原料 A 增加 10 千克时，即 b2变化为 410，这时可行域扩大，但 最优解仍为
x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50,x2 = 250 。
此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0 。
解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有 50千克的剩余，因此增加 10千克值增加了
库存，而不会增加利润。
? 在一定范围内，当约束条件右边常数增加 1个单位时
1）若约束条件的对偶价格大于 0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；
2）若约束条件的对偶价格小于 0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；
3）若约束条件的对偶价格等于 0，则其最优目标函数值不变。
? 作业,P24---6,7,8
17
第三章 线性规划问题的计算机求解 (1)
? 管理运筹学软件 1.0版使用说明：（演示例 1）
一、系统的进入与退出：
1、在 WINDOWS环境下直接运行 main.exe文件，或者在 DOS下 UCDOS中文平台环
境下运行，也可直接运行各可执行程序。
2、退出系统的方法可以在主菜单中选退出项，也可按 Ctrl+Break键直接退出。
3、在 WINDOWS环境下直接运行软件，如果出现乱码，那是因为启用了全屏幕方
式，解决办法是按 ALT+ENTER键,即可转换成非全屏的界面（一般就会消除
乱码，如果还是乱码，可以点击菜单的“汉”选项）；若要每次启动程序都没
有乱码，则需要修改屏幕设置的相应属性。具体方法是：在非全屏界面下点击
菜单的“属性”选项，再选择“窗口”选项，然后选中其中的“窗口”项，并
取消“启动时恢复设置”项，这样就可保证每次运行软件时以非全屏方式显示。
二、输入部分：
1、线性规划、整数规划的目标函数和约束的输入必须按由小到大的序号顺序输入，
同时约束变量必须放在运算
符的左侧。如（ x1+x2-x3=0，不能输为 x2-x3+x1=0； x1-x2+x3=0，不能输为
x1+x3=x2）
2、输入的约束中不包括 ">="或 "<="，而是用 ">"或 "<"代替，这不会影响求解。如
对于约束 X1>=2,则输入 X1>2,而不是 X1>=2。
18
第三章 线性规划问题的计算机求解 (2)
? 结果考察：（演示例 1）
1、当目标函数的系数 ci 单一变化时，只要不超过其上、下限，最优解不变；
2、当约束条件中右边系数 bj 变化时，当其不超过上、下限，对偶价格不变（最优
解仍是原来几个线性方程的解）；
3、当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
? 百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右边常数值），
当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过 100%时，最优解不
变（对偶价格不变，最优解仍是原来几个线性方程的解）
* 允许增加量 = 上限 - 现在值 c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50
b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
* 允许减少量 = 现在值 - 下限 c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50
b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
* 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量
* 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
19
第三章 线性规划问题的计算机求解 (3)
? 例,c1 变为 74,c2 变为 78,则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%，故最优解
不变。
b1 变为 315,b3 变为 240,则 (315 - 50) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对
偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。
? 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意：
1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增
加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作 0；
2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；
3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束
条件右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只有重新求
解。
20
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (1)
一、人力资源分配的问题
例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公
交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务
人员?
班次 时间 所需人数
1 6, 00 —— 10, 00 60
2 10, 00 —— 14, 00 70
3 14, 00 —— 18, 00 60
4 18, 00 —— 22, 00 50
5 22, —— 2, 00 20
6 2, 00 —— 6, 00 30
解：设 xi 表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的
数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件,s.t,x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
21
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (2)
一、人力资源分配的问题
例 2．福安商场是个中型的百货商场，它
对售货员的需求经过统计分析如右表：
为了保证售货人员充分休息，售货人员
每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两
天是连续的。问应该如何安排售货人员的作
息，既满足工作需要，又使配备的售货人员
的人数最少？
时间 所需售货员人数
星期日 28
星期一 15
星期二 24
星期三 25
星期四 19
星期五 31
星期六 28
解：设 xi ( i = 1 - 7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的
数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件,s.t,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
22
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (3)
二、生产计划的问题
例 3．明兴公司生产甲、乙、
丙三种产品，都需要经过铸造、
机加工和装配三个车间。甲、乙
两种产品的铸件可以外包协作，
亦可以自行生产，但产品丙必须
本厂铸造才能保证质量。数据如
右表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两
种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时 ( 小时 / 件 ) 5 10 7 8000
机加工工时 ( 小时 / 件 ) 6 4 8 12000
装配工时 ( 小时 / 件 ) 3 2 2 10000
自产铸件成本 ( 元 / 件 ) 3 5 4
外协铸件成本 ( 元 / 件 ) 5 6 --
机加工成本 ( 元 / 件 ) 2 1 3
装配成本 ( 元 / 件 ) 3 2 2
产品售价 ( 元 / 件 ) 23 18 16
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，
x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和
可得到 xi （ i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15,10,7,13,9 元。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件,s.t,5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
23
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (4)
二、生产计划的问题
例 4．永久机械厂生产 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ 三种产品，均要经过 A,B两道工
序加工。设有两种规格的设备 A1,A2
能完成 A 工序；有三种规格的设备
B1,B2,B3能完成 B 工序。 Ⅰ 可在 A、
B的任何规格的设备上加工； Ⅱ 可在
任意规格的 A设备上加工，但对 B工序，
只能在 B1设备上加工； Ⅲ 只能在 A2与 B2设备上加工；数据如右上表。问：为使该厂获得最大利
润，应如何制定产品加工方案？
产品单件工时
设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
设备的
有效台时
满负荷时的
设备费用
A 1 5 10 6000 300
A 2 7 9 12 10000 321
B 1 6 8 4000 50
B 2 4 11 7000 783
B 3 7 4000 200
原料 （元 / 件） 0,2 5 0,3 5 0,5 0
售价 （元 / 件） 1,2 5 2,0 0 2,8 0
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。
利润 = [（销售单价 - 原料单价） * 产品件数 ]之和 - （每台时的设备费用 *设备实际
使用的总台时数）之和。 这样我们建立如下的数学模型,
Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-
1.2304x322-0.35x123
s.t,5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ）
7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ）
6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ）
4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ）
7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （ Ⅰ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x211+ x212- x221 = 0 （ Ⅱ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x312 - x322 = 0 （ Ⅲ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
24
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (5)
三、套裁下料问题
例 5．某工厂要做 100套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各
一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解,设计下列 5 种下料方案
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8
2, 9 m 1 2 0 1 0 1 0 0
2, 1 m 0 0 2 2 1 1 3 0
1, 5 m 3 1 2 0 3 1 0 4
合计 7, 4 7, 3 7, 2 7, 1 6, 6 6,5 6,3 6, 0
剩余料头 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 8 0, 9 1,1 1, 4
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
约束条件,s.t,x1 + 2x2 + x4 ≥ 100
2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100
3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
25
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (6)
四、配料问题
例 6．某工厂要用三种原料 1、
2,3混合调配出三种不同规格的
产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利
润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价 （元 / k g ）
甲 原材料 1 不少于 50%,原材料 2 不超过 25% 50
乙 原材料 1 不少于 25%,原材料 2 不超过 50% 35
丙 不限 25
原材料名称 每天最多供应量 单价 （元 / k g ）
1 100 65
2 100 25
3 60 35
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数
学模型时，要考虑：
对于甲,x11,x12,x13；
对于乙,x21,x22,x23；
对于丙,x31,x32,x33；
对于原料 1,x11,x21,x31；
对于原料 2,x12,x22,x32；
对于原料 3,x13,x23,x33；
目标函数,利润最大，利润 = 收入 - 原料支出
约束条件,规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
26
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (6续 )
例 6．（续）
目标函数,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t,0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1不少于 50%）
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2不超过 25%）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1不少于 25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2不超过 50%）
x11+ x21 + x31 ≤ 100 ( 供应量限制）
x12+ x22 + x32 ≤ 100 ( 供应量限制）
x13+ x23 + x33 ≤ 60 ( 供应量限制）
xij ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2,3
? ****例 7由学员自己看懂
27
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (7)
五、投资问题
例 8．某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项
目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第
一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额
不能超过 30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规
定最大投资额不能超过 80万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本
利 155%，但规定最大投资额不能超过 100万元；
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最
大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330万元
的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
项目 风险指数 （次 /万元）
A 1
B 3
C 4
D 5, 5
解,1） 确定决策变量：连续投资问题
设 xij ( i = 1 - 5,j = 1,2,3,4)表示第 i 年初投资于 A(j=1),B(j=2),C(j=3)、
D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C x33
D x24
28
第四章 线性规划在工商管理中的应用 (7续 )
2）约束条件：
第一年,A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；
第二年,B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
B,C,D的投资限制,xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
3）目标函数及模型：
a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
xij ≥ 0 ( i = 1, 2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( I =1, 2,3,4 ),x33 ≤ 80, x24 ≤ 100
1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1, 2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
29
第七章 运 输 问 题（ 1）
§ 1 运 输 模 型
例 1,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 200
A 2 6 5 5 300
销量 150 150 200
解,产销平衡问题,总产量 = 总销量
设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj的运输量，得到下列运输量表：
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 200
A 2 x 2 1 x 2 2 x 2 3 300
销量 150 150 200
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
s.t,x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
xij ≥ 0 ( i = 1, 2； j = 1,2,3）
30
第七章 运 输 问 题（ 2）
? 设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
m n
Min f = ? ? cij xij
i = 1 j = 1
n
s.t,? xij = si i = 1,2,…,m
j = 1
m
? xij = dj j = 1,2,…,n
i = 1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
?一般运输模型,产销平衡
A1,A2,…, Am 表示某物资的 m个产地； B1,B2,…, Bn 表示某物质的 n个销地； si
表示产地 Ai的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价。
?变化：
1）有时目标函数求最大 如求利润最大或营业额最大等；
2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可直接加入（等式或不等式）约
束；
3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。
31
第七章 运 输 问 题（ 3）
§ 2 运输问题的计算机求解
例 2,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
解,增加一个
虚设的销地
运输费用为 0
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 3 00
A 2 6 5 5 300
销量 150 150 200B
1 B 2 B 3 B 4 产量
A 1 6 4 6 0 3 00
A 2 6 5 5 0 300
销量 150 150 200 100
例 3,某公司从两个产地 A1,A2将物品运往三个销地 B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的
销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用
最小？
解,增加一个
虚设的产地
运输费用为 0
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 200
A 2 6 5 5 300
销量 250 200 200
B 1 B 2 B 3 产量
A 1 6 4 6 2 00
A 2 6 5 5 300
A 3 0 0 0 150
销量 250 200 200
32
第七章 运输问题（ 4） § 3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例 4,石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤 3000,1000,2000吨，由
河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为 1500,4000
吨，运价为：
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少 0--200吨，二区必须满足需求量，三区
供应量不少于 1700吨，试求总费用为最低的调运方案。
一区 二区 三区 产量
山西盂县 1,6 5 1, 7 0 1, 7 5 4000
河北临城 1,6 0 1, 6 5 1, 7 0 1500
需要量 3000 1000 2000
解,根据题意，作出产销平衡与运价表：
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31,x33,x34取值为 0。
一区 一区 二区 三区 三区 产量
山西盂县 1,6 5 1,6 5 1,70 1,75 1,75 4000
河北临城 1,6 0 1,6 0 1,6 5 1,70 1,70 1500
假想生产点 M 0 M M 0 500
需要量 2800 2 00 1000 1700 3 00
33
第七章 运输问题（ 5） § 3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例 5,设有 A,B,C三个化肥厂供应 1,2,3,4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关
数据如下表：
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
1 2 3 4 产量
A 1 6 1 3 22 17 50
B 14 1 3 19 15 60
C 19 20 23 --- 50
最低需要量 30 70 0 10
最高需要量 50 70 30 不限
解,根据题意，作出产销平衡与运价表：
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M,而最高要求与最低要求的差
允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适
当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
1 ’ 1, 2 3 4 ’ 4, 产量
A 1 6 1 6 1 3 22 17 17 50
B 14 14 1 3 19 15 15 60
C 19 19 20 23 M M 50
D M 0 M 0 M 0 50
销量 30 20 70 30 10 50
34
第七章 运输问题（ 6） § 3 运输问题的应用
二、生产与储存问题
例 6,某厂按合同规定须于当年每个季度末分
别提供 10,15,25,20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机
的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不
交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费
用 0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
生产能力 （台） 单位成本 （万元）
一季度 25 1 0, 8
二季度 35 1 1, 1
三季度 30 1 1, 0
四季度 10 1 1, 3
解,设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那末应满足：
交货,x11 = 10 生产,x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25
x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 ≤ 35
x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 ≤ 30
x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 ≤ 10
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目
看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。可构造下列产销平衡问题：
目标函数,Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 D 产量
第一季度 10.80 1 0.95 11,1 0 11.2 0 25
第二季度 M 11.10 1 1.25 11.40 0 35
第三季度 M M 11.00 11.15 0 30
第四季度 M M M 11.30 0 10
销量 10 15 25 20 30
35
第七章 运输问题（ 7） § 3 运输问题的应用
二、生产与储存问题
例 7,光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知 1至 6月份各月的生产能力、合同销量
和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
已知上年末库存 103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到
分厂库房，每台增加运输成本 0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。
在 7--8月份销售淡季，全厂停产 1个月，因此在 6月份完成销售合同后还要留出库存 80台。
加班生产机器每台增加成本 1万元。问应如何安排 1--6月份的生产，可使总的生产费用
（包括运输、仓储、维护）最少？
正常生产能力 （台） 加班生产能力 （台） 销量 （台） 单台费用 （万元）
1 月份 60 10 104 15
2 月份 50 10 75 14
3 月份 90 20 1 1 5 1 3, 5
4 月份 100 40 160 13
5 月份 100 40 103 13
6 月份 80 40 70 1 3, 5
解,这个生产存储问题可化为运输问题来做。考虑,各月生产与交货分别视为产地和销地
1） 1--6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为 743台，销量为 707台。设一假想销
地销量为 36；
2）上年末库存 103台，只有仓储费和运输费，把它列为的 0行；
3） 6月份的需求除 70台销量外，还要 80台库存，其需求应为 70+80=150台；
4） 1--6表示 1--6月份正常生产情况,1’--6’表示 1--6月份加班生产情况。
36
第七章 运输问题（ 8） § 3 运输问题的应用
产销平衡与运价表：
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 虚销地 正常产量 加班产量
0 0, 3 0, 5 0, 7 0, 9 1, 1 1, 3 0 103
1 15 1 5, 3 1 5, 5 1 5, 7 1 5, 9 1 6, 1 0 60
1 ’ 16 1 6, 3 1 6, 5 1 6, 7 6, 9 1 7, 1 0 10
2 M 14 1 4, 3 1 4, 5 1 4, 7 1 4, 9 0 50
2 ’ M 15 1 5, 3 1 5, 5 1 5, 7 1 5, 9 0 10
3 M M 1 3, 5 1 3, 8 1 4, 0 1 4, 2 0 90
3 ’ M M 1 4, 5 1 4, 8 1 5, 0 1 5, 2 0 20
4 M M M 1 3, 0 1 3, 3 1 3, 5 0 100
4 ’ M M M 1 4, 0 1 4, 3 1 4, 5 0 40
5 M M M M 1 3, 0 1 3, 3 0 100
5 ’ M M M M 1 4, 0 1 4, 3 0 40
6 M M M M M 1 3, 5 0 80
6 ’ M M M M M 1 4, 5 0 40
销量 104 75 1 1 5 160 103 150 36
37
第七章 运 输 问 题（ 9）
例 8,腾飞电子仪器公司在大连和广州有两个分
厂生产同一种仪器，大连分厂每月生产 450台，
广州分厂每月生产 600台。该公司在上海和天津
有两个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛
四个城市的仪器供应。另外因为大连距离青岛较
近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输费
用如下图，单位是百元。问应该如何调运仪器，
可使总运输费用最低？ 图中 1- 广州,2 - 大连、
3 - 上海,4 - 天津,5 - 南京,6 - 济南,7 - 南昌,8 - 青岛
三、转运问题：
在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 ?转运站、转运站 ?销地、产地 ?产地、产
地 ?销地、销地 ? 转运站、销地 ?产地等 。
解,设 xij 为从 i 到 j 的运输量，可得到有下列特点的线性规划模型：
目标函数,Min f = 所有可能的运输费用（运输单价与运输量乘积之和）
约束条件：
对产地（发点） i,输出量 - 输入量 = 产量
对转运站（中转点）：输入量 - 输出量 = 0
对销地（收点） j,输入量 - 输出量 = 销量
38
第七章 运 输 问 题（ 10）
例 8．（续）
目标函数：
Min f = 2x13+ 3x14+ 3x23+ x24+ 4x28 + 2x35+ 6x36+ 3x37+ 6x38+ 4x45+ 4x46+ 6x47+ 5x48
约束条件：
s.t,x13+ x14 ≤ 600 ( 广州分厂供应量限制）
x23+ x24+ x28 ≤ 450 ( 大连分厂供应量限制）
-x13- x23 + x35 + x36+ x37 + x38 = 0 （上海销售公司，转运站）
-x14- x24 + x45 + x46+ x47 + x48 = 0 （天津销售公司，转运站）
x35+ x45 = 200 （南京的销量）
x36+ x46 = 150 （济南的销量）
x37+ x47 = 350 （南昌的销量）
x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量）
xij ≥ 0,i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8
用“管理运筹学”软件求得结果：
x13 = 550 x14 = 0 ；
x23 = 0 x24 = 150 x28 = 300 ；
x35 = 200 x36 = 0 x37 = 350 x38 = 0 ；
x45 = 0 x46 = 150 x47 = 0 x48 = 0 。
39
第七章 运输问题（ 11）
例 9,某公司有 A1,A2,A3三个分厂生产某种物质，分别供应 B1,B2,B3,B4四个地区的销售公司销
售。假设质量相同，有关数
据如右表：
试求总费用为最少的调
运方案。
假设,1、每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中一起运；
2、运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；
3、除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。
运价如下表：
B 1 B 2 B 3 B 4 产量
A 1 3 1 1 3 10 7
A 2 1 9 2 8 4
A 3 7 4 10 5 9
销量 3 6 5 6 和 = 20
A
1
A
2
A
3
T
1
T
2
T
3
T
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
1 3 2 1 4 3 3 1 1 3 10
A
2
1 --- 3 5 --- 2 1 9 2 8
A
3
3 --- 1 --- 2 3 7 4 10 5
T
1
2 3 1 1 3 2 2 8 4 6
T
2
1 5 --- 1 1 1 4 5 2 7
T
3
4 --- 2 3 1 2 1 8 2 4
T
4
3 2 3 2 1 2 1 --- 2 6
B
1
3 1 7 2 4 1 1 1 4 2
B
2
11 9 4 8 5 8 --- 1 2 1
B
3
3 2 10 4 2 2 2 4 2 3
B
4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
40
第七章 运输问题（ 12）
解,把此转运问题转化为一般运输问题：
1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；
2、运输表中不可能方案的运费取作 M，自身对自身的运费为 0；
3、产量及销量可定为：中转站 流量 +20=20，产地 产量 +20，销地 销量 +20。 20为各点可能变化的
最大流量；
4、对于最优方案，其中 xi i 为自身对自身的运量，实际上不进行运作。
扩大的运输问题产销平衡表：
A
1
A
2
A
3
T
1
T
2
T
3
T
4
B
1
B
2
B
3
B
4 产量
A
1
0 1 3 2 1 4 3 3 1 1 3 10 27
A
2
1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24
A
3
3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29
T
1
2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20
T
2
1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20
T
3
4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20
T
4
3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20
B
1
3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20
B
2
11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20
B
3
3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20
B
4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20
销量 20 20 20 20 20 20 20 23 26 25 26
