华东师范大学：教育统计学：教育统计学讲义

分类：统计格式：ppt 日期：2007年03月22日

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教育统计学
STATISTICS OF EDUCATION
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第一章绪论
第二章数据的初步整理
第三章集中量
第四章差异量
第五章概率极概率分布
第六章抽样分布及总体平均数的推断
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第七章平均数差异的显著性检验
第八章方差分析
第九章总体比率的推断
第十章 χ2检验
第十一章相关分析
第十二章回归分析
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第十三章非参数检验
第十四章抽样设计
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第一章绪论
INTRODUCTION
主要内容,
?统计学的发展史简介
?教育统计学的主要内容
?统计学中的基本概念
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1.1 统计学的发展史简介
1.1.1 统计学的起源
?STATISTICS(统计学 )一词源于法语 STATUS(状态 )
自中世纪以来逐渐演变为含有政治意味的 STATE(国家 )。因此，
统计学包含有对国家状态作调查研究的意义。
?H.Conring 创立国势学体系
但它与现代统计学不同的是国势学不用数字资料，而只用文字的
描述
?十七世纪，政治算术统计学在英国兴起。
?概率论的起源与发展。概率论的发展最早源于赌博
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C.Huygens 著, 骰子赌博的理论,
伯努利的研究
高斯的研究：高斯曲线
?描述统计学的发展：生物统计学的影响
F.galton 主要研究平均值的偏差和回归问题
K.Pearson 在前者的基础上发展出许多描述统计方法：频数分
布、频数分布函数、回归、相关、拟合度等。
?推断统计学的诞生
W.S.Gorsset (Student)开始研究
R.A.Fisher 统计推断学的创立
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1.1.2 统计学的应用
1.1.3 统计学的发展
?理论和方法不断地被完善和深化
从线性到非线性；从低维到高维；从显在到潜在；从连续到离散
?计算机及相关的软件成为统计工作中不可少的工具
SPSS,SAS,DATA-TEST,STATA等软件
?发展成为独立的交叉性学科
是一种独立的学科，是一种方法论
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1.2 教育统计学的主要内容
1.2.1 统计学与教育统计学
1,统计学 (Statistics)
统计学是研究统计原理和方法的科学。
具体：是研究如何搜集、整理、分析反映事物总体的数字资
料，并以此为依据，对总体特征进行推断的原理和方法。
2,教育统计学 (Statistics of education)
教育统计学是运用数理统计的原理和方法研究教育问题的一
门应用科学。
主要任务：研究如何搜集、整理、分析由教育调查和教育实
验等途径所获得的数字资料，并以此为依据，进行科学推断，
从而揭示蕴含在教育现象中的客观规律。
具体：提供各种统计方法的应用条件
对统计计算结果的解释
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1.2.2 教育统计学的基本内容
1,描述统计 (Descriptive Statistics)
对已获得的数据进行整理、概括，显现其分布特征的统计方
法，称为描述统计。常用的描述统计方法：集中量、差异量、
标准分数、相关量。
2,推断统计 (Inferential Statistics)
根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证。
在一定可靠程度上对总体分布特征进行估计、推测。这种统
计方法成为推断统计。
3.实验设计 (Experimental designs)
实验者为了揭示实验中自变量与因变量的关系，在实验前所
制订的实验计划称为实验设计。
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包括,○ 选择怎样的抽样方式
○ 如何计算样本容量
○ 确定怎样的实验对照形式
○ 如何实现实验组和对照组的等组化
○ 如何安排实验因素
○ 如何控制无关变量
○ 用什么统计方法处理及分析实验结果。
4, 描述统计、推断统计、实验设计三者之间的关系
?描述统计是推断统计的基础
?推断统计是描述统计的升华
?良好的实验设计是获得真实的，有价值的数据，并推测未知
的教育结果的保证
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1.2.3 教育统计学的结构
资料收集描述统计推断统计
概率论
?经常性资料
?调查数据
?实验数据
?历史资料
?测验数据
?统计图表
?集中量
?差异量
?相关量
?预测统计
predictive
?Z 检验
?T 检验
?非参数检验
?方差分析
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1.3 教育统计学中的基本概念
1,变量与常量 (Variable vs Constant)
2,随机变量 (Random Variable)
表示随机现象各种结果的变量
随机现象：一次方试验有多种可能的结果；试验前不能
预料哪一种结果会出现；试验可以重复。
随机事件,
3,总体与样本 (Population vs Sample)
4,统计量与参数 (Statistic vs Parameter)
样本的数字特征称为统计量
总体的数字特征称为参数
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5,点计数据与度量数据
6,间断变量与连续变量
(Discrete variable vs Continuous variable)
7,名称变量、等级变量、等距变量及比率变量
(Nominal variable, Ordinal variable, Interval variable,
Ratio variable)
Nominal variable,Has values which differ in quality only
Ordinal variable,Has values ordered by quality
Interval variable,Has ordered by quality with equal-sized
interval between each
Ratio variable,Like interval variables but with a true zero
point
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第二章数据的初步整理
ORGANIZING AND PRESENTING DATA
?如何做表
PRESENTING DATA IN A TABLE
?如何做图
PRESENTING DATA IN A GRAPH
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2.1 数据的基本来源
1,经常性资料
2,专题性资料
教育实验；教育调查；测验数据等
2.2 数据初步整理的基本过程
1,分组 (如表 2.1)
表 2.1 某幼儿园三个大班 32名幼儿体重统计表
组别人数
１８．５－－１９．５１５
１９．５－－２０．５１０
２０．５－－２１．５７
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2,汇总
把总体各单位数和指标数归纳到各组中去，并算出总
体和各组的指标数的总计数。
3,编统计图、统计表
表 2.2 某园大班幼儿体重达标情况统计表
未达标达标超标总计
大 (１ ) ２２５３３０
大 (２ ) １２４５３０
大 (３ ) ３２７０３０
总计６７６８９０
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2.3 统计表
2.3.1 表的基本结构
?标题
?表号
?标目 (横标目、纵标目 )
?线条 (三栏一竖 )
?数字 (表的主要内容 )
?表注
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2.3.2 统计表的种类
1,简单表
只列出观察对象的名称, 地点, 时序或统计指标名称的统
计表为简单表。
表 2.3 某年级各班学生人数
班别一班二班三班四班五班
人数４２３６５０４５１７３
表 2.4 某校高三学生各年高考录取人数
年份 1998 1999 2000 总和
高考录取人数 144 123 125 392
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2,分组表
只按一个标志分组的统计表成为分组表。
表 2.5 上海市区幼儿 20米跑步用时
年龄组３岁４岁５岁６岁
平均秒数 ( ) ７,７１７,１６６,０４５,５３
3,复合表
按两个或两个以上标志分组的统计表为复合表。
表 2.6 本市市区, 郊区 4岁和 6岁幼儿守恒能力测定成绩统计表
n S
４岁市区１６７６３,３７１９,１７
郊区９１６６,１５１８,２３
６岁市区１６７９１,４７１９,５３
郊区９１９７,７５１６,５７
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2.3.3 连续变量频数分布表列法
2.3.3.1 概念
1,频数
某一个随机事件在 n次试验中出现的次数称为这个随机事件
的频数。
2,频数分布
将各种随机事件在 n次试验中出现的次数分布, 称为频数分
布。
3,频数分布表
频数分布用表格形式表达出来，这种表格叫频数分布表。
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2.3.3.2 连续变量频数分布表的编制
例 2.1 师大附小二年级 80个学生的身高如下表，并用该数
据做频数分布表。
表 2.7 师大附小二年级 80个学生的身高
135 134 129 133 131 131 131 134 125 128
135 127 127 133 130 132 132 129 124 132
122 124 127 131 137 132 133 134 124 128
135 133 131 123 115 132 134 138 124 132
128 136 127 120 125 131 136 127 124 129
129 132 138 125 131 120 121 144 128 133
128 127 130 120 121 122 127 121 125 130
140 121 126 130 122 128 127 125 127 131
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1,求全距 (Range,R)
全部数据的最大值与最小值之差
例,R =最大值 — 最小值 =144— 115=29
2,决定组数与组距 (Intervals and Width)
组数 (k)：分组的个数 (一般 10～ 15为宜 )，具体根据样本大
小来确定组数，组数的确定要与组距同时考虑。例题中决
定组数为 10。
上例,i=
3,决定组限
每组的最低值为下限，最高值为上限，列出各组组限时，
最低一组应包括最小的一个数据，最高一组应包括最大的
一个数据。
39.21029 ???组数 R
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4,登记频数并计算
用划“正”字法。将数据列入相应的组距内，在归组时如
遇有的数据正好等于某组的组限时，可将它归入数据较大
的一组。
5,计算频数 (Frequency)
全部数据登记完后，把各组次数写在频数分布表内，用,f”
表示。
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表 2.8 师大附小二年级 80个学生的身高
115 122 124 127 128 129 131 132 133 135
120 122 125 127 128 129 131 132 133 136
120 122 125 127 128 130 131 132 134 136
120 123 125 127 128 130 131 132 134 137
121 124 125 127 128 130 131 132 134 138
121 124 125 127 128 130 131 133 134 138
121 124 126 127 129 131 132 133 135 140
121 124 127 127 129 131 132 133 135 144
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表 2.9 二年级 80个学生身高的频数
身高 (1) 组中值 (2) 频数 (3)
115-
118-
121-
124-
127-
130-
133-
136-
139-
142-
116.5
119.5
122.5
125.5
128.5
131.5
134.5
137.5
140.5
143.5
1
3
8
10
20
19
12
4
2
1
总和 80
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2.3.3.2 累积频数和累积百分比分布表
1.区分几个概念
组中值
Mid-points
频数 (绝对频数 )(f)
(Absolute) Frequency
相对频数 (比率 )(rf)
Relative Frequency
累积 (绝对 )频数 (cf)
(Absolute) Cumulative Frequency
累积相对频数 (Rel cf)
Relative Cumulative Frequency
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2,累积频数和累积百分比分布表
表 2.10 二年级 80个学生身高的频数、累积频数、累积百分比表
身高组中值频数相对频数累积频数累积百分比
115-
118-
121-
124-
127-
130-
133-
136-
139-
142-
116.5
119.5
122.5
125.5
128.5
131.5
134.5
137.5
140.5
143.5
1
3
8
10
20
19
12
4
2
1
.0125
.3750
.1000
.1250
.2500
.2375
.1500
.0500
.0250
.0125
1
4
12
22
42
61
73
77
79
80
1.25
5.00
15.00
27.50
52.50
76.25
91.25
96.25
98.75
100
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2.4 统计图
2.4.1 表示间断变量的统计图
1,直条图
?是利用条形的长短比较各种统计指标的大小。
绘制手续简便、表现形式明确、图形效果良好。
纵排 —— 柱形图
横排 —— 带形图
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?绘制直条图注意点,
?图形的尺度必须以零点为起点，同时尺度上的任何单位必须
用相等距离表示。
?条形的长短表示数量的多少。
?各条形的宽度必须相等，各条形之间的间隔应一致，一般为
条形宽度的一半至一倍比较合适。
?各条形的排列应有一定的顺序。
?直条的顶端和下端不要注写数字。
?在复合条形图和条形结构图中应采用不同的线纹或颜色加以
区别并加制图说明。
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2．圆形图
?圆形图的定义
是一种经常用来说明总体结构的图形。一个圆形代表一个
完整的总体, 圆形内的各个扇形相当于总体的各个组成部
分。
?绘制步骤
?求各组成部分所占百分比
?求组成部分的中心角度数
?以圆的下半径 (或上半径 )为基线，按被比事物特定顺序，
根据各部分的角度数，以顺时针方向，用量角器将图形分
成几个扇形。
?用不同线条或不同颜色将各扇形加以区别，并在各扇形内
用简要文字及百分比加以注明。
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例 2.2 将下表 12 的资料制成图 1
表 2.11 某区幼儿园家长文化程度统计表
文化程度百分比圆心角
初中以下
初中
高中、中专
大专以上
40.2%
40.8%
15.9%
3.1%
144.72°
146.88 °
57.24 °
11.16 °
40.2%
40.8%
15.9%
3.1%
初中以下
初中
高中中专
大专以上
图 1：某区幼儿园家长文化程度统计图
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2.4.2 表示连续变量的统计图
1．线形图
?定义
表示两个变量之间的函数关系。一种事物随另一种事物变
化的情况 ;某种事物随时间推移的发展趋势等。
?绘制方法
?先画一条直角坐标系，横轴表示时间或自变量，纵轴表示
频数或因变量。
?描点：用直线连接相邻两点。 (按时间顺序连成线条即成 )
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表 2.12 建国以来某地区幼儿园人数统计表
年份人数 (万 )
解放前
49
51
53
55
2.0
3.5
4.0
4.5
6.0
0
1
2
3
4
5
6
7
解放前 49 51 53 55
图 2：建国以来，某地区幼儿园人数发展统计图
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2,频数分布图
常用的频数分布图有直方图、多边图、累积多边图
?注意点,
?绘折线，不画光滑曲线
?图中相比较的线一般不超过五条，图中不用文字或数字表
示。
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?直方图
?用面积表示频数分布，用各组上下限的矩形面积表示各组
的频数
表 2.13 二年级 80个学生身高的频数、累积频数、累积百分比
身高组中值频数累积频数累积百分比
115-
118-
121-
124-
127-
130-
133-
136-
139-
142-
116.5
119.5
122.5
125.5
128.5
131.5
134.5
137.5
140.5
143.5
1
3
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?作横轴：把上表第 (1)列的上、下限或第 (2)列的组中值分置
于横轴上。表上共有 10个组，而作图时，须在横轴的两端
至少各空出一个组距的位置。
?作纵轴：在纵轴上表明尺度及其单位，以指示频数。
?在纵轴上定出各组频数高度，并在各组频数高度处划一横
线与各组上、下限的两条纵线相交，形成一个矩形。由于
横轴上各组距之间是连续的，故各矩形之间不能留空隙。
甚至每个矩形的内侧垂线也可以不画
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图,二年级 80个学生身高的频数分布直方图
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?多边图
?特点：以纵轴上的高度表示频数的多少。
?绘制：以各组的中点为横坐标，以各组的频数为纵坐标
描点并用直线连接，即成。
?图形的两端应该引至外侧一组的中点与基线相接。
图：二年级 80个学生身高的频数分布多边图
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图：二年级 80个学生身高的频数分布多边图
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?累积频数和累积百分比多边图
?累积频数多边图的绘制,
※ 作横轴
将学生身高各组的上、下限分置于横轴上。
※ 作纵轴
在纵轴上标明尺度与单位，以指示累积频数。
※ 描点
以各组上下限为横坐标，各组累积频数为纵坐标描点，用
弧线连接每相邻的两点，即成累积频数多变图，图形左端
应引至第一组的下限与基线相接。
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表 1.13 二年级 80个学生身高的频数、累积频数、累积百分比表
例图：二年级 80个学生身高的累积频数和累积百分比分布图
身高组中值频数累积频数累积百分比
115-
118-
121-
124-
127-
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122.5
125.5
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134.5
137.5
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因为累积频数和累积百分比图形都成,S”形，所以统称为,S”
型曲线。
S型曲线特殊应用是,
假如给出横轴上一个分值，我们可以找出其百分位置。
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?将统计资料通俗化、形象化、使人一目了然、易于接收。
?有利于统计资料的比较对照，有助于科学分析研究。
?根据资料的性质和分析的目的，正确选择适合的图形。
?要写明图的标题和图号，文字明确扼要，写在图的正下方。
?图内应写出所依据的数字，如未标明数字则应附以统计表或
文字说明。
?图内资料配置一般应从左到右。
?图中如有必须解释的地方，可用图注加以说明。
2.4.3 统计图的功用
2.4.4 绘制统计图的规则
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1．将下例 125名中学生语文测验分数编成累积频数，累积百分
比分布表，并制成累积频数分布图和累积频数分布图。
分数 24.5
－
29.5
－
34.5
－
39.5
－
44.5
－
49.5
－
频数 2 4 6 15 20 36
分数 54.5
－
59.5
－
64.5
－
69.5
－
74.5
－
总和
频数 20 12 6 3 1 125
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成绩组中值甲组乙组
20－ 22.5 3 1
25－ 27.5 1 14
30－ 32.5 6 20
35－ 37.5 10 19
40－ 42.5 18 21
45－ 47.5 21 21
50－ 52.5 29 14
55－ 57.5 28 13
60－ 62.5 40 5
65－ 67.5 31 4
70－ 72.5 32 2
75－ 77.5 19 0
80－ 82.5 14 0
85－ 87.5 10 0
90－ 92.5 4 0
总计 266 134
2、把下列甲乙两组学生化学成绩的分布制在同一直角坐标上，以资比较。
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第三章集中量
CENTRAL TENDENCY
?三种主要集中量
THREE MEASURES OF CENTRAL TENDENCY
?集中量的比较
COMPARING MEASURES OF CENTRAL TENDENCY
?对称分布和偏态分布
SYMMETRICAL AND SKEWED DISTRIBUTION
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3.1 概述
3.1.1 描述性统计 (DESCRIPTIVE STATISTICS)
?概念
研究如何整理实验或调查得到的大量数据, 找出这些数据
的分布特征。
?种类
集中量 (如平均数 )、差异量 (如标准差 )、相关量 (相关系
数 )等。 X
?
?
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3.1.2 集中量的概念及作用
集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势的量。
?集中量的作用,
利用集中量数可以对各个总体 (或各个样本 )进行比较。
利用集中量数可以研究总体的一般水平在时间上的变化。
利用集中量数可以分析现象之间的依存关系。
?集中量 (CENTRAL TENDENCY)的种类,
平均数 (MEAN) ; 中位数 (MEDIAN) ; 众数 (MODE)
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1、概念
算术平均数通常称平均数, 统计上简称均值或均数, 是最
重要的集中量数, 常用代表总体平均数, 代表样本平均
数。 X
?
2．公式,
N
XX ??
( 算术平均数 = )
总次数
变量总和
其中,=总和
X=各观察值
N=观察值的个数
?
3.2 算术平均数 (MEAN)
3.2.1 算术平均数概念
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1,原始数据计算法
例：某幼儿园大班幼儿 10名，在某次计算练习中成绩分别为
9,6,8,9,7,6,8,9,7,7。试计算这些幼儿的计算练
习的平均成绩。
N
XX ??
767798679869 ???????????? X
)(6.71076 分??X
3.2.2 算术平均数计算
解,
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公式,
N
fxX ??
其中,
表示各组组中值与频数乘积之和
表示频数总和 ( =N)
?fx
?f ?f
2,频数分布表计算法 (组中值计算法 )
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例：表 3.1 48个学生数学分数算术平均数组中值计算
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3.2.2 算术平均数的应用及其特点
算术平均数是最好的集中量数，因为它具备一个良好的集中
量所应具备的条件。
(1)优点,
○ 反应灵敏，一组数据中任何一个数值发生或大或小的变化，
所计算出来的算术平均数也会随之变大变小。
○严密确定。由同一组数据计算出来的平均数是同一个值。
○计算简便，只需四则运算。
○受抽样变动的影响较小。
○是计算方差、标准差、相关系数以及推断统计的基础。
(2) 缺点,
○ 易受两极端数值的影响 (只要一个极低值,就会下降，
反之则上升 )。
○一组数据中某个数值模糊或不确切，就无法计算其。
X
X
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中位数是位于依一定大小顺序排列的一组数据中央位置的
数值, 大于及小于这一数值各有一半数据分布着。
中位数普遍用符号 Md(或 Mdn)表示，在中位数前后所包含
数据的次数各为 50%，即 50%的分数在它上面,50%的分数
在它下面。
3.3 中位数 (MEDIAN,Md)
3.3.1 中位数概念
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1,原始数据计算方法
将原始数据依大小顺序排列后,如总频数是奇数，就以位于中
央的数据作为 Md。
例,有以下 7个数据，依次从小到大排列,
3,5,7,8,9,11,14
因为数据个数为奇数，则位于中间的数值 8就是中位数
即,Md=8
3.3.2 中位数计算方法
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2,频数分布表计算法
如总频数为偶数，则以最中间的的两个数据的算术平均数为
中位数
例：有以下 8个数据，依次从小到大排列
6,9,10,11,12,14,13,17
Md= 5.11
2
1211 ??
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○ 计算公式,Md=Lmd+( n1) (由小向大计算 ) ?
2
N
mdf
i
在这里 Lmd表示中位数所在组的下限
N表示总额数
n1表示小于中位数所在组下限的频数总和
i表示额数分布表上的组距
fmd表示中位数所在组的频数
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○ 计算步骤,
a,求
b,确定中位数所在组
由上往下 (或由下往上 )累积频数，直至略大于为止，
该组就是中位数所在组。
c,确定由中位数所在组取多少个频数，就能使由上往下
(或下往上的积累频数等于,即求 n1,n1为小于
中位数所在组下限的频数总和 )本例中
n1= -23=1
242482 ??N
2
N
2
N
?2N
?2N
248
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d,计算中位数所在组所取频数的距离
即求 ( n1)
fmd是中位数所在组的频数
i=组距
本例,( )× =0.71
?2N fmdi
23248 ? 75
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将以上求得的结果与中位数所在组的下限相加便是中位数
Md=L+( n1)× (由上往下数的频数 )
=80+( -23) × =80.71
另, Md=U-( - n2)× (由下往上数的频数 )
U表示中位数所在组的上限
n2表示大于中位数所在组上限的频数总和
本例 Md=85-( )×
=85- =80.71
?2N fmdi
2
48 75
2
N fmdi
18248 ? 75
7
30
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注意点,
○由上往下计算 Md时，当小于某一组下限的累积频数正好等于
总频数的一半，那么，该组的下限是中位数。
○由下往上计算 Md时，大于某一组上限的累积频数正好等
于,那么，该组的上限就是中位数。
○中位数是百分数中的特例。
2
N
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在同一数据中按次序位于某一百分位置的数值,百分位数一
般用 (Pp)表示。
例：第 70百分数,记作 (P70)，就是在依次从小到大排列的
一组数据中 < 这个数值的有 70％个频数,> 这个数值有 30％
个频数那个数值。中位数 (Md)就是第 50百分位数,< 它
有 50％个频数,>它也有 50％个频数，它是百分位数中的特
例。
3.4 百分位数 (PP)
3.4.1百分位数概念
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3.4.2百分位数的计算方法
在频数分布表上可以用内插法计算某个百分位数，其计算公
式为,
Pp = Lp + (p*N - n)
pf
i
在这里,
Pp表示百分位数
p表示与百分位数相对应的比数
N表示总频数
Lp表示百分位数所在组的下限
n表示小于百分位数所在组下限的频数总和
fp表示百分位数所在组的频数。
i表示组距。
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表 17,48个学生数学分数中位数计算表
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是集中量的一种指标, 用 Mo表示, 它有理论众数和粗略众数两种。
理论众数：是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。
粗略众数：是指一组数据中频数出现最多的那个数。
3.5 众数 (Mo)
3.5.1 概念
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3.5.2 众数的计算方法
1、用观察法直接寻找粗略众数
在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值就是众数。
○在一组原始数据 2,4,3,6,4,5,4其中频数出现最多的
数值是 4,4就是这组数据的众数。
○在频数分布表中，频数最多一组的组中值就是粗略众数
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2、用公式求理论众数的近似值 (p38)
公式,
Mo 3Md-2
例如：上表资料的算术平均数为 78.20,中位数为 77.89,根据公
式,它的众数为,
Mo=3× 77.89-2× 78.20=77.27
用公式计算出的众数 77.27与观察法寻得的众数 77.50相差很
少
? X
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3、练习一
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身高频数
115-
118-
121-
124-
127-
130-
133-
136-
139-
142-
1
3
8
10
20
20
11
4
2
1
总和 80
3、练习二
?求众数
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3.6 平均数、中位数,众数三者间的关系
3.6.1 集中量的适用范围
3.6.2 分布的不同形态影响三者间的关系
1、分布为正态或对称分布时,
Normal Distribution or Symmetrical Distribution
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2、分布为正偏态分布时,
Negative Skew Distribution
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3、分布为负偏态分布时,
Positive Skew Distribution
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第四章差异量
VARIABILITY
?DESCRIBE IN WORDS THE TERM VARIABILITY
?DEFINE THE RANGE AND SEMI-INTERQUARTILE
RANGE
?DEFINE THE VARIANCE
?DEFINE THE STANDARD VARIANCE
?COMPUTE ALL OF DIFFERENT VARIANCE
?COMPARE DISTRIBUTIONS WITH VARIANCE
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4.1 差异量的概念
1,概念
表示一组数据变异程度或离散程度的量称为差异量。
现有 A,B,C三组测验成绩如下,
A组,8,8,9,10,11,12,12 ( ＝ 10 )
B组,5,6,8,10,12,14,15 ( ＝ 10 )
C组,1,2,5,10,15,18,19 ( ＝ 10 ) X
X
X
RANGE AND SEMI-INTERQUARTILE RANGE
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差异量越大，表示数据分布的范围越广，越不整齐。差异量
越小，表示数据分布越集中，变动范围越小。
常用的差异量指标有全距、平均差、方差、标准差、差异系数
等
Range,semi-interquartile range,variance,standard variance
Coefficient of variance
2,特点
3,种类
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1．概念,
一组数据中最大值与最小值之差, 又称极差。 (用符号 R表示。 )
2．计算,
(1) 原始数据求全距 (R)＝最大值－最小值
例：两组学生某科测验分数分别为,
甲组,54,63,72,74,82,88,99,
乙组,67,71,73,76,79,82,84,
甲组 R＝ 99－ 54＝ 45
乙组 R＝ 84－ 67＝ 17
4.2 全距
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3,频数分布表求全距,
最大一组与最小一组组中值之差
(或 )最大一组与最小一组下限之差。
表, 小学两年级 80个学生身高的全距计算表
身高
(1)
组中值 (2) 频数
(3)
累积频数
(4)
计算全距 (5)
115-
118-
121-
124-
127-
130-
133-
136-
139-
142-
116.5
119.5
122.5
125.5
128.5
131.5
134.5
137.5
140.5
143.5
1
3
8
10
20
19
12
4
2
1
1
4
12
22
42
61
73
77
79
80
R＝ 143.5
－ 116.5=27
或者
R=142－
115=27
总和 80
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4．全距的优缺点,
优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
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4.3.1 方差,
方差是指离差平方的算术平均数。
样本方差用表示。总体方差用表示。 S2 ?2
4.3,2 计算公式
＝或 S2
N
XX 2)－（?
N
XS 22 ?＝
X在这里,X－表示离差〔即每个数据与平均数的差数〕
表示离差平方和
N表示总频数
2)(? ? XX
4.3 方差和标准差
Variance and standard variance
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4.3.3 标准差
标准差就是离差平方和平均后的方根。
样本标准差用 S表示，总体标准差用 σ表示
4.3.4 计算公式
1,原始数据计算法,
S= 或
1
2
－
〕－（
N
XX?
1
2
－＝ N
XS ?
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实例：在某幼儿园大班中，随机抽取 21名幼儿，分成甲、
乙、丙三组，每组 7人，进行看图讲述比赛，他们的成
绩分别为,
甲组,9,9,10,11,12,13,13
乙组,6,7,9,11,13,15,16
丙组,2,3,6,11,16,19,20
试问三组幼儿看图讲述成绩的标准差
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三组幼儿成绩的标准差。
甲组,S＝ =1.7
乙组,S=3.9
丙组,S=7.5
答：甲、乙、丙三组幼儿园看图讲故事成绩的标准差分别为 1.7、
3.9、和 7.5
17
)1113(119119 222
?
?? ??〕－＋（）－（
解,
三组幼儿成绩的平均数,
＝ 11; ＝ 11; ＝ 11
1X 3
X
2X
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X 离散程度 (S) 说明
甲组 11 1.7
集中 (小 )
数据都集中在附近
代表性好
乙组 11 3.9
(居中 )
一般
丙组 11 7.5
最分散 (大 )
各数据分布广
代表性较差
X
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2,频数分布表计算法 (用于数据较多的分组资料 )
公式,
S=
2
2
2 )(
N
fx
N
f xS ???＝
22 )( NfxNfx ???
其中,X表示各组组中值
ｆ表示各组频数
N表示总人数
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例,
表 20,48个学生数学分数方差、标准差的组中值计算表
57.5
2
分组 (1) 组中
值 X
(2)
频数
f
(3)
fx
(4)=(2 )
× (3)
(5)=(2)
× (4)
利用公式计
算方差、标
准差
50-
52.5 2 52.5× 2 × 2
=12.25
55- 57.5 0 57.5× 0 × 0
60- 62.5 2 62.5× 2 × 2
65- 67.5 3 67.5× 3 × 3
70- 72.5 8 72.5× 8 × 8
75- 77.5 7 77.5× 7 77.5 × 7
80- 82.5 7 82.5× 7 × 7
85- 87.5 7 87.5× 7 × 7
90- 92.5 5 92.5× 5 × 5
95- 97.5 6 97.5× 6 × 6
总和 48 3840.00 314400
f x2
52.5
2
2
22 )(
NfxN
f xS ???＝
=150
S=
22 )( NfxNfx ???
2
62.5
2
67.5
2
72.5
82.5
2
87.5 2
92.5
2
97.52
2
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例：求 50名学生物理成绩的标准差
表 21,50名学生物理成绩的标准差、方差计算表
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(1)优点,
反映灵敏：随任何一个数据的变化而变化
计算简单：适合代数计算
严密确定：一组数据的方差以及标准差有确定的值
(2)缺点,
不太容易理解
易受两极端数值的影响
有个别数值糊涂不清时，无法计算
4.4 方差和标准差的应用及其优缺点
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例．根据调查，得知 1000名 16岁男生身高平均为 161.88公分。
其标准差为 6.52，体重平均为 48.79公斤，其标准差为 6.25，
试比较身高与体重哪个差异大。
例：调查所得,8岁儿童身高平均为 120.27公分。标准差为 5，
16岁儿童身高平均为 16.8公分，标准差为 6.52。试比较他
们的身高的差异大小。
4.5 差异系数 (CV Coefficient of variance )
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1.差异系数 (VC)的概念
差异系数是一种相对差异量数, 它是凭借着算术平均数来
表示两个或两个以上标准差的相对差异。
2.计算公式
X
SCV= × 100%
差异系数又称为相对标准差，在算术平均数不为零的情况下,
CV越大，表明离散程度越大 (数据的分布愈分散 )
CV越小，表明离散程度越小 (数据的分布愈集中 )
在这里,CV表示差异系数
S表示标准差
表示算术平均数 X
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3,用途
(1) 比较不同单位 (现象 )的 (变异 )差异程度
CV = × 100%=0.0403× 100%=4.03%
身高 88.16152.6
CV × 100%=12.81%
79.48
25.6?
体重
可见：体重的差异大于身高。
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(2)比较不同水平的同类现象 (单位 )的差异程度
CV
%16.4%1 0 027.1 2 058 ???岁
CV %03.4%1 0 0
88.1 6 1
52.6
16 ???岁
可见,8岁组身高差异量虽比 16岁组小，但从差异系数来看，
8岁组比 16岁组大些。
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课堂练习,
(1)甲组小学生参加算术测验，平均分数为 20.50，标准差为
5.24；乙组小学生参加同样的测验，其平均分数为 34.80，
标准差是 9.62，试比较 CV。
(2)小学一年级学生的平均身高是 118.8公分，标准差是 5.6公
分，他们的平均体重是 22.9公分，标准差是 7.9公斤。请
计算他们身高与体重的差异系数并进行比较。
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(3)可判断特殊差异情况
根据经验，在教育统计学中，衡量学生德、智、体各方面发展
情况的资料，一般差异系数 (CV)值常在 5%～ 35%之间。
若〉 35%，可怀疑所求得的平均数是否计算有误
若〈 5%，可怀疑与 S是否计算有误。
当然也有特殊情况，例如 3— 6岁幼儿单腿立持续时间的差异系
数。无论国内外，都在 64%以上，甚至越过 100%
4．注意事项,
(1) 测试尺度上的单位必须是等距的。若不等距，则 CV的运
用无效。
(2) 测试尺度的起点必须是绝对零点。
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1.单用平均数尚有不足的，须用差异量数辅助说明。
2.平均数是一种代表性指标，它的代表性随差异量数的大小而
不同。差异量数小,代表性大。差异量数大，则代表性小。
所以差异量数是测量平均数所能代表总体的程度。对平均
数的描述起辅助作用。如果差异数与平均数结合,能使我
们对问题的认识更深入更全面了。
3.差异量有两种：绝对差异量与相对差异量。本章主要讨论的绝
对差异量是：全距 (R)
方差 ( )
标准差 (S)。
S2
相对差异量是,(CV)差异系数
4.6 差异量与集中量的关系
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4.7 峰态量
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第五章概率及概率分布
PROBABILITY AND PROBABILITY DISTRIBUTION
5.1 概率的一般概论
5.2 二项分布
BINOMIAL DISTRIBUTION
5.3 正态分布
NORMAL DISTRIBUTION
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5.3.1 概念,
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布，在教育研
究中有很多现象一般呈正态分布
1,正态分布 (NORMAL DISTRIBUTION)
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正态分布中的 μ,σ,N都是常量，在每个正态分布中，它们
的变化会导致正态曲线 (NORMAL CURVE)不同，如下图，
尽管平均数相同，但由于 σ不同而正态分布的形态差异较大。
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标准分数 (也称为 Z分数 )是一种以平均数为参照点, 以标准差
为单位的相对量数, 用 Z表示。其特点为：把所有绝对数量表
示的 μ,σ的正态分布的曲线函数都变成了以平均数为 0,标准
差为 1的正态分布曲线函数。
标准分数的计算公式
Z=
?
XX ?
2,标准正态分布 (STANDARD NORMAL DISTRIBUTION)
标准正态分布曲线 (STANDARD NORMAL CURVE)分布的函
数为,
2
2
2
1 Ze ???
?
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标准正态分布曲线 (STANDARD NORMAL CURVE),
μ =0,σ=1 μ =0
？为什么标准正态分布的平均数为 0，标准差为 1 !
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3,正态分布的特点
正态分布的特点为,
标准正态分布的特点,
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4,正态分布曲线的面积与纵线
正态分布曲线与基线间的面积的意义,
正态分布曲线与基线间的面积的大小表求该区域个体出现的
概率的大小，面积越大表示出现的概率就越大
正态分布曲线与基线间的面积的求法,
积分的方法,
标准正态分布曲线与基线间的面积可以查表,
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5,正态分布的应用
例 1
某次测验的分数呈正态分布，平均分为 72，标准差为 6，
问平均分上下 95%的学生成绩的分布范围；平均分上下
99%的学生的成绩的分布范围
例 2
某项考试中，考试成绩呈正态分面。参加考试的人数为
4000人，平均分为 1700，标准差为 200。拟录取人数为
1000人，问录取的最低分数应为多少？
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例 3
在某一幼儿园的一次点数比赛中，全园的平均分是 70，标准分
是 12.5，甲幼儿得 78分，乙幼儿得 83分，丙幼儿得 65分，问这
三幼儿的点数成绩在园中各处于怎样的位置
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解,∵ =70 S=12.5
∴ 甲幼儿,Z = Z= = =0.64
乙幼儿,Z = Z= = =1.04
丙幼儿,Z = Z= = =－ 0.4
X
S XX ?
S XX ?
S
XX ?
5.127078?
5.127083?
5.127065?
答：甲幼儿的成绩在全园平均成绩以上 0.64标准差；、乙幼儿的成绩
在全园平均成绩以上 1.04标准差；丙幼儿的成绩在全园平均成绩以
下 0.4个标准差。
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例 4
某幼儿园毕业生平均身高 118厘米，标准差 1.9厘米，平均体
重为 22.9公斤，标准差为 0.8公斤。试问甲幼儿的身高和体重
在毕业生中的位置哪个高？
甲幼儿身高、体重的标准分数表
1.9
0.8
118
22.9
119
23
身高
体重
σ
标准分数
(Z)
全体幼儿甲幼儿
X
1.52
0.12
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表 24：甲乙两幼儿语言、常识、计算成绩测试成绩表
幼儿全体幼儿标准分数 Z
甲乙 σ 甲乙
语言
常识
计算
59
75
63
51
79
72
50
74
67
4
10
9
总计 197 202
X
2.25
0.10
-0.44
0.75
0.50
0.56
1.91 1.31
例 5
甲乙两幼儿在语言、常识、计算活动中测试的成绩如下表，
试分析说明谁的总成绩较好？
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例 6
品质评定的量化分析
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例 7
某投资经纪人有投资总金额为 100万元, 现有两种投资方式,
其中第一种投资方式（ A）的年平均回报率为 15%,该方式
的投资风险为平均回报率的 25%（表示可能的回报金额的标
准差）, 第二种投资方式（ B）的年平均回报率为 12%,该
方式的投资风险为平均回报率的 10%,问,(1)现为了使得年
投资回报总额达到 10万元, 该选用哪种投资方式为最佳方式；
(2) 现为了使得年投资回报总额达到 14万元, 该选用哪种投资
方式为最佳方式（假定投资回报呈正态分布）
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6、使用标准分数 (Z)应注意的问题,
标准分数虽然能够反映原始分数在团体中的相对位置，但不
能直接体现对象对知识的掌握程度。所以在对对象学习情况
进行评定和分析时，应将原始分数和标准分数结合起来分析
研究。
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第六章抽样分布及总体平均数的推断
SAMPLING DISTRIBUTION &
INFERENTIAL STATISTICS OF POPULATION MEAN
?随机抽样分布
THE RANDOM SAMPLING DISTRIBUTION
?平均数的随机抽样分布
THE RANDOM SAMPLING DISTRIBUTION OF THE MEAN
?标准误与总体标准差的关系
DEFINE THE STANDARD ERROR OF THE PROPORTION
AND STATE ITS RELATIONSHIP TO THE POPULATION
STANDARD DEVIATION
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?总体平均数的参数估计
PARAMETER ESTIMATION OF THE POPULATION MEAN
?检验功效
POWER
?一类和二类错误
TYPEⅠ AND TYPEⅡ ERRORS
?假设检验的逻辑与过程
THE LOGIC AND PROCEDURE OF THE HYPOTHESIS
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6.1 抽样分布
SAMPLING DISTRIBUTION
6.1.1 研究实例
上海市初中一年级末数学水平的调查研究，在该研究中假定
上海市共有初中一年级学生为 150000人 ( N 人 )，如果对上海
所有初中一年级学生进行统一的标准化的数学成就测验，其
测验的平均成绩为 80分 ( μ ),测验的标准差为 9分 ( σ )。
实例 1
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实例 2
某一调查研究者甲为了节省调查研究的成本，现从上海市初
中一年级学生中随机抽取 500人 (n人 )进行统一的标准化的数
学成就测验，试图通过这 500人的测验结果来推断全上海初中
一年级学生的数学水平，其测验的平均成绩为 82分 ( ),测
验的标准差为 8分 ( σx )。
___X
1、分析上述实例
?区分总体和样本
?区分参数与统计量及不同的表达方式
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总体参数样本统计量
容量 N n
平均数 μ
标准差 σ σx
___X
如果我们用上海初一年级 150000个学生的成绩做图，则构
成一个总体分布图,
概
率
密
度
或
百
分
比
成绩
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du
cat
ion
ECN
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如果我们只用其中抽取的 500个个学生的成绩做图，则构成
一个样本分布图,
概
率
密
度
或
百
分
比
成绩
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ECN
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2、抽样分析
假定该研究者第一次抽取 500人做完调查研究后，又重新从上
海初中一年级学生中 (150000人 )抽取 500人 (n2)进行调查研究，
其平均数为,标准差为,σx2 (抽取学生的过程中，前面
抽到的学生在后面抽取中也可能抽到，但不重复测验 ) 。
如果上述过程不断重复操作，则可以得到更多的样本平均数
和标准差，如下表,
___
2X
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抽样次数样本容量样本平均数样本标准差
1 500 σx1
2 500 σx2
3 500 σx3
…
…
…
…
i 500 σxi
…
…
…
…
k 500 σxk
…
…
…
…
∝ 500 σx ∝
___
2X
___
1X
___
3X
___
iX
___
kX
___
?X
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如果我们用 k (k趋近于无穷大 )个样本平均数做频数分布图，
则构成一个由样本平均数组成的抽样分布 (平均数抽样分布，
THE SAMPLING DISTRIBUTION)图,
概
率
密
度
或
百
分
比
抽样的平均成绩
__x?
由这些抽样的平均数构成的平均数
由这些抽样平均数组成分布的标准差
称为平均数的标准误用来表示。
__x?
标准误 (STANDARD ERRORS)：
某种统计量的标准差称为该统计
量的标准误。
抽样分布是某一种统计量的概率分布
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6.1.2 平均数抽样分布的几个定理
3、正态总体中，平均数的抽样
分布呈正态
??? )( _ _ _X1,
nx
?? ?
__
2,
4、偏态总体中，当抽样容量较
大时，平均数的抽样分布也呈
正态
__x? __x?
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6.1.3 样本平均数与总体平均数的离差统计量
__x?
__x?
平均数为,
标准差为,
___
iX
离差统计量是以标准差为单位来来
度量某一个个案值与平均数间的差
异。 Z分数就是一种离差统计量
__
__
_ _ _
x
x
i
i
X
?
??
??
n
X i
i /
_ _ _
?
????
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?当总体标准差已知时，平均数的离差统计量的计算,
?当总体标准差未知时，平均数的离差统计量的计算,
n
X i
i /
_ _ _
?
????
首先根据样本标准差 ( σx )来估计总体标准差 ( σ )，其估计值
用 S来表示。
xx n
nS ?
1??
因此，平均数的标准误为,
__xS
nSS x
x
/__ ?
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1/__ ?? nS x
x
?
离差统计量的表达形式为,
__
___
X
S
X
t
??
?
?t分布及特点
?自由度
例,
某校二年级学生的英语平均成绩为 78，从中随机抽取 50人，
其平均成绩为 82，标准差为 12。试估计该校二年级学生英
语成绩的标准差，并计算 50人平均成绩的离差统计量。
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6.2 总体平均数的参数估计
PARAMETER ESTIMATION OF POPULATION MEAN
6.2.1 点估计
POINT ESTIMATION
1、点估计的定义
2、点估计的评价标准
? 无偏性 (UNBIASED)
? 有效性
? 一致性
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6.2.2 区间估计
INTERVAL ESTIMATION
1、区间估计的定义
2、区间估计的计算
例 1
某一个正态总体，其平均数为 130，标准差为 10。问,
?以平均数为中心,95%学生的成绩的分布范围；
?其成绩在 128到 132间的人数的比例；
?最高成 5%学生成绩的分布范围。
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?从总体中抽取 25人，计算其平均成绩，该平均成绩在 128到 132
间的概率有多大；
?从总体中抽取 25人，计算其平均成绩，该平均成绩以总体平均
数为中心,95%概率下的分布范围
?从总体中抽取 25人，计算其平均成绩，该平均成绩由高到低
95%概率下的分布范围；
?从总体中抽取 25人，计算其平均成绩，最高 5%的平均成绩的
范围。
?从总体中抽取 25人，计算其平均成绩，该平均成绩大于 135的
概率是多少。
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例 2
某小学 10岁儿童身高的标准差为 6.25厘米，现从该校随机抽出
27名 10岁儿童，其平均身高为 134.2厘米，试估计该校 10岁儿童
身高的 95%和 99%置信区间 (CONFIDENCE INTERVALS,CI)
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4,总体标准差 ( σ )未知条件下的区间估计
在总体标准差未知的条件下，样本平均数与总体平均数的离
差统计量呈 t分布,
?区间估计的基本原理
t值
μ
__xS
__
___
X
S
Xt ???
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例 2
从某次考试中随机抽取 102名学生的成绩，其平均成绩为 26，
标准差为 1.5。试估计总体平均成绩 95%和 99%的置信区间。
例 1
从某小学三年级学生中随机抽取 12名学生，其平均成绩为
29.917，标准差为 3.926。试估计该校三年级学生总体平均成绩
95%和 99%的置信区间。
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6.3 假设检验的基本原理和过程
THE LOGIC AND PROCEDURE OF HYPOTHESIS TESTING
1、假设检验的定义
2、假设检验的原理
6.3.1 假设检验的原理
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假设 (HYPOTHESIS)
零假设 (NULL HYPOTHESIS)
备选假设 (ALTERNATIVE HYPOTHESIS)
小概率事件
显著性水平 (SINGIFICANCE LEVEL)
危急区间 /拒绝区间 (CRITICAL REGION /REGION OF
REJECTION)
两端及一端检验 (TWO TAILED AND ONE TAILED TESTS)
极端 Z值 (CRITICAL Z VALUES)
6.3.2 假设检验中的基本概念
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6.3.3 假设检验中的基本过程
(1) 假定：首先假定两个样本所代表的总体之间没有差异，目前样
本特征量之间的差异纯属随机误差。
(2) 计算：选择适当的统计公式，正确计算统计值。
(3) 比较：将计算出的统计值与查表得到的临界值相比较，得出上
述假定成立的可能性 (P)有多大。
(4) 判断：按照差异显著性的判断规则，作出一定可靠程度的判断。
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6.4 总体平均数的显著性检验
6.4.1 总体标准差 ( σ )已知条件下的总体平均数的显著性检验
例 1
全区统一考试物理平均分为 50分，标准差为 10分。某校一个
班 41人的平均成绩为 52.5，问该班成绩与全区成绩差异是否
显著？
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例 2
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例 3
有人从受过良好教育早期儿童中随机抽取 70人是行韦氏智力
测验 (该测验的总体平均数为 100，标准差为 15)，其结果为
103.3。能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平？
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例 4
某一种食品的标准重量为 1000克，但在包装过程中有误差，其
标准差为 50克。工商部门为检验其重量是否合格，从该产品中
抽出 50袋样品，平均重量为 986克。问该产品在重量上是否合
格？
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6.4.2 总体标准差 ( σ )未知条件下的总体平均数的显著性检验
例 1
某心理学家变认为一般汽车司机的视反应平均时间是 175毫秒，
有人随机抽取 36名汽车司机作为研究样本进行了测定，结果
平均值为 180毫秒，标准差为 25毫秒。能否根据测试结果否定
该心理学家的结论。
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例 3
医学上测定，正常人的血色素应该是每 100毫升 13克，某学校
进行抽查,37名学生血色素平均值为 12.1克，标准差为 1.5，
问该学校学生的血色素是否显著低于正常值。
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6.4.3 差异显著性的判断规则
有大于或等于 99%的把握 (即有很
大把握 )说两个总体有差异。 (拒绝
接受 )
差异非常显著 P≤0.01
有大于或等于 95%的把握 (即有把
握 )说两个总体有差异。 ( 拒绝
接受 )
差异显著 0.01<P≤0.0
5
没有把握说两个总体差异。 (保
留 )
差异不显著 P>0.05
判断统计意义 P值
0H
0H
H1
0H
H1
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6.5 两类错误及检验功效
TYPEⅠ ERRORS, TYPEⅡ ERRORS AND POWER
6.5.1 两类错误
1,实例分析
例 A
韦氏智力测验的总体平均数为 100，标准差为 15。现从某实验
学校抽取 64人，其平均智商为 103，问该校的智力水平与总体
水平是否有显著差异 (α=.05)。
例 B
从现从某实验学校抽取 64人，其平均智商为 103。问该校学
生的智力水平是否是来自于平均智商为 105，标准差为 15的
总体 (α=.05) 。
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=100
1.96 1.60
=103 ___?
?例 A假设检验的示意图
α /2=.025 α /2=.025
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=106
-1.96 -1.06
=103 ___?
?例 B假设检验的示意图
α /2=.025 α /2=.025
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μ1 =105 μ0 =100
1.60
=103 ___?
?例 A假设检验中所犯错误
1.96
α/2=.025 α/2=.025 β
β=.24
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μ0 =100 μ1 =105
-1.06
=103 ___?
?例 B假设检验中所犯错误
α/2=.025 α/2=.025 β
-1.96
β=.24
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2,两类错误的定义
?α错误：假设是真而被拒绝，其大小与假设检验的显著性水
平相等。
?β错误：假设是伪而被接受。
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3,两类错误的相互关系
?在我们做决策时两类错误客观存在；
?当一种错误在减小时，另一类错误在增加。
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4,控制两类错误的方法
?合理安排拒绝区域的位置；
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?扩大抽样的容量。
5、抽样容量要多大？
样本容量的扩大引
起的变化是什么？
nx
?? ?
__
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6.5.2 检验功效 ( POWER )
1、什么是检验功效 Power=1-β
功效：正确拒绝的概率
Power:The probability of rejecting a false null hypothesis
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2、影响功效的因素
Power=1- β
?检验的形式
?样本的容量
?鉴别力 (EFFECT SIZE, d值 )
d
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3、依据功效的要求，确定样本的大小
例 A中，如果要求功效为,80，其样本应为多少？
μ1 =105 μ0 =100
1.96
α/2=.025 α/2=.025 β
N=71.91
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6.6 练习
1,某人做 100个 5选 1的选题, 假如规定做对 95%的题目才算了
解有关知识, 则至少应该做对多少题。（注：二项分布中, 当 N
较大时, 可视为正态分布）
2,一位人类学家测量了取自某一海岛上的 100名男子的随机样
本的身高, 求出其平均值为 170.2厘米, 如果标准差为 8厘米。
1) 求总体平均身高 μ 的 95%的置信区间；
2) 如果想把 95%的置信区间变得窄一些, 如想误差区间变为 0.5
厘米, 那么应该收集多大的样本；
3,假定飞机乘客体重的总平均值为 60公斤。标准差为 11公斤, 某
飞机载重量为 3500公斤。
1) 55位乘客的飞行将会超重的机会是多少？
2) 要将超重的机率减小到 0.005,该飞机的标准载重量应为多少？
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第一节推断统计的概述
第二节 Z检验
第三节 t检验
第四节相关样本的相关研究 —— 显
著性检验
第五节 (卡方 )检验 2x
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第一节推断统计的概述
一、推断统计的概念
(一 )什么叫推断统计
1.推断统计的定义
在描述统计的基础上，利用样本数据所传递的信息来推断
总体特性的统计方法,
2.推断统计与描述统计的关系,
推断统计需要描述统计作基础。
描述统计所归纳整理出来的数据资料必须进一步施之于推断统计。
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3.推断统计的分类,
推断统计有估计和检验两种，本章只介绍有关检验的方法。
检验,
通过考察两个样本特征量的差别来说明相应的两个总体特征量
之间是否存在差异的一种推断统计方法。
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例 1：某幼儿园教师为了了解, 平衡膳食法, 对防治幼儿缺
铁性贫血有无作用，便抽取一定数量的幼儿，检查他们在
采用, 平衡膳食, 前后血色素变化的情况，从而对这种膳
食方法作出总体判断。
例 2：为了解全园幼儿在自信心方面有无性别差异，便在全
园男女幼儿中各抽取一小部分幼儿接受自信心的测验，然后
根据测验的结果过推论全园情况。
这种由已知推论未知，有样本性质推论总体性质的推论方法
就是检验。
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(二 )推断统计的功能与目的
1,功能
由样本特征推断出总体的特征，从而揭示研究对象的
本质和规律，帮助我们从已知推断出未知，寻找出带
普遍性的结论。
2,目的
对样本特征量进行比较、分析之后，获得能反映总体
规律的结论。
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(三 ) 推断统计在教育科学研究中的意义
1 推断统计是教育科研的基础
2 推断统计是一种科学的思维方法
3 推断统计是一种重要的学习工具。
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二、差异显著性的检验和基本思想
利用两个样本特征量之间的差异是否显著，来检验其对应的
总体特征量之间是否有差异的一种数理推理方法。
(一 )差异显著性检验 (假设检验 )的涵义
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1.总体和样本,(p6)
全体研究对象称总体。
从总体中抽取出来进行研究的小群体叫样本。
2.参数和统计量,
由总体的全部数据计算出来的，反映总体特征的量 ( σ
ρ)称参数。
由样本的数据计算出来的反映样本特征的量 ( S r)
称统计量。
?
?
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3,计量资料和计数资料 (p11～ 12)
计量资料就是数量化资料，是指利用相应的工具或一定
的标准测量而获得的资料。
4,随机误差与条件误差
由偶然因素造成的误差，是随机误差。
由教育条件的改变造成的误差称条件误差。
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(二 ) 差异显著性检验的逻辑
首先，假定两个样本所代表的总体没有差异；
然后，应用适当的统计公式进行计算，得出上述假定成立的可能性 (P)
有多大；
最后，根据有关规定，在一定的可靠性程度上对上述假定做出判断。
1,差异显著性检验的推理逻辑是一种, 反证法, 。其基本思路是：
2.差异显著性检验的一般步骤,
(1) 假定：首先假定两个样本所代表的总体之间没有差异，目前样
本特征量之间的差异纯属随机误差。
(2) 计算：选择适当的统计公式，正确计算统计值。
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(3) 比较：将计算出的统计值与查表得到的临界值相比较，得出上述
假定成立的可能性 (P)有多大。
(4) 判断：按照差异显著性的判断规则，作出一定可靠程度的判断。
教育统计中习惯规定,
○ 将 P>0.05作为, 差异不显著,,意即, 两个总体没有差异的可能性大于 5%”,
○ 将 P≤ 0.05作为, 差异显著,,意即, 两个总体没有差异的可能性小于
或等于 5%”或者, 以大于或等于 95%的把握说两个总体有差异, 。
○ 将 P≤ 0.01作为, 差异非常显著,,意即, 两个总体没有差异的可能性
小于或等于 1%”或者, 以大于或等于 99%的把握说两个总体有差异, 。
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表 22：差异显著性的判断规则
零假设,当前样本所属的总体与假设总体无区别的假设。
备择假设,当前样本所属的总体与假设总体有区别的假设。
没有把握说
两个总体有差异。
(保留 0H
有大于或等于 95%的把握
(即有把握 )说两
个总体有差异。
( 拒绝
0H
接受 H1
有大于或等于 99%的把握
(即有很大把握 )说两
个总体有差异。
(拒绝
0H
接受 H1
P值统计意义判断
P>0.05 差异不显著
)
0.01<P≤0.05 差异显著
)
P≤0.01 差异非常显著
)
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一般在统计推断前提出假设,
现以, 家园教育一致促进幼儿智力发展, 的研究为例，如果经过检验,
当 P>0.05时，则可以认为这 5分之差纯粹是随机误差，结论是：实验
班与对照班幼儿的智商差异不显著，没有把握判断, 家园教育一致能
促进幼儿智力的发展, ；
当 P≤0.05 时，则可以认为这 5分之差是条件误差
结论是：实验班与对照班幼儿的智商差异显著，有把握判断, 家园
教育一致能促进幼儿智力的发展, ；
当 P≤0.01 时，则更可以认为这 5分之差是条件误差，结论是：实验班
与对照班幼儿的智商差异非常显著，结论是：实验班与对照班幼儿的
智商差异非常显著，有很大把握判断, 家园教育一致能促进幼儿智力
的发展,
H0:μ1=μ2 H1:μ1≠μ2
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(三 ) 进行差异显著性检验应注意的事项
1,必须强调样本的代表性和样本资料的可比性。
2.差异显著性检验只适用于对随机误差的检验。
3.不同类型的数量资料，要用不同的检验方法。一般
情况下，计量资料常用 t检验，计数资料常用 (卡方 )检
验。
4.正确理解差异显著性检验的结果。
5,差异显著性检验只能通过样本的差异是否显著来推断
总体有无差异，但不能推断出总体之间的差异有多少。
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第二节 Z检验
一、Ｚ检验的概述
(一 )什么是 Z检验
两个独立的大样本平均数或百分率差异显著性检验。
1.相关样本,
a.同一测验，对同一被试，前后两次测验。
b.同一测验，测基本情况相等的不同被试。
如表列,
集中识字传统识字
A A
B B
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2.独立样本,
两个样本的均数是全然无关的组别随机抽取的样本计
算得来的。 ( n=30)
(二 )Z检验的显著性水平表
*表示显著，指有把握 (即有大于或等于９５％的把握 )判断总体平
均数存在差异
**表示非常显著，指有把握 (即有大于或等于９９％的把握 )判断总
体平均数存在差异
ns表示两个样本的均数差异不显著，指没有把握判断总体平均数存
在差异。
Z值 P值显著性
Z<1.96 P>0.05 差异不显著 (ns)
2.58>Z≥1.96 0.01<P ≤ 0.05 差异显著 (*)
Z≥2.58 P≤0.01 差异非常显著
(**)
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二,Z检验的步骤
(一 )假设：提出假设,
零假设,当前样本所属的总体与假设总体无区别的假设。
备择假设,当前样本所属的总体与假设总体有区别的假设。
210, ?? ?H 211, ?? ?H
0H
H1
(二 )计算
(三 )比较
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(四 )判断
Z检验的差异显著性水平水平的判断原则表
三,Z检验在学前教育科研中的应用
(一 ) 两个独立大样本平均数差异显著性检验
Z≥
Z值 P值差异的意义判断
Z<1.96 P>0.05 差异不显著 (ns) 保留
2.58>Z≤1.
96
0.01<P≤0.
05
差异显著 (*) 拒绝
接受
2.58 P≤0.01 差异非常显著 (**) 拒绝
接受 H1
0H
H1
0H
0H
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例：为了解全市 5-6岁男女幼儿的体重有无差异，我们抽查了部分 5-6
岁幼儿，他们的体重情况如表所示，试检验 5-6岁幼儿体重有无差异
平均数 ( ?
标准差
nS
某幼儿园男女幼儿体重统计表
幼儿
男女
体重 (kg)
22,18.5,17,24,20.5,21.5、
19.5,19,19.5,19.5,23,20、
19.5,20,19,19.5,21,20、
20.5,22.5,19,22,22.5,20、
16.5,20.5,20,21.5,21,20
20,20.5,16.5,23,18,19,18.5,21、
17.5,22.5,18.5,22,19.5,17.5,20,22、
19,19,18,20.5,19,18.5,21,19,21、
19.5,20,22,20.5,21,18,20.5
人数 (N) 30 32
) 20.3 19.77
1.61 1.576
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解：这是两个独立大样本平均数差异显著性检验 —— Z检验
1.提出假设,
2.选择检验统计量并计算其值,
公式,
210, ?? ?H 211, ?? ?H
3 0 8 9.1
32
5 7 6.1
30
61.1
77.193.20
22
2
2
2
1
2
1
21 ?
?
?
?
?
?
?
n
S
n
S
xx
Z
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３,确定检验形式：两个独立大样本平均数差异显著性检验
4,统计决断,∵ 1.3089<1.96 P>0.05 ∴ 接受 H0
结论：两样本平均数差异不显著，两总体平均数无差异，全市 5-6岁
男女幼儿体重无差异。
5.统计检验表,
全市部分 5-6岁男女幼儿平均体重差异比较表
人数 ( N 平均体重 (
x
标准差 (
nS
组别 ) ) ) 差异显著性
男 30 20.3 1.610 Z=1.309(n
s)
P>0.05 女 32 19.8 1.576
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例 2．现有某区 4-5岁和 5-6岁的两组幼儿，分别对他们进行两次测验，
测验后的成绩统计如下，试检验这两组幼儿的检验成绩是否有差异。
表 2。某区 4-5岁和 5-6岁两组幼儿的量词测验成绩表
解：这是两个独立大样本的平均数差异显著性检验 —— Z检验
1,提出假设,
2.选择检验统计量并计算其值
3,统计决断,∵ 7.62>2.58 ∴P<0.01 拒绝接受
210, ?? ?H 211, ?? ?H
人数 ( N 平均体重 ( x组别 ) )
4-5岁 60 2078
5-6岁 50 38.72
**62.76 1 6.7
60
6 3 2.7
50
7 9 2.7
78.2072.38 ??
?
??Z
0H H1
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4.结论：两样本平均数差异非常显著，两总体平均数差异显著。区内 4-5
岁和 5-6岁幼儿两次测验成绩差异显著
5.统计检验表,
表：某区 4-5岁和 5-6岁两组幼儿的量词测验成绩比较表
人数 ( N 平均体重 x 标准差
nS
组别 ) 差异显著性
4-5岁 60 2078 7.63
Z=7.62**
P<0.01 5-6岁 50 33.72 9.79
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(二 )两个独立大样本的百分率差异显著性检验
如果要检验计数资料的百分率差异的显著性就不用平均数差异的
显著性检验统计量来检验了，而应用百分率差异的检验统计量 —
— Z
公式,
例：某区抽查了部分 6岁男女幼儿视力健康状况，结果如下表所示，
试检验这些 6岁男女视力不良率有否显著差异。
Z =
? ? ??
?
?
???
? ??
?
21
21
111
NNPP
PP
ee
—— 总的不良率
—— 总的良好率 eP? ?
eP?1
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De
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ECN
U
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ECN
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表：某区部分 6岁男女幼儿视力不良率的情况表
解,
1,提出假设,
2.选择检验统计量并计算其值,
检查眼数 N
不良视力眼数
n
视力不良率
NnP?
116331 ?P
94452 ?P
21078?eP
性别
男 116 33
女 94 45
总计 210 78
210, ?? ?H 211, ?? ?H
Z=
? ? ??
?
?
??
?
?
??
?
21
21
111
NN
PP
PP
ee
= **8 9 7.2
94
1
1 1 6
1
2 1 0
1 3 2
2 1 0
78
94
45
1 1 6
33
94
1
1 1 6
1
2 1 0
781
2 1 0
78
94
45
1 1 6
33
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3,统计决断,∵ =2.897>2.58 ∴ P<0.01拒绝接受
4,结论：两样本百分率差异非常显著，两总体百分率差异显著。某
区 6岁男女幼儿视力不良率有非常显著的差异。
5.统计检验表,
表：某区部分 6岁男女幼儿视力不良率的比较表
检查眼数 N 不良视力眼数 n 视力不良率
NnP?
116331 ?P **897.2?Z
94452 ?P
21078?eP
性别差异显著性
男 116 33
P<0.01
女 94 45
总计 210 78
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§ 作业
1.某幼儿园大班男女幼儿身高情况表
试检验某幼儿园大班男女身高是否有差异。
N x
nS
男 40 102 7.31
女 45 108 9.04
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2：下表是两种教法教学后的效果统计，试问这两种教法的及格情况一
样吗？
教法及格人数不及格人数
甲 46 7
乙 47 11
总计 93 18
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第三节 t检验
一,t检验的概述
(一 )什么是 t检验
—— 用两个样本平均数之间的差异来推断这两个样本所代表的
两个总体平均数是否有差异。
用于两个独立、相关小样本的平均数差异显著性检验。
(二 )比较 Z检验,t检验,
Z检验独立大样本 (n ≥ 30) 平均数、百分率数
两者均用于计量
资料的检验 t检验独立、相关小样本
(N≤30)
平均数
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二,t检验的一般步骤
(一 ) 计算 t值
t检验公式,
式中,分别表示两个样本的平均数
分别表示两个样本的标准差
分别表示两个样本的容量
)11(
2
)1()1(
2121
2
22
2
11
21
NNNN
SNSN
XXt
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???
?
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1X 2X
21NN
21SS
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(二 ) 根据样本容量查找临界值
(1)决定自由度
自由度：是指可以自由变动的变量的个数，一般用表示。
本公式自由度,
(2) 查, 简便 t检验临界值表, (简称, t值表, )，根据自由
度找出 0.05和 0.01的临界值，即得到和
(t值表见书 385页 )
(三 ) 判断样本平均数的差异是否显著
t检验的差异显著性水平水平的判断原则表
221 ??? nndf
df
05.0)(dft 01.0)(dft
t≥
t值 p值显著性判断
t<0.05 p>0.05 差异不显著
(ns)
保留零假设
0.05t > 0.01 0.01<P≤0.05 差异显著 (*) 拒绝零假设
0.01 P≤0.01 差异非常显著
(**)
拒绝零假设
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(四 ) 对总体平均数有无差异做出判断
三 t检验在学前教育科研中的应用
例 1：某幼儿园采用等组实验法进行某项营养研究，经过一段时间，
测的实验组和对照组幼儿的体重 (见下表 )。试判断此种营养措施对
该园幼儿的体重有无特殊影响。
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[检验 ]
(1)计算 t值,
(2)根据样本容量找出临界值,
∵
∴
19.211 ?X
31.192 ?X
74.11 ?S 131 ?N
70.12 ?S 132 ?N
)11(
2
)1()1(
2121
2
22
2
11
21
NNNN
SNSN
XXt
?
??
???
?
?
? ? ? ? *79.2
13
1
13
1
21313
70.111374.1113
31.1919.21
22
?
?????? ???? ?????
??t
2421313 ????df
? ? 064.205.024 ?t ? ? 797.201.024 ?t查表得,
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(3)判断样本平均数是否有显著性意义,
(4) 对总体平均数有无差异做出判断,
根据上述分析，有把握 (即有 95%以上的把握 )判断：此种营养
措施能够增加全园幼儿的体重。
例 2：某幼儿园教师为了了解全园 5-6岁男女幼儿的体重有无性别差异，
随机抽取了 5-6岁的男幼儿 28人、女幼儿 34人进行测量，结果见下表
(单位：千克 )。试根据测量结果做出判断。
∵
∴ P<0.05，表示两个样本平均数的差异有显著性意义。
? ? ? ? 01.02405.024 ttt ??
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[检验 ]
(1) 计算 t值,
(2)根据样本容量找出临界值,
查表得 =2.000
∵
(ns)
)11(
2
)1()1(
2121
2
22
2
11
21
NNNN
SNSN
XXt
?
??
???
?
?
? ? ? ? 48.1
34
1
28
1
23428
98.113433.2128
81.1662.17
22
?
?????? ???? ?????
??t
6023428 ????df
? ? 05.060t
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(3) 判断样本平均数是否有显著性意义,
(4)对总体平均数有无差异做出判断,
∴ P>0.05，表示两个样本平均数的差异不显著。因此，没有把握
判断该幼儿园 5-6岁的幼儿在体重方面存在性别差异。
三、使用 t检验是要注意的问题
(一 ) 两个样本的容量不要太小
(二 ) 两个样本的方差不能相差太大。否则，得出的结论难免会发生
错误。
?t
? ? 05.060t
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作业,
1.从某幼儿园中随机抽取 4-5岁的幼儿 35人,5-6岁的幼儿 32
人，进行量词测验，其成绩为,4-5岁组的平均分是 20.78，
标准差是 7.63； 5-6岁组的平均分是 33.72，标准差是 9.79。
试问该幼儿园 4-5岁与 5-6岁的幼儿在掌握量词方面有没有差
异？
2.对某幼儿园大班幼儿进行思维能力训练, 为了了解这项思
维能力训练对发展大班幼儿思维能力的影响, 随机从大班
抽取 9名幼儿。他们在训练前后的思维能力成绩见下表。试
问这项训练对发展该幼儿园大班幼儿的思维能力有无特殊
影响？
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第四节相关样本的相关研究 —— 显著性检验
一相关研究的检验统计量的概述
1.两相关样本的原始分数差异显著性检验
= (皮尔逊 )
yxSNS
xy?? ?
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例：为研究幼儿的体质对智力有否影响，在某区抽取 10名幼儿进行
体质和智力测验，成绩如下，试问某区幼儿智力与体质的关系。
表,10名幼儿体质和智力测定成绩表
编号体质分 x 智力分 y
1 31 32
2 15 41
3 60 66
4 46 57
5 32 57
6 58 68
7 28 27
8 22 41
9 23 20
10 23 30
N=10
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解：这是两相关样本的相关程度的显著性检验
(1)先计算这两相关样本的相关程度 ( )
列表,
表,10名幼儿体质和智力测定成绩表
?
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(2) 根据样本容量找出临界值
∵
=0.804**
查积差相关系数界值表 (书 416页 )
(3) 判断两总体是否有显著性意义,
(4)对总体是否具有显著差异做出判断,
∴P<0.01,表示这两样本相关非常显著，两总体相关显著，
幼儿体质对智力有明显 (显著 )的影响。
∵
? ?? ?
? ? ?
??
???
2222 )()(
))((
YYNXXN
YXXYN
82 ??? Ndf
6319.005.0 ?? 7649.001.0 ??
7649.0804.0 ???
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2,两相关样本的平均数差异显著性检验
两相关样本是配对的，因而检验的方法不同于 1
公式,
? ?
? ?1
22
1
?
?
??
NN
DD
xxt
e
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例：用标准等组法进行的营养实验中，实验组和对照组的幼儿的体重如
下,
试检验实验组和对照组幼儿体重有否差异，推断实验措施对幼儿体重有什
么影响。
编号
1 20.5 20
2 18.5 17.5
3 22 19
4 23 19
5 20.5 20
6 21 21.5
7 21.5 22
8 23 20
9 23.5 19
10 22 19.5
11 22.5 20.5
12 19.5 17
13 18 16
实验组
1x
对照组 2x
13?N 19.211 ?x 308.192 ?x
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(1)解,.这是两相关样本的平均数差异显著性检验。 (列表 )
实验组
1x
对照组
2x 21 xxD ??
13?N 19.211 ?x 308.192 ?x
?
?
?
?
75.76
5.24
2D
D
编号
1 20.5 20 0.5
2 18.5 17.5 1
3 22 19 3
4 23 19 4
5 20.5 20 0.5
6 21 21.5 -0.5
7 21.5 22 -0.5
8 23 20 3
9 23.5 19 4.5
10 22 19.5 2.5
11 22.5 20.5 2
12 19.5 17 2.5
13 18 16 2
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(2) 根据样本容量找出临界值
∵
(3)对总体是否具有显著差异做出判断,
∴ P>0.01,两样本平均数差异非常显著，两总体平均数差异
显著，营养措施可以明显增强幼儿的体重。
? ?
? ?1
22
1
?
?
?
?
? ?
NN
DD
xx
t e
2 5 7.4
1213
13
52.2475.76
3 0 8.191 9 2.21
?
?
?
?
?t
12113 ???df
055.3257.4
055.3
179.2
01.0
05.0
??
?
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t
t
t
df=N-1
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§ 作业
1：试问下列 9名幼儿语言表达能力和算术能力是否相关 (或有无关系 )
表,9名幼儿语言表达能力和算术能力测定成绩表
编号语言 x 算术 y
1 7.2 52
2 3.5 66
3 4.5 44
4 6.6 68
5 2.0 35
6 2.9 35
7 3.4 50
8 2.8 62
9 6.2 55
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2：试问此区内幼儿智力与体育训练有无关系
表：某区内 8名幼儿体育训练前后智力测定表
训练前
1x
训练后
2x编号
1 52 72
2 66 83
3 62 68
4 55 49
5 44 47
6 68 65
7 35 52
8 35 34
N=8
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一, 检验的概述
什么是检验
— — 判断实际观测到的频数与有关总体的理论频
数是否一致，或者判断多组计数资料是相互关联
还是彼此独立的一种差异显著性检验。
检验又称频数差异显著性检验，检验可以帮助我们
解决有关计数资料的检验问题。
第五节 (卡方 )检验 2x
2x
2x
2x
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(二 ) 检验的适用范围
检验适用在总体未知的情况下推断计数资料之间的
差异是否显著的问题。
1,检验可以用来检验各种实际频数与理论频数是否吻合
例：从某地区数万名幼儿中随机抽取 108名进行体格检查，结果是,
健康状况很好 32名
健康状况中等 46名
健康状况较差 30名
问,该地区幼儿的这三类健康状况的人数是否相同?
2x
2x
2x
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(1)实际频数即：好 32；中 46；差 30
(2)理论频数本例，假若该地区幼儿这三类健康状况的人数相同
的话，那么在理论上每一类别的人数应占总人数三分之一。所以
理论频数是 108
值是检验实际频数与理论频数之间差异程度的指标
值越大：说明两者相差越大
值越小：说明两者越接近值
等于零：说明两者完全吻合
? 3631?
2x
2x
2x
2x
值 0?
2x
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2,检验可以用来判断两组或多组计数资料是相互关联还是彼此独
立的问题
例：某幼儿园大班共有幼儿 60人，喜欢智力游戏 54人 ;小班共有
幼儿 55人，喜欢智力游戏 35人。
问：幼儿对这种智力游戏的喜欢程度与年级高低是否有关系？
这是同时按两个属性进行分类的例子,
(1) 按年级分类：大班；小班
(2)按态度分类：喜欢；不喜欢
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值又是判断两类属性是否相互关联的指标。
值越大,(若达到显著性意义 )说明分类的两种属性是相
互影响、关联的。
值越小,(若处于不显著意义 )说明分类的两种属性
互不影响,彼此独立。
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二进行检验的一般步骤
(1)计算值
1,检验实际频数与理论频数是否吻合的问题。 (如例 1之类的情况。 )
检验的基本公式,
式中,是求和符号；
表示实际频数；
表示理论频数。
理论频数
式中,N表示总频数；
K表示实际频数在理论上应占总频数的比值。
2x
2x
2x ?
??
f
ff
e
ox
2
12 )(
?
0f
ef
KNfe ??
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例 1解, (一 )计算值的步骤,
先计算理论频数
∵
∴ ×
2x
ef
108?N
3
1?K
108?f e 3631 ?
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(2) 在根据实际频数和理论频数编制一张统计表
(3) 将实际频数和理论频数带入公式，计算出值
(ns)
实际人数 ( 0f 理论人数 ( ef健康状况 ) )
很好 32 36
中等 46 36
较差 30 36
合计 108 108
? ?? f ff
e
ox
2
12 )(
? ? ? ? ? ? 11.2
36
3630
36
3646
36
3632 2222 ???????x
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(二 ) 根据分类组数找出临界值
(三 ) 判断样本数的差异是否有显著意义 (下表 )
df=K-1(K表示组数 )
x2 检验的显著特性水平表
213 ???df
x2 的值 P值显著性
x2 <0.05 P>0.05 ns(不显著 )
0.05 ≤ x 2<0.01 0.05≥P>0.01 *(显著 )
x2≥0.01 P≤0.01 **(非常显著 )
(X2值表 P412)
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查值表得,
∵ x2< x2(df)0.05
∴ P>0.05,表示差异不显著
(四 )对总体频数有无差异作出判断
当样本频数的差异不显著时,就没有把握判断总体频数
之间存在差异 ;或者说没有把握判断这两类属性是相互
影响 '相互关联的,
结论,没有把握说该地区幼儿这三类健康状况的人数
是不相同的
2x ? ? 9 9 1.52 05.02 ?x ? ? 210.92 01.02 ?x
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2 由实际频数直接计算值的公式,
式中,
N表示样本容量的总频数；
是求和符号；
表示实际频数；
表示与相对应的横行组实际频数之和；
表示与相对应的纵列组实际频数之和。
2x
)1(
2
2 ?? ?
NN
f
cR
oNx
?
0f
RN 0f
0fCN
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例 2解,(一 )计算值的步骤,
(1)先将实际频数列成一张双向表
(2)将各个数值带入公式,计算出值
2x
班机喜欢不喜欢 Nr
大班 54 6 60
小班 35 20 55
Nc 89 26 115(N)
2x
)1(
2
2 ?? ?
NN
f
cR
oNx
399.1112655 202660 68955 358960 54115 22222 ????????? ??????????x **
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(二 ) 根据分类组数找出临界值。
df=(R-1)(C-1) (R 表示横行的分组数 C表示纵列的分组数 )
df=(2-1)× (2-1)=1
(三 ) 判断样本数的差异是否有显著意义 (下表 )
(四 )对总体频数有无差异做出判断
(1)判断样本频数的差异是否有显著性意义
∵ 查值表得,
ｘ２ (１ )0.05=3.841,ｘ２ (１ )0.01=6.635
∴ P<0.01,表示差异非常显著
(2)结论：有很大把握说幼儿对这种治理游戏的喜爱程度与
年级高低有关系,
∵,
∴ P<0.01，表示样本实际频数和理论频数的差异非常显著。
2x ? ?2
01.02x?
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例按照两种标志进行分类的双向表ｘ２检验
某地区幼教组在, 家庭环境因素与幼儿自信心关系, 的研究中，随机
抽取了 116名幼儿，经测定得出如下结果。试问幼儿自信心的强弱与家
庭结构有无关系？
RN
CN 116( N
幼儿自信心小家庭三代同堂扩大家庭
强 26 28 6 60
弱 32 14 10 56
58 42 16 )
三,幼教科研中使用ｘ２检验实例
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[检验 ]
结论,有把握判断该地区幼儿自信心的强弱与其家庭结构有关
系。
)1(
2
2 ?? ?
NN
f
cR
oNx 116?
*16.6
1
1656
10
1660
6
4256
14
4260
28
5856
32
5860
26 222222
?
???
?
???
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
? ? ? ? 21312 ?????df
查表得, ? ? 9 9 1.52 05.02 ?x ? ? 2 1 0.92 01.02 ?x
∵, ∴P<0.05,表示差异显著。 ? ?2 05.02x?2x
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四,使用检验时，要注意的事项
1,检验的基本条件：遵守分组归类原则 (分类完
整不遗漏，类别清洗不混淆，排列合理不杂乱 )。
2.样本容量的总频数应有足够多，如果大小就难以
反映总体特征。
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小结
本章共分五节
推断统计的概念，进行推断统计的目的、学习推断统计的重要意
义以及差异显著性检验的基本思想。
推断统计是在描述统计的基础上，利用样本特征对总体的特征
进行合理推断。
差异显著性检验是推断统计中的重要内容。其推理逻辑是一
种, 反证法,,即首先假定两个总体没有差异，然后再根据
样本数据的性质，选择适当的统计公式，计算出统计值，求
出上述假定成立的可能性有多大，从而在一定可靠程度上作
出总体有无差异的判断。
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在第二节 Z检验中，了解 Z检验主要用于两个独立的大样本
的平均数 (百分率 )差异显著性检验，它的计算公式是,
在第三节 t检验中，了解 t检验主要用于两个独立、相关小样
本的平均数差异显著性检验，知道 t检验又叫平均数差异显著性
检验，他的计算公式是,
2
2
2
1
2
1
2 1
?
? ?
n
S
n
S
x x Z
)
11
(
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SNSN
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而 Z检验与 t检验均用于计量资料的差异显著性检验。
若需对两个相关样本的平均数检验，则需要用 r检验了，他的计
算公式是,
? ?? ?
? ? ?
??
???
2222 )()(
))((
YYNXXN
YXXYN
此用于两个相关样本的平均数差异显著性检验
此用于两个相关样本的相关程度检验
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22
1
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NN
DD
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若需对计数资料进行检验，我们则需采用检验。它可检验实
际频数与理论频数是否吻合的问题。其基本公式是,
? ?? f ff
e
ox
2
12 )(
而实际频数直接计算值的公式,
2x
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)1(
2
2 ?? ?
NN
f
cR
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应用差异显著性检验时，必须明确是以随机样本为前提；对检
验结果要有正确的理解，任何判断都是在一定可靠程度上做出
的，不是百分之百的绝对正确。差异显著性检验只能通过样本
的差异是否有显著性意义来推断总体有无差异，但不能推断出
总体之间的差异有多大。
对推断统计必须作深入地了解和正确的使用。
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2,某幼儿园教师为了了解, 家园教育一致促进幼儿智力发展,
的研究效果，对实验组和对照组进行瑞文测验，结果见下表。试
根据测试结果，判断家园教育一致能否促进幼儿的智力发展。
复习思考题
1,从某班中随机抽取 9名男孩,8名女孩，其智力成绩见下
表。试问改中班幼儿的智力成绩有无性别差异？
平均分 ( X
男孩女孩
智力成绩 (X) 81 79 95 87 79 75 86 93 85 84 82 75 65 90 70 82 90
人数 (N)
)
标准差 (S)
组别人数 (N) 平均数 () 标准差 (S)
实验组 31 112 8.5
对照组 31 107 10.7
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3,某幼儿园随机抽取 12对幼儿，用配对等组法进行某种营养措施
的研究，经过一段时间，测量这些幼儿的体重 (单位：体重 )，结果
见下表。试判断此种营养措施对幼儿体重有无特殊影响。
配对编号试验组对照组
1 20 19.5
2 18 17
3 21 18
4 22 19
5 20 20
6 21 21.5
7 21.5 22
8 23 19
9 23 19
10 22 20
11 21 19
12 20 18
1x 2x
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4.为了了解 4-5岁幼儿看图讲述的层次结构情况，某幼儿园老师随机抽
取 4-5岁幼儿 68名，让他们对一张内容简单的图片进行讲述，结果见下
表。试问 4-5岁幼儿在讲述基本清楚和不清楚这两种层次上的人数是否
相同？
5.某幼儿园教师调查大、中、小班幼儿对唱歌、跳舞和画图最喜爱哪
一种 (每个幼儿只能填写一种 )。调查结果见下表。试根据调查资料，
判断幼儿对唱歌、跳舞、画图的喜爱是否与年级高低有关。
实际人数 (
0f
理论人数 ( ef讲述层次 ) )
基本清楚 28
不清楚 40
合计
RN
CN
班级唱歌跳舞画图
小班 52 12 32
中班 34 19 39
大班 16 30 54

课件简介

课件名称：	华东师范大学：教育统计学
课件分类：	统计
课件类型：	电子教案
文件大小：	2.84MB
下载次数：	9
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用户评分：	6.6

1. 华东师范大学：教育统计学：教育统计学讲义

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