第 10章 Z-变换
The Z-Transform
本章主要内容
1,双边 Z变换及其收敛域 ROC。
2,ROC的特征，各类信号的 ROC，零极点图。
3,Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。
5,常用信号的 Z变换,Z变换的性质。
6,用 Z变换表征 LTI系统，系统函数,LTI系统
的 Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。
4,由零极点图分析系统的特性。
7,单边 Z变换，增量线性系统的分析。
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅
立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多
性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然,Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要
的差异。
10.0 引言 (Introduction)
10.1 双边 Z 变换
当 时,即为离散时间傅立叶变换。
这表明,DTFT就是在单位圆上进行的 Z变换。
1r? jze??
( ) ( ) [ ( ) ]j n j n n
n
X re x n r e x n r??
?
? ? ?
? ? ?
??? F
( ) ( ) n
n
X z x n z
?
?
? ? ?
? ? jz re ??其中 是一个复数。
一,双边 Z变换的定义,
The z-Transform
可见：对 做 Z 变换就等于对 做 DTFT。
因此,Z 变换是对 DTFT的推广 。
()xn () nx n r?
二, Z变换的 收敛域（ ROC）：
Z变换与 DTFT一样存在着收敛的问题。
1,并非任何信号的 Z变换都存在。
2,并非 Z平面上的任何复数都能使 收敛。
Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构
成了 的 收敛域 （ ROC）。
()Xz
()Xz
()Xz
例 1,( ) ( )nx n a u n?
1
1()
1
nn
n
X z a z az
?
?
?
? ? ?
?? ??
时收敛za?
当 时,ROC包括了单位圆。1a ?
1()
1
j
jXe ae
?
??? ? za?
单位圆
1
Im
Re
Z平面
a
此时,的 DTFT存在。()xn
( ) | ( )j jzeX z X e? ?? ?
显然有
例 2,( ) ( )x n u n?
1
0
1()
1
n
n
X z z z
?
?
?
?
?? ?? 1z ?
此时,ROC不包括单位圆，所以 不能 简单地
从 通过将 得到 。
()Xz z je? ()jXe?
Im
Re
Z平面
1 （例 2的 ROC）
1( ) ( 2 )
1
j
j
k
X e ke? ? ?? ? ?
?
?
? ??
? ? ?? ?
例 3,( ) ( 1 )
nx n a u n? ? ? ?
1
1
() n n n n
nn
X z a z a z
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
11
1
11
az
a z az
?
??? ? ???
a 1
Re
Z平面 单位圆Im
za?ROC:
例 4,1
( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?
1
0
1
1
1
( ) ( ) 2
2
11
1 12
1
2
n n n n
nn
X z z z
z
z
??
??
? ? ? ?
?
?
??
??
?
?
??
1R O C, 2
2 z??
一般情况下,的 ROC是 Z 平面上一个 以
原点为中心的圆环。
()Xz
21/2
Z平面Im
Re
单位圆
结 论：
1） Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存
在 Z变换，也不是任何复数 Z都能使 收敛。()Xz
()Xz
()Xz
()xn
2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信
号，只有 连同相应的 ROC一道，才能与信
号 建立一一对应的关系。
3） Z变换的 ROC，一般是 Z平面上以原点为中
心的环形区域。
4）如果,则其 ROC是各个 的
ROC的公共部分。若没有公共区域则表明
的 Z变换不存在。
( ) ( )i
i
x n x n? ? ()ixn
()xn
()Xz
()Xz
5）当 是有理函数时，其 ROC的边界总是
由 的极点所在的圆周界定的。
6）若 的 ROC包括单位圆，则有
()Xz
( ) ( ) | jj zeX e X z ?? ??
三, 的几何表示 —— 零极点图：()Xz
()
()
()
( ) ( )
i
i
p
p
zz
Nz
X z M
D z z z
?
??
?
?
?
()Xz
如果 是有理函数，将其分子多项式与分
母多项式分别因式分解可以得到：
由其全部的零、极点即可确定出,最多
相差一个常数因子 。
()Xz
M
如果在零极点图上同时标出 ROC，则由该
零极点图可以唯一地确定一个信号。
因此，若在 Z 平面上表示出 的 全部零、
极点，即构成 的几何表示 —— 零极点图。
()Xz
()Xz
零极点图对描述 LTI系统和分析 LTI系统的特
性，具有重要的用途。
1,的 ROC是 Z平面上以原点为中心的环
形区域。
()Xz
10.2 Z 变换的 ROC
The Region of Convergence for the z-Transform
ROC的特征：
0z? z ??
3,有限长序列的 ROC是整个有限 Z平面（可
能不包括,或 ）。
()Xz2,在 ROC内,无极点。
4,右边序列的 ROC是某个圆的外部，但可能
不包括 。z ??
()xn 1Nn? ? ?
1
( ) ( ) n
nN
X z x n z
?
?
?
? ?
由,,有
若,则有
0 R O Czr??
1
0()
n
nN
x n r
?
?
?
???
10rr?
则如果,
11
0
10
1
( ) ( ) ( )nn n
n N n N
rx n r x n r
r
??
??
??
????
? ?1,N?
()xn设 是右边序列，定义于,? ?1,N ?
1
1
0
0
1
( ) ( )n N
nN
rx n r
r
?
?
?
? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ?
当 时,由于 的展开式中有若干个 Z
的正幂项，此时 不能为 。
1 0N ?
z
()Xz
?
5,左边序列的 ROC是某个圆的内部，但可能
不包括 。0z?
若,,则有
0 RO Cr ? 10rr?
11
0
10
1
( ) ( ) ( )
NN
nn n
nn
rx n r x n r
r
??
? ? ? ? ? ?
????
1
10
0
1
( ) ( )
N
n N
n
rx n r
r
?
? ? ?
? ? ? ?? 1 R O Cr??
当 时，由于 的展开式中包括有 Z的
负幂项，所以 Z 不能为零。若 是有理函数，
则 ROC必是最内部极点的内部。
1 0N ? ()Xz
()Xz
6,双边序列的 Z变换如果存在，则 ROC必是一
个环形区域。
例 1,()xn ?
?
,0 1,na n N? ? ? 0a?
0,其他 n
1
11
0
1()
1 ( )
N N N NN
nn
N
n
a z z aX z a z
az z z a
??
?
??
?
??? ? ?
???
极点,za? （一阶）
0z? （ N－ 1阶）
零点,2jkNz ae ??
( 0,1 1 )kN? ??? ?
? ?jIm z
? ?Re z
( 8)N ?
a? a0
( 1)N?
R O C, 0z ?
在 处，零极点抵消，使有限 Z平面内
无极点。
za?
例 2,( ),0nx n b b??
( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?
1
1( ),
1
nb u n z b
bz ????
1
11
1( 1 ),
1
nb u n z b
bz
??
??? ? ? ? ??
在 时，两部分的收敛域无公共部分，
表明此时 不存在。
1b?
()Xz
b 1/b
Z平面Im
Re
01b?? 时,ROC为 1/b z b??
例 3.
11
1()
1(1 ) (1 2 )
3
Xz
zz??
?
??
1/3 2
Re
Im
0(2)
?
在有限 Z平面上极点
总数与零点总数相同零点：
12
1,2
3zz??
0z? （二阶）
极点：
若其 ROC为：
1
2z ?
则 为右边序列，且是因果的，
但其傅立叶变换不存在。
()xn
时 是左边序列，且是反因果的，
其傅立叶变换不存在。
2 1
3z ?
()xn
时 是双边序列，其傅立叶变
换存在。
3 1 2
3 z??
()xn
ROC是否包括,是 是否反因果的标志。0z? ()xn
z ?? ()xn
ROC是否包括,是 是否因果的标志。
10.3 Z-反变换
( ) ( )j n j n
n
X re x n r e??
?
??
? ? ?
? ?
2
1( ) ( )
2
n j j nx n r X r e e d??
?
????? ?
2
1( ) ( )
2
j n j nx n X r e r e d??
?
??? ?
令,则jz re ?? jdz jr e d jz d? ????
一,Z-反变换：
The Inverse Z-Transform
当 从 时,Z沿着 ROC内半径为 r 的圆
变化一周。
? 02??
1,部分分式展开法：
1() 1
i
i i
AXz
az ?? ??
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z d zj? ??? ?
其中 C 是 ROC
中逆时针方向的
圆周。
二, 反变换的求取：
()Xz当 是有理函数时，可将其展开为 部分分式
步骤, 1,求出 的所有极点 ；
2,将 展开为部分分式；
()Xz ia
()Xz
3,根据总的 ROC，确定每一项的 ROC；
4,利用常用变换对和 Z变换 性质求出每一
项的反变换。
例：
1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
将 展开为部分分式有：()Xz
11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )
43
nnx n u n u n? ? ? ? ?
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
1ROC 2ROC
1R O C, | | 1 / 4z ?
2R O C, | | 1 / 3z ?
2,幂级数展开法,（长除法）
由 的定义，将其展开为幂级数，有()Xz
( ) ( ) ( 1 )nX z x n z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12( 0) ( 1 ) 2 ) )( ( nx n zx x z x z?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
展开式中 项的系数即为 。当 是
有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为
幂级数。
nz? ()xn ()Xz
? 由于 右边序列 的展开式中应包含无数多个 Z
的负幂项，所以要 按降幂长除。
? 由于 左边序列 的展开式中应包含无数多个 Z
的正幂项，所以要 按升幂长除。
? 对 双边序列，先要将其分成对应信号的右边
和左边的两部分，再分别按上述原则长除。
例：
1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含
多个极点时）难以得出 的闭式。
()Xz
()xn
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
1ROC 2ROC
1R O C, | | 1 / 4z ?
2R O C, | | 1 / 3z ?
所以 前一项按降幂长除，后一项按升幂长除 。
幂级数展开法适合用来求解非有理函数形
式 的反变换。
()Xz
3,留数法：
111( ) ( ) Re s[ ( ),]
2
nn
ic
i
x n X z z d z X z z zj? ???? ??
是 C内的极点。
iz
1( ) Re s[ ( ),]n
i
i
x n X z z z??? ?
是 C外的极点。
iz
0n? 时，
1( ) R e s[ ( ),]n
i
i
x n X z z z?? ?
是 C内的极点 。
iz
0n? 时，
对有理函数的 由留数定理有：()Xz
当 ROC包括 时,Z 变换在单位圆上的情
况就是,因此也可以利用零极点图对其
进行几何求值。
1z ?
()jXe?
10.4,由零极点图对离散时间傅立叶
变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier
Transform from the Pole-Zero Plot
其方法与拉氏变换时完全类似：
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢
量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可
反映系统的频率特性。
例 1,一阶系统 ( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?
( ) ( )nh n a u n?
1
1( ),
1H z z aaz ????
当 时,ROC包括单位圆。1a ?
1()
1
j
jHe ae
?
??? ?
12( ) /jH e V V? ?
显然,取决于 的变化。
1 1,V ? ()jHe ? 2V
?当 时，01a??
??? ()jHe?当 时,有最小值。
随 呈单调变化。()jHe? ?
0?? ()jHe ?在 处,有最大值。
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1
0.95a?
0.5a?
幅频特性
0.95a?
相频特性
一阶系统的频率特性,01a??
?当 时，10a? ? ?
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1()jHe?
0.5a??
0.95a??
0 ?
幅频特性
? 2?
??
?
0.5a??
0.95a??
相频特性
? 越小，极点靠原点越近，系统的频率响
应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减
越快,上升越快。
a
()hn
()sn
? 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越
尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，
相位的非线性程度越厉害。
a
可以看出：
例 2,二阶系统：
s i n ( 1 )( ) ( )
s i n
n nh n r u n?
?
??
0 1,0r ??? ? ? ?（系统欠阻尼）
2( ) 2 c o s ( 1 ) ( 2 ) ( )y n r y n r y n x n?? ? ? ? ?
1 2 2
1()
1 2 c o sHz r z r z? ??? ??
极点：
1,2 jz re ???
零点,0z? （二阶）
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点
矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，
即可得到二阶系统的频率特性。
1V
2V je?
jIm[ ]z
1
3V
Re[ ]z
当 从 时，在靠近 处频率响
应会出现极大值。
? 0 ?? ????
若 r越接近于 1,的峰值越尖锐。由于
极点远离原点,和 的变化速率越慢。
()jHe?
()hn ()sn
随着 r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋
于平坦，而 和 的变化速率会加快。
()hn ()sn
幅频特性 相频特性
二阶系统的频率特性,0 1,0r ??? ? ? ?
当极点很靠近单位圆
时，也可以从零极点图
粗略确定系统的带宽。
4
?
更一般的情况，二阶系统也可能
有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。
其特性相当于两个一阶系统级联的结果。
（二阶系统具有重阶实数极点的情况）
Z变换的许多性质与 DTFT的性质相似，其推
论方法也相同。这里主要讨论其 ROC的变化。
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
则 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X z b X z? ? ?
ROC,包括 12RR
10.5 Z变换的性质
1,线性：
Properties of the Z-transform
?如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，
则 ROC可能会扩大。
2,时移：
但在 和 可能会有增删。ROC, R 0z? z ??
? 由于信号时移可能会改变其因果性，故会
使 ROC 在, 有可能改变。0z?
z ??
( ) ( )x n X z? ROC, R若
00( ) ( ) nx n n X z z ???
则
3,Z域尺度变换：
( ) ( )x n X z? ROC, R若
00( ) ( / )nz x n X z z? 0R O C, zR
则
zR? 时 收敛，故 时,收敛。()Xz 0| / |z z R? 0( / )X z z
0z z R??
当 时，即为 移频特性 。
00 jze??
若 是一般复数,则 的零
极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角
度,而且在径向有 倍的尺度变化。
0z 000
jz r e ?? 0( / )X z z
()Xz
0? 0r
1/2
0 2r ? 0?
1
4,时域反转：
( ) ( )x n X z? ROC, R若
1( ) ( )x n X z ??? R O C,1 / R (收敛域边界倒置 )则
? 信号在时域反转，会引起 的零、极点
分布按倒量对称发生改变。
()Xz
即,与 的 零极点呈共轭倒量对称 。()Xz 1()Xz?
? 如果 是 的零 /极点,则 就是
的零 /极点。由于 也是 的零 /极点，因此
iz 1/ iz 1()Xz?()Xz
iz? ()Xz
1/ iz? 也是 的零 /极点。1()Xz?
则 的 ROC为1()Xz? 2 2
3 z??
iz
iz?
Re
0
jIm
*1/ iz
1/iz
例,()Xz 的 ROC为
13
22z??
若
5,时域内插,
( ) ( )x n X z? ROC, R若
()kxn?
?
( / )x n k
0
n 为 的整数倍k
其它 n
则 ( ) ( )k
kx n X z?
1R O C, kR
()( ) ( ) ( )
n rk k
k k n
nr
X z x z x r z X z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明：
6,共轭对称性：
?当 是实信号时，,于是
有
()xn * ( ) ( )x n x n?
*( ) ( )X z X z ??
表明 如果 有复数零极点，必共轭成对出现。()Xz
( ) ( )x n X z? ROC, R若
* * *( ) ( )x n X z? ROC, R则
7,卷积性质：
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R若
12RRROC
包括
如果在相乘时出现零极点抵消的情况则 ROC
可能会扩大。
12 12( ) ( )( ) ( )
m
n
n
x n x m x nn m zx
?
? ??
?
?
? ??
?? ???
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
m
m
x m X z z X z X z
?
?
? ? ?
???
该性质是 LTI系统 Z变换分析法的理论基础。
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n X z X z??
则
8,Z域微分：
例 1,1( ) l n( 1 )X z az ??? za?
利用该性质可以方便地求出某些非有理函
数 的反变换，或具有高阶极点的 的
反变换。
()Xz ()Xz
( ) ( )x n X z? ROC,R若
()() d X zn x n z
dz??
ROC,R则
1
1
1
() ( ) ( 1 ) ( )
1
nd X z a zz a a u n n x n
d z a z
?
?
?? ? ? ? ? ??
1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nnax n a u n a u n
nn
?? ? ? ? ? ? ? ?
2
1
()
1
d X z a z
d z a z
?
?
??
?
例 2,1
12() (1 )
azXz
az
?
?? ?
za?
1
1()
1
na u n
az ?? ?
za?
2
1 1 2
1()
1 (1 )
d a z
d z a z a z
?
??????
1
12
()
(1 )
d X z a zz
d z a z
?
??? ?
( ) ( )nx n na u n??
9,初值定理：
则
( 0 ) lim ( )zx X z???
()xn ( ) ( )x n X z?若 是因果信号，且
12( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )X z x x z x z??? ? ?() nx n z ?? ??? ? ? ???
z ? lim ( ) ( 0 )
z X z x?? ?
时有显然当
证明,将 按定义式展开有：()Xz
10,终值定理,
若 是因果信号，且,
除了在 可以有一阶极点外，其它极点均
在单位圆内，则
()xn ( ) ( )x n X z? ()Xz
1z?
1
( 1 ) ( )lim
z
z X z
?
??()lim
n
xn
??
证明：
( 1 ) ( )z X z?? 在单位圆上无极点
( ) 0,xn ? 0,n? ()Xz
除了在 可以有
单阶极点外，其它极点均在单位圆内，
1z?
11
1
1
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ]l im l im
[ ( 1 ) ( ) ]l im
zz
m
n
n
m
n
z X z x n x n z
x n x n
??
??
?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
?
?
( 1 ) ( 1 ) ([ ( 0 ) ( 1 ) ]lim (0 ))m xx x m xx mx?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
( 1 ) ( )l i m l i mmnx m x n? ? ? ?? ? ?
这其实表明：如果 有终值存在，则其终
值等于 在 处的留数。
()xn
()Xz 1z?
1
( 1 ) ( ) R e s [ ( ),1 ]l i m
z
z X z X z
?
??
Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
10.6 常用信号的 Z变换对
10.7 利用 Z变换分析与表征 LTI系统
一,系统特性与 的关系,()Hz
（自学）
Some Common Z-Transform Pairs
Analysis and Characterization of LTI Systems
Using Z-Transforms
()Hz
()hn ()jHe?
LTI系统的特性可以由 或 描述，因
而也可以由 连同 ROC来表征。
()Hz
z ??
1,因果性,如果 LTI系统是因果的，则 时
有 所以,的 ROC是最外部极点的
外部,并且包括 。
( ) 0,hn ?
0n?
称为 系统函数。 系统的特性应该在系统
函数中有所表现。
()Hz
2,稳定性,若 LTI系统稳定，则,
即 的 DTFT存在，表明单位圆在 的
ROC内。
()
n
hn
?
? ? ?
???
()hn ()Hz
()Hz即 的 ROC必包括单位圆。
二, LTI系统的 Z变换分析法：
因此,因果稳定的 LTI系统其 的全部极
点必须位于单位圆内，反之亦然。 当 是关
于 Z 的有理函数时，因果性要求 的分子阶
数不能高于分母阶数。
()Hz
()Hz
()Hz
1） 由 求得 及其 。
2） 由系统的描述求得 及其 。
()xn 1RO C, R
()Hz 2RO C, R
()Xz
分析步骤：
三, 由 LCCDE描述的 LTI系统的,()Hz
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
对方程两边做 Z变换可得：
3） 由 得出 并确定它
的 ROC包括 。
4） 对 做反变换得到 。
( ) ( ) ( )Y z X z H z?
12RR
()yn
()Yz
()Yz
由差分方程描述的 LTI系统，其方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a z Y z b z X z??
??
???
0
0
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bz
Hz
az
?
?
?
?
?
?
?
是一个有理函数。
()Hz 的 ROC需要通过其它条件确定，如：
1.系统的因果性或稳定性。
2.系统是否具有零初始条件等。
例,由下列差分方程做出网络结构，并求其系
统函数 H(z) 和单位脉冲响应 h(n)。
)3(8)1(5)()()1( ????? nxnxnxny
解：由方程可得
)()851()( 31 zXzzzY ?? ???
31 851)( ?? ??? zzzH
)3(8)1(5)()( ????? nnnnh ??? FIR
)(nx
1?z
1?z
1?z
1
5?
8
)(ny
)()3()2(3)1(3)()2( nxnynynyny ???????
)()()331( 321 zXzYzzz ???? ???
31 )1(
1)(
??? zzH
)()2)(1(21)( nunnnh ???
解：由方程可得
利用 Z变换的性质可得
IIR
)(nx
1?z
1?z
1?z
)(ny
3?
3
1?
一, 系统互联的系统函数,
1()Hz 2 ()Hz
1R 2R
12( ) ( ) ( )H z H z H z?
ROC包括
12RR
10.8 系统函数的代数属性与方框图表示
System Function Algebra and Block
Diagram Representations
1,级联：
12( ) ( ) ( )H z H z H z??
ROC包括
12RR
3,反馈联接：
2,并联：
1()Xz()Xz
1()Hz
()Gz
1R
2R
()Yz
由系统框图可
列出如下方程：
1()Hz
2()Hz
1R
2R
1 ( ) ( ) ( ) ( )X z X z Y z G z??
11( ) ( ) ( )Y z X z H z?
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )X z H z Y z H z G z??
1
1
()()
1 ( ) ( )
HzHz
H z G z? ?
ROC：包括
12RR
由 LCCDE描述的 LTI系统，其系统函数为有
理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。
二, LTI系统的级联与并联结构：
1,级联型：
1
00
1
10
0
1
()
1
N
k
k N
kk
N
k k k
k
k
bz
bz
Hz
az
az
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
??
?
?
?
?
122
0 1 2
12
10 1 2
1
1
N
kk
k kk
b z z
a z z
??
??
??
??
?
???
???
/2
0
10
()
N
k
k
b Hz
a ?? ?
其中 是二阶（或一阶）系统函数。()
kHz
由此即可得 系统的级联型结构,
将 因式分解，在无重阶零极点时可得()Hz
N为偶数时
D
D
D
D
()xn
0
0
b
a
11??
21??
11?
21?
1 2N??
2 2N??
1 2N?
2 2N?
()yn
LTI系统的级联型结构
0
1
10
()
1
N
k
k k
bAHz
az ? ??
??
??
/2
0
10
()
N
k
k
b Hz
a ??? ?
2,并联型：
将 展开为部分分式，在无重阶极点时有()Hz
1/2
0 0 1
12
10 1 21
N
kk
k kk
b r r z
a z z??
?
??
?
???
???
N为偶数时
D
D
()xn 11??
21??
2 2N??
1 2N??
()yn
00/ba
D
D
1 2Nr
0 2Nr
01r
11r
LTI系统的并联型结构
10.9 单边 Z变换：
一, 单边 Z变换：
0
( ) ( ) n
n
z x n z?
?
?
?
? ?
单边 Z变换是双边 Z变换的特例，也就是因果
信号的双边 Z变换。因此单边 Z变换 的 ROC
一定是最外部极点的外部，并且包括 。
()z?
||z ??
The Unilateral Z-Transform
所以在讨论单边 Z变换时,不再强调其 ROC。
它的反变换也一定与双边 Z变换的反变换一致。
11( ) ( )
2
n
c
x n z z dzj ?? ?? ?
如果信号 不是因果序列，则其双边 Z变
换 与单边 Z变换 不同。
()xn
()Xz ()z?
例 1,( ) ( )nx n a u n?
对其做双边 Z变换有：
1
1()
1Xz az ?? ?
za?
显然 ( ) ( )z X z? ?
1
1()
1z az? ?? ? za?
对其做单边 Z变换有：
例 2,1( ) ( 1 )nx n a u n???
对其做双边 Z变换有：
1() 1
zXz
az ?? ? za?
对其做单边 Z变换有：
1
1
0
() 1nn
n
az a z
az?
?
??
?
?
?? ?? za?
这是因为 在 的部分对双边 Z变换起
作用，而对单边 Z变换不起作用所致。
()xn 0n?
只要所涉及的信号是因果信号,单边 Z变换
除了时移特性与双边 Z变换略显不同外，其它
性质与双边 Z变换的情况是一致的。
( ) ( )z X z? ?显然
二, 单边 Z变换的性质：
时移特性：
Proof:
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
? ? ?
????
1
0
1
( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
m
m
x z x m z
z z x?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
( ) ( )x n z??若
1( 1 ) ( ) ( 1 )x n z z x??? ? ? ?
则
( 1 ) ( ) (0 )x n z z z x?? ? ?
同理可得：
21( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )x n z z z x x???? ? ? ? ? ?
Proof：
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
??
????
( 1 )
0
( ) ( 0) ( ) ( 0)m
m
x m z x z z z zx?
?
??
?
? ? ? ??
22( 2 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )x n z z z x zx?? ? ? ?
同理可得：
单边 Z变换在将 LCCDE变换为代数方程时，
可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决
增量线性系统问题时特别有用。
三, 利用单边 Z变换分析增量线性系统：
( ) 3 ( 1 ) ( ),y n y n x n? ? ?
( ) ( ),x n u n? ( 1) 1y ??
则 1
1
1( ) 3 [ ( ) ( 1 )] ( )
1Y z z Y z y z z?
?
?? ? ? ? ? ?
1
1()
13Hz z ?? ?
1
1 1 1
1
( ) [ ( ) 3 ]
13
( ) 3 3
( ) ( )
1 3 1 3 1 3
Y z z
z
z
H z z
z z z
?
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
? ? ?
零 状 态 响 应 零 输 入 响 应 零 输 入 响 应
＋ ＋
11
1 / 4 9 / 4
1 1 3zz??????
1 9 1( ) [ ( 3 ) ] ( ) [ 1 9 ( 3 ) ] ( )
4 4 4? ? ? ? ? ? ?
nny n u n u n
21 [1 ( 3 ) ] ( )
4
?? ? ? n un
强迫响应 自然响应
1,讨论了对离散时间信号和系统进行 Z变换分
析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第
九章相对应。
10.10 小结,Summary
sTze?
2,与拉氏变换的情况对照，可以发现 S平面与
Z平面之间存在着一种映射关系,就是
这种映射关系。
将连续时间信号 采样，可以得到：()
cxt
( ) ( ) ( ) nc
n
x n X z x nT z
?
?
? ??
?? ?
sTze?
( ) ( ) ( )pc
n
x t x n T t n T?
?
? ? ?
???
( ) ( ) s n Tpc
n
X s x n T e
?
?
? ? ?
? ?
对其做拉氏变换有：
对采样所得到的样本序列 做 Z
变换有：
( ) ( )cx n x n T?
比较两式，可以得出 S平面与 Z平面之间有：
S平面与 Z平面之间的映射关系
0,1
0,1
0,1
r
r
r
?
?
?
??
??
??
,? ? ?? ? ? TT??? ? ? ?
0,? ? 0??
,jz r e s j? ?? ? ? ?,Tr e T? ?? ? ? ?
映射过程：
jT??
jT?
j?
?
sTze?
Re
jIm
1
S平面 Z平面
3,利用 Z变换分析 LTI系统，较之 DTFT具有更
方便、更广泛适用的优点。
这种映射关系在数字信号处理，特别是数
字系统设计中是非常重要的。明确了这种关
系就很容易对 Z 变换与拉氏变换的关系及差
异之处有更清楚的认识。
4,单边 Z变换是分析增量线性系统的有力工具。
The Z-Transform
本章主要内容
1,双边 Z变换及其收敛域 ROC。
2,ROC的特征，各类信号的 ROC，零极点图。
3,Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。
5,常用信号的 Z变换,Z变换的性质。
6,用 Z变换表征 LTI系统，系统函数,LTI系统
的 Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。
4,由零极点图分析系统的特性。
7,单边 Z变换，增量线性系统的分析。
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅
立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多
性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然,Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要
的差异。
10.0 引言 (Introduction)
10.1 双边 Z 变换
当 时,即为离散时间傅立叶变换。
这表明,DTFT就是在单位圆上进行的 Z变换。
1r? jze??
( ) ( ) [ ( ) ]j n j n n
n
X re x n r e x n r??
?
? ? ?
? ? ?
??? F
( ) ( ) n
n
X z x n z
?
?
? ? ?
? ? jz re ??其中 是一个复数。
一,双边 Z变换的定义,
The z-Transform
可见：对 做 Z 变换就等于对 做 DTFT。
因此,Z 变换是对 DTFT的推广 。
()xn () nx n r?
二, Z变换的 收敛域（ ROC）：
Z变换与 DTFT一样存在着收敛的问题。
1,并非任何信号的 Z变换都存在。
2,并非 Z平面上的任何复数都能使 收敛。
Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构
成了 的 收敛域 （ ROC）。
()Xz
()Xz
()Xz
例 1,( ) ( )nx n a u n?
1
1()
1
nn
n
X z a z az
?
?
?
? ? ?
?? ??
时收敛za?
当 时,ROC包括了单位圆。1a ?
1()
1
j
jXe ae
?
??? ? za?
单位圆
1
Im
Re
Z平面
a
此时,的 DTFT存在。()xn
( ) | ( )j jzeX z X e? ?? ?
显然有
例 2,( ) ( )x n u n?
1
0
1()
1
n
n
X z z z
?
?
?
?
?? ?? 1z ?
此时,ROC不包括单位圆，所以 不能 简单地
从 通过将 得到 。
()Xz z je? ()jXe?
Im
Re
Z平面
1 （例 2的 ROC）
1( ) ( 2 )
1
j
j
k
X e ke? ? ?? ? ?
?
?
? ??
? ? ?? ?
例 3,( ) ( 1 )
nx n a u n? ? ? ?
1
1
() n n n n
nn
X z a z a z
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
11
1
11
az
a z az
?
??? ? ???
a 1
Re
Z平面 单位圆Im
za?ROC:
例 4,1
( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?
1
0
1
1
1
( ) ( ) 2
2
11
1 12
1
2
n n n n
nn
X z z z
z
z
??
??
? ? ? ?
?
?
??
??
?
?
??
1R O C, 2
2 z??
一般情况下,的 ROC是 Z 平面上一个 以
原点为中心的圆环。
()Xz
21/2
Z平面Im
Re
单位圆
结 论：
1） Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存
在 Z变换，也不是任何复数 Z都能使 收敛。()Xz
()Xz
()Xz
()xn
2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信
号，只有 连同相应的 ROC一道，才能与信
号 建立一一对应的关系。
3） Z变换的 ROC，一般是 Z平面上以原点为中
心的环形区域。
4）如果,则其 ROC是各个 的
ROC的公共部分。若没有公共区域则表明
的 Z变换不存在。
( ) ( )i
i
x n x n? ? ()ixn
()xn
()Xz
()Xz
5）当 是有理函数时，其 ROC的边界总是
由 的极点所在的圆周界定的。
6）若 的 ROC包括单位圆，则有
()Xz
( ) ( ) | jj zeX e X z ?? ??
三, 的几何表示 —— 零极点图：()Xz
()
()
()
( ) ( )
i
i
p
p
zz
Nz
X z M
D z z z
?
??
?
?
?
()Xz
如果 是有理函数，将其分子多项式与分
母多项式分别因式分解可以得到：
由其全部的零、极点即可确定出,最多
相差一个常数因子 。
()Xz
M
如果在零极点图上同时标出 ROC，则由该
零极点图可以唯一地确定一个信号。
因此，若在 Z 平面上表示出 的 全部零、
极点，即构成 的几何表示 —— 零极点图。
()Xz
()Xz
零极点图对描述 LTI系统和分析 LTI系统的特
性，具有重要的用途。
1,的 ROC是 Z平面上以原点为中心的环
形区域。
()Xz
10.2 Z 变换的 ROC
The Region of Convergence for the z-Transform
ROC的特征：
0z? z ??
3,有限长序列的 ROC是整个有限 Z平面（可
能不包括,或 ）。
()Xz2,在 ROC内,无极点。
4,右边序列的 ROC是某个圆的外部，但可能
不包括 。z ??
()xn 1Nn? ? ?
1
( ) ( ) n
nN
X z x n z
?
?
?
? ?
由,,有
若,则有
0 R O Czr??
1
0()
n
nN
x n r
?
?
?
???
10rr?
则如果,
11
0
10
1
( ) ( ) ( )nn n
n N n N
rx n r x n r
r
??
??
??
????
? ?1,N?
()xn设 是右边序列，定义于,? ?1,N ?
1
1
0
0
1
( ) ( )n N
nN
rx n r
r
?
?
?
? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ?
当 时,由于 的展开式中有若干个 Z
的正幂项，此时 不能为 。
1 0N ?
z
()Xz
?
5,左边序列的 ROC是某个圆的内部，但可能
不包括 。0z?
若,,则有
0 RO Cr ? 10rr?
11
0
10
1
( ) ( ) ( )
NN
nn n
nn
rx n r x n r
r
??
? ? ? ? ? ?
????
1
10
0
1
( ) ( )
N
n N
n
rx n r
r
?
? ? ?
? ? ? ?? 1 R O Cr??
当 时，由于 的展开式中包括有 Z的
负幂项，所以 Z 不能为零。若 是有理函数，
则 ROC必是最内部极点的内部。
1 0N ? ()Xz
()Xz
6,双边序列的 Z变换如果存在，则 ROC必是一
个环形区域。
例 1,()xn ?
?
,0 1,na n N? ? ? 0a?
0,其他 n
1
11
0
1()
1 ( )
N N N NN
nn
N
n
a z z aX z a z
az z z a
??
?
??
?
??? ? ?
???
极点,za? （一阶）
0z? （ N－ 1阶）
零点,2jkNz ae ??
( 0,1 1 )kN? ??? ?
? ?jIm z
? ?Re z
( 8)N ?
a? a0
( 1)N?
R O C, 0z ?
在 处，零极点抵消，使有限 Z平面内
无极点。
za?
例 2,( ),0nx n b b??
( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?
1
1( ),
1
nb u n z b
bz ????
1
11
1( 1 ),
1
nb u n z b
bz
??
??? ? ? ? ??
在 时，两部分的收敛域无公共部分，
表明此时 不存在。
1b?
()Xz
b 1/b
Z平面Im
Re
01b?? 时,ROC为 1/b z b??
例 3.
11
1()
1(1 ) (1 2 )
3
Xz
zz??
?
??
1/3 2
Re
Im
0(2)
?
在有限 Z平面上极点
总数与零点总数相同零点：
12
1,2
3zz??
0z? （二阶）
极点：
若其 ROC为：
1
2z ?
则 为右边序列，且是因果的，
但其傅立叶变换不存在。
()xn
时 是左边序列，且是反因果的，
其傅立叶变换不存在。
2 1
3z ?
()xn
时 是双边序列，其傅立叶变
换存在。
3 1 2
3 z??
()xn
ROC是否包括,是 是否反因果的标志。0z? ()xn
z ?? ()xn
ROC是否包括,是 是否因果的标志。
10.3 Z-反变换
( ) ( )j n j n
n
X re x n r e??
?
??
? ? ?
? ?
2
1( ) ( )
2
n j j nx n r X r e e d??
?
????? ?
2
1( ) ( )
2
j n j nx n X r e r e d??
?
??? ?
令,则jz re ?? jdz jr e d jz d? ????
一,Z-反变换：
The Inverse Z-Transform
当 从 时,Z沿着 ROC内半径为 r 的圆
变化一周。
? 02??
1,部分分式展开法：
1() 1
i
i i
AXz
az ?? ??
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z d zj? ??? ?
其中 C 是 ROC
中逆时针方向的
圆周。
二, 反变换的求取：
()Xz当 是有理函数时，可将其展开为 部分分式
步骤, 1,求出 的所有极点 ；
2,将 展开为部分分式；
()Xz ia
()Xz
3,根据总的 ROC，确定每一项的 ROC；
4,利用常用变换对和 Z变换 性质求出每一
项的反变换。
例：
1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
将 展开为部分分式有：()Xz
11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )
43
nnx n u n u n? ? ? ? ?
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
1ROC 2ROC
1R O C, | | 1 / 4z ?
2R O C, | | 1 / 3z ?
2,幂级数展开法,（长除法）
由 的定义，将其展开为幂级数，有()Xz
( ) ( ) ( 1 )nX z x n z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12( 0) ( 1 ) 2 ) )( ( nx n zx x z x z?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
展开式中 项的系数即为 。当 是
有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为
幂级数。
nz? ()xn ()Xz
? 由于 右边序列 的展开式中应包含无数多个 Z
的负幂项，所以要 按降幂长除。
? 由于 左边序列 的展开式中应包含无数多个 Z
的正幂项，所以要 按升幂长除。
? 对 双边序列，先要将其分成对应信号的右边
和左边的两部分，再分别按上述原则长除。
例：
1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含
多个极点时）难以得出 的闭式。
()Xz
()xn
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
1ROC 2ROC
1R O C, | | 1 / 4z ?
2R O C, | | 1 / 3z ?
所以 前一项按降幂长除，后一项按升幂长除 。
幂级数展开法适合用来求解非有理函数形
式 的反变换。
()Xz
3,留数法：
111( ) ( ) Re s[ ( ),]
2
nn
ic
i
x n X z z d z X z z zj? ???? ??
是 C内的极点。
iz
1( ) Re s[ ( ),]n
i
i
x n X z z z??? ?
是 C外的极点。
iz
0n? 时，
1( ) R e s[ ( ),]n
i
i
x n X z z z?? ?
是 C内的极点 。
iz
0n? 时，
对有理函数的 由留数定理有：()Xz
当 ROC包括 时,Z 变换在单位圆上的情
况就是,因此也可以利用零极点图对其
进行几何求值。
1z ?
()jXe?
10.4,由零极点图对离散时间傅立叶
变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier
Transform from the Pole-Zero Plot
其方法与拉氏变换时完全类似：
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢
量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可
反映系统的频率特性。
例 1,一阶系统 ( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?
( ) ( )nh n a u n?
1
1( ),
1H z z aaz ????
当 时,ROC包括单位圆。1a ?
1()
1
j
jHe ae
?
??? ?
12( ) /jH e V V? ?
显然,取决于 的变化。
1 1,V ? ()jHe ? 2V
?当 时，01a??
??? ()jHe?当 时,有最小值。
随 呈单调变化。()jHe? ?
0?? ()jHe ?在 处,有最大值。
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1
0.95a?
0.5a?
幅频特性
0.95a?
相频特性
一阶系统的频率特性,01a??
?当 时，10a? ? ?
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1()jHe?
0.5a??
0.95a??
0 ?
幅频特性
? 2?
??
?
0.5a??
0.95a??
相频特性
? 越小，极点靠原点越近，系统的频率响
应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减
越快,上升越快。
a
()hn
()sn
? 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越
尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，
相位的非线性程度越厉害。
a
可以看出：
例 2,二阶系统：
s i n ( 1 )( ) ( )
s i n
n nh n r u n?
?
??
0 1,0r ??? ? ? ?（系统欠阻尼）
2( ) 2 c o s ( 1 ) ( 2 ) ( )y n r y n r y n x n?? ? ? ? ?
1 2 2
1()
1 2 c o sHz r z r z? ??? ??
极点：
1,2 jz re ???
零点,0z? （二阶）
考查动点在单位圆上移动一周时，各极点
矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，
即可得到二阶系统的频率特性。
1V
2V je?
jIm[ ]z
1
3V
Re[ ]z
当 从 时，在靠近 处频率响
应会出现极大值。
? 0 ?? ????
若 r越接近于 1,的峰值越尖锐。由于
极点远离原点,和 的变化速率越慢。
()jHe?
()hn ()sn
随着 r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋
于平坦，而 和 的变化速率会加快。
()hn ()sn
幅频特性 相频特性
二阶系统的频率特性,0 1,0r ??? ? ? ?
当极点很靠近单位圆
时，也可以从零极点图
粗略确定系统的带宽。
4
?
更一般的情况，二阶系统也可能
有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。
其特性相当于两个一阶系统级联的结果。
（二阶系统具有重阶实数极点的情况）
Z变换的许多性质与 DTFT的性质相似，其推
论方法也相同。这里主要讨论其 ROC的变化。
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
则 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X z b X z? ? ?
ROC,包括 12RR
10.5 Z变换的性质
1,线性：
Properties of the Z-transform
?如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，
则 ROC可能会扩大。
2,时移：
但在 和 可能会有增删。ROC, R 0z? z ??
? 由于信号时移可能会改变其因果性，故会
使 ROC 在, 有可能改变。0z?
z ??
( ) ( )x n X z? ROC, R若
00( ) ( ) nx n n X z z ???
则
3,Z域尺度变换：
( ) ( )x n X z? ROC, R若
00( ) ( / )nz x n X z z? 0R O C, zR
则
zR? 时 收敛，故 时,收敛。()Xz 0| / |z z R? 0( / )X z z
0z z R??
当 时，即为 移频特性 。
00 jze??
若 是一般复数,则 的零
极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角
度,而且在径向有 倍的尺度变化。
0z 000
jz r e ?? 0( / )X z z
()Xz
0? 0r
1/2
0 2r ? 0?
1
4,时域反转：
( ) ( )x n X z? ROC, R若
1( ) ( )x n X z ??? R O C,1 / R (收敛域边界倒置 )则
? 信号在时域反转，会引起 的零、极点
分布按倒量对称发生改变。
()Xz
即,与 的 零极点呈共轭倒量对称 。()Xz 1()Xz?
? 如果 是 的零 /极点,则 就是
的零 /极点。由于 也是 的零 /极点，因此
iz 1/ iz 1()Xz?()Xz
iz? ()Xz
1/ iz? 也是 的零 /极点。1()Xz?
则 的 ROC为1()Xz? 2 2
3 z??
iz
iz?
Re
0
jIm
*1/ iz
1/iz
例,()Xz 的 ROC为
13
22z??
若
5,时域内插,
( ) ( )x n X z? ROC, R若
()kxn?
?
( / )x n k
0
n 为 的整数倍k
其它 n
则 ( ) ( )k
kx n X z?
1R O C, kR
()( ) ( ) ( )
n rk k
k k n
nr
X z x z x r z X z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明：
6,共轭对称性：
?当 是实信号时，,于是
有
()xn * ( ) ( )x n x n?
*( ) ( )X z X z ??
表明 如果 有复数零极点，必共轭成对出现。()Xz
( ) ( )x n X z? ROC, R若
* * *( ) ( )x n X z? ROC, R则
7,卷积性质：
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R若
12RRROC
包括
如果在相乘时出现零极点抵消的情况则 ROC
可能会扩大。
12 12( ) ( )( ) ( )
m
n
n
x n x m x nn m zx
?
? ??
?
?
? ??
?? ???
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
m
m
x m X z z X z X z
?
?
? ? ?
???
该性质是 LTI系统 Z变换分析法的理论基础。
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n X z X z??
则
8,Z域微分：
例 1,1( ) l n( 1 )X z az ??? za?
利用该性质可以方便地求出某些非有理函
数 的反变换，或具有高阶极点的 的
反变换。
()Xz ()Xz
( ) ( )x n X z? ROC,R若
()() d X zn x n z
dz??
ROC,R则
1
1
1
() ( ) ( 1 ) ( )
1
nd X z a zz a a u n n x n
d z a z
?
?
?? ? ? ? ? ??
1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nnax n a u n a u n
nn
?? ? ? ? ? ? ? ?
2
1
()
1
d X z a z
d z a z
?
?
??
?
例 2,1
12() (1 )
azXz
az
?
?? ?
za?
1
1()
1
na u n
az ?? ?
za?
2
1 1 2
1()
1 (1 )
d a z
d z a z a z
?
??????
1
12
()
(1 )
d X z a zz
d z a z
?
??? ?
( ) ( )nx n na u n??
9,初值定理：
则
( 0 ) lim ( )zx X z???
()xn ( ) ( )x n X z?若 是因果信号，且
12( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )X z x x z x z??? ? ?() nx n z ?? ??? ? ? ???
z ? lim ( ) ( 0 )
z X z x?? ?
时有显然当
证明,将 按定义式展开有：()Xz
10,终值定理,
若 是因果信号，且,
除了在 可以有一阶极点外，其它极点均
在单位圆内，则
()xn ( ) ( )x n X z? ()Xz
1z?
1
( 1 ) ( )lim
z
z X z
?
??()lim
n
xn
??
证明：
( 1 ) ( )z X z?? 在单位圆上无极点
( ) 0,xn ? 0,n? ()Xz
除了在 可以有
单阶极点外，其它极点均在单位圆内，
1z?
11
1
1
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ]l im l im
[ ( 1 ) ( ) ]l im
zz
m
n
n
m
n
z X z x n x n z
x n x n
??
??
?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
?
?
( 1 ) ( 1 ) ([ ( 0 ) ( 1 ) ]lim (0 ))m xx x m xx mx?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
( 1 ) ( )l i m l i mmnx m x n? ? ? ?? ? ?
这其实表明：如果 有终值存在，则其终
值等于 在 处的留数。
()xn
()Xz 1z?
1
( 1 ) ( ) R e s [ ( ),1 ]l i m
z
z X z X z
?
??
Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
10.6 常用信号的 Z变换对
10.7 利用 Z变换分析与表征 LTI系统
一,系统特性与 的关系,()Hz
（自学）
Some Common Z-Transform Pairs
Analysis and Characterization of LTI Systems
Using Z-Transforms
()Hz
()hn ()jHe?
LTI系统的特性可以由 或 描述，因
而也可以由 连同 ROC来表征。
()Hz
z ??
1,因果性,如果 LTI系统是因果的，则 时
有 所以,的 ROC是最外部极点的
外部,并且包括 。
( ) 0,hn ?
0n?
称为 系统函数。 系统的特性应该在系统
函数中有所表现。
()Hz
2,稳定性,若 LTI系统稳定，则,
即 的 DTFT存在，表明单位圆在 的
ROC内。
()
n
hn
?
? ? ?
???
()hn ()Hz
()Hz即 的 ROC必包括单位圆。
二, LTI系统的 Z变换分析法：
因此,因果稳定的 LTI系统其 的全部极
点必须位于单位圆内，反之亦然。 当 是关
于 Z 的有理函数时，因果性要求 的分子阶
数不能高于分母阶数。
()Hz
()Hz
()Hz
1） 由 求得 及其 。
2） 由系统的描述求得 及其 。
()xn 1RO C, R
()Hz 2RO C, R
()Xz
分析步骤：
三, 由 LCCDE描述的 LTI系统的,()Hz
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
对方程两边做 Z变换可得：
3） 由 得出 并确定它
的 ROC包括 。
4） 对 做反变换得到 。
( ) ( ) ( )Y z X z H z?
12RR
()yn
()Yz
()Yz
由差分方程描述的 LTI系统，其方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a z Y z b z X z??
??
???
0
0
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bz
Hz
az
?
?
?
?
?
?
?
是一个有理函数。
()Hz 的 ROC需要通过其它条件确定，如：
1.系统的因果性或稳定性。
2.系统是否具有零初始条件等。
例,由下列差分方程做出网络结构，并求其系
统函数 H(z) 和单位脉冲响应 h(n)。
)3(8)1(5)()()1( ????? nxnxnxny
解：由方程可得
)()851()( 31 zXzzzY ?? ???
31 851)( ?? ??? zzzH
)3(8)1(5)()( ????? nnnnh ??? FIR
)(nx
1?z
1?z
1?z
1
5?
8
)(ny
)()3()2(3)1(3)()2( nxnynynyny ???????
)()()331( 321 zXzYzzz ???? ???
31 )1(
1)(
??? zzH
)()2)(1(21)( nunnnh ???
解：由方程可得
利用 Z变换的性质可得
IIR
)(nx
1?z
1?z
1?z
)(ny
3?
3
1?
一, 系统互联的系统函数,
1()Hz 2 ()Hz
1R 2R
12( ) ( ) ( )H z H z H z?
ROC包括
12RR
10.8 系统函数的代数属性与方框图表示
System Function Algebra and Block
Diagram Representations
1,级联：
12( ) ( ) ( )H z H z H z??
ROC包括
12RR
3,反馈联接：
2,并联：
1()Xz()Xz
1()Hz
()Gz
1R
2R
()Yz
由系统框图可
列出如下方程：
1()Hz
2()Hz
1R
2R
1 ( ) ( ) ( ) ( )X z X z Y z G z??
11( ) ( ) ( )Y z X z H z?
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )X z H z Y z H z G z??
1
1
()()
1 ( ) ( )
HzHz
H z G z? ?
ROC：包括
12RR
由 LCCDE描述的 LTI系统，其系统函数为有
理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。
二, LTI系统的级联与并联结构：
1,级联型：
1
00
1
10
0
1
()
1
N
k
k N
kk
N
k k k
k
k
bz
bz
Hz
az
az
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
??
?
?
?
?
122
0 1 2
12
10 1 2
1
1
N
kk
k kk
b z z
a z z
??
??
??
??
?
???
???
/2
0
10
()
N
k
k
b Hz
a ?? ?
其中 是二阶（或一阶）系统函数。()
kHz
由此即可得 系统的级联型结构,
将 因式分解，在无重阶零极点时可得()Hz
N为偶数时
D
D
D
D
()xn
0
0
b
a
11??
21??
11?
21?
1 2N??
2 2N??
1 2N?
2 2N?
()yn
LTI系统的级联型结构
0
1
10
()
1
N
k
k k
bAHz
az ? ??
??
??
/2
0
10
()
N
k
k
b Hz
a ??? ?
2,并联型：
将 展开为部分分式，在无重阶极点时有()Hz
1/2
0 0 1
12
10 1 21
N
kk
k kk
b r r z
a z z??
?
??
?
???
???
N为偶数时
D
D
()xn 11??
21??
2 2N??
1 2N??
()yn
00/ba
D
D
1 2Nr
0 2Nr
01r
11r
LTI系统的并联型结构
10.9 单边 Z变换：
一, 单边 Z变换：
0
( ) ( ) n
n
z x n z?
?
?
?
? ?
单边 Z变换是双边 Z变换的特例，也就是因果
信号的双边 Z变换。因此单边 Z变换 的 ROC
一定是最外部极点的外部，并且包括 。
()z?
||z ??
The Unilateral Z-Transform
所以在讨论单边 Z变换时,不再强调其 ROC。
它的反变换也一定与双边 Z变换的反变换一致。
11( ) ( )
2
n
c
x n z z dzj ?? ?? ?
如果信号 不是因果序列，则其双边 Z变
换 与单边 Z变换 不同。
()xn
()Xz ()z?
例 1,( ) ( )nx n a u n?
对其做双边 Z变换有：
1
1()
1Xz az ?? ?
za?
显然 ( ) ( )z X z? ?
1
1()
1z az? ?? ? za?
对其做单边 Z变换有：
例 2,1( ) ( 1 )nx n a u n???
对其做双边 Z变换有：
1() 1
zXz
az ?? ? za?
对其做单边 Z变换有：
1
1
0
() 1nn
n
az a z
az?
?
??
?
?
?? ?? za?
这是因为 在 的部分对双边 Z变换起
作用，而对单边 Z变换不起作用所致。
()xn 0n?
只要所涉及的信号是因果信号,单边 Z变换
除了时移特性与双边 Z变换略显不同外，其它
性质与双边 Z变换的情况是一致的。
( ) ( )z X z? ?显然
二, 单边 Z变换的性质：
时移特性：
Proof:
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
? ? ?
????
1
0
1
( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
m
m
x z x m z
z z x?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
( ) ( )x n z??若
1( 1 ) ( ) ( 1 )x n z z x??? ? ? ?
则
( 1 ) ( ) (0 )x n z z z x?? ? ?
同理可得：
21( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )x n z z z x x???? ? ? ? ? ?
Proof：
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
??
????
( 1 )
0
( ) ( 0) ( ) ( 0)m
m
x m z x z z z zx?
?
??
?
? ? ? ??
22( 2 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )x n z z z x zx?? ? ? ?
同理可得：
单边 Z变换在将 LCCDE变换为代数方程时，
可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决
增量线性系统问题时特别有用。
三, 利用单边 Z变换分析增量线性系统：
( ) 3 ( 1 ) ( ),y n y n x n? ? ?
( ) ( ),x n u n? ( 1) 1y ??
则 1
1
1( ) 3 [ ( ) ( 1 )] ( )
1Y z z Y z y z z?
?
?? ? ? ? ? ?
1
1()
13Hz z ?? ?
1
1 1 1
1
( ) [ ( ) 3 ]
13
( ) 3 3
( ) ( )
1 3 1 3 1 3
Y z z
z
z
H z z
z z z
?
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
? ? ?
零 状 态 响 应 零 输 入 响 应 零 输 入 响 应
＋ ＋
11
1 / 4 9 / 4
1 1 3zz??????
1 9 1( ) [ ( 3 ) ] ( ) [ 1 9 ( 3 ) ] ( )
4 4 4? ? ? ? ? ? ?
nny n u n u n
21 [1 ( 3 ) ] ( )
4
?? ? ? n un
强迫响应 自然响应
1,讨论了对离散时间信号和系统进行 Z变换分
析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第
九章相对应。
10.10 小结,Summary
sTze?
2,与拉氏变换的情况对照，可以发现 S平面与
Z平面之间存在着一种映射关系,就是
这种映射关系。
将连续时间信号 采样，可以得到：()
cxt
( ) ( ) ( ) nc
n
x n X z x nT z
?
?
? ??
?? ?
sTze?
( ) ( ) ( )pc
n
x t x n T t n T?
?
? ? ?
???
( ) ( ) s n Tpc
n
X s x n T e
?
?
? ? ?
? ?
对其做拉氏变换有：
对采样所得到的样本序列 做 Z
变换有：
( ) ( )cx n x n T?
比较两式，可以得出 S平面与 Z平面之间有：
S平面与 Z平面之间的映射关系
0,1
0,1
0,1
r
r
r
?
?
?
??
??
??
,? ? ?? ? ? TT??? ? ? ?
0,? ? 0??
,jz r e s j? ?? ? ? ?,Tr e T? ?? ? ? ?
映射过程：
jT??
jT?
j?
?
sTze?
Re
jIm
1
S平面 Z平面
3,利用 Z变换分析 LTI系统，较之 DTFT具有更
方便、更广泛适用的优点。
这种映射关系在数字信号处理，特别是数
字系统设计中是非常重要的。明确了这种关
系就很容易对 Z 变换与拉氏变换的关系及差
异之处有更清楚的认识。
4,单边 Z变换是分析增量线性系统的有力工具。
