第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
一
基
本
知
识
与
技
能
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第一节 投影法
第三节 求线段的实长与平面的实形
第二节 正投影法基本原理
第四节 基本形体的投影作图
本章小结
第五节 组合形体的构成与构型设计
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第一节 投影法
投影法分为两类,
1、中心投影法； 2、平行投影法。
一、中心投影法
特点,1、投影被放大；
2、此方法也称
为透视图。
S（投射中心）
投射线
投影
投影面
被投影面
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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二、平行投影法 （投射线互相平行）
1、正投影法：投射线垂直于投影面的正投影法。
2、斜投影法：投射线倾斜于投影面的正投影法。
B A
C
A
a b
c
C
B
b a
c
图 1 正投影法 图 2 斜投影法 正投影（简称 投影）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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二、土建工程中常用的投影
? 多面正投影，轴测正投影图，透视投影图，标
高投影图。
第
二
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投
影
法
基
础
第
二
章
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投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
一、正投影图的形成及其投影规律
◆ 一个投影不能完整地表达物体的形状
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
H
W
V
三投影面体系的形成
正立投影面 V
水平面投影面 H
侧立投影面 W
Z
Y
X
O
第
二
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投
影
法
基
础
第
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投
影
法
基
础
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三维动画演示
三投影面体系中物体的投影
第二节 正投影法基本原理
水
平
投
影
方
向
第
二
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投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
2、三面投影的投影规律
三面投影关系,
1、长对正；
2、高平齐；
3、宽相等。
第
二
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投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
前
后
前 后
左 右
左 右
上
下
上
下
前
后
左
右
下
上
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投
影
法
基
础
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投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
画弯板三面投影的步骤,
三维动画演示
第
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投
影
法
基
础
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投
影
法
基
础
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第二节 正投影法基本原理
一、点在两投影面体系第一分角中的投影
V面, 正立投影面，简称正面。
H面：水平投影面，简称水平面。
V b
a
ax O X
1
2
3
4
图 4 立体图 O
a′
a
V
H
ax
图 5 展开图
X
H面向下旋转
90°
a
a′
图 6 投影图
V面 ⊥ H面 A
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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图 7 立体图
V
H
二、点在三投影体系中的投影
A
a
a′
a″
ax
az
O X
ay
W
Z
Y
X O
V
H
W
Z
YH
YW
a′
a
a″
ax
az
图 8 展开图
Z
O X
YH
YW
a″
a
a′
YA XA
图 9 投影图
（一）点的投影与坐标
（二）投影面和投影轴上的点
第
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投
影
法
基
础
第
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投
影
法
基
础
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三、两点的相对位置
（四）重影点
注意, 重影点的标注
a
a′ a″
b
b′ b″
A
B
a
a′
a″
b′
b
b″
图 10 立体图 图 11 投影图
第
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正
投
影
法
基
础
第
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投
影
法
基
础
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四,直线的投影
（一）、直线及直线上点的投影特性
1、直线的投影仍为直线；垂直于投影面的直线的投
影，积聚成一点（ 积聚性 ）。
2、直线上点的投影，必在直线的同面投影上；不垂
直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比,
在投影后仍保持不变（ 定比性 ）。
例题,已知 AB两投影
求 AB上点 C，使 AC,CB
=3,2。
b
a
b′
a′
Bo
O X
c
c′
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投
影
法
基
础
第
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正
投
影
法
基
础
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三、直线上点的投影特性 （ P41）
? 直线上点的投影，必在直线的同面投影上；不垂直于投
影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不
变 （ 定比性 ） 。
C
dcb
F
E
D
e
f d
B
A
DF︰ FE = df︰
fe
H
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投
影
法
基
础
第
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正
投
影
法
基
础
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（二）、直线对投影面的各种相对位置
直线
正平线 （ V面平线）
水平线 （ H面平线）
侧平线 （ W面平线）
正垂线 （ V面垂线）
铅垂线 （ H面垂线）
侧垂线 （ W面垂线）
一般位置直线,对 V,H,W面都倾斜
投影面平行线,只平行与一个投影面
（见 P27表 2-1）
投影面垂直线, 垂直于一个投影面,
平行于另外两个投影面。
（见 P28表 2-2）
第
二
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投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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特殊位置直线
x
Y
Z
O A
B
a b
a′
b′
a″
b″ a″
b″
a′
b′
a b
投影图
X
YH
YW
Z
A B
x
Y
Z
a
b
a′ b′
a″
b″ a′ b′
a
b
a″ b″
投影图
第
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投
影
法
基
础
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正
投
影
法
基
础
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x
Y
Z
O
特殊位置直线 （侧平线）
b′
a′
A
B
a
b
a″
b″
a′
b′
a
b
a″
b″
x
Z
YH
YW
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投
影
法
基
础
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正
投
影
法
基
础
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投影面垂直线
x
Y
Z
O
x
Y
Z
O
A
B
a
b
a′b′
a″
b″
ab
A
B
a′
b′
a″
b″
b″ a″ a′ b′
a
b
b a
a′
b′
a″
b″
第
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投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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1、一般位置直线的投影特性,
三投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长；
投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
2、投影面平行线的投影特性,
（ 1）在平行的投影面上的投影，反映真长；它与
投影轴的夹角，反映直线对另两投影面的真实夹角。
（ 2）在另外两个投影面上的投影，平行相应的
投影轴，长度缩短。
3、投影面垂直线的投影特性,
（ 1）与直线垂直的投影面上的投影，积聚成点。
（ 2）在另外两个投影面上的投影，平行于相应
的投影轴，反映真长。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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本讲小结
1、掌握正投影的特性；
2、掌握点的三面投影特性，会判断两点的相对位置；
3、掌握重影点的标注方法；
4、掌握直线投影的“定比性”；
5、要熟练地掌握特殊位置直线的画法。
作业, 习题集（ P题； P，题）
第
二
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投
影
法
基
础
第
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投
影
法
基
础
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H
W
V
（一）一般位置直线
直线对投影面 H,V,W的倾角分别为
图 12 立体图 Y
X
Z
?
?
?
A
B
图 13 投影图
b
a
a′
b′
a″
b″
? ? ?
第
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投
影
法
基
础
第
二
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投
影
法
基
础
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六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
O X
V
H
A
B
K
a
b
?
?
AB的真长
a′
b′
O X
a′
a
b′
b
Bo
图 17 投影图
图 16 立体图
第
二
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正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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作业评讲 01
?习题集 P6,4题。
a′
b
b′
a AB = 40㎜
△ ZAB
第
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投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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,45,30 ???? ??
[习题集 P6,5题 ] 已知点 A、的两面投影 a′ 和 a，并知 AB的真
长为 40mm,由 A至 B的方向为向右、向后、向下，求
作 AB的两面投影 a′b′ 和 ab。
O X AB＝ 40
45°
YA-YB a′b′
30°
ab Z
A-ZB
b
ZA-
ZB
b′
a
a′
第
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投
影
法
基
础
第
二
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投
影
法
基
础
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【 例 2－ 3】 试判断 K点是否在侧平线 MN上？
n0
n′
k′
m′
k
n
m k
0
k″
n″
m″
n′
k′
m′
k
n
m
第
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投
影
法
基
础
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影
法
基
础
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【 例 2－ 4】 已知直线 CD，试在 C与 D之间取一点 E，使 CE等于定长。
CE的真长
c
d
c′
d′
e0
e′
e
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
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四、两直线的相对位置
[例题 ] 判断两侧平线的相对位置
例题 2-2 解法一
a″
b″
a
a′
b
b′
c
c′
d
d′
c″
d″
答案：平行
第
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投
影
法
基
础
第
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正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三, 平面的投影
PV
PH
PW
PV
PH
PW
(一 )、平面的表示方法, 平面通常用确定该平面的几
何元素的投影表示，也可用 迹线 表示 。
X O
Z
YV
YW
V
H
W
图 2-30 立体图（迹线） 投影图（迹线）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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二、平面对投影面的各种相对位置
平面
正平面 （ V面平行线）
水平面 （ H面平行线）
侧平面 （ W面平行线）
正垂面 （ V面垂直线）
铅垂面 （ H面垂直线）
侧垂面 （ W面垂直线）
一般位置平面,对 V,H,W面都倾斜
投影面平行面,只平行于一个投影面
（见 P51表 2-5）
投影面垂直面, 垂直于一个投影面,
平行于另外两个投影面。
（见 P50表 2-4）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
V
H
W
一般位置平面
A
B
C
a″
a
a′
O X
Z
YW
YH
第
二
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正
投
影
法
基
础
第
二
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正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
2、正平面
V
H
W A B
C D
O X
Z
YW
YH
a′ b′
c′ d′
ad bc
a″b″
d″c″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
3、正垂面
V
H
W
A
B
C
D
O X
Z
YW
YH
a′
b′ c′
d′
a b
a″
c″
C
d
b″
d″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三、平面上的点和直线
几何条件,
1、点在平面上，则该点必定在这个平面的一条直线上。
2、直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者
通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一直线。
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
e
e′
e
e′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
B点旋
转轨迹为一
水平圆
第三节 求线段的实长与平面的实形
一、旋转法
1、求直线的实长
反映实长
ab1平行于 X轴
b1’
b1
b
a
b’
a’
X O
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第三节 求线段的实长与平面的实形
2、求投影面垂直面的实形
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
V
H
X
B
A
二、换面法
换面法, 使几何形体在新投影面处于便于解题的特殊位置，在新
投影面体系中作图求解，此方法称为变换投影面法，简称换面法。
◆ 应遵循的两条原则,
（ 1）新投影面应处于便利解题的位置；
（ 2）新投影面必须垂直于另一个投影面,并与它组成新投影面,
体系。必要时可连续变换。
V1
X1
b1″
a1″
b′
a′
a1′ b1′ X1 V1
H
a
b
H X
b′
a′
V
一般位置直线变成 V1面平行面
a
b
真长
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
2、将 V面平行线变成 H1面垂直线
将一般位置直线 AB变
换成投影面垂直线
（如右图）
V
X
H
a
b
a′
b′
X1
H1
a1b1
a′
a
b′
b
V
H
X
V H1
X1
A
B
a1b1
X
a
b
b′
a′
V1 H
X1 a1′
b1′ H2
V1
X2 a2b2
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 ]，如下图，过 A点作直线 BC的垂线 AD及其垂足 D，并求作点 A与
直线 BC之间的真实距离。
真实距离
V
H
a′
X c
c′
a
b
b′
d′
b1′ V1
X1
H
作 X1∥ bc
a1′
c1′
d1′
c2′b 2′
d
X2 H2
V1
a2′
作 X2∥ a1′d1′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页 (二）将一般位置平面变换成 V1面垂直面
（三）将一般位置平面变换
成投影面平行面
（两次换面）
B
a
C
c
b
V
a′
H
a
c
b A
b′
c′
V1
c′
b′
a′
d
d′
X V H
C1′
b1′
a1′ H
X1 V1
X2 H2
V1
a2
b2
C2
D
d
b1′
a1′
c1′
上一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页 [例 2-29]如下图白色图形所示，过点 A作三角形 BCD的垂线 AK、
垂足 K以及点 A与三角形 BCD之间的真实距离。
d
b
c
a′
a
b′
c′
d′
e′
e
X V H
H
X1 V1
b1′
真实距离
C1′
d1′
a1′
k1′
k
k′
上一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 2-30]如下图白色图形所示，已知等边三角形 ABC为正
垂面，点 C在 AB的前方，补全三角形 ABC的两面投影。
a′
b
a
V
H
X b′
c1
V H
X1
a1
b1
c
c′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 2-34]P80 如下图所示，正方形 ABCD的顶点 A在直线 EF
上，顶点 C在直线 BG上，补全该正方形的两面投影。
X V H
g′
b′
f′
e′
e
b
f g a
X1
V1
H
作 X1∥bg
b1′
g1′
过 b1′作 b1′g1′连
线的垂线 e1′
f1′
a1′
作 X2⊥ 直线
b1′g1′
X2
V1
H2
a′ c′
d
c
c1′
a2
b2
d′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
表面由平面所围成的几何体称为平面立体。常见的有 棱柱 和 棱锥 。
W
V
H
Y
Y1
Y1
投影图
k″
k
k′
K
第四节 基本形体的投影作图 P34
一、棱柱
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
正三棱锥及投影
S
B
A
C
主视方向
a″
b
a
s
b′ a′
s′
b″
s″
c
c″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
正三棱锥表面上的点
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d f
f′
m′
m
g′
g
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
（ 1）圆柱面
(b″)
b
(b′)
a″
a
a′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
（ 2）圆锥面
a″
a
a′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
（ 1）球面
? 球面是以圆周为母线，并以这个圆周的
任一直径作为轴线旋转 180° 而形成的曲面。
投影图
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
圆球表面上的点
a′
a″
a
A
R
R
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第五节 组合形体的构成与构形设计
一、组合形体的构成形式与形体分析
由一些基本形体经过叠加或切割等形式构成的整体称为组合形体。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第五节 组合形体的构成与构形设计
一、组合形体的构成形式与形体分析
动画演示 投影图演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
简单组合体的形状特征
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第五节 组合形体的构成与构形设计
二、组合形体的投影图画法
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第五节 组合形体的构成与构形设计
二、组合形体的投影图画法
【 例 2-9】 已知某剧院的正面和水平投影，补画侧面投影。 P42
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
一
基
本
知
识
与
技
能
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第一节 投影法
第三节 求线段的实长与平面的实形
第二节 正投影法基本原理
第四节 基本形体的投影作图
本章小结
第五节 组合形体的构成与构型设计
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第一节 投影法
投影法分为两类,
1、中心投影法； 2、平行投影法。
一、中心投影法
特点,1、投影被放大；
2、此方法也称
为透视图。
S（投射中心）
投射线
投影
投影面
被投影面
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
二、平行投影法 （投射线互相平行）
1、正投影法：投射线垂直于投影面的正投影法。
2、斜投影法：投射线倾斜于投影面的正投影法。
B A
C
A
a b
c
C
B
b a
c
图 1 正投影法 图 2 斜投影法 正投影（简称 投影）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
二、土建工程中常用的投影
? 多面正投影，轴测正投影图，透视投影图，标
高投影图。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
一、正投影图的形成及其投影规律
◆ 一个投影不能完整地表达物体的形状
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
H
W
V
三投影面体系的形成
正立投影面 V
水平面投影面 H
侧立投影面 W
Z
Y
X
O
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三维动画演示
三投影面体系中物体的投影
第二节 正投影法基本原理
水
平
投
影
方
向
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
2、三面投影的投影规律
三面投影关系,
1、长对正；
2、高平齐；
3、宽相等。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
前
后
前 后
左 右
左 右
上
下
上
下
前
后
左
右
下
上
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
画弯板三面投影的步骤,
三维动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第二节 正投影法基本原理
一、点在两投影面体系第一分角中的投影
V面, 正立投影面，简称正面。
H面：水平投影面，简称水平面。
V b
a
ax O X
1
2
3
4
图 4 立体图 O
a′
a
V
H
ax
图 5 展开图
X
H面向下旋转
90°
a
a′
图 6 投影图
V面 ⊥ H面 A
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
图 7 立体图
V
H
二、点在三投影体系中的投影
A
a
a′
a″
ax
az
O X
ay
W
Z
Y
X O
V
H
W
Z
YH
YW
a′
a
a″
ax
az
图 8 展开图
Z
O X
YH
YW
a″
a
a′
YA XA
图 9 投影图
（一）点的投影与坐标
（二）投影面和投影轴上的点
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三、两点的相对位置
（四）重影点
注意, 重影点的标注
a
a′ a″
b
b′ b″
A
B
a
a′
a″
b′
b
b″
图 10 立体图 图 11 投影图
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
四,直线的投影
（一）、直线及直线上点的投影特性
1、直线的投影仍为直线；垂直于投影面的直线的投
影，积聚成一点（ 积聚性 ）。
2、直线上点的投影，必在直线的同面投影上；不垂
直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比,
在投影后仍保持不变（ 定比性 ）。
例题,已知 AB两投影
求 AB上点 C，使 AC,CB
=3,2。
b
a
b′
a′
Bo
O X
c
c′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三、直线上点的投影特性 （ P41）
? 直线上点的投影，必在直线的同面投影上；不垂直于投
影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不
变 （ 定比性 ） 。
C
dcb
F
E
D
e
f d
B
A
DF︰ FE = df︰
fe
H
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
（二）、直线对投影面的各种相对位置
直线
正平线 （ V面平线）
水平线 （ H面平线）
侧平线 （ W面平线）
正垂线 （ V面垂线）
铅垂线 （ H面垂线）
侧垂线 （ W面垂线）
一般位置直线,对 V,H,W面都倾斜
投影面平行线,只平行与一个投影面
（见 P27表 2-1）
投影面垂直线, 垂直于一个投影面,
平行于另外两个投影面。
（见 P28表 2-2）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
特殊位置直线
x
Y
Z
O A
B
a b
a′
b′
a″
b″ a″
b″
a′
b′
a b
投影图
X
YH
YW
Z
A B
x
Y
Z
a
b
a′ b′
a″
b″ a′ b′
a
b
a″ b″
投影图
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
x
Y
Z
O
特殊位置直线 （侧平线）
b′
a′
A
B
a
b
a″
b″
a′
b′
a
b
a″
b″
x
Z
YH
YW
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
投影面垂直线
x
Y
Z
O
x
Y
Z
O
A
B
a
b
a′b′
a″
b″
ab
A
B
a′
b′
a″
b″
b″ a″ a′ b′
a
b
b a
a′
b′
a″
b″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
1、一般位置直线的投影特性,
三投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长；
投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
2、投影面平行线的投影特性,
（ 1）在平行的投影面上的投影，反映真长；它与
投影轴的夹角，反映直线对另两投影面的真实夹角。
（ 2）在另外两个投影面上的投影，平行相应的
投影轴，长度缩短。
3、投影面垂直线的投影特性,
（ 1）与直线垂直的投影面上的投影，积聚成点。
（ 2）在另外两个投影面上的投影，平行于相应
的投影轴，反映真长。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
本讲小结
1、掌握正投影的特性；
2、掌握点的三面投影特性，会判断两点的相对位置；
3、掌握重影点的标注方法；
4、掌握直线投影的“定比性”；
5、要熟练地掌握特殊位置直线的画法。
作业, 习题集（ P题； P，题）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
H
W
V
（一）一般位置直线
直线对投影面 H,V,W的倾角分别为
图 12 立体图 Y
X
Z
?
?
?
A
B
图 13 投影图
b
a
a′
b′
a″
b″
? ? ?
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
O X
V
H
A
B
K
a
b
?
?
AB的真长
a′
b′
O X
a′
a
b′
b
Bo
图 17 投影图
图 16 立体图
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
作业评讲 01
?习题集 P6,4题。
a′
b
b′
a AB = 40㎜
△ ZAB
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
,45,30 ???? ??
[习题集 P6,5题 ] 已知点 A、的两面投影 a′ 和 a，并知 AB的真
长为 40mm,由 A至 B的方向为向右、向后、向下，求
作 AB的两面投影 a′b′ 和 ab。
O X AB＝ 40
45°
YA-YB a′b′
30°
ab Z
A-ZB
b
ZA-
ZB
b′
a
a′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
【 例 2－ 3】 试判断 K点是否在侧平线 MN上？
n0
n′
k′
m′
k
n
m k
0
k″
n″
m″
n′
k′
m′
k
n
m
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
【 例 2－ 4】 已知直线 CD，试在 C与 D之间取一点 E，使 CE等于定长。
CE的真长
c
d
c′
d′
e0
e′
e
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
四、两直线的相对位置
[例题 ] 判断两侧平线的相对位置
例题 2-2 解法一
a″
b″
a
a′
b
b′
c
c′
d
d′
c″
d″
答案：平行
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三, 平面的投影
PV
PH
PW
PV
PH
PW
(一 )、平面的表示方法, 平面通常用确定该平面的几
何元素的投影表示，也可用 迹线 表示 。
X O
Z
YV
YW
V
H
W
图 2-30 立体图（迹线） 投影图（迹线）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
二、平面对投影面的各种相对位置
平面
正平面 （ V面平行线）
水平面 （ H面平行线）
侧平面 （ W面平行线）
正垂面 （ V面垂直线）
铅垂面 （ H面垂直线）
侧垂面 （ W面垂直线）
一般位置平面,对 V,H,W面都倾斜
投影面平行面,只平行于一个投影面
（见 P51表 2-5）
投影面垂直面, 垂直于一个投影面,
平行于另外两个投影面。
（见 P50表 2-4）
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
V
H
W
一般位置平面
A
B
C
a″
a
a′
O X
Z
YW
YH
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
2、正平面
V
H
W A B
C D
O X
Z
YW
YH
a′ b′
c′ d′
ad bc
a″b″
d″c″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
3、正垂面
V
H
W
A
B
C
D
O X
Z
YW
YH
a′
b′ c′
d′
a b
a″
c″
C
d
b″
d″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
三、平面上的点和直线
几何条件,
1、点在平面上，则该点必定在这个平面的一条直线上。
2、直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者
通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一直线。
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
a′
a
c
b′
b
c′
X O
d′
d
e
e′
e
e′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
B点旋
转轨迹为一
水平圆
第三节 求线段的实长与平面的实形
一、旋转法
1、求直线的实长
反映实长
ab1平行于 X轴
b1’
b1
b
a
b’
a’
X O
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第三节 求线段的实长与平面的实形
2、求投影面垂直面的实形
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
V
H
X
B
A
二、换面法
换面法, 使几何形体在新投影面处于便于解题的特殊位置，在新
投影面体系中作图求解，此方法称为变换投影面法，简称换面法。
◆ 应遵循的两条原则,
（ 1）新投影面应处于便利解题的位置；
（ 2）新投影面必须垂直于另一个投影面,并与它组成新投影面,
体系。必要时可连续变换。
V1
X1
b1″
a1″
b′
a′
a1′ b1′ X1 V1
H
a
b
H X
b′
a′
V
一般位置直线变成 V1面平行面
a
b
真长
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
2、将 V面平行线变成 H1面垂直线
将一般位置直线 AB变
换成投影面垂直线
（如右图）
V
X
H
a
b
a′
b′
X1
H1
a1b1
a′
a
b′
b
V
H
X
V H1
X1
A
B
a1b1
X
a
b
b′
a′
V1 H
X1 a1′
b1′ H2
V1
X2 a2b2
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 ]，如下图，过 A点作直线 BC的垂线 AD及其垂足 D，并求作点 A与
直线 BC之间的真实距离。
真实距离
V
H
a′
X c
c′
a
b
b′
d′
b1′ V1
X1
H
作 X1∥ bc
a1′
c1′
d1′
c2′b 2′
d
X2 H2
V1
a2′
作 X2∥ a1′d1′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页 (二）将一般位置平面变换成 V1面垂直面
（三）将一般位置平面变换
成投影面平行面
（两次换面）
B
a
C
c
b
V
a′
H
a
c
b A
b′
c′
V1
c′
b′
a′
d
d′
X V H
C1′
b1′
a1′ H
X1 V1
X2 H2
V1
a2
b2
C2
D
d
b1′
a1′
c1′
上一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页 [例 2-29]如下图白色图形所示，过点 A作三角形 BCD的垂线 AK、
垂足 K以及点 A与三角形 BCD之间的真实距离。
d
b
c
a′
a
b′
c′
d′
e′
e
X V H
H
X1 V1
b1′
真实距离
C1′
d1′
a1′
k1′
k
k′
上一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 2-30]如下图白色图形所示，已知等边三角形 ABC为正
垂面，点 C在 AB的前方，补全三角形 ABC的两面投影。
a′
b
a
V
H
X b′
c1
V H
X1
a1
b1
c
c′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
[例 2-34]P80 如下图所示，正方形 ABCD的顶点 A在直线 EF
上，顶点 C在直线 BG上，补全该正方形的两面投影。
X V H
g′
b′
f′
e′
e
b
f g a
X1
V1
H
作 X1∥bg
b1′
g1′
过 b1′作 b1′g1′连
线的垂线 e1′
f1′
a1′
作 X2⊥ 直线
b1′g1′
X2
V1
H2
a′ c′
d
c
c1′
a2
b2
d′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
表面由平面所围成的几何体称为平面立体。常见的有 棱柱 和 棱锥 。
W
V
H
Y
Y1
Y1
投影图
k″
k
k′
K
第四节 基本形体的投影作图 P34
一、棱柱
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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正三棱锥及投影
S
B
A
C
主视方向
a″
b
a
s
b′ a′
s′
b″
s″
c
c″
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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正三棱锥表面上的点
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d
b
a s
b′ a′
s′
c
d′
d f
f′
m′
m
g′
g
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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（ 1）圆柱面
(b″)
b
(b′)
a″
a
a′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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（ 2）圆锥面
a″
a
a′
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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（ 1）球面
? 球面是以圆周为母线，并以这个圆周的
任一直径作为轴线旋转 180° 而形成的曲面。
投影图
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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圆球表面上的点
a′
a″
a
A
R
R
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第五节 组合形体的构成与构形设计
一、组合形体的构成形式与形体分析
由一些基本形体经过叠加或切割等形式构成的整体称为组合形体。
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第五节 组合形体的构成与构形设计
一、组合形体的构成形式与形体分析
动画演示 投影图演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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简单组合体的形状特征
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第五节 组合形体的构成与构形设计
二、组合形体的投影图画法
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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第五节 组合形体的构成与构形设计
二、组合形体的投影图画法
【 例 2-9】 已知某剧院的正面和水平投影，补画侧面投影。 P42
动画演示
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
上一页 下一页
第
二
章
正
投
影
法
基
础
第
二
章
正
投
影
法
基
础
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