计算机图形学余 敦 辉湖北大学 数计学院
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7.1 窗口视图变换
7.1.1 用户域和窗口区
1）用户域是指用户用来定义物体的整个自然空间（ WD）。
2）窗口区是指用户在用户域中指定的一个区域（ W）。
① 窗口区 W≤用户域 WD，任何小于 WD的窗口区 W都叫 WD
的一个子域；
② 窗口通常为矩形域：用坐下角点和右上角点表示；
③ 窗口区可以嵌套，即在第 i层窗口中可定义第 i+1层窗口。
④ 可定义圆形和多边形窗口。
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7.1 窗口视图变换
7.1.2 屏幕域与视图区
1）屏幕域是指设备输出图形的最大区域，它是一有限的整数域。
如某图形显示器有 1024*1024个可编址的象素点，则屏幕域可定义为,DC,[0:1023]*[0:1023]
2)视图区任何小于或等于屏幕域的区域称为视图区。视图区可 由用户在屏幕域中，用设备坐标来定义。
① 用户选择的窗口域内的图形要在视图区显示，则必须由程序转换成设备坐标系下的坐标值；
② 视图区通常为矩形域：用坐下角点和右上角点表示；
③ 视图区可以嵌套，嵌套层数由图形处理软件规定；
④ 可定义圆形和多边形视图区。
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
一,视见变换的过程
（ 1）平移变换,将窗口及其中图形一起平移，使窗口左下角与世界坐标系的原点重合；
（ 2）比例变换,将窗口及其中图形一起比例变换，使其结果与视区的形状、大小完全一致，形成窗口与视区的对应关系。
（ 3）平移变换,通过第二步的比例变换，在屏幕坐标系的原点上形成了与世界坐标系中窗口对应的视区，此时再通过一次平移变换将视区平移到屏幕坐标系中指定的视区位移。
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
二、变换公式假定在用户坐标系下，窗口区的位置及大小分别定义为：左下角点为 Wc(wx,wy),长为 WL，高为 WH；在屏幕坐标系下，视图区的位置及大小为：左下角点 Vc(vx,vy),长为 VL，高为 VH。
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
可得如右坐标间关系式：
当 a!=c时，即 x方向的图形变化与 y方向不同时，视图区中的图形会发生伸缩变化。
注意：当有多窗口、
多视区时，要正确选用对应的窗口和视区。
1 d b
0 c 0
0 0a
1][ X w Y w 1] Y s[
*
*;/;;/
:
)(
)(
Xs
dYwcYs
bXwaXs
Wy
WH
VH
VydWHVHc
Wx
WL
VL
VxbWLVLa
VyWyY
WH
VH
Y
VxWxX
WL
VL
X
ws
ws
矩阵表示为则上式可变为如令
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
例：已知 WC下 A,B,C,D四点坐标值，且已知
DC分辨率为 1024× 768，写出从 WC→ DC的坐标变换。
A(10,10) B(60,10)
D(10,45) C(60,45)
A’(0.1,0.1) B’(0.6,0.1)
D’(0.1,0.45) C’(0.6,0.45)
A*(77,690) B*(460,690)
D*(77,421) C*(460,421)
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
思路,要将 WC→ DC，必须引进 NDC；
解法：
① 从 WC→ NDC，将各变量 × 1/100即得；
② 从 NDC→ DC：
690 = 767－ 0.1× 768
77 = 767× 0.1
421 = 767 － 0.45× 768
460 ＝ 0.6× 768
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
a=1,Nx=1024,Ny=768
设 NDC中一点（ xin,yin）,DC中一点（ xout,yout）。
则有如下通式：
xout=sx·xin＋ dx
yout=sx·yin＋ dx
1024× 768-1 1-a
a
NDC DC
1024
768
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7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
在 NDC中取两点 (xin1,yin1),(xin2,yin2）
在 NDC中取两点 (xout1,yout1),(xout2,yout2)
则,s = (xout2-xout1)/(xin2-xin2)
d = xout1－ sx ·xin1
综合图考虑：
在 x方向,[-1,1] →[0,Nx－ 1],故 sx=(Nx-1)/2=511.5
在 y方向,[-a,a] →[0,Ny－ 1],故 sy=(Ny-1)/2=-383.5
所以：
Dx＝ (Nx-1)/2=511.5
Dy＝ (Ny-1)/2=383.5
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
一,几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、
比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、
尺寸和形状方面的变换
包括：
图形不动，坐标系变
坐标系不动，图形移动
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换二、齐次坐标
齐次坐标表示就是用 n+1维向量表示一个 n维向量
P[P1,P2,…,Pn] P[hP1,hP2,…,hPn,h] h不为 0
齐次坐标的不唯一性,如普通坐标系下的点（ 2,3）变换为齐次坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等 。
规范化齐次坐标表示就是 h=1的齐次坐标表示
P[P1,P2,…,Pn,1]
如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标
P[hP1 /h,hP2 /h,…,hPn/h,h/h]
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
二、二维变换矩阵
ifc
heb
gda
T D2
其中：
][
][
][
i
h
g
fc
eb
da
用于缩放，旋转，对称，错切等用于平移图形用于在 x 轴的 1/g 处产生灭点用于在 y 轴的 1/h 处产生灭点用于对图形整体作伸缩变换
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1
1
010
001
1]1[
**
yx
yx
TyTx
TT
yxyx
1、平移变换：
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换 （ rigid-body transformation）
平移是指将 p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
Y
X
Tx
Ty
图6 - 1 平移变换
P'
P
T
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换比例变换是指对 p点相对于坐标原点沿 x方向放缩 Sx倍,沿 y
方向放缩 Sy倍 。 其中 Sx和 Sy称为比例系数 。
2、比例变换：
1
100
00
00
1]1[ ** ySxSS
S
yxyx yxy
x
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换讨论：
(1) Sx＝ Sy＝ 1 时 图形不变
(2) Sx＝ Sy > 1 时 图形沿两轴方向等比例放大
(3) Sx＝ Sy < 1 时 图形沿两轴方向等比例缩小
(4) Sx < > Sy 时 图形沿两轴方向作非均匀比例变换
BA
C
B’A’
C’
X
Y
B
C
A
B’
A’
C’Y
X
情形 2 情形 4
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 。
X
Y
( a ) 关于x 轴对称
X
Y
( b ) 关于y 轴对称
X
Y
(c )关于 原点对称
3、对称变换：
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
X
Y
( d ) 关于x = y 对称
X
Y
( e ) 关于x = - y 对称对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 。
3、对称变换：
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
3、对称变换：
1
100
0
0
1]1[ ** eydybyaxeb
da
yxyx
(1) b＝ d＝ 0,a＝ -1,e＝ 1 时 x*＝ -x,y*＝ y,以 y 轴对称
(2) b＝ d＝ 0,a＝ 1,e＝ -1 时 x*＝ x,y*＝ -y,以 x 轴对称
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
(3) b＝ d＝ 0,a＝ e＝ -1 时 x*＝ -x,y*＝ -y,以原点对称
(4) b＝ d＝ 1,a＝ e＝ 0 时 x*＝ y,y*＝ x,以 y = x 直线对称
(5) b＝ d＝ -1,a＝ e＝ 0 时 x*＝ -y,y*＝ -x,以 y = -x 直线对称
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
4、旋转变换
二维旋转是指将 p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）
得到新的点 p’的重定位过程。
Y
X
图6 - 4 旋转变换
P'
P
r
r
α
θ
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1c o ss i ns i nc o s
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1]1[ **
yxyxyxyx
逆时针：
1c o ss i ns i nc o s
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1]1[ **
yxyxyxyx
顺时针：
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换错切变换,也称为剪切,错位变换,用于产生弹性物体的变形处理 。
Y
X
Y
X
Y
X
( a ) 原图 ( b ) 沿x方向错 切
( c ) 沿y方向错 切图6 - 7 错切变换
5、错切变换：
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7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1
100
01
01
1]1[ ** ydxbyxb
d
yxyx
讨论,(1) d＝ 0 时 x*＝ x+ by,y*＝ y,沿 x 轴方向错切
(2) b＝ 0时 x*＝ x,y*＝ dx+ y,沿 y 轴方向错切
b > 0,沿 +x 轴方向错切位移 b < 0,沿 -x 轴方向错切位移
(3) b < > 0,d < > 0 时 同时沿两 轴方向错切
5、错切变换：
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换复合变换是指：
图形作一次以上的几何变换,变换结果是每次的变换矩阵相乘 。
任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式 。
复合变换具有形式：
)1(
)('
321
321
nTTTTP
TTTTPTPP
n
n
一、相对于原点的复合变换
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换复合旋转,Tr = Tr1,Tr2
复合比例,Ts = Ts1,Ts2
复合平移
1
010
001
1
010
001
1
010
001
21212211
21
yyxxyxyx
ttt
TTTTTTTT
TTT
* 利用复合变换调整参考点
* 几何变换不改变图形的连接关系和平行关系
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换二、相对于参考点 (xf,yf)的复合变换相对某个参考点 (xF,yF)作二维几何变换,其变换过程为：
(1) 平移
(2) 针对原点进行二维几何变换 。
(3) 反平移例 1,相对点 (xF,yF)的旋转变换例 2,相对点 (xF,yF)的比例变换
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换例 1,相对点
(xF,yF)的旋转变换
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换例 2,相对点 (xF,yF)
的比例变换
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
三,相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换,其变换的过程是：
(1) 旋转变换
(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；
(3) 反向旋转例 3,相对直线 y=x 的反射变换
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 3,相对直线 y=x 的反射变换
M =
0 1 0
= 1 0 0
0 0 1
o
o
45sin
45cos
045sin
o45sin
o45cos
o45cos
o45sin
0
0
0 0 0
-
o45sin
o45cos
o45cos
o45sin
0
0
0 0 0
-
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 4：任一图形关于任意的反射轴 y=a+bx的反射变换
解,1.将坐标原点平移到 (0,a)处
10
010
001
1
a
T
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转
θ 角，使之与 x轴重合
3.图形关于 x轴的反射变换
4.将反射轴逆时针旋转 θ 角
100
0c o ss i n
0s i nc o s
R
100
0c o ss i n
0s i nc o s
R
100
010
001
2T
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
5.恢复反射轴的原始位置
因此?
10
010
001
3
a
T
321 TRTRTT
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7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 5,将正方形 ABCO各点沿图 6-8所示的
(0,0)→(1,1) 方向进行拉伸，结果为如图所示的，
写出其变换矩阵和变换过程
Y
X1 3/21/2
1/2
3/2
2
2
图6- 8 针对固定方向的拉伸
O
A B
C
C'
B'
A'
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7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换 。
光栅平移变换：
(a)读出象素块的内容 (b)复制象素块的内容 (c) 擦除原象素块的内容
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90°,180° 和 270° 的光栅旋转变换：
( a ) 逆时针旋转9 0 °
(x,y)
(y,rowlen-x)
rowlen
7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换
阵列每个象素值颠倒
交换行与列
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a13 a12 a11
a23 a22 a21
a13 a23
a12 a22
a11 a21
a13 a23
a12 a22
a11 a21
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7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换
(x,y)
(rowlen-x,vollen-y)
( b ) 逆时针旋转1 8 0 °
rowlen
vollen
90°,180° 和 270° 的光栅旋转变换：
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a23 a22 a21
a13 a12 a11
阵列每个象素值颠倒
将行序颠倒
a13 a12 a11
a23 a22 a21
a23 a22 a21
a13 a12 a11
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任意角度的光栅旋转变换：
旋转的象素阵列光栅网格
A A
2
1 3
7.2 图形的几何变换
7.2.3 光栅变换
Gray(A)=∑ [ Gray(i) × A在 i上的覆盖率 ](Gray(x)表示某点的灰度等级 )
i=1
n
Gray(A)=Gray(1) × A在 1上的覆盖率 + Gray(2) × A在 2上的覆盖率 + Gray(3) × A在 3上的覆盖率
光栅比例变换：
(a)Sx=1/2,Xy=1/2 ( b ) 原图 (a)Sx=1,Xy=3/2
缩小时原图中的相应象素区域放大时原图中的相应象素区域光栅变换
1 2
34
1
2
∑ [ Gray(i) × Si]i=1
n
Gray(A)=
∑ Sii=1n
G=(G1+G2+G3+G4)/4 G=(G1× S1 + G2× S2)/(S1 + S2)
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7.2 图形的几何变换
7.2.4 变换的性质
光栅变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性
平移,比例,旋转,错切和反射等变换均是二维光栅变换的特例,反过来,任何常用的二维光栅变换总可以表示为这五种变换的复合 。
ndycxy
mbyaxx
'
'
二维光栅变换是具有如下形式的二维坐标变换：
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二维几何变换具有如下一些性质：
直线的中点不变性；
平行直线不变性；
相交不变性；
仅包含旋转,平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；
比例变化可改变图形的大小和形状；
错切变化引起图形角度关系的改变,甚至导致图形发生畸变 。
7.2 图形的几何变换
7.2.4 变换的性质
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7.3 三维图形变换
T1：比例、旋转、对称、错切
T2：平移
T3：投影
T4：整体缩放变换矩阵：
44434241
34333231
24232221
14131211
3
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
T
D
T1
T2
T3
T4
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换
假设三维形体变换前一点为 p(x,y,z),变换后为
p'(x',y',z')。
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
1,平移变换
Z
Y
X
(
x
,
y
,
z
) (
x
',
y
',
z
')
图7 - 5 平移变换
1
010
001
yx
TT
1
0100
0010
0001
TzTyTx
T
t
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
2,比例变换
(1)局部比例变换
100
00
00
y
x
S
S
1000
000
000
000
j
e
a
T
s
例子：对如图 7-6所示的长方形体进行比例变换,其中 a=1/2，
e=1/3,j=1/2,求变换后的长方形体各点坐标 。
y
z
x
y
z
x
A
B C
D
E
F G
H
图7 - 6 比例变换
2
2
3
1
1
1
1000
000
000
000
j
e
a
T s计算：
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
2,比例变换
(2)整体比例变换
s00
010
001
s
T
S
000
0100
0010
0001
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
z
y
X
图7 - 7 旋转变换的角度方向
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(1)绕 z轴旋转
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
RZT
z
y
X
100
0c o ss in
0s inc o s
o x
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(2)绕 x轴旋转
1000
0c o ss i n0
0s i nc o s0
0001
RX
T
100
0c o ss in
0s inc o s
z
y
X
o y
z
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(3)绕 y轴旋转
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
RYT
100
0c o ss in
0s inc o s
z
y
X
o x
z
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为,
1000
0100
0010
0001
F x y
T
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 yoz平面的对称变换的矩阵计算形式为：
1000
0100
0010
0001
F y z
T
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7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 zox平面的对称变换为,
1000
0100
0010
0001
F z x
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 57
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
(2)关于坐标轴对称变换关于 x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1000
0100
0010
0001
FxT
关于 y轴的对称变换为：
1000
0100
0010
0001
FyT
关于 z轴的对称变换为：
1000
0100
0010
0001
FzT
2009-8-21 湖北大学数计学院 58
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
5,错切变换
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T
SH
100
01
01
c
b
2009-8-21 湖北大学数计学院 59
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
(1)沿 x方向错切
1000
010
001
0001
g
d
T S H x
(2)沿 y方向错切
1000
010
0010
001
h
b
T S H y
(3)沿 z方向错切
1000
0100
010
001
f
c
T S H z
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
2009-8-21 湖北大学数计学院 60
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
(1)平移的逆变换
1
0100
0010
0001
1
zyx
t
TTT
T
1
0100
0010
0001
TzTyTx
T
t
2009-8-21 湖北大学数计学院 61
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换
(2)比例的逆变换局部比例变换的逆变换矩阵为：
1000
0
1
00
00
1
0
000
1
1
i
e
a
T
s
1000
000
000
000
j
e
a
T
s
2009-8-21 湖北大学数计学院 62
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换整体比例变换的逆变换矩阵为：
s
T
S
1
000
0100
0010
0001
1
s
T
S
000
0100
0010
0001
2009-8-21 湖北大学数计学院 63
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换
(3)旋转的逆变换
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
1000
0100
00)c o s ()s i n (
00)s i n ()c o s (
1
RZT
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
RZT
2009-8-21 湖北大学数计学院 64
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变换，
变换结果是每次变换矩阵相乘。
)1( )(' 321 nTTTTPTPP n?
2009-8-21 湖北大学数计学院 65
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
1,相对任一参考点的三维变换相对于参考点 F(xf,yf,zf)作比例,旋转,错切等变换的过程分为以下三步：
(1)将参考点 F移至坐标原点
(2)针对原点进行二维几何变换
(3)进行反平移
2009-8-21 湖北大学数计学院 66
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换例：相对于 F(xf,yf,zf)点进行比例变换 (
x
',
y
',
z
')
z
y
x
z
y
x
(
x
',
y
',
z
')
z
y
x
(
x
',
y
',
z
')
z
y
(
x
',
y
',
z
')
x
F F
图7 - 8 相对参考点F 的比例变换
(a)原图 (b)移至坐标原点 (c)基本比例变换 (d)移回F点原来位置
2009-8-21 湖北大学数计学院 67
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
2,绕任意轴的三维旋转变换思路,将旋转轴转到 z 轴方向，对图形作绕 z 轴的旋转变换后在转回原位置例,设旋转轴由空间一点 A(xa,ya,za ) 极其方向数 (a,b,c) 定义，若空间一点
P(xp,yp,zp ) 绕 A 轴转? 角到 P*(x*p,y*p,
z*p ),构造关系
[x*p y*p z*p 1 ] = [xp yp zp 1],Ra
其中,Ra 为待求的变换矩阵
X
Y
Z
A
B
P'
P
θ
图7 - 9 P 点绕A B 轴旋转解,(1) 使坐标原点平移到 A 点，即用平移矩阵作变换
1
0100
0010
0001
aaa
A
zyx
T
a
z
x
y
z
(2)：绕 x 轴转 a角，使 A 落在 x-z 平面内
1000
0c oss in0
0s inc os0
0001
aa
aa
xR a
z
x
y
z
b
(3)：绕 y 轴转 b 角，使 A 落在 z 轴上
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
bb
bb
yR
a
z
x
y
z
(4)：绕 z 轴转?角，使 P 绕 A 旋转?角
1000
0100
00c oss in
00s inc os
zR
z
x
y
(5)：求 Ry,Rx,TA 的逆变换
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
1
bb
bb
yR
1000
0c oss in0
0s inc os0
0001
1
aa
aa
xR
1
0100
0010
0001
1
aaa
A
zyx
T
(6)：总的变换矩阵为：
Ra＝ TA,Rx,Ry,Rz,R-1y,R-1x,T-1A
2009-8-21 湖北大学数计学院 71
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换类似地,针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成,
(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合,此时进行平移变换 。
(2)使方向轴与某一坐标轴重合,此时需进行旋转变换,
且旋转变换可能不止一次 。
(3)针对该坐标轴完成变换 。
(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向 。
(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置 。
2009-8-21 湖北大学数计学院 2
7.1 窗口视图变换
7.1.1 用户域和窗口区
1）用户域是指用户用来定义物体的整个自然空间（ WD）。
2）窗口区是指用户在用户域中指定的一个区域（ W）。
① 窗口区 W≤用户域 WD，任何小于 WD的窗口区 W都叫 WD
的一个子域；
② 窗口通常为矩形域：用坐下角点和右上角点表示；
③ 窗口区可以嵌套，即在第 i层窗口中可定义第 i+1层窗口。
④ 可定义圆形和多边形窗口。
2009-8-21 湖北大学数计学院 3
7.1 窗口视图变换
7.1.2 屏幕域与视图区
1）屏幕域是指设备输出图形的最大区域，它是一有限的整数域。
如某图形显示器有 1024*1024个可编址的象素点，则屏幕域可定义为,DC,[0:1023]*[0:1023]
2)视图区任何小于或等于屏幕域的区域称为视图区。视图区可 由用户在屏幕域中，用设备坐标来定义。
① 用户选择的窗口域内的图形要在视图区显示，则必须由程序转换成设备坐标系下的坐标值；
② 视图区通常为矩形域：用坐下角点和右上角点表示；
③ 视图区可以嵌套，嵌套层数由图形处理软件规定；
④ 可定义圆形和多边形视图区。
2009-8-21 湖北大学数计学院 4
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
一,视见变换的过程
（ 1）平移变换,将窗口及其中图形一起平移，使窗口左下角与世界坐标系的原点重合；
（ 2）比例变换,将窗口及其中图形一起比例变换，使其结果与视区的形状、大小完全一致，形成窗口与视区的对应关系。
（ 3）平移变换,通过第二步的比例变换，在屏幕坐标系的原点上形成了与世界坐标系中窗口对应的视区，此时再通过一次平移变换将视区平移到屏幕坐标系中指定的视区位移。
2009-8-21 湖北大学数计学院 5
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 6
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
二、变换公式假定在用户坐标系下，窗口区的位置及大小分别定义为：左下角点为 Wc(wx,wy),长为 WL，高为 WH；在屏幕坐标系下，视图区的位置及大小为：左下角点 Vc(vx,vy),长为 VL，高为 VH。
2009-8-21 湖北大学数计学院 7
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
可得如右坐标间关系式：
当 a!=c时，即 x方向的图形变化与 y方向不同时，视图区中的图形会发生伸缩变化。
注意：当有多窗口、
多视区时，要正确选用对应的窗口和视区。
1 d b
0 c 0
0 0a
1][ X w Y w 1] Y s[
*
*;/;;/
:
)(
)(
Xs
dYwcYs
bXwaXs
Wy
WH
VH
VydWHVHc
Wx
WL
VL
VxbWLVLa
VyWyY
WH
VH
Y
VxWxX
WL
VL
X
ws
ws
矩阵表示为则上式可变为如令
2009-8-21 湖北大学数计学院 8
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
例：已知 WC下 A,B,C,D四点坐标值，且已知
DC分辨率为 1024× 768，写出从 WC→ DC的坐标变换。
A(10,10) B(60,10)
D(10,45) C(60,45)
A’(0.1,0.1) B’(0.6,0.1)
D’(0.1,0.45) C’(0.6,0.45)
A*(77,690) B*(460,690)
D*(77,421) C*(460,421)
2009-8-21 湖北大学数计学院 9
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
思路,要将 WC→ DC，必须引进 NDC；
解法：
① 从 WC→ NDC，将各变量 × 1/100即得；
② 从 NDC→ DC：
690 = 767－ 0.1× 768
77 = 767× 0.1
421 = 767 － 0.45× 768
460 ＝ 0.6× 768
2009-8-21 湖北大学数计学院 10
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
a=1,Nx=1024,Ny=768
设 NDC中一点（ xin,yin）,DC中一点（ xout,yout）。
则有如下通式：
xout=sx·xin＋ dx
yout=sx·yin＋ dx
1024× 768-1 1-a
a
NDC DC
1024
768
2009-8-21 湖北大学数计学院 11
7.1 窗口视图变换
7.1.3 窗口区和视图区的坐标变换
在 NDC中取两点 (xin1,yin1),(xin2,yin2）
在 NDC中取两点 (xout1,yout1),(xout2,yout2)
则,s = (xout2-xout1)/(xin2-xin2)
d = xout1－ sx ·xin1
综合图考虑：
在 x方向,[-1,1] →[0,Nx－ 1],故 sx=(Nx-1)/2=511.5
在 y方向,[-a,a] →[0,Ny－ 1],故 sy=(Ny-1)/2=-383.5
所以：
Dx＝ (Nx-1)/2=511.5
Dy＝ (Ny-1)/2=383.5
2009-8-21 湖北大学数计学院 12
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
一,几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、
比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、
尺寸和形状方面的变换
包括：
图形不动，坐标系变
坐标系不动，图形移动
2009-8-21 湖北大学数计学院 13
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换二、齐次坐标
齐次坐标表示就是用 n+1维向量表示一个 n维向量
P[P1,P2,…,Pn] P[hP1,hP2,…,hPn,h] h不为 0
齐次坐标的不唯一性,如普通坐标系下的点（ 2,3）变换为齐次坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等 。
规范化齐次坐标表示就是 h=1的齐次坐标表示
P[P1,P2,…,Pn,1]
如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标
P[hP1 /h,hP2 /h,…,hPn/h,h/h]
2009-8-21 湖北大学数计学院 14
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
二、二维变换矩阵
ifc
heb
gda
T D2
其中：
][
][
][
i
h
g
fc
eb
da
用于缩放，旋转，对称，错切等用于平移图形用于在 x 轴的 1/g 处产生灭点用于在 y 轴的 1/h 处产生灭点用于对图形整体作伸缩变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 15
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1
1
010
001
1]1[
**
yx
yx
TyTx
TT
yxyx
1、平移变换：
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换 （ rigid-body transformation）
平移是指将 p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
Y
X
Tx
Ty
图6 - 1 平移变换
P'
P
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 16
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换比例变换是指对 p点相对于坐标原点沿 x方向放缩 Sx倍,沿 y
方向放缩 Sy倍 。 其中 Sx和 Sy称为比例系数 。
2、比例变换：
1
100
00
00
1]1[ ** ySxSS
S
yxyx yxy
x
2009-8-21 湖北大学数计学院 17
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换讨论：
(1) Sx＝ Sy＝ 1 时 图形不变
(2) Sx＝ Sy > 1 时 图形沿两轴方向等比例放大
(3) Sx＝ Sy < 1 时 图形沿两轴方向等比例缩小
(4) Sx < > Sy 时 图形沿两轴方向作非均匀比例变换
BA
C
B’A’
C’
X
Y
B
C
A
B’
A’
C’Y
X
情形 2 情形 4
2009-8-21 湖北大学数计学院 18
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 。
X
Y
( a ) 关于x 轴对称
X
Y
( b ) 关于y 轴对称
X
Y
(c )关于 原点对称
3、对称变换：
2009-8-21 湖北大学数计学院 19
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
X
Y
( d ) 关于x = y 对称
X
Y
( e ) 关于x = - y 对称对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 。
3、对称变换：
2009-8-21 湖北大学数计学院 20
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
3、对称变换：
1
100
0
0
1]1[ ** eydybyaxeb
da
yxyx
(1) b＝ d＝ 0,a＝ -1,e＝ 1 时 x*＝ -x,y*＝ y,以 y 轴对称
(2) b＝ d＝ 0,a＝ 1,e＝ -1 时 x*＝ x,y*＝ -y,以 x 轴对称
2009-8-21 湖北大学数计学院 21
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
(3) b＝ d＝ 0,a＝ e＝ -1 时 x*＝ -x,y*＝ -y,以原点对称
(4) b＝ d＝ 1,a＝ e＝ 0 时 x*＝ y,y*＝ x,以 y = x 直线对称
(5) b＝ d＝ -1,a＝ e＝ 0 时 x*＝ -y,y*＝ -x,以 y = -x 直线对称
2009-8-21 湖北大学数计学院 22
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
4、旋转变换
二维旋转是指将 p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）
得到新的点 p’的重定位过程。
Y
X
图6 - 4 旋转变换
P'
P
r
r
α
θ
2009-8-21 湖北大学数计学院 23
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1c o ss i ns i nc o s
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1]1[ **
yxyxyxyx
逆时针：
1c o ss i ns i nc o s
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1]1[ **
yxyxyxyx
顺时针：
2009-8-21 湖北大学数计学院 24
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换错切变换,也称为剪切,错位变换,用于产生弹性物体的变形处理 。
Y
X
Y
X
Y
X
( a ) 原图 ( b ) 沿x方向错 切
( c ) 沿y方向错 切图6 - 7 错切变换
5、错切变换：
2009-8-21 湖北大学数计学院 25
7.2 二维图形变换
7.2.1 二维图形的几何变换
1
100
01
01
1]1[ ** ydxbyxb
d
yxyx
讨论,(1) d＝ 0 时 x*＝ x+ by,y*＝ y,沿 x 轴方向错切
(2) b＝ 0时 x*＝ x,y*＝ dx+ y,沿 y 轴方向错切
b > 0,沿 +x 轴方向错切位移 b < 0,沿 -x 轴方向错切位移
(3) b < > 0,d < > 0 时 同时沿两 轴方向错切
5、错切变换：
2009-8-21 湖北大学数计学院 26
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换复合变换是指：
图形作一次以上的几何变换,变换结果是每次的变换矩阵相乘 。
任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式 。
复合变换具有形式：
)1(
)('
321
321
nTTTTP
TTTTPTPP
n
n
一、相对于原点的复合变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 27
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换复合旋转,Tr = Tr1,Tr2
复合比例,Ts = Ts1,Ts2
复合平移
1
010
001
1
010
001
1
010
001
21212211
21
yyxxyxyx
ttt
TTTTTTTT
TTT
* 利用复合变换调整参考点
* 几何变换不改变图形的连接关系和平行关系
2009-8-21 湖北大学数计学院 28
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换二、相对于参考点 (xf,yf)的复合变换相对某个参考点 (xF,yF)作二维几何变换,其变换过程为：
(1) 平移
(2) 针对原点进行二维几何变换 。
(3) 反平移例 1,相对点 (xF,yF)的旋转变换例 2,相对点 (xF,yF)的比例变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 29
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换例 1,相对点
(xF,yF)的旋转变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 30
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换例 2,相对点 (xF,yF)
的比例变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 31
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
三,相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换,其变换的过程是：
(1) 旋转变换
(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；
(3) 反向旋转例 3,相对直线 y=x 的反射变换
2009-8-21 湖北大学数计学院 32
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 3,相对直线 y=x 的反射变换
M =
0 1 0
= 1 0 0
0 0 1
o
o
45sin
45cos
045sin
o45sin
o45cos
o45cos
o45sin
0
0
0 0 0
-
o45sin
o45cos
o45cos
o45sin
0
0
0 0 0
-
2009-8-21 湖北大学数计学院 33
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 4：任一图形关于任意的反射轴 y=a+bx的反射变换
解,1.将坐标原点平移到 (0,a)处
10
010
001
1
a
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 34
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转
θ 角，使之与 x轴重合
3.图形关于 x轴的反射变换
4.将反射轴逆时针旋转 θ 角
100
0c o ss i n
0s i nc o s
R
100
0c o ss i n
0s i nc o s
R
100
010
001
2T
2009-8-21 湖北大学数计学院 35
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
5.恢复反射轴的原始位置
因此?
10
010
001
3
a
T
321 TRTRTT
2009-8-21 湖北大学数计学院 36
7.2 二维图形变换
7.2.2 二维图形的复合变换
例 5,将正方形 ABCO各点沿图 6-8所示的
(0,0)→(1,1) 方向进行拉伸，结果为如图所示的，
写出其变换矩阵和变换过程
Y
X1 3/21/2
1/2
3/2
2
2
图6- 8 针对固定方向的拉伸
O
A B
C
C'
B'
A'
2009-8-21 湖北大学数计学院 37
7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换 。
光栅平移变换：
(a)读出象素块的内容 (b)复制象素块的内容 (c) 擦除原象素块的内容
2009-8-21 湖北大学数计学院 38
90°,180° 和 270° 的光栅旋转变换：
( a ) 逆时针旋转9 0 °
(x,y)
(y,rowlen-x)
rowlen
7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换
阵列每个象素值颠倒
交换行与列
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a13 a12 a11
a23 a22 a21
a13 a23
a12 a22
a11 a21
a13 a23
a12 a22
a11 a21
2009-8-21 湖北大学数计学院 39
7.2 二维图形变换
7.2.3 光栅变换
(x,y)
(rowlen-x,vollen-y)
( b ) 逆时针旋转1 8 0 °
rowlen
vollen
90°,180° 和 270° 的光栅旋转变换：
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a23 a22 a21
a13 a12 a11
阵列每个象素值颠倒
将行序颠倒
a13 a12 a11
a23 a22 a21
a23 a22 a21
a13 a12 a11
2009-8-21 湖北大学数计学院 40
任意角度的光栅旋转变换：
旋转的象素阵列光栅网格
A A
2
1 3
7.2 图形的几何变换
7.2.3 光栅变换
Gray(A)=∑ [ Gray(i) × A在 i上的覆盖率 ](Gray(x)表示某点的灰度等级 )
i=1
n
Gray(A)=Gray(1) × A在 1上的覆盖率 + Gray(2) × A在 2上的覆盖率 + Gray(3) × A在 3上的覆盖率
光栅比例变换：
(a)Sx=1/2,Xy=1/2 ( b ) 原图 (a)Sx=1,Xy=3/2
缩小时原图中的相应象素区域放大时原图中的相应象素区域光栅变换
1 2
34
1
2
∑ [ Gray(i) × Si]i=1
n
Gray(A)=
∑ Sii=1n
G=(G1+G2+G3+G4)/4 G=(G1× S1 + G2× S2)/(S1 + S2)
2009-8-21 湖北大学数计学院 42
7.2 图形的几何变换
7.2.4 变换的性质
光栅变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性
平移,比例,旋转,错切和反射等变换均是二维光栅变换的特例,反过来,任何常用的二维光栅变换总可以表示为这五种变换的复合 。
ndycxy
mbyaxx
'
'
二维光栅变换是具有如下形式的二维坐标变换：
2009-8-21 湖北大学数计学院 43
二维几何变换具有如下一些性质：
直线的中点不变性；
平行直线不变性；
相交不变性；
仅包含旋转,平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；
比例变化可改变图形的大小和形状；
错切变化引起图形角度关系的改变,甚至导致图形发生畸变 。
7.2 图形的几何变换
7.2.4 变换的性质
2009-8-21 湖北大学数计学院 44
7.3 三维图形变换
T1：比例、旋转、对称、错切
T2：平移
T3：投影
T4：整体缩放变换矩阵：
44434241
34333231
24232221
14131211
3
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
T
D
T1
T2
T3
T4
2009-8-21 湖北大学数计学院 45
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换
假设三维形体变换前一点为 p(x,y,z),变换后为
p'(x',y',z')。
2009-8-21 湖北大学数计学院 46
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
1,平移变换
Z
Y
X
(
x
,
y
,
z
) (
x
',
y
',
z
')
图7 - 5 平移变换
1
010
001
yx
TT
1
0100
0010
0001
TzTyTx
T
t
2009-8-21 湖北大学数计学院 47
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
2,比例变换
(1)局部比例变换
100
00
00
y
x
S
S
1000
000
000
000
j
e
a
T
s
例子：对如图 7-6所示的长方形体进行比例变换,其中 a=1/2，
e=1/3,j=1/2,求变换后的长方形体各点坐标 。
y
z
x
y
z
x
A
B C
D
E
F G
H
图7 - 6 比例变换
2
2
3
1
1
1
1000
000
000
000
j
e
a
T s计算：
2009-8-21 湖北大学数计学院 49
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
2,比例变换
(2)整体比例变换
s00
010
001
s
T
S
000
0100
0010
0001
2009-8-21 湖北大学数计学院 50
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
z
y
X
图7 - 7 旋转变换的角度方向
2009-8-21 湖北大学数计学院 51
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(1)绕 z轴旋转
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
RZT
z
y
X
100
0c o ss in
0s inc o s
o x
2009-8-21 湖北大学数计学院 52
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(2)绕 x轴旋转
1000
0c o ss i n0
0s i nc o s0
0001
RX
T
100
0c o ss in
0s inc o s
z
y
X
o y
z
2009-8-21 湖北大学数计学院 53
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
3,旋转变换
(3)绕 y轴旋转
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
RYT
100
0c o ss in
0s inc o s
z
y
X
o x
z
2009-8-21 湖北大学数计学院 54
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为,
1000
0100
0010
0001
F x y
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 55
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 yoz平面的对称变换的矩阵计算形式为：
1000
0100
0010
0001
F y z
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 56
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
4.对称变换
(1)关于坐标平面对称关于 zox平面的对称变换为,
1000
0100
0010
0001
F z x
T
2009-8-21 湖北大学数计学院 57
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
(2)关于坐标轴对称变换关于 x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1000
0100
0010
0001
FxT
关于 y轴的对称变换为：
1000
0100
0010
0001
FyT
关于 z轴的对称变换为：
1000
0100
0010
0001
FzT
2009-8-21 湖北大学数计学院 58
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
5,错切变换
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T
SH
100
01
01
c
b
2009-8-21 湖北大学数计学院 59
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
(1)沿 x方向错切
1000
010
001
0001
g
d
T S H x
(2)沿 y方向错切
1000
010
0010
001
h
b
T S H y
(3)沿 z方向错切
1000
0100
010
001
f
c
T S H z
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
1000
01
01
01
hg
fd
cb
T SH
2009-8-21 湖北大学数计学院 60
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
(1)平移的逆变换
1
0100
0010
0001
1
zyx
t
TTT
T
1
0100
0010
0001
TzTyTx
T
t
2009-8-21 湖北大学数计学院 61
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换
(2)比例的逆变换局部比例变换的逆变换矩阵为：
1000
0
1
00
00
1
0
000
1
1
i
e
a
T
s
1000
000
000
000
j
e
a
T
s
2009-8-21 湖北大学数计学院 62
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换整体比例变换的逆变换矩阵为：
s
T
S
1
000
0100
0010
0001
1
s
T
S
000
0100
0010
0001
2009-8-21 湖北大学数计学院 63
7.3 三维图形变换
7.3.1 三维基本几何变换
6,逆变换
(3)旋转的逆变换
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
1000
0100
00)c o s ()s i n (
00)s i n ()c o s (
1
RZT
1000
0100
00c o ss i n
00s i nc o s
RZT
2009-8-21 湖北大学数计学院 64
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变换，
变换结果是每次变换矩阵相乘。
)1( )(' 321 nTTTTPTPP n?
2009-8-21 湖北大学数计学院 65
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
1,相对任一参考点的三维变换相对于参考点 F(xf,yf,zf)作比例,旋转,错切等变换的过程分为以下三步：
(1)将参考点 F移至坐标原点
(2)针对原点进行二维几何变换
(3)进行反平移
2009-8-21 湖北大学数计学院 66
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换例：相对于 F(xf,yf,zf)点进行比例变换 (
x
',
y
',
z
')
z
y
x
z
y
x
(
x
',
y
',
z
')
z
y
x
(
x
',
y
',
z
')
z
y
(
x
',
y
',
z
')
x
F F
图7 - 8 相对参考点F 的比例变换
(a)原图 (b)移至坐标原点 (c)基本比例变换 (d)移回F点原来位置
2009-8-21 湖北大学数计学院 67
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换
2,绕任意轴的三维旋转变换思路,将旋转轴转到 z 轴方向，对图形作绕 z 轴的旋转变换后在转回原位置例,设旋转轴由空间一点 A(xa,ya,za ) 极其方向数 (a,b,c) 定义，若空间一点
P(xp,yp,zp ) 绕 A 轴转? 角到 P*(x*p,y*p,
z*p ),构造关系
[x*p y*p z*p 1 ] = [xp yp zp 1],Ra
其中,Ra 为待求的变换矩阵
X
Y
Z
A
B
P'
P
θ
图7 - 9 P 点绕A B 轴旋转解,(1) 使坐标原点平移到 A 点，即用平移矩阵作变换
1
0100
0010
0001
aaa
A
zyx
T
a
z
x
y
z
(2)：绕 x 轴转 a角，使 A 落在 x-z 平面内
1000
0c oss in0
0s inc os0
0001
aa
aa
xR a
z
x
y
z
b
(3)：绕 y 轴转 b 角，使 A 落在 z 轴上
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
bb
bb
yR
a
z
x
y
z
(4)：绕 z 轴转?角，使 P 绕 A 旋转?角
1000
0100
00c oss in
00s inc os
zR
z
x
y
(5)：求 Ry,Rx,TA 的逆变换
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
1
bb
bb
yR
1000
0c oss in0
0s inc os0
0001
1
aa
aa
xR
1
0100
0010
0001
1
aaa
A
zyx
T
(6)：总的变换矩阵为：
Ra＝ TA,Rx,Ry,Rz,R-1y,R-1x,T-1A
2009-8-21 湖北大学数计学院 71
7.3 三维图形变换
7.3.2 三维复合变换类似地,针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成,
(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合,此时进行平移变换 。
(2)使方向轴与某一坐标轴重合,此时需进行旋转变换,
且旋转变换可能不止一次 。
(3)针对该坐标轴完成变换 。
(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向 。
(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置 。
