2009-8-21 湖北大学 数计学院 1
第七章图 形 变 换余敦辉湖北大学 数计学院
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念投影变换就是把三维立体 （ 或物体 ） 投射到投影面上得到二维平面图形 。
分类：
平面几何投影 主要指平行投影,透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：
三视图,轴测图 。
观察投影 是指在观察空间下进行的图形投影变换 。
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为有限根据投影方向与投影平面的夹角根据投影平面与坐标轴的夹角
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念
一、平面几何投影
投影中心、投影面、投影线：
B
A
A'
B'
投影线投影中心线段
B
AA'
B'
投影线投影中心在无穷远处线段
(a ) 透 视投影 (b ) 平 行投影图7-1 线 段AB的 平面几何投影
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念平面几何投影可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
S S S
(a) 透视投影 (b) 正投影 (c) 斜投影图7- 2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面
(a )正 投影 (b )斜 投影
7-11 平 行投影投影平面法向?
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
一,正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测 。
当 投影面 与某一 坐标轴 垂直时,得到的投影为三视图；
否则,得到的投影为正轴测图 。投影方向投影平面
(a) 三视图 (b) 正轴测
7 - 1 2 正投影
x
z
y
O
投影平面投影方向
z
x
y
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
三视图：正视图、侧视图和俯视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置 到同一平面上。
z
y
x
a2
c2b2a1
b1
c1
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1,正平行投影（三视图）
工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称为：正投影面 V（ ZOX),侧投影面 W（ YOZ），
水平投影面 H（ XOY）。
V
O U
Z
X
Y
Y
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 正投影视图
① 正投影是将立体向 V面投影得到的，投影结果为：
x’ = x; y’=0; z’=z
为将点 (x y z) 变换为 (x’ y’ z’)，只需将点 (x y z)作如下变换即可：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
v
T
三视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
② 将该投影向左角移动 dx=tx,dy=ty;
③ 将 x轴反向与 U轴保持一致；
④ 将坐标原点平移到点 O。
三视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 俯投影视图
1）将立体向 H面作正投影，此时 Z坐标取 0;
三视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
2）使水平投影面绕 X轴旋转 -90，使与正投影面处于同一平面；
3）最后让图形沿 Z轴平移 dx=tx,dy=ty;
4) 将 x轴,y轴反向以与 U,V两坐标轴方向一致；
5）将坐标原点平移至点 O
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 侧投影视图
先将立体向 W面作正投影（ X坐标取为 0）；
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
2）使水平投影面绕 Z轴旋转 90，使与正投影面处于同一平面；
3）最后让图形沿 Z轴平移 dx=ty,dy=tz;
4）将坐标原点平移至点 O
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1,正轴测图,
当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。
正轴测投影分类：
正等测,投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿三个轴线具有相同的变形系数。
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正二测,投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿两个轴线具有相同的变形系数。
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正三测,投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。 沿三个轴线具有各不相同的变形系数。
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
问题转换,1,投影矢量 OF旋转变换到 Z轴上 （ 即将投影平面旋转变换到 XOY平面上 ） ；
2,针对 XOY平面作投影变换 。
先绕 y轴顺时针旋转 α 角
再绕 x轴逆时针旋转 β 角
C
α α
A O
D
X
Z
β
D’
O
B
F
β
Y
Z
2、正轴测图的投影变换矩阵
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影公式推导：
(1) 先绕 y轴顺时针旋转 α 角
(2) 再绕 x轴逆时针旋转 β 角
(3) 将三维形体向 xoy平面作正投影最后得到正轴测图的投影变换矩阵
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
x
z
y
O
A B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
3,正等测图 (等轴测 )
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
(a)等轴测 (b)正二测 (c)正三测图7 - 1 4 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面 投影平面 投影平面
A
B
C
分析：对于正等测图 OA=OB=OC
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
3,正等测图 (等轴测 )
分析：对于正等测图 OA=OB=OC
C
α α
A O
D
X
Z
因此,α= 45 O
β
D’
O
B
F
β
Y
Z
cosβ=OB/BD
Sinβ=OD/BD
OD= OB
BD= OB
公式推导：
将 α 和 β 的值代入正轴测图的变换矩阵得到正等测图的投影变换矩阵：
1000
004 0 8 2.07 0 7 1.0
008 1 6 5.00
004 0 8 2.07 0 7 1.0
1000
00
6
6
2
2
00
3
6
0
00
6
6
2
2
T
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
4,正二测图分析：对于正二测图 OA,OB,OC有两个相等,但与另一个不等
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
(a)等轴测 (b)正二测 (c)正三测图7 - 1 4 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面 投影平面 投影平面
A
B
C
4,正二测图
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
分析：对于正二测图 OA,OB,OC有两个相等,但与另一个不等现在假定 OA=OC则,
计算：
α= 45 O
β=？
公式推导：
将 α 值代入 T得到正二测图的投影变换矩阵：
1000
00s i n
2
2
2
2
00c o s0
00s i n
2
2
2
2
T
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
一,斜投影
斜投影图,即斜轴测图,是将三维形体向一个单一的投影面作 平行投影,但 投影方向不垂直于投影面 所得到的平面图形 。 （ 通常选择投影面平行于某个主轴 ）
常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图 。
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
斜等测投影
– 投影平面与一坐标轴垂直
– 投影线与投影平面成 45° 角与投影平面垂直的线投影后长度不变
斜二测投影
– 投影平面与一坐标轴垂直
– 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角该轴轴向变形系数为?。 即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半 。
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投影平面法向投影方向投影平面
(a) 斜等测 (b) 斜二测
7 - 1 6 斜平行投影
p
O
p'
投影方向投影平面
p
O
p'
投影平面法向
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
α = ARCTG(2)
OP = OP’
α = ARCTG(1)
OP = 2OP’
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
1,已知投影方向矢量为 （ xp,yp,zp）
设形体被投影到 XOY平面上
形体上的一点 (x,y,z)在 xoy平面上投影后 → (xs,ys)
∵ 投影方向矢量为 (xp,yp,zp)
∴ 投影线的参数方程为：
tzzz
tyyy
txxx
ps
ps
ps
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
因为
所以
若令
p
i
ssss
z
zt
zZzyx
00 的平面上在?
i
p
p
s
i
p
p
s
z
z
y
yy
z
z
x
xx
p
p
yp
p
p
xp z
y
S
z
x
S
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
则矩阵式为：
1000
01
0010
0001
11
ypxp
sss
SS
zyxzyx
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
2,设 （ xe,ye,ze ） 为 任 一 点,（ xs,ys ） 为
（ xe,ye,ze） 在 XcOcYc平面上的投影
设立方体上一点 P(0,0,1)在 XcOcYc平面上的投影 P' (lcosα,lsinα,0),投影方向为 PP',PP'与投影面的夹角为 β,α 为投影与 x轴的夹角，则投影方向矢量为 (lcosα,lsinα,-1)
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
现考虑任一点 （ xe,ye,ze） 在 XcOcYc平面上的投影 （ xs,ys）
∵ 投影方向与投影线 PP’ 平行
所以
0s i nc o s1 ssesese zl yyl xxzz
s i n
c o s
lzyy
lzxx
ees
ees
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
矩阵形式为：
1000
01s i nc o s
0010
0001
11
ll
zyxzyx eeesss
斜等侧中,l=1,β=45?
斜二侧中,l=1/2,
β=arctgα=63.4?
正平行投影,l=0,β=90?
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
透视投影是一种中心投影法,在日常生活中,我们观察外界的景物时,常会看到一些明显的透视现象 。
如：我们站在笔直的大街上,向远处看去,会感到街上具有相同高度的路灯柱子,显得近处的高,远处的矮,越远越矮 。 这些路灯柱子,即使它们之间的距离相等,但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大,
远处的间隔显得小,越远越密 。 观察道路的宽度,也会感到越远越窄,最后汇聚于一点 。 这些现象,称之为透视现象 。
产生透视的原因,可用下图来说明：
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
图中,AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等,排成一条直线的电线杆,从视点 E去看,发现
∠ AEA?>∠ BEB?>∠ CEC?
若在视点 E与物体间设置一个透明的画面 P,让 P通过
AA‘,则在画面上看到的各电线杆的投影 aa'>bb'>cc'
aa'即 EA,EA'与画面 P的交点的连线 ;
bb'即为 EB,EB'与画面 P的交点的连线 。
cc' 即为 EC,EC'与画面 P的交点的连线 。
∴ 近大远小
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
若连 a,b,c及 a',b',c'各点,它们的连线汇聚于一点 。
然而,实际上,A,B,C与 A?,B?,C?的连线是两条互相平行的直线,这说明 空间不平行于画面 (投影面 ） 的一切平行线的透视投影,即
a,b,c与 a',b',c'的连线,必交于一点,这点我们称之为灭点 。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影灭点
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点,
这个点称为灭点 (Vanishing Point)。
坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点 。
一点透视有一个主灭点,即投影面与一个坐标轴正交,与另外两个坐标轴平行 。
两点透视有两个主灭点,即投影面与两个坐标轴相交,与另一个坐标轴平行 。
三点透视有三个主灭点,即投影面与三个坐标轴都相交 。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视举例
7-20 透 视投影灭点灭点灭点灭点
(a )一 点透视 (b )二 点透视 (c )三 点透视灭点灭点一,简单的一点透视投影变换
P0,视点
S平面,投影面，屏幕画面点 Qw的透视,P0Qw与平面 S的交点
Qw
S
Y
X
Z O
P0
当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面平行于某坐标轴，但与另外两轴不垂直时为二点透视；否则为三点透视
Z2
Z1
Qw (Xw,Yw,Zw)
Qs (Xs,Ys) Xs
Ys
Qs
简单的一点透视投影变换 (续 )
讨论：
利用几何关系可得：
w
w
s
w
w
s
Y
ZZ
ZZ
Y
X
ZZ
ZZ
X
2
12
2
12
若令用户坐标系 (屏幕坐标 )的原点在 O,则 Z1＝ 0，
上式可简化为：
2
2
12
2
2
2
1
1
Z
Z
Y
Y
ZZ
ZZ
Y
Z
Z
X
X
ZZ
Z
X
w
w
w
w
s
w
w
w
w
s
(1) 若,为平行投影,Xs ＝ Xw,Ys ＝ Yw,结论显然正确
2Z
讨论 (续 )：
(2) 上述变换可写为回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若 g＝ -1/ Z2,则主灭点在 Z 轴上 Z＝ 1/g 处,此时，与 X,Y 轴平行的线段经透视投影后仍平行于 Xs,Ys 轴
10
11
10
1000
0000
0010
0001
1000
1
100
0010
0001
11
22
2
2
Z
Z
Y
Z
Z
X
Z
Z
YX
Z
ZYXZYX
w
w
w
w
w
ww
wwwsss
讨论 (续 )：
(3) 类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
1000
0100
0000
0001
1000
0100
010
0001
g
yT
1000
0100
0010
0000
1000
0100
0010
001 g
xT
二,两点透视投影变换在三维变换矩阵第 4列的 3× 1子阵中，如果有两个非零元素，即得到二点透视。设一个主灭点在 X 轴上 x＝ 1 / r处，另一个主灭点在 Z轴的 z ＝ 1/g处，画面为 x’o’y’ 。则透视的投影变换矩阵为：
321
1000
0000
0010
0001
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
1000
100
0010
001
TTTT
g
r
其中 T2 为物体绕 Y 轴旋转的矩阵，它使 Y轴平行于屏幕画面，并使画面与原坐标面成? 角例：有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,E,F,G,H,
(如图示 )。 选 r0.25,g0.15,30o,试作投影变换。
A(0,-1,0)
B(0,-1,1)
C(0,-2,1)
D(0,-2,0)
E(1,-1,0)
F(1,-1,1)
G(1,-2,1)
H(1,-2,0)
X
Z
Y
A
B
C
D
E
F
G
H
O
1067.215.1
1033.361.0
1067.161.0
1033.115.1
1020
1036.259.0
1018.159.0
1010
1000
15.0005.0
0010
25.000866.0
1021
1121
1111
1011
1020
1120
1110
1010
TM
CB
讨论：
可用投影平面的方向控制主灭点的数目
投影中主灭点的数目由与观察平面相交的主轴的数目决定
-1 0 1
-3
-1
0’ X’
Y’
四,三点透视投影变换透视的投影变换矩阵为：
4321
1000
0000
0010
0001
1000
0c o ss i n0
0s i nc o s0
0001
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
1000
100
010
001
TTTTT
g
r
其中 T2,T3 为物体分别绕 Y 轴旋转? 角，然后绕 X 轴转?
角的矩阵例：同上例，有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,
E,F,G,H,(如图示 )。 选 r0.25,0.2,g0.15,
30o,试作投影变换。
讨论：
观察方向与投影方向的配合
1029.175.0
1005.137.0
1023.046.0
1065.091.0
1024.10
1004.140.0
1041.048.0
1072.00
1000
15.00433.05.0
2.00866.00
025.0025.0866.0
CBCB
MTM
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
X’
Y’
五,观察坐标系下的透视投影变换观察坐标系,
Xw
Yw
Zw
Xe
Ye
Ze
Ys
Xs
Vzyxzyx wwweee 11
寻找变换矩阵 V，使得：
然后利用简单的一点投影透视投影变换得到三维图形在投影面上的投影设视点在用户坐标系中下的坐标为 (a,b,c),可以分 5步求 V 阵：
(1) 将用户坐标系的原点移到视点，得到新坐标系下各点的坐标 ( x’,y’,z’ )，相当于形体上的点反向移动
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
1
0100
0010
0001
1
cba
T
(2) 令平移后的新坐标系绕 X’ 逆时针转 90o，相当于形体上的点顺时针转 90o
1000
0010
0100
0001
1000
090c os90s i n0
090s i n90c os0
0001
2 oo
oo
T
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
a
b
c
v
(3) 将新坐标系绕 Y’ 顺时针转? 角，使 Z’ 轴负方向与 Zw 轴相交，相当于形体上的点逆转? 角
1000
0/0/
0010
0/0/;s in;c os
3
22
22
22
vbva
vavb
T
bav
ba
a
ba
b
－
则：
定义：
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
Xw
Yw
Z
w
(4) 再将新坐标系绕 X’ 顺时针转? 角，使 Z’ 负方向指向用户坐标系原点,相当于形体上的点逆转? 角
1000
0//0
0//0
0001;s in;c os;
4
222
uvuc
ucuv
T
u
c
u
v
cbav
则：
定义：
Xw
Yw
Z
w
a
b
c
v
u
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
(5) 将 Z轴反向，右手坐标系变成左手坐标系
1000
0100
0010
0001
5T
Xw
Yw
Z
w
a
b
c
v
u
综合上述变换，得：
100
0//0
0///
0///
54321
u
ucuv
ubuvbcva
uauvacvb
TTTTTV
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
讨论：
(1) 在实际操作中，一般先求出形体外接球，并将用户坐标系的原点移到外接球的球心位置，以便视点沿球面移动时，
保证看到的形体的不同位置均有均衡的比例
1000
/0/0
/0//
/0//
1000
0000
0010
0001
1000
/1100
0010
0001
1000
0000
0010
0001
1000
/1100
0010
0001
2
2
2
'
2
ucuv
ubuvbcva
uauvacvb
u
V
Z
VT
(2) 一般可取投影面通过用户坐标系原点，此时变换矩阵为讨论 (续 )：
例：同上例，有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,E,
F,G,H,(如图示 )。 选观察点分别为 (5,0,5),(5,4,5)，
(5,9,5),投影面通过坐标原点，试作投影变换。
(3) 透视投影中的裁剪和观察体
(5,0,5) (5,4,5) (5,9,5)
2009-8-21 湖北大学 数计学院 59
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 一点透视图的生成在生成一点透视图时，为了避免将物体安置在坐标系原点，而产生下图所示的透视效果，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 60
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧其变换过程如下：
1）先作平移变换；
2）再作透视变换；
3）最后将结果投影到投影面。
由于往 XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在 Y轴上。以下是其变换公式。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 61
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
1qdy dz 0dx
0 1 0 0
q 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
q 0 1 0
0 0 0 1
1 dzdy dx
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
T
2009-8-21 湖北大学 数计学院 62
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 二点透视投影图的生成当立体经透视变换后，若直接投影到 V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕 Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向 V面上投影其效果会更好。
变换过程如下：
1）先对立体进行二点透视变换；
2）再把变换结果绕 Z轴旋转一角度；
3）最后将上述变换结果投影到投影面上 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 63
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 三点透视投影图生成与二点透视投影图生成变换理由一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立体效果更好的透视投影图。
变换过程如下：
1）首先对物体作三点透视变换；
2）将透视变换结果绕 Z轴旋转一角度 α
3）再绕 X轴旋转一 β 角；
4）将上述结果投影到投影面。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 64
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
显示流程图
– 观察变换：从世界坐标系到观察坐标系的变换
2009-8-21 湖北大学 数计学院 65
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
何时裁剪
– 投影之前裁剪 ----三维裁剪
优点
– 只对可见的物体进行投影变换
缺点
– 三维裁剪相对复杂
– 投影之后裁剪 ----二维裁剪
优点
– 二维裁剪相对容易
缺点
– 需要对所有的物体进行投影变换
2009-8-21 湖北大学 数计学院 66
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
– 采用二维裁剪的三维图形显示流程图
– 在投影之前裁剪的理由
三维物体的表面通常被离散表示成多边形或折线,
而对这类简单图元,三维裁剪同样比较简单 。
三维图形在显示过程中需要被消隐，做这个工作要有图形的深度信息，所以必须在投影之前完成 。 消隐很费时，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可见的图形，可使需要消隐的图形减至最小。
第七章图 形 变 换余敦辉湖北大学 数计学院
2009-8-21 湖北大学 数计学院 2
7.4 投影变换
7.4.1 基本概念投影变换就是把三维立体 （ 或物体 ） 投射到投影面上得到二维平面图形 。
分类：
平面几何投影 主要指平行投影,透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：
三视图,轴测图 。
观察投影 是指在观察空间下进行的图形投影变换 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 3
7.4 投影变换
7.4.1 基本概念投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为有限根据投影方向与投影平面的夹角根据投影平面与坐标轴的夹角
2009-8-21 湖北大学 数计学院 4
7.4 投影变换
7.4.1 基本概念
一、平面几何投影
投影中心、投影面、投影线：
B
A
A'
B'
投影线投影中心线段
B
AA'
B'
投影线投影中心在无穷远处线段
(a ) 透 视投影 (b ) 平 行投影图7-1 线 段AB的 平面几何投影
2009-8-21 湖北大学 数计学院 5
7.4 投影变换
7.4.1 基本概念平面几何投影可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
S S S
(a) 透视投影 (b) 正投影 (c) 斜投影图7- 2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
2009-8-21 湖北大学 数计学院 6
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面
(a )正 投影 (b )斜 投影
7-11 平 行投影投影平面法向?
2009-8-21 湖北大学 数计学院 7
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
一,正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测 。
当 投影面 与某一 坐标轴 垂直时,得到的投影为三视图；
否则,得到的投影为正轴测图 。投影方向投影平面
(a) 三视图 (b) 正轴测
7 - 1 2 正投影
x
z
y
O
投影平面投影方向
z
x
y
2009-8-21 湖北大学 数计学院 8
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
三视图：正视图、侧视图和俯视图
2009-8-21 湖北大学 数计学院 9
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置 到同一平面上。
z
y
x
a2
c2b2a1
b1
c1
2009-8-21 湖北大学 数计学院 10
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1,正平行投影（三视图）
工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称为：正投影面 V（ ZOX),侧投影面 W（ YOZ），
水平投影面 H（ XOY）。
V
O U
Z
X
Y
Y
2009-8-21 湖北大学 数计学院 11
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 正投影视图
① 正投影是将立体向 V面投影得到的，投影结果为：
x’ = x; y’=0; z’=z
为将点 (x y z) 变换为 (x’ y’ z’)，只需将点 (x y z)作如下变换即可：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
v
T
三视图
2009-8-21 湖北大学 数计学院 12
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
② 将该投影向左角移动 dx=tx,dy=ty;
③ 将 x轴反向与 U轴保持一致；
④ 将坐标原点平移到点 O。
三视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 俯投影视图
1）将立体向 H面作正投影，此时 Z坐标取 0;
三视图
2009-8-21 湖北大学 数计学院 14
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
2）使水平投影面绕 X轴旋转 -90，使与正投影面处于同一平面；
3）最后让图形沿 Z轴平移 dx=tx,dy=ty;
4) 将 x轴,y轴反向以与 U,V两坐标轴方向一致；
5）将坐标原点平移至点 O
2009-8-21 湖北大学 数计学院 15
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 侧投影视图
先将立体向 W面作正投影（ X坐标取为 0）；
2009-8-21 湖北大学 数计学院 16
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
2）使水平投影面绕 Z轴旋转 90，使与正投影面处于同一平面；
3）最后让图形沿 Z轴平移 dx=ty,dy=tz;
4）将坐标原点平移至点 O
2009-8-21 湖北大学 数计学院 17
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1,正轴测图,
当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。
正轴测投影分类：
正等测,投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿三个轴线具有相同的变形系数。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 18
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正二测,投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿两个轴线具有相同的变形系数。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 19
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正三测,投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。 沿三个轴线具有各不相同的变形系数。
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
问题转换,1,投影矢量 OF旋转变换到 Z轴上 （ 即将投影平面旋转变换到 XOY平面上 ） ；
2,针对 XOY平面作投影变换 。
先绕 y轴顺时针旋转 α 角
再绕 x轴逆时针旋转 β 角
C
α α
A O
D
X
Z
β
D’
O
B
F
β
Y
Z
2、正轴测图的投影变换矩阵
2009-8-21 湖北大学 数计学院 21
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影公式推导：
(1) 先绕 y轴顺时针旋转 α 角
(2) 再绕 x轴逆时针旋转 β 角
(3) 将三维形体向 xoy平面作正投影最后得到正轴测图的投影变换矩阵
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
x
z
y
O
A B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
2009-8-21 湖北大学 数计学院 22
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
3,正等测图 (等轴测 )
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
(a)等轴测 (b)正二测 (c)正三测图7 - 1 4 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面 投影平面 投影平面
A
B
C
分析：对于正等测图 OA=OB=OC
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
3,正等测图 (等轴测 )
分析：对于正等测图 OA=OB=OC
C
α α
A O
D
X
Z
因此,α= 45 O
β
D’
O
B
F
β
Y
Z
cosβ=OB/BD
Sinβ=OD/BD
OD= OB
BD= OB
公式推导：
将 α 和 β 的值代入正轴测图的变换矩阵得到正等测图的投影变换矩阵：
1000
004 0 8 2.07 0 7 1.0
008 1 6 5.00
004 0 8 2.07 0 7 1.0
1000
00
6
6
2
2
00
3
6
0
00
6
6
2
2
T
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
4,正二测图分析：对于正二测图 OA,OB,OC有两个相等,但与另一个不等
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
(a)等轴测 (b)正二测 (c)正三测图7 - 1 4 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面 投影平面 投影平面
A
B
C
4,正二测图
x
z
y
O
A
B
C
D
E
α
α
F
图7-15 正 轴测图的形成
分析：对于正二测图 OA,OB,OC有两个相等,但与另一个不等现在假定 OA=OC则,
计算：
α= 45 O
β=？
公式推导：
将 α 值代入 T得到正二测图的投影变换矩阵：
1000
00s i n
2
2
2
2
00c o s0
00s i n
2
2
2
2
T
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00c o ss i nc o s
TTTT
RxRy
2009-8-21 湖北大学 数计学院 28
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
一,斜投影
斜投影图,即斜轴测图,是将三维形体向一个单一的投影面作 平行投影,但 投影方向不垂直于投影面 所得到的平面图形 。 （ 通常选择投影面平行于某个主轴 ）
常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 29
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
斜等测投影
– 投影平面与一坐标轴垂直
– 投影线与投影平面成 45° 角与投影平面垂直的线投影后长度不变
斜二测投影
– 投影平面与一坐标轴垂直
– 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角该轴轴向变形系数为?。 即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 30
投影平面法向投影方向投影平面
(a) 斜等测 (b) 斜二测
7 - 1 6 斜平行投影
p
O
p'
投影方向投影平面
p
O
p'
投影平面法向
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
α = ARCTG(2)
OP = OP’
α = ARCTG(1)
OP = 2OP’
2009-8-21 湖北大学 数计学院 31
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
1,已知投影方向矢量为 （ xp,yp,zp）
设形体被投影到 XOY平面上
形体上的一点 (x,y,z)在 xoy平面上投影后 → (xs,ys)
∵ 投影方向矢量为 (xp,yp,zp)
∴ 投影线的参数方程为：
tzzz
tyyy
txxx
ps
ps
ps
2009-8-21 湖北大学 数计学院 32
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
因为
所以
若令
p
i
ssss
z
zt
zZzyx
00 的平面上在?
i
p
p
s
i
p
p
s
z
z
y
yy
z
z
x
xx
p
p
yp
p
p
xp z
y
S
z
x
S
2009-8-21 湖北大学 数计学院 33
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
则矩阵式为：
1000
01
0010
0001
11
ypxp
sss
SS
zyxzyx
2009-8-21 湖北大学 数计学院 34
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
2,设 （ xe,ye,ze ） 为 任 一 点,（ xs,ys ） 为
（ xe,ye,ze） 在 XcOcYc平面上的投影
设立方体上一点 P(0,0,1)在 XcOcYc平面上的投影 P' (lcosα,lsinα,0),投影方向为 PP',PP'与投影面的夹角为 β,α 为投影与 x轴的夹角，则投影方向矢量为 (lcosα,lsinα,-1)
2009-8-21 湖北大学 数计学院 35
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
现考虑任一点 （ xe,ye,ze） 在 XcOcYc平面上的投影 （ xs,ys）
∵ 投影方向与投影线 PP’ 平行
所以
0s i nc o s1 ssesese zl yyl xxzz
s i n
c o s
lzyy
lzxx
ees
ees
2009-8-21 湖北大学 数计学院 36
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影斜平行投影求法
矩阵形式为：
1000
01s i nc o s
0010
0001
11
ll
zyxzyx eeesss
斜等侧中,l=1,β=45?
斜二侧中,l=1/2,
β=arctgα=63.4?
正平行投影,l=0,β=90?
2009-8-21 湖北大学 数计学院 37
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
透视投影是一种中心投影法,在日常生活中,我们观察外界的景物时,常会看到一些明显的透视现象 。
如：我们站在笔直的大街上,向远处看去,会感到街上具有相同高度的路灯柱子,显得近处的高,远处的矮,越远越矮 。 这些路灯柱子,即使它们之间的距离相等,但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大,
远处的间隔显得小,越远越密 。 观察道路的宽度,也会感到越远越窄,最后汇聚于一点 。 这些现象,称之为透视现象 。
产生透视的原因,可用下图来说明：
2009-8-21 湖北大学 数计学院 38
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
图中,AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等,排成一条直线的电线杆,从视点 E去看,发现
∠ AEA?>∠ BEB?>∠ CEC?
若在视点 E与物体间设置一个透明的画面 P,让 P通过
AA‘,则在画面上看到的各电线杆的投影 aa'>bb'>cc'
aa'即 EA,EA'与画面 P的交点的连线 ;
bb'即为 EB,EB'与画面 P的交点的连线 。
cc' 即为 EC,EC'与画面 P的交点的连线 。
∴ 近大远小
2009-8-21 湖北大学 数计学院 39
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视的基本知识
若连 a,b,c及 a',b',c'各点,它们的连线汇聚于一点 。
然而,实际上,A,B,C与 A?,B?,C?的连线是两条互相平行的直线,这说明 空间不平行于画面 (投影面 ） 的一切平行线的透视投影,即
a,b,c与 a',b',c'的连线,必交于一点,这点我们称之为灭点 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 40
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影灭点
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点,
这个点称为灭点 (Vanishing Point)。
坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点 。
一点透视有一个主灭点,即投影面与一个坐标轴正交,与另外两个坐标轴平行 。
两点透视有两个主灭点,即投影面与两个坐标轴相交,与另一个坐标轴平行 。
三点透视有三个主灭点,即投影面与三个坐标轴都相交 。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 41
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视举例
7-20 透 视投影灭点灭点灭点灭点
(a )一 点透视 (b )二 点透视 (c )三 点透视灭点灭点一,简单的一点透视投影变换
P0,视点
S平面,投影面，屏幕画面点 Qw的透视,P0Qw与平面 S的交点
Qw
S
Y
X
Z O
P0
当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面平行于某坐标轴，但与另外两轴不垂直时为二点透视；否则为三点透视
Z2
Z1
Qw (Xw,Yw,Zw)
Qs (Xs,Ys) Xs
Ys
Qs
简单的一点透视投影变换 (续 )
讨论：
利用几何关系可得：
w
w
s
w
w
s
Y
ZZ
ZZ
Y
X
ZZ
ZZ
X
2
12
2
12
若令用户坐标系 (屏幕坐标 )的原点在 O,则 Z1＝ 0，
上式可简化为：
2
2
12
2
2
2
1
1
Z
Z
Y
Y
ZZ
ZZ
Y
Z
Z
X
X
ZZ
Z
X
w
w
w
w
s
w
w
w
w
s
(1) 若,为平行投影,Xs ＝ Xw,Ys ＝ Yw,结论显然正确
2Z
讨论 (续 )：
(2) 上述变换可写为回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若 g＝ -1/ Z2,则主灭点在 Z 轴上 Z＝ 1/g 处,此时，与 X,Y 轴平行的线段经透视投影后仍平行于 Xs,Ys 轴
10
11
10
1000
0000
0010
0001
1000
1
100
0010
0001
11
22
2
2
Z
Z
Y
Z
Z
X
Z
Z
YX
Z
ZYXZYX
w
w
w
w
w
ww
wwwsss
讨论 (续 )：
(3) 类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
1000
0100
0000
0001
1000
0100
010
0001
g
yT
1000
0100
0010
0000
1000
0100
0010
001 g
xT
二,两点透视投影变换在三维变换矩阵第 4列的 3× 1子阵中，如果有两个非零元素，即得到二点透视。设一个主灭点在 X 轴上 x＝ 1 / r处，另一个主灭点在 Z轴的 z ＝ 1/g处，画面为 x’o’y’ 。则透视的投影变换矩阵为：
321
1000
0000
0010
0001
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
1000
100
0010
001
TTTT
g
r
其中 T2 为物体绕 Y 轴旋转的矩阵，它使 Y轴平行于屏幕画面，并使画面与原坐标面成? 角例：有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,E,F,G,H,
(如图示 )。 选 r0.25,g0.15,30o,试作投影变换。
A(0,-1,0)
B(0,-1,1)
C(0,-2,1)
D(0,-2,0)
E(1,-1,0)
F(1,-1,1)
G(1,-2,1)
H(1,-2,0)
X
Z
Y
A
B
C
D
E
F
G
H
O
1067.215.1
1033.361.0
1067.161.0
1033.115.1
1020
1036.259.0
1018.159.0
1010
1000
15.0005.0
0010
25.000866.0
1021
1121
1111
1011
1020
1120
1110
1010
TM
CB
讨论：
可用投影平面的方向控制主灭点的数目
投影中主灭点的数目由与观察平面相交的主轴的数目决定
-1 0 1
-3
-1
0’ X’
Y’
四,三点透视投影变换透视的投影变换矩阵为：
4321
1000
0000
0010
0001
1000
0c o ss i n0
0s i nc o s0
0001
1000
0c o s0s i n
0010
0s i n0c o s
1000
100
010
001
TTTTT
g
r
其中 T2,T3 为物体分别绕 Y 轴旋转? 角，然后绕 X 轴转?
角的矩阵例：同上例，有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,
E,F,G,H,(如图示 )。 选 r0.25,0.2,g0.15,
30o,试作投影变换。
讨论：
观察方向与投影方向的配合
1029.175.0
1005.137.0
1023.046.0
1065.091.0
1024.10
1004.140.0
1041.048.0
1072.00
1000
15.00433.05.0
2.00866.00
025.0025.0866.0
CBCB
MTM
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
X’
Y’
五,观察坐标系下的透视投影变换观察坐标系,
Xw
Yw
Zw
Xe
Ye
Ze
Ys
Xs
Vzyxzyx wwweee 11
寻找变换矩阵 V，使得：
然后利用简单的一点投影透视投影变换得到三维图形在投影面上的投影设视点在用户坐标系中下的坐标为 (a,b,c),可以分 5步求 V 阵：
(1) 将用户坐标系的原点移到视点，得到新坐标系下各点的坐标 ( x’,y’,z’ )，相当于形体上的点反向移动
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
1
0100
0010
0001
1
cba
T
(2) 令平移后的新坐标系绕 X’ 逆时针转 90o，相当于形体上的点顺时针转 90o
1000
0010
0100
0001
1000
090c os90s i n0
090s i n90c os0
0001
2 oo
oo
T
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
a
b
c
v
(3) 将新坐标系绕 Y’ 顺时针转? 角，使 Z’ 轴负方向与 Zw 轴相交，相当于形体上的点逆转? 角
1000
0/0/
0010
0/0/;s in;c os
3
22
22
22
vbva
vavb
T
bav
ba
a
ba
b
－
则：
定义：
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
Xw
Yw
Z
w
(4) 再将新坐标系绕 X’ 顺时针转? 角，使 Z’ 负方向指向用户坐标系原点,相当于形体上的点逆转? 角
1000
0//0
0//0
0001;s in;c os;
4
222
uvuc
ucuv
T
u
c
u
v
cbav
则：
定义：
Xw
Yw
Z
w
a
b
c
v
u
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
(5) 将 Z轴反向，右手坐标系变成左手坐标系
1000
0100
0010
0001
5T
Xw
Yw
Z
w
a
b
c
v
u
综合上述变换，得：
100
0//0
0///
0///
54321
u
ucuv
ubuvbcva
uauvacvb
TTTTTV
X’
Y’
Z’
Xe
Ye
Ze
讨论：
(1) 在实际操作中，一般先求出形体外接球，并将用户坐标系的原点移到外接球的球心位置，以便视点沿球面移动时，
保证看到的形体的不同位置均有均衡的比例
1000
/0/0
/0//
/0//
1000
0000
0010
0001
1000
/1100
0010
0001
1000
0000
0010
0001
1000
/1100
0010
0001
2
2
2
'
2
ucuv
ubuvbcva
uauvacvb
u
V
Z
VT
(2) 一般可取投影面通过用户坐标系原点，此时变换矩阵为讨论 (续 )：
例：同上例，有一个单位立方体 MCB，其顶点为 A,B,C,D,E,
F,G,H,(如图示 )。 选观察点分别为 (5,0,5),(5,4,5)，
(5,9,5),投影面通过坐标原点，试作投影变换。
(3) 透视投影中的裁剪和观察体
(5,0,5) (5,4,5) (5,9,5)
2009-8-21 湖北大学 数计学院 59
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 一点透视图的生成在生成一点透视图时，为了避免将物体安置在坐标系原点，而产生下图所示的透视效果，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧其变换过程如下：
1）先作平移变换；
2）再作透视变换；
3）最后将结果投影到投影面。
由于往 XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在 Y轴上。以下是其变换公式。
2009-8-21 湖北大学 数计学院 61
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
1qdy dz 0dx
0 1 0 0
q 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
q 0 1 0
0 0 0 1
1 dzdy dx
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
T
2009-8-21 湖北大学 数计学院 62
7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 二点透视投影图的生成当立体经透视变换后，若直接投影到 V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕 Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向 V面上投影其效果会更好。
变换过程如下：
1）先对立体进行二点透视变换；
2）再把变换结果绕 Z轴旋转一角度；
3）最后将上述变换结果投影到投影面上 。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影透视投影的技巧
– 三点透视投影图生成与二点透视投影图生成变换理由一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立体效果更好的透视投影图。
变换过程如下：
1）首先对物体作三点透视变换；
2）将透视变换结果绕 Z轴旋转一角度 α
3）再绕 X轴旋转一 β 角；
4）将上述结果投影到投影面。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
显示流程图
– 观察变换：从世界坐标系到观察坐标系的变换
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
何时裁剪
– 投影之前裁剪 ----三维裁剪
优点
– 只对可见的物体进行投影变换
缺点
– 三维裁剪相对复杂
– 投影之后裁剪 ----二维裁剪
优点
– 二维裁剪相对容易
缺点
– 需要对所有的物体进行投影变换
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影三维图形的显示流程图
– 采用二维裁剪的三维图形显示流程图
– 在投影之前裁剪的理由
三维物体的表面通常被离散表示成多边形或折线,
而对这类简单图元,三维裁剪同样比较简单 。
三维图形在显示过程中需要被消隐，做这个工作要有图形的深度信息，所以必须在投影之前完成 。 消隐很费时，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可见的图形，可使需要消隐的图形减至最小。
