?管理与人文学院 忻展红
1999,4
第十章 存储理论
Inventory Theory
平抑波动，保障供给
2
存储理论 (Inventory Theory)
? 与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象
? 平抑波动，保障供给
? 两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用
? 起源于物资管理和生产过程控制
? 经典存储理论和现代 物流管理
– 经典研究最佳订货周期和订货量
– 现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如
JIT,MRPII,Supply Chain
? 现代物流管理的原因
– 产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商
业信誉
? 本章只介绍经典存储理论的基础
3
10.1 存储系统、费用和管理
? 存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求
? 存储系统的中心可视为仓库，如下图
? 对 存储系统而言，外部 需求一般是 不可控 的因素，但可以
预测；总体上需求可分为 确定型 的和 随机型 的
? 但 订购时间 和 订购量 一般是 可控 的因素。问题是：什么时
间订货，一次订多少？ 仓库
( 库存量)
订购进货 供给需求
输入 输出
? 备运期,从订购单发出到物资运到入库这段时间
– 备运期可能是确定型的，也可能是随机型的
? 几种相关的费用
– 订购费,包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无
关的一次性费用
– 物资单价,是否与时间有关？是否与批量有关？
4
– 存储费,包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存
储损耗费等，与时间和数量成正比
– 缺货损失费,两种形式，停产形成的真正损失；商店断
货形成的机会损失
? 存储策略,确定订货的间隔时间和订购量
– 定期补充法,以固定的时间间隔订货，每次订货要把储
量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压
– 定点补充法,当存货量下降到某点就订货，每次的订货
量可以是固定的。称为 (s,S)策略,s代表 订货点, S代
表最大储量，因此 订货量 为 Q=S?s。要监视订货点
? 分类管理法,按照占用流动资金的多少或总的存储费的大
小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点，
第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货
60 % 以上5~10 %
20~30 %
60~70 %
15~20 %
10 % 以下
占总资金的 %占全部品种的 %
第一类
第二类
第三类
5
10.2 确定型存储模型
? 备运期和需求量都是确定性的称为 确定型模型,若其中有一
个是随机的，则称为 随机型模型 。本节只介绍确定型模型
10.2.1 不允许缺货模型
? 模型假设
– 单位时间的需求量为常数 D (称为 需求率 )
– 备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数
– 设订货量为 Q，订货周期为 t，需求率为 D
– 一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为 Cs
? 定性分析
– 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加
订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减
少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期
? 定量分析
– 每次订购量 Q=Dt (1)
– 平均储量 = 0.5Q
6
不允许缺货模型的推导
? 可比性原则
– 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同
– 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期
– Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为 单位时
间内的总费用
)2(
2
1
2
1
)( QC
Q
DC
QC
t
C
QC sdsd ????
?
?
单位时间的存储费单位时间平均订购费
单位时间内总费用
? 单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数
t
t tt
Q
1 / 2 Q
储量
平均
存量
7
不允许缺货模型的推导
? 由 C(Q) 曲线可见 Q0点使
单位时间总费用最小，称
为 经济订货量 (Economic
Order Quantity,E.O.Q)
? 根据 (2)式求经济订货量
Q0，对 C(Q) 求导
)5(2)(
)4(
2
,)1(
)3(
2
0
2
1)(
0
0
0
0
2
sd
s
d
s
d
s
d
CDCQC
DC
C
t
Q
C
DC
Q
C
Q
DC
dQ
QdC
?
?
?
????
得式代入将
解得
Q
Q
0
QC
s
2
1
Q
DC
d
)( QC
8
不允许缺货模型的及点说明
1、没有考虑物资单价
– 若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时
间内的物资消耗费用为
),( 均无关与 tQkDQk Q DtkQ ??
2、若备运期不为零,(3)(4)(5)式仍成立
设备运期 L 为常数, 则可得订货点 s=LD,Q0 和 t0 都不变
t
tt
Q
1 / 2 Q
储量
平均
存量
L
s
3、灵敏度分析
设实际订购量 Q=rQ0,r 为一比例常数
9
– 则实际订购量的平均总费用为
)6(
1
2
1
)(
)(
)(
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
)()(
0
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
??
???
r
r
QC
rQC
QC
r
r
CDCrCDC
r
rQC
rQ
DC
rQCQC
dsds
s
d
当 r 由 0.5 增大到 2 时
25.1~25.1)( )(
0
0 ?
QC
rQC
当 r=1.1 比值仅为 1.0045,可见灵敏度很低
10
例 1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需 600个，每
个存储费 Cs =0.01 元 /周，订购费每次为 Cd =50 元，问, (1)经
济订货量为多少？ (2)一年订购几次？ (一年按 52 周计 ),(3) 一
年的存储费和订购费各是多少？
解, 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5?600=3000个 /周
(1)由 (3)式得
)(5 4 7 701.0 503 0 0 0220 个?????
s
d
C
DCQ
)(48.288 2 5 7.1/52
)(8 2 5 7.1
3 0 0 0
5 4 7 7 )2( 0
0
次每年订购次数
周
??
???
D
Qt
元每年存储费约为
元每年订购费约为
142454770, 0 1520, 5
14245048.28 )3(
????
??
11
10.2.2 允许缺货模型
? 允许缺货，但到货后补足
缺货，故仍有 Q=Dt
? Q 为订货量,q为最大缺
货量 ； t是订货周期,t1是
不缺货期, t2是缺货期；
最大存储量为 H=Q?q
? Cq 为单位缺货损失 费, 其
它费用参数符号同不允许
缺货模型
? ?
Q
qQ
tt
qQ
D
q
t
D
qQ
t
22
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
平均储量
缺货时间不缺货时间
t
t
t
1
q
H
储量
Q
t
2
0
Q
CqQ s
2
)( 2??单位时间存储费
12
Q
Cq
tCt
q
Q
DC
q
q
d
22
2
2 ??
?
单位时间缺货费
单位时间订购费
故单位时间平均总费用为
将 q 代入 (7)式，得
)7(22 )(),(
22
Q
Cq
Q
CqQ
Q
DCqQC qsd ????
先对 C(Q,q) 对 q 求偏导，并令导数为 0
Q
CC
C
q
Q
qC
Q
CqQ
q
C
qs
s
qs
?
?
??
??
?
?
?
0
)(
解得
13
)8(
2
2
22
)(
0
22
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q
qs
s
d
qs
q
ss
ds
dq
qs
ss
qs
q
C
CC
C
DC
Q
CC
C
CC
Q
DCQC
Q
DCQC
CC
CQC
CC
C
QC
)10(
)9()(2
00
0
DQt
CCCCDCq qsqsd
?
??
最优订货周期
最优缺货量
)11(2),( 00
qs
q
sd CC
C
CDCqQC
?
?最小费用
? 由于 Cq / (Cs+Cq)<1，故允许缺货是有利的
– 拆借现象，商店中的期货
– Cq??,退化为不允许缺货模型
14
10.2.3 连续进货，不 允许缺货模型
? 周期性的零部件生产
? t1 为零件生产期，单位时
间产量为 K,D 为零件消
耗率,K>D； Q =K t1为生
产期总产量 ； t2 为转产期，
t = t1 + t2 为生产周期,H
最大存储量
? Cd 这里称为 准备费
2
)(
22
)(
2121
1
D
Q
ttQ
KD
DK
D
H
t
K
Q
t
Q
k
CDK
Q
k
DKH
Q
K
DK
tDKH
s
??
?
???
?
?
?
??
?
???
单位时间平均存储费
平均储量
最大存量
t
t
t
1
H
储量
Q
t
2
0
15
例,某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批
量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激
烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司
所售产品的需求为 200件 /季度，每次的订货费用为 150元，存
储费为 3元 /件,年，发生缺货的损失费为 5元 /件,季度，试分析：
(a)计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费
用； (b)该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总
量的 15%，且任何一名顾客等待补货的时间不超过 3周，问允
许缺货的最优策略能否满足要求？
解, D=800件 /年,Cd＝ 150元,CS＝ 3元 /件,年,Cq＝ 20元 /件,年。
(a) 不允许缺货策略 Q0=283件,C(Q0)=848.53；
[Cq/Cq+CS]-1 =0.9325；允许缺货策略 Q0=303件,C(Q0)=791.27；
(b) CS/Cq+CS =0.13043；最大缺货量 q0＝ 40件，故缺货比例为
40/303=13.2%；最长缺货等待时间为 t2＝ q0 /D=40/800(年 )
=18.25天 < 3周；
故 允许缺货的最优策略能满足要求。
16
Q
DC
t
C dd ??单位时间平均准备费
故单位时间平均总费用为
? K?D,C(Q0)?0,Q0??(长期合同 )
? 正是 JIT 无仓储生产的道理
? K??,退化为不允许缺货模型
K
DKC
C
QC
Q
DC
K
QCDK
Q
DC
QC
s
s
sdsd
)(
)12(
22
)(
)(
?
??
?
??
?
??
直接应用不允许缺货模型的公式 (3)，得
? ? )14(12)(
)13(
22
0
0
KDCDCQC
DK
K
C
DC
C
DC
Q
sd
s
d
s
d
??
?
?
?
?
17
10.2.4 两种存储费，不 允许缺货模型
? 自有仓库容量不够，需要租
用仓库
? t1 租用仓库存储时间； t2自
有仓库存储时间, t = t1 + t2
=Q/D 为订货周期
? W 为自有仓库容量
Cr 为租用仓库存储费率，且
Cr > Cs,所以先用 租用仓库
Q
DC
t
C
Q
WQQ
A
Q
B
Q
WQ
t
t
WQA
D
WQ
t
dd
??
?
????
?
???
?
?
平均订购费
自有仓库的平均储量
租用仓库的平均储量
租用仓库存储时间
2
)(
22
2
)(
)(
2
1
2
2
1
1
t
t
t
1
W
储量
Q
t
2
0
18
故单位时间平均总费用为
? Cr??,Q0w?W
? Cr=Cs 时, 退化为不允许缺货模型
)15(
2
)(
)(
2
)(
2
Q
WQ
CC
QC
Q
DC
BCAC
Q
DC
QC
sr
sd
sr
d
?
????
???
对 (15)式导,解极值点
)16(1
2
0
2
)(
)(
2
2
0
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?????
r
s
r
d
w
sr
sd
C
C
W
C
DC
Q
Q
WQ
Q
WQ
CC
C
Q
DC
dQ
dC
)17( 2 )16( 0 才有效式只有当
s
d
C
DCQW ??
19
10.2.5 不 允许缺货，批量折扣模型
? 物资单价与购买批量有关。
设共有 n个批量等级，等
级越高，批量越大，单价
越低
? 令 Kj 代表第 j 级的批量单
价； Mj 代表该批量的最小
一次订购量，即一次订购
量 在区间 [Mj,Mj+1) 内，
享有单价 Kj
? 其它条件都同不允许缺货
模型
? 因此，批量折扣模型的单
位时间平均总费用为
)18(2)( jdsj DKQDCQCQC ???
Q0
C
C
j
( Q )
M
j
M
j + 1
DK
j
0, 5 C
s
Q
D C
d
/ Q
Q
0
公式 (18)只适用 [Mj,Mj+1) 红线描出的一段
20
批量折扣模型最经济订货量的计算步骤
1、先用公式 (3)求 Q0，若 Q0
落入 [Mn,?),则 Qm= Q0；
若落在 [Mi,Mi+1)内，则
2、计算 Cj(Mj),j=i+1,...,n
3、求
C(Qm)=min{Ci(Q0),Cj(Mj)}
j>i
例 2 某工厂每月需要某种零
件 2000件，已知每件每月
存储费为 0.1 元，一次订购
费为 100元。一次订购量与
零件单价关系如下：
件元
件元件
件元件
件元件
/05.1 5 0 00
/10.15 0 003 0 00
/15.13 0 001 0 00
/20.11 0 000
4
3
2
1
??
???
???
???
KQ
KQ
KQ
KQ
Q0
C
C
1
( Q )
M
2
M
3
Q
0
C
2
( Q )
C
3
( Q )
M
1
21
解, (1)不考虑单价，计算经济订货量
? ?
月元总费用为件最佳经济订货量答
月元
求最佳经济订货量
月元
月元
四批量段的总费用下界计算第三
月元
落在第二批量段内
件
/2390,5000,
/23902390,7.2416,2500mi n)(
)3(
/2390
200005.1
5000
1002000
1.05000
2
1
)5000(
/7.2416
20001.1
3000
1002000
1.03000
2
1
)3000(
,)2(
/2500200015.11.010020002)(
,
2000
1.0
100200022
4
3
02
0
0
?
??
?
??
?
????
?
??
?
????
???????
?
??
??
m
mi
s
d
Q
QC
C
C
QC
Q
C
DC
Q
22
10.3 多阶段存储模型
? 是一种动态规划
? 可以用网路图来表示
? 用最短路解法
10.4 随机型存储模型
10.4.1 报童问题
? 在合同期，邮局每日定量向“报童”供应报纸，但购买报
纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入 a角
钱，若过期销售，每份亏损 b 角钱。如何确定日进货量使
合同期收入最大？ (忽略订购费 )
? 供大于求：折价处理的损失相当存储费 b
? 供小于求：机会损失，相当缺货损失费 a
? 由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小
23
? 设 Q 为每日定货量，常数； x 为每日需求量，随机变量
? x 为离散随机变量,P(x) 为分布函数
? 则每日损失 C(Q) 为
? ? )1()()()()()(
)(
)(
)(
10
??
?
???
????
?
?
?
??
??
?
Qx
Q
x
xPQxaxPxQbQCE
QxxQb
QxQxa
QC
期望损失
? 当 Q0 为最优值时，应满足下两式
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? )5()()1()()1()1(
)4()()1()()1()1(
)1(
)3()1()(
)2()1()(
2
1
0
2
1
0
00
00
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
???????
???????
??
??
Qx
Q
x
Qx
Q
x
xPQxaxPxQbQCE
xPQxaxPxQbQCE
QCEQCE
QCEQCE
式可写出由
24
? 将 (4),(1)式代入 (2)式，解不等式，可得
ba
axPQ
x ?
??
? 0
)(
? 故 Q0 满足下式时，总期望损失 E[C(Q0)] 最小
? 将 (5),(1)式代入 (3)式，解不等式，可得
ba
axPQ
x ?
??
?
?
1
0
)(
)6()()(
0
1
0
??
?
?
?
???
Q
x
Q
x
xPba axP
? a/(a+b) 称为 临界比 。 P(x)已知，通过求累积概率可得 Q0
0)()(
)]([
)()()()()]([
,)(,
0
0
???
????
? ?
? ?
?
?
Q
Q
Q
Q
dxxfadxxfb
dQ
QCdE
dxxfQxadxxfxQbQCE
xfx 则为其概率密度函数为连续随机变量当
25
例 2设报纸零售商出售一份报纸的净收入为 a=1角，售不出去
时，每份亏损 b=3角，已知需求量 x 的概率分布如表，求：
(1)零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收
入期望值是多少？ (2)当 a=b=2角 时，应订多少？纯收入期
望值为多少？ (3)只订 30份，纯收入期望值为多少？
)7()(
0)()(
)]([
0
0
ba
a
dxxf
dxxfadxxfb
dQ
QCdE
Q
Q
Q
?
?
???
?
? ?
?
解得
需求量 x 30 31 32 33 34 35 36 37
P ( x ) 0, 0 5 0, 0 8 0, 1 5 0, 2 0 0, 3 0 0, 1 2 0, 0 7 0, 0 3
? P ( x ) 0, 0 5 0, 1 3 0, 2 8 0, 4 8 0, 7 8 0, 9 0 0, 9 7 1, 0 0
解, (1) a/(a+b)=0.25，查表可知 Q=32。期望净收入为
角28.31)08.005.02(431)()32()13(132 31 30 ????????? ? ?x xPx
(2) a/(a+b)=0.5，查表可知 Q=34。同理期望净收入为 64.24角
(3)显然期望净收入为 2?30=60角
26
10.4.2 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
缓冲储备量
t
0
B
s
Q
t
2
t'
2
E ( y )
y
y
t
2
= t'
2
备运期
? s 为订货点，备运期 t2 为常数，
备运期内总需求为随机变量 y
? 已知 y 的概率分布 P(y)，有
备运期 总需求的期望值
?
?
?
?
1
)()(
y
yyPyE
? ?? sy yPR 0 )(
? 备运期内不缺货的概率为
? 备运期内缺货的概率为 1?R
? 若给定 R很高，则订货点 s 提高，当 s>E(y)，就出现了缓冲
储备量 B,有 B = s ?E(y),即 订货点 s = B +E(y)
? 单位时间缓冲物资的存储费为 Cs(B) = Cs B
? 每周期的平均缺货量为
? ? ?? ?? 1 )()()( sy yPsyyG
27
例 10.4.3 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
某单位经常使用汽油，采用定点订购策略。已知采购汽油的
备运期 L=1 个月，在备运期中，需求量 y近似正态分布，其
平均需求量 E[y]=50公斤 /月，标准差 ?y =10，存储费 Cs=0.5
元 /月公斤，当不缺货概率分别为 80%,90%,95%,98% 时，
试求,(1) 订货点 s ； (2) 缓冲储备量 B； (3) 缓冲物资存储费。
解：在数学用表中，一般只给出标准正态分布 N(0,1) 的积分值，
给定 R,通过查标准正态分布表可得上百分位 z，由此可得
订货点 s = y = z?y +E[y]
y
z u
yEy
z
uez
?
?
?
][
d
2
1
)( 2
2
?
?
? ?
??
?
0 z
1- RR
28
例 10.4.3 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
(1) R=0.8 时，查得 z=0.84，
订货点 s = z?y +E[y]=0.84?10+50=58.4公斤
(2) 缓冲储备量
B = s ? E[y]=8.4公斤
(3) 缓冲物资存储费
C(B)=CsB=0.5 ?8.4=4.2元 /月
标准正态分布表
Z ?(Z) Z ?(Z) Z ?(Z)
0.00 0.500000 0.95 0.828944 1.70 0.955434
0.50 0.691463 1.00 0.841345 1.80 0.964070
0.60 0.725747 1.10 0.864334 1.90 0.971283
0.70 0.758036 1.20 0.884930 2.00 0.977250
0.75 0.773373 1.30 0.903200 2.25 0.987776
0.80 0.788145 1.40 0.919243 2.50 0.993790
0.85 0.802338 1.50 0.933193 2.75 0.997020
0.90 0.815940 1.60 0.945201 3.00 0.998650
1999,4
第十章 存储理论
Inventory Theory
平抑波动，保障供给
2
存储理论 (Inventory Theory)
? 与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象
? 平抑波动，保障供给
? 两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用
? 起源于物资管理和生产过程控制
? 经典存储理论和现代 物流管理
– 经典研究最佳订货周期和订货量
– 现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如
JIT,MRPII,Supply Chain
? 现代物流管理的原因
– 产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商
业信誉
? 本章只介绍经典存储理论的基础
3
10.1 存储系统、费用和管理
? 存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求
? 存储系统的中心可视为仓库，如下图
? 对 存储系统而言，外部 需求一般是 不可控 的因素，但可以
预测；总体上需求可分为 确定型 的和 随机型 的
? 但 订购时间 和 订购量 一般是 可控 的因素。问题是：什么时
间订货，一次订多少？ 仓库
( 库存量)
订购进货 供给需求
输入 输出
? 备运期,从订购单发出到物资运到入库这段时间
– 备运期可能是确定型的，也可能是随机型的
? 几种相关的费用
– 订购费,包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无
关的一次性费用
– 物资单价,是否与时间有关？是否与批量有关？
4
– 存储费,包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存
储损耗费等，与时间和数量成正比
– 缺货损失费,两种形式，停产形成的真正损失；商店断
货形成的机会损失
? 存储策略,确定订货的间隔时间和订购量
– 定期补充法,以固定的时间间隔订货，每次订货要把储
量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压
– 定点补充法,当存货量下降到某点就订货，每次的订货
量可以是固定的。称为 (s,S)策略,s代表 订货点, S代
表最大储量，因此 订货量 为 Q=S?s。要监视订货点
? 分类管理法,按照占用流动资金的多少或总的存储费的大
小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点，
第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货
60 % 以上5~10 %
20~30 %
60~70 %
15~20 %
10 % 以下
占总资金的 %占全部品种的 %
第一类
第二类
第三类
5
10.2 确定型存储模型
? 备运期和需求量都是确定性的称为 确定型模型,若其中有一
个是随机的，则称为 随机型模型 。本节只介绍确定型模型
10.2.1 不允许缺货模型
? 模型假设
– 单位时间的需求量为常数 D (称为 需求率 )
– 备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数
– 设订货量为 Q，订货周期为 t，需求率为 D
– 一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为 Cs
? 定性分析
– 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加
订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减
少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期
? 定量分析
– 每次订购量 Q=Dt (1)
– 平均储量 = 0.5Q
6
不允许缺货模型的推导
? 可比性原则
– 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同
– 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期
– Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为 单位时
间内的总费用
)2(
2
1
2
1
)( QC
Q
DC
QC
t
C
QC sdsd ????
?
?
单位时间的存储费单位时间平均订购费
单位时间内总费用
? 单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数
t
t tt
Q
1 / 2 Q
储量
平均
存量
7
不允许缺货模型的推导
? 由 C(Q) 曲线可见 Q0点使
单位时间总费用最小，称
为 经济订货量 (Economic
Order Quantity,E.O.Q)
? 根据 (2)式求经济订货量
Q0，对 C(Q) 求导
)5(2)(
)4(
2
,)1(
)3(
2
0
2
1)(
0
0
0
0
2
sd
s
d
s
d
s
d
CDCQC
DC
C
t
Q
C
DC
Q
C
Q
DC
dQ
QdC
?
?
?
????
得式代入将
解得
Q
Q
0
QC
s
2
1
Q
DC
d
)( QC
8
不允许缺货模型的及点说明
1、没有考虑物资单价
– 若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时
间内的物资消耗费用为
),( 均无关与 tQkDQk Q DtkQ ??
2、若备运期不为零,(3)(4)(5)式仍成立
设备运期 L 为常数, 则可得订货点 s=LD,Q0 和 t0 都不变
t
tt
Q
1 / 2 Q
储量
平均
存量
L
s
3、灵敏度分析
设实际订购量 Q=rQ0,r 为一比例常数
9
– 则实际订购量的平均总费用为
)6(
1
2
1
)(
)(
)(
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
)()(
0
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
??
???
r
r
QC
rQC
QC
r
r
CDCrCDC
r
rQC
rQ
DC
rQCQC
dsds
s
d
当 r 由 0.5 增大到 2 时
25.1~25.1)( )(
0
0 ?
QC
rQC
当 r=1.1 比值仅为 1.0045,可见灵敏度很低
10
例 1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需 600个，每
个存储费 Cs =0.01 元 /周，订购费每次为 Cd =50 元，问, (1)经
济订货量为多少？ (2)一年订购几次？ (一年按 52 周计 ),(3) 一
年的存储费和订购费各是多少？
解, 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5?600=3000个 /周
(1)由 (3)式得
)(5 4 7 701.0 503 0 0 0220 个?????
s
d
C
DCQ
)(48.288 2 5 7.1/52
)(8 2 5 7.1
3 0 0 0
5 4 7 7 )2( 0
0
次每年订购次数
周
??
???
D
Qt
元每年存储费约为
元每年订购费约为
142454770, 0 1520, 5
14245048.28 )3(
????
??
11
10.2.2 允许缺货模型
? 允许缺货，但到货后补足
缺货，故仍有 Q=Dt
? Q 为订货量,q为最大缺
货量 ； t是订货周期,t1是
不缺货期, t2是缺货期；
最大存储量为 H=Q?q
? Cq 为单位缺货损失 费, 其
它费用参数符号同不允许
缺货模型
? ?
Q
tt
D
q
t
D
t
22
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
平均储量
缺货时间不缺货时间
t
t
t
1
q
H
储量
Q
t
2
0
Q
CqQ s
2
)( 2??单位时间存储费
12
Q
Cq
tCt
q
Q
DC
q
q
d
22
2
2 ??
?
单位时间缺货费
单位时间订购费
故单位时间平均总费用为
将 q 代入 (7)式，得
)7(22 )(),(
22
Q
Cq
Q
CqQ
Q
DCqQC qsd ????
先对 C(Q,q) 对 q 求偏导，并令导数为 0
Q
CC
C
q
Q
qC
Q
CqQ
q
C
qs
s
qs
?
?
??
??
?
?
?
0
)(
解得
13
)8(
2
2
22
)(
0
22
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q
qs
s
d
qs
q
ss
ds
dq
qs
ss
qs
q
C
CC
C
DC
Q
CC
C
CC
Q
DCQC
Q
DCQC
CC
CQC
CC
C
QC
)10(
)9()(2
00
0
DQt
CCCCDCq qsqsd
?
??
最优订货周期
最优缺货量
)11(2),( 00
qs
q
sd CC
C
CDCqQC
?
?最小费用
? 由于 Cq / (Cs+Cq)<1，故允许缺货是有利的
– 拆借现象，商店中的期货
– Cq??,退化为不允许缺货模型
14
10.2.3 连续进货，不 允许缺货模型
? 周期性的零部件生产
? t1 为零件生产期，单位时
间产量为 K,D 为零件消
耗率,K>D； Q =K t1为生
产期总产量 ； t2 为转产期，
t = t1 + t2 为生产周期,H
最大存储量
? Cd 这里称为 准备费
2
)(
22
)(
2121
1
D
Q
ttQ
KD
DK
D
H
t
K
Q
t
Q
k
CDK
Q
k
DKH
Q
K
DK
tDKH
s
??
?
???
?
?
?
??
?
???
单位时间平均存储费
平均储量
最大存量
t
t
t
1
H
储量
Q
t
2
0
15
例,某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批
量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激
烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司
所售产品的需求为 200件 /季度，每次的订货费用为 150元，存
储费为 3元 /件,年，发生缺货的损失费为 5元 /件,季度，试分析：
(a)计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费
用； (b)该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总
量的 15%，且任何一名顾客等待补货的时间不超过 3周，问允
许缺货的最优策略能否满足要求？
解, D=800件 /年,Cd＝ 150元,CS＝ 3元 /件,年,Cq＝ 20元 /件,年。
(a) 不允许缺货策略 Q0=283件,C(Q0)=848.53；
[Cq/Cq+CS]-1 =0.9325；允许缺货策略 Q0=303件,C(Q0)=791.27；
(b) CS/Cq+CS =0.13043；最大缺货量 q0＝ 40件，故缺货比例为
40/303=13.2%；最长缺货等待时间为 t2＝ q0 /D=40/800(年 )
=18.25天 < 3周；
故 允许缺货的最优策略能满足要求。
16
Q
DC
t
C dd ??单位时间平均准备费
故单位时间平均总费用为
? K?D,C(Q0)?0,Q0??(长期合同 )
? 正是 JIT 无仓储生产的道理
? K??,退化为不允许缺货模型
K
DKC
C
QC
Q
DC
K
QCDK
Q
DC
QC
s
s
sdsd
)(
)12(
22
)(
)(
?
??
?
??
?
??
直接应用不允许缺货模型的公式 (3)，得
? ? )14(12)(
)13(
22
0
0
KDCDCQC
DK
K
C
DC
C
DC
Q
sd
s
d
s
d
??
?
?
?
?
17
10.2.4 两种存储费，不 允许缺货模型
? 自有仓库容量不够，需要租
用仓库
? t1 租用仓库存储时间； t2自
有仓库存储时间, t = t1 + t2
=Q/D 为订货周期
? W 为自有仓库容量
Cr 为租用仓库存储费率，且
Cr > Cs,所以先用 租用仓库
Q
DC
t
C
Q
WQQ
A
Q
B
Q
WQ
t
t
WQA
D
WQ
t
dd
??
?
????
?
???
?
?
平均订购费
自有仓库的平均储量
租用仓库的平均储量
租用仓库存储时间
2
)(
22
2
)(
)(
2
1
2
2
1
1
t
t
t
1
W
储量
Q
t
2
0
18
故单位时间平均总费用为
? Cr??,Q0w?W
? Cr=Cs 时, 退化为不允许缺货模型
)15(
2
)(
)(
2
)(
2
Q
WQ
CC
QC
Q
DC
BCAC
Q
DC
QC
sr
sd
sr
d
?
????
???
对 (15)式导,解极值点
)16(1
2
0
2
)(
)(
2
2
0
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?????
r
s
r
d
w
sr
sd
C
C
W
C
DC
Q
Q
WQ
Q
WQ
CC
C
Q
DC
dQ
dC
)17( 2 )16( 0 才有效式只有当
s
d
C
DCQW ??
19
10.2.5 不 允许缺货，批量折扣模型
? 物资单价与购买批量有关。
设共有 n个批量等级，等
级越高，批量越大，单价
越低
? 令 Kj 代表第 j 级的批量单
价； Mj 代表该批量的最小
一次订购量，即一次订购
量 在区间 [Mj,Mj+1) 内，
享有单价 Kj
? 其它条件都同不允许缺货
模型
? 因此，批量折扣模型的单
位时间平均总费用为
)18(2)( jdsj DKQDCQCQC ???
Q0
C
C
j
( Q )
M
j
M
j + 1
DK
j
0, 5 C
s
Q
D C
d
/ Q
Q
0
公式 (18)只适用 [Mj,Mj+1) 红线描出的一段
20
批量折扣模型最经济订货量的计算步骤
1、先用公式 (3)求 Q0，若 Q0
落入 [Mn,?),则 Qm= Q0；
若落在 [Mi,Mi+1)内，则
2、计算 Cj(Mj),j=i+1,...,n
3、求
C(Qm)=min{Ci(Q0),Cj(Mj)}
j>i
例 2 某工厂每月需要某种零
件 2000件，已知每件每月
存储费为 0.1 元，一次订购
费为 100元。一次订购量与
零件单价关系如下：
件元
件元件
件元件
件元件
/05.1 5 0 00
/10.15 0 003 0 00
/15.13 0 001 0 00
/20.11 0 000
4
3
2
1
??
???
???
???
KQ
KQ
KQ
KQ
Q0
C
C
1
( Q )
M
2
M
3
Q
0
C
2
( Q )
C
3
( Q )
M
1
21
解, (1)不考虑单价，计算经济订货量
? ?
月元总费用为件最佳经济订货量答
月元
求最佳经济订货量
月元
月元
四批量段的总费用下界计算第三
月元
落在第二批量段内
件
/2390,5000,
/23902390,7.2416,2500mi n)(
)3(
/2390
200005.1
5000
1002000
1.05000
2
1
)5000(
/7.2416
20001.1
3000
1002000
1.03000
2
1
)3000(
,)2(
/2500200015.11.010020002)(
,
2000
1.0
100200022
4
3
02
0
0
?
??
?
??
?
????
?
??
?
????
???????
?
??
??
m
mi
s
d
Q
QC
C
C
QC
Q
C
DC
Q
22
10.3 多阶段存储模型
? 是一种动态规划
? 可以用网路图来表示
? 用最短路解法
10.4 随机型存储模型
10.4.1 报童问题
? 在合同期，邮局每日定量向“报童”供应报纸，但购买报
纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入 a角
钱，若过期销售，每份亏损 b 角钱。如何确定日进货量使
合同期收入最大？ (忽略订购费 )
? 供大于求：折价处理的损失相当存储费 b
? 供小于求：机会损失，相当缺货损失费 a
? 由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小
23
? 设 Q 为每日定货量，常数； x 为每日需求量，随机变量
? x 为离散随机变量,P(x) 为分布函数
? 则每日损失 C(Q) 为
? ? )1()()()()()(
)(
)(
)(
10
??
?
???
????
?
?
?
??
??
?
Qx
Q
x
xPQxaxPxQbQCE
QxxQb
QxQxa
QC
期望损失
? 当 Q0 为最优值时，应满足下两式
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? )5()()1()()1()1(
)4()()1()()1()1(
)1(
)3()1()(
)2()1()(
2
1
0
2
1
0
00
00
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
???????
???????
??
??
Qx
Q
x
Qx
Q
x
xPQxaxPxQbQCE
xPQxaxPxQbQCE
QCEQCE
QCEQCE
式可写出由
24
? 将 (4),(1)式代入 (2)式，解不等式，可得
ba
axPQ
x ?
??
? 0
)(
? 故 Q0 满足下式时，总期望损失 E[C(Q0)] 最小
? 将 (5),(1)式代入 (3)式，解不等式，可得
ba
axPQ
x ?
??
?
?
1
0
)(
)6()()(
0
1
0
??
?
?
?
???
Q
x
Q
x
xPba axP
? a/(a+b) 称为 临界比 。 P(x)已知，通过求累积概率可得 Q0
0)()(
)]([
)()()()()]([
,)(,
0
0
???
????
? ?
? ?
?
?
Q
Q
Q
Q
dxxfadxxfb
dQ
QCdE
dxxfQxadxxfxQbQCE
xfx 则为其概率密度函数为连续随机变量当
25
例 2设报纸零售商出售一份报纸的净收入为 a=1角，售不出去
时，每份亏损 b=3角，已知需求量 x 的概率分布如表，求：
(1)零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收
入期望值是多少？ (2)当 a=b=2角 时，应订多少？纯收入期
望值为多少？ (3)只订 30份，纯收入期望值为多少？
)7()(
0)()(
)]([
0
0
ba
a
dxxf
dxxfadxxfb
dQ
QCdE
Q
Q
Q
?
?
???
?
? ?
?
解得
需求量 x 30 31 32 33 34 35 36 37
P ( x ) 0, 0 5 0, 0 8 0, 1 5 0, 2 0 0, 3 0 0, 1 2 0, 0 7 0, 0 3
? P ( x ) 0, 0 5 0, 1 3 0, 2 8 0, 4 8 0, 7 8 0, 9 0 0, 9 7 1, 0 0
解, (1) a/(a+b)=0.25，查表可知 Q=32。期望净收入为
角28.31)08.005.02(431)()32()13(132 31 30 ????????? ? ?x xPx
(2) a/(a+b)=0.5，查表可知 Q=34。同理期望净收入为 64.24角
(3)显然期望净收入为 2?30=60角
26
10.4.2 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
缓冲储备量
t
0
B
s
Q
t
2
t'
2
E ( y )
y
y
t
2
= t'
2
备运期
? s 为订货点，备运期 t2 为常数，
备运期内总需求为随机变量 y
? 已知 y 的概率分布 P(y)，有
备运期 总需求的期望值
?
?
?
?
1
)()(
y
yyPyE
? ?? sy yPR 0 )(
? 备运期内不缺货的概率为
? 备运期内缺货的概率为 1?R
? 若给定 R很高，则订货点 s 提高，当 s>E(y)，就出现了缓冲
储备量 B,有 B = s ?E(y),即 订货点 s = B +E(y)
? 单位时间缓冲物资的存储费为 Cs(B) = Cs B
? 每周期的平均缺货量为
? ? ?? ?? 1 )()()( sy yPsyyG
27
例 10.4.3 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
某单位经常使用汽油，采用定点订购策略。已知采购汽油的
备运期 L=1 个月，在备运期中，需求量 y近似正态分布，其
平均需求量 E[y]=50公斤 /月，标准差 ?y =10，存储费 Cs=0.5
元 /月公斤，当不缺货概率分别为 80%,90%,95%,98% 时，
试求,(1) 订货点 s ； (2) 缓冲储备量 B； (3) 缓冲物资存储费。
解：在数学用表中，一般只给出标准正态分布 N(0,1) 的积分值，
给定 R,通过查标准正态分布表可得上百分位 z，由此可得
订货点 s = y = z?y +E[y]
y
z u
yEy
z
uez
?
?
?
][
d
2
1
)( 2
2
?
?
? ?
??
?
0 z
1- RR
28
例 10.4.3 随机需求存储模型 II — 缓冲储备量
(1) R=0.8 时，查得 z=0.84，
订货点 s = z?y +E[y]=0.84?10+50=58.4公斤
(2) 缓冲储备量
B = s ? E[y]=8.4公斤
(3) 缓冲物资存储费
C(B)=CsB=0.5 ?8.4=4.2元 /月
标准正态分布表
Z ?(Z) Z ?(Z) Z ?(Z)
0.00 0.500000 0.95 0.828944 1.70 0.955434
0.50 0.691463 1.00 0.841345 1.80 0.964070
0.60 0.725747 1.10 0.864334 1.90 0.971283
0.70 0.758036 1.20 0.884930 2.00 0.977250
0.75 0.773373 1.30 0.903200 2.25 0.987776
0.80 0.788145 1.40 0.919243 2.50 0.993790
0.85 0.802338 1.50 0.933193 2.75 0.997020
0.90 0.815940 1.60 0.945201 3.00 0.998650
