?管理与人文学院 忻展红
1999,4
第九章 特殊随机服务系统
秩序影响服务质量
2
9.1 M/G/1 等待制，无限源，无限容量
? G 表示一般独立分布，没有具体的分布函数，但知道该分布
的 数学期望 1/?和 方差 ?2
? 设到达率为 ?，平均服务时长为 h = 1/?,则系统业务量为
? = ?h；同样，系统有稳态的条件是 ? < 1
9.1.1 系统中逗留顾客的平均数
? 由于服务时长不具有马氏性，不能套用生灭方程求稳态 pj
? 以第 n 个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态，如图
? Ln 为第 n 个顾客离开系统瞬
间的系统排队队长
? Yn+1 为第 n +1 个顾客服务时
间内到达的顾客数
第 n 个顾客
第 n +1 个顾客
L nY n+ 1
L n+ 1
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故系统稳态时有
得对上式两边取数学期望独立与由于
则
若令
? E[Yn+1] 代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数
? E[U(Ln)] 代表系统中有顾客逗留的概率，也即服务台被占
用的概率； 服务台被占用的概率就是 ?，所以有
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通过复杂的计算可得
整理后得期望式两边平方后再求数学对
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由此可得
? Ld,Lq不但与 ?有关，而且与 ?2 有关
? (5),(6)式以俄国数学家 朴拉切克 — 欣钦 命名
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11
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)1(21
)21(
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2
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方差越大队越长
故有对于负指数分布
有对于定长分布
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2
22 因此有方差阶爱尔兰分布对于
? 顾客等待的概率为 D=E[U(Ln)]=?，不需等待的概率为 1??
9.1.2 平均剩余服务时间
? 对于负指数服务时间分布，众所周知剩余服务时间仍服从
原来的分布，即 h? =1/?
? 但在 M/G/1中，平均剩余服务时间 Tr 需要研究，它与顾客
排队等待的时间 Wq有关；显然,Wq分为两部分,(1)等待
服务台空出的平均时间,(2)排在队中所有顾客的服务时间
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部分的平均等待时间为对于第
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一阶矩
二阶矩
反映服务时长离差程度称为
一般
等待时间为等待服务台空出的平均
整理得
由
? 对于定长分布,? =1,Tr = h/2
? 对于负指数分布,?=2,Tr=h
? 对于 k 阶爱尔兰分布, ?=？,Tr=？
7
9.2 优先权服务系统
9.2.1 M/G/1 非强占优先系统
? 设有 m 级顾客,1 级顾客为最高优先权，每级内采用 FIFO
? 各级顾客到达率为 ?i，波松流，各级顾客的平均服务时长
都为 hi，方差为 ?i2；系统总业务量 ? =??i hi,? <1
? 利用上节推导出的等待服务台空出的时间 T1，可知
W1=T1/(1??1)，递推得第 k级顾客的平均等待时间 Wk
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? k 级顾客的平均等待时间与比之高级顾客的业务量有关
? 平均服务时间短的顾客有高优先权，可以减少总的排队时间
? 优先权级别不宜太多，插队现象就是增加等级，使总等待时
间增加
8
例 1 在 M/G/1 服务系统中，有两类顾客，都是波松到达过程。
第一类顾客 ?1= 2个 /秒，定长服务 h1= 0.1秒 /个； 第二类顾客
?2= 0.5个 /秒，负指数服务 h2= 1.2秒 /个,试求,(1)不分优先权
时的顾客平均等待时间； (2)非强占优先权，第一类顾客或第
二类顾客优先时，各类顾客的平均等待时间。
解, ?1= 2,h1= 0.1,?1=0.2Erl,?12=0；
?2= 0.5,h2= 1.2,?2=0.6Erl,?22=h22=1.22=1.44
(1)不分优先权，属纯 M/G/1 系统，由 T1公式，得
T1=(2/2)(0+0.12)+(0.5/2)(1.22+1.22)=0.73秒
Wq=T1/(1??)=0.73/(1?0.2?0.6)=3.65秒
(2) 非强占优先，第一类顾客优先
W1=T1/(1??1 )=0.73/(1?0.2)=0.9125秒
W2=T1/(1??1 )(1??1??2) =0.73/(1?0.2)(1?0.8)=4.563秒
非强占优先，第二类顾客优先
W2=T1/(1??2 )=0.73/(1?0.6)=1.825秒
W1=T1/(1??2 )(1??1??2) =0.73/(1?0.6)(1?0.8)=9.125秒
9
9.2.3 M/M/n 服务系统，非强占优先权
? 与 M/G/1 非强占优先权系统的基本假设大多数一样，但有
n 个独立并联服务台，各级顾客的平均服务时间都是 h
? 各级顾客到达率为 ?i，系统总到达率 ?=??i，总业务量
? =??i h,? < n
? 上节 (10)式仍成立，有
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11
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? 令 Wq 为全体顾客的平
均等待时间,Lq为平均
队长，则
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M/M/
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得
公式等待制的由
故
10
9.3 溢流通路计算
9.3.1 部分利用度的概念
? 当服务台可以为所有进入系统的顾客服务时，称为 全利用
度 系统 (Fully provided)
? 当服务台部分分组使用，部分公用，则称为 部分利用度 系
统，如图所示
1 2
3 4
?
1
?
2
组 1 专用
组 2 专用 复接公用
复接公用
5 6 服务台数 n =6
每组的部分利
用度 k =4
? 全利用度系统利用率最高，但不易组织
? 分组专用效率低，但容易组织
? 部分利用度系统综合两者的优点
11
9.3.2 溢流通路的概念
? 在电信网的组织中，由于经济的原因，并不是任两个交换
机之间都有直达的中继线群
? 在话务量适当的点间开 高效直达路由 是经济的。
? 所谓高效路由是指呼损率大的中继线群 (如 B>0.02)，但当该
中继线忙时，允许通过 迂回路由 接通呼叫；在高效路由上
呼损而转移到迂回路由上的话务流量称为 溢流,如图所示
? 溢流具有突发性，不再是波松流，目前仍不清楚其分布
? 具有溢流的系统是一个部分利用度系统
1
2 3
迂回路由
高效直达路由
溢流
通路
t
3
6
9
n
溢流
12
9.3.3 溢流通路的计算
? 已知 A23和给定的 B23，可以用爱尔兰损失公式直接求 n23
? 如何求溢流通路 (2,1)的容量 n21，因为其上除直达业务量 A21，
还有 (2,3)的溢出流量 Ao23,而 Ao23 不是波松流，不能简单
迭加，因而也不能直接用爱尔兰损失公式求 n21
? 威尔金森 (R.I Wilkinson,1956)提出了,等效随机流法,的近
似计算方法
? 就是给出一种溢出流的迭加方法，然后求一个等效波松流 A
和一个等效电路群 n，使 A 通过 n 后的溢流等于原溢出流的
迭加，如图所示
A
23
A
21
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A
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等效
13
等效随机流的计算方法与步骤
1、计算 (2,3)的 溢流均值 和 方差
– 由于 n23 是 A23 的专用通路，给定 B23，有
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– 威尔金森给出求溢流方差的公式
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2、计算各通路上的溢流总和的均值和方差
– 注意，波松流自身的方差等于均值，即 A21=?221
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i oioi oio
AA ??
3、计算等效随机流 A 和等效通路数 n
– 波松流 A经过通路 n 都会有公式 (1),(2)给出的溢流
– 如何根据已知溢流 (Ao,?o2) 反解 A 和 n
– 拉普 (Y.Rapp,1964) 给出了反解公式
14
等效随机流的计算方法与步骤
)5(
1
11
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2
22
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A
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4、计算溢流通路的电路数 N
– 等效于将 A 加载到 n+N 的通路上,给定 呼损 B，有
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5、计算各通路的呼损
– 将最终呼损 AoN 按各通路的溢流分摊
拉普公式
)7(
i
NiioN
o
oiNi
A
ABA
A
AA ??
15
例 1 求溢流通路 (A,D)的电路数 NAD，要求 B?0.01
A
CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N =?
1、计算 (D,B)(D,C)的溢流 Ao1,?2o1
查表，并利用线性内插，得
062.2
5425.115
5
425.11425.1
425.1)5(5
285.0
010.4189.5
010.45
1.02.0)5(
2
1
51
5
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o
oo D Co D B EAAA
E
?
2、计算 (A,D)的总溢流 Ao,?2o
624.125.8062.2235.115.8425.12 2 ???????? ooA ?
3、计算等效流 A和等效电路 n
78.1135.11
92.0
13
92.0
35.11624.1235.11
1
1
0.131
35.11
624.12
35.11
624.123
624.12
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A
16
例 1 求溢流通路 (A,D)的电路数 NAD，要求 B?0.01
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CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N = 2 1
4、计算溢流通路 (A,D)所需通路数 N
08 835.000 68.013
00 68.0)13(
2122.20
22
01.0)13(
22
???
?
??
??
??
oN
Nn
A
E
NN
Nn
E
由线性内差得
取
查表得
要求
5、计算 (A,D),(D,B)(D,C)的呼损
ABABDCDBAD
DBN
oN
o
o A D
ADN
BBBBB
A
A
A
A
A
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00222.0
5
0111.0
,0078.0
5.8
0662.0
0111.008835.0
35.11
425.1
0662.008835.0
35.11
5.8
)(
)(
有不合理现象，低等级点间的呼损小于骨干上点间呼损
17
例 2 网路优化问题
1、各点间每条直达电路的成本不一样
2、汇接局的交换机每个路端的成本比
非汇接局 (端局 )要高很多
3、因此，网路优化是线路成本和交换
成本的平衡
4、有三种基本结构：纯汇接 (星型 )、独
立直达和高效直达
5、高效直达中还可以进一步优化
A
CB
D
A =5 E r l
n = 1 1
A =5 E r l
n = 1 1
A = 8, 5
E r l
N = 1 6
A
CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N = 2 1
A
CB
D
A = 1 8, 5
E r l
N = 2 8
1999,4
第九章 特殊随机服务系统
秩序影响服务质量
2
9.1 M/G/1 等待制，无限源，无限容量
? G 表示一般独立分布，没有具体的分布函数，但知道该分布
的 数学期望 1/?和 方差 ?2
? 设到达率为 ?，平均服务时长为 h = 1/?,则系统业务量为
? = ?h；同样，系统有稳态的条件是 ? < 1
9.1.1 系统中逗留顾客的平均数
? 由于服务时长不具有马氏性，不能套用生灭方程求稳态 pj
? 以第 n 个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态，如图
? Ln 为第 n 个顾客离开系统瞬
间的系统排队队长
? Yn+1 为第 n +1 个顾客服务时
间内到达的顾客数
第 n 个顾客
第 n +1 个顾客
L nY n+ 1
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? E[Yn+1] 代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数
? E[U(Ln)] 代表系统中有顾客逗留的概率，也即服务台被占
用的概率； 服务台被占用的概率就是 ?，所以有
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整理后得期望式两边平方后再求数学对
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方差越大队越长
故有对于负指数分布
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22 因此有方差阶爱尔兰分布对于
? 顾客等待的概率为 D=E[U(Ln)]=?，不需等待的概率为 1??
9.1.2 平均剩余服务时间
? 对于负指数服务时间分布，众所周知剩余服务时间仍服从
原来的分布，即 h? =1/?
? 但在 M/G/1中，平均剩余服务时间 Tr 需要研究，它与顾客
排队等待的时间 Wq有关；显然,Wq分为两部分,(1)等待
服务台空出的平均时间,(2)排在队中所有顾客的服务时间
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反映服务时长离差程度称为
一般
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整理得
由
? 对于定长分布,? =1,Tr = h/2
? 对于负指数分布,?=2,Tr=h
? 对于 k 阶爱尔兰分布, ?=？,Tr=？
7
9.2 优先权服务系统
9.2.1 M/G/1 非强占优先系统
? 设有 m 级顾客,1 级顾客为最高优先权，每级内采用 FIFO
? 各级顾客到达率为 ?i，波松流，各级顾客的平均服务时长
都为 hi，方差为 ?i2；系统总业务量 ? =??i hi,? <1
? 利用上节推导出的等待服务台空出的时间 T1，可知
W1=T1/(1??1)，递推得第 k级顾客的平均等待时间 Wk
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? k 级顾客的平均等待时间与比之高级顾客的业务量有关
? 平均服务时间短的顾客有高优先权，可以减少总的排队时间
? 优先权级别不宜太多，插队现象就是增加等级，使总等待时
间增加
8
例 1 在 M/G/1 服务系统中，有两类顾客，都是波松到达过程。
第一类顾客 ?1= 2个 /秒，定长服务 h1= 0.1秒 /个； 第二类顾客
?2= 0.5个 /秒，负指数服务 h2= 1.2秒 /个,试求,(1)不分优先权
时的顾客平均等待时间； (2)非强占优先权，第一类顾客或第
二类顾客优先时，各类顾客的平均等待时间。
解, ?1= 2,h1= 0.1,?1=0.2Erl,?12=0；
?2= 0.5,h2= 1.2,?2=0.6Erl,?22=h22=1.22=1.44
(1)不分优先权，属纯 M/G/1 系统，由 T1公式，得
T1=(2/2)(0+0.12)+(0.5/2)(1.22+1.22)=0.73秒
Wq=T1/(1??)=0.73/(1?0.2?0.6)=3.65秒
(2) 非强占优先，第一类顾客优先
W1=T1/(1??1 )=0.73/(1?0.2)=0.9125秒
W2=T1/(1??1 )(1??1??2) =0.73/(1?0.2)(1?0.8)=4.563秒
非强占优先，第二类顾客优先
W2=T1/(1??2 )=0.73/(1?0.6)=1.825秒
W1=T1/(1??2 )(1??1??2) =0.73/(1?0.6)(1?0.8)=9.125秒
9
9.2.3 M/M/n 服务系统，非强占优先权
? 与 M/G/1 非强占优先权系统的基本假设大多数一样，但有
n 个独立并联服务台，各级顾客的平均服务时间都是 h
? 各级顾客到达率为 ?i，系统总到达率 ?=??i，总业务量
? =??i h,? < n
? 上节 (10)式仍成立，有
???
?
???
?
???
?
?
???
?
?
?
??
?
??
1
11
1
11
k
i
i
k
i
i
k
TW
??
? 令 Wq 为全体顾客的平
均等待时间,Lq为平均
队长，则
0
1
1
0
2
1
1
11
)(!
)()!1(
M/M/
1
p
nn
T
p
nn
W
Wn
hW
n
T
T
n
hW
T
n
hL
W
n
n
q
q
q
q
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
????
?
?
得
公式等待制的由
故
10
9.3 溢流通路计算
9.3.1 部分利用度的概念
? 当服务台可以为所有进入系统的顾客服务时，称为 全利用
度 系统 (Fully provided)
? 当服务台部分分组使用，部分公用，则称为 部分利用度 系
统，如图所示
1 2
3 4
?
1
?
2
组 1 专用
组 2 专用 复接公用
复接公用
5 6 服务台数 n =6
每组的部分利
用度 k =4
? 全利用度系统利用率最高，但不易组织
? 分组专用效率低，但容易组织
? 部分利用度系统综合两者的优点
11
9.3.2 溢流通路的概念
? 在电信网的组织中，由于经济的原因，并不是任两个交换
机之间都有直达的中继线群
? 在话务量适当的点间开 高效直达路由 是经济的。
? 所谓高效路由是指呼损率大的中继线群 (如 B>0.02)，但当该
中继线忙时，允许通过 迂回路由 接通呼叫；在高效路由上
呼损而转移到迂回路由上的话务流量称为 溢流,如图所示
? 溢流具有突发性，不再是波松流，目前仍不清楚其分布
? 具有溢流的系统是一个部分利用度系统
1
2 3
迂回路由
高效直达路由
溢流
通路
t
3
6
9
n
溢流
12
9.3.3 溢流通路的计算
? 已知 A23和给定的 B23，可以用爱尔兰损失公式直接求 n23
? 如何求溢流通路 (2,1)的容量 n21，因为其上除直达业务量 A21，
还有 (2,3)的溢出流量 Ao23,而 Ao23 不是波松流，不能简单
迭加，因而也不能直接用爱尔兰损失公式求 n21
? 威尔金森 (R.I Wilkinson,1956)提出了,等效随机流法,的近
似计算方法
? 就是给出一种溢出流的迭加方法，然后求一个等效波松流 A
和一个等效电路群 n，使 A 通过 n 后的溢流等于原溢出流的
迭加，如图所示
A
23
A
21
.,,,,,
.,,,,,.,,,,,
A
o 23
?
2
o 23
A
o 21
?
2
o 21
.,,,,, A
oN
n
23
n
21
?? A
o i
? ??
2
o i
.,,,,, A
oN
N
A
o
,??
2
o
A,,,,,,
n
等效
13
等效随机流的计算方法与步骤
1、计算 (2,3)的 溢流均值 和 方差
– 由于 n23 是 A23 的专用通路，给定 B23，有
)1()()( 2323232323 2323 AEAABAE non ??
– 威尔金森给出求溢流方差的公式
)2(112 ??
?
?
???
?
?????? ioii
ioioioi
AAn
AAA?
2、计算各通路上的溢流总和的均值和方差
– 注意，波松流自身的方差等于均值，即 A21=?221
)3(22 ?? ??
i oioi oio
AA ??
3、计算等效随机流 A 和等效通路数 n
– 波松流 A经过通路 n 都会有公式 (1),(2)给出的溢流
– 如何根据已知溢流 (Ao,?o2) 反解 A 和 n
– 拉普 (Y.Rapp,1964) 给出了反解公式
14
等效随机流的计算方法与步骤
)5(
1
11
)4(1
3
2
22
2
o
o
o
o
o
o
o
o
o
A
A
qA
q
A
n
AA
A
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
4、计算溢流通路的电路数 N
– 等效于将 A 加载到 n+N 的通路上,给定 呼损 B，有
)6()()( AAEABAE NnoNNn ?? ??
5、计算各通路的呼损
– 将最终呼损 AoN 按各通路的溢流分摊
拉普公式
)7(
i
NiioN
o
oiNi
A
ABA
A
AA ??
15
例 1 求溢流通路 (A,D)的电路数 NAD，要求 B?0.01
A
CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N =?
1、计算 (D,B)(D,C)的溢流 Ao1,?2o1
查表，并利用线性内插，得
062.2
5425.115
5
425.11425.1
425.1)5(5
285.0
010.4189.5
010.45
1.02.0)5(
2
1
51
5
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
?
?
?
??
o
oo D Co D B EAAA
E
?
2、计算 (A,D)的总溢流 Ao,?2o
624.125.8062.2235.115.8425.12 2 ???????? ooA ?
3、计算等效流 A和等效电路 n
78.1135.11
92.0
13
92.0
35.11624.1235.11
1
1
0.131
35.11
624.12
35.11
624.123
624.12
?????
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
nq
A
16
例 1 求溢流通路 (A,D)的电路数 NAD，要求 B?0.01
A
CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N = 2 1
4、计算溢流通路 (A,D)所需通路数 N
08 835.000 68.013
00 68.0)13(
2122.20
22
01.0)13(
22
???
?
??
??
??
oN
Nn
A
E
NN
Nn
E
由线性内差得
取
查表得
要求
5、计算 (A,D),(D,B)(D,C)的呼损
ABABDCDBAD
DBN
oN
o
o A D
ADN
BBBBB
A
A
A
A
A
???????
??
???
00222.0
5
0111.0
,0078.0
5.8
0662.0
0111.008835.0
35.11
425.1
0662.008835.0
35.11
5.8
)(
)(
有不合理现象，低等级点间的呼损小于骨干上点间呼损
17
例 2 网路优化问题
1、各点间每条直达电路的成本不一样
2、汇接局的交换机每个路端的成本比
非汇接局 (端局 )要高很多
3、因此，网路优化是线路成本和交换
成本的平衡
4、有三种基本结构：纯汇接 (星型 )、独
立直达和高效直达
5、高效直达中还可以进一步优化
A
CB
D
A =5 E r l
n = 1 1
A =5 E r l
n = 1 1
A = 8, 5
E r l
N = 1 6
A
CB
D
A =5 E r l
n =5
A =5 E r l
n =5
A = 8, 5
E r l
N = 2 1
A
CB
D
A = 1 8, 5
E r l
N = 2 8
