运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究
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案例四：投资基金最佳使用计划
案例概述：
某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见表 1。假设国库券每年至少发行一次，发
行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款
可任意支取。
校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额
大致相同，且在 n 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用
计划，以提高每年的奖金额。请你帮 助校基金会在如下情况下设计基金使用方
案，并对 M=5000 万元， n=10 年给出具体结果：
1． 只存款不购国库券；
2． 可存款也可购国库券。
3． 学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的
奖金比其它年度多 20%。
表 1 当前银行存款及各期国库券的利率
银行存款税后年利率（ %） 国库券年利率（ %）
活期 0.792
半年期 1.664
一年期 1.800
二年期 1.944 2.55
三年期 2.160 2.89
五年期 2.304 3.14
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案例求解：
这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资，使每年学校奖励优秀
师生的奖金尽可能多，且保证 n 年未仍保留原基金数额。因此，我们可以用线性规划来处理这个问题。
二、模型假设
1、 基金是在计划期第一年的 1 月 1 日到位，且 n 年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的
第一年。
2、 从第二年开始每年的 1 月 1 日发奖金一次。且第（ n+1）年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金（第一年年初
不发） 。
3、 基金的每种使用方式是相互独立的，定期存款和国库券不能提前支取。
4、 在计划期的 n年中存款利率和国库券利率不变。
5、 银行存款及国库券不以复利来计算利息。
6、 假设购买国库券只能在发行的当月购买，且发行当月的任何一天购买收益率相同，即在当月的第 1
天和最后 1 天购买收益率一样。
7、 国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。
三、变量说明
M 表示基金的总额 （单位：万元）
y 表示每年的奖励师生的奖金额 （单位：万元）
x
ij
表示第 i 年对第 j 种存款方式的投资额（第 j 种存款方式表示 j 年期定期存款，
单位：万元）
p
i
表示 i 年期定期存款利率
p
b
表示半年期定期存款利率
p
h
表示活期存款利率
四、问题一：只存款不购国库券的的情况
1、 问题分析
由于我们假设每年发奖金的时间在 1 月 1 日，第 n+1 年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金，而半年期和活
期存款利率比较低，因此我们可以推断在此种情况下，半年期和活期存款投资方式不可能被采用，而只
能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表 2 所示。例如表中 x
11
表示第一年对一年期定期存款式的投资额，一年后其本利和为 1.018x
11
； x
12
表示第二年对二年期定期存
款的投资额，二年后其本利和为 1.03888x
12
，其余类似。
2、模型的建立
建立模型的原则是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减 去当年初
发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本
利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为 M 万元） 。每年的资金在发放完奖金
后又继续选择合适的几种存款方式投资。
（ 1） 考虑每年奖金额相等的情况
计划期为 n 年的一般模型：
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max y
Mxxxx =+++
15131211
()yxpxxxx ?+=+++
11125232221
1
()()yxpxpxxxx ?+++=+++
21112235333231
121
()()( ) yxpxpxpxxxx ?+++++=+++
31122213345434241
12131 （ 第四年的约束 ）
()()( ) yxpxpxpxxxx ?+++++=+++
41132223355535251
12131
()
()
( )
()
( )
()2223335555321
213151
???
+++++=+++
iiiiiii
xpxpxpxxxx
()
()
46...1
111
?≤≤?++
?
niyxp
i
( ) ( ) ( )
2)5(23)6(35)8(53)3(2)3(1)3(
213151
??????
+++++=++
nnnnnn
xpxpxpxxx ( ) yxp
n
?++
? 1)4(1
11
( ) ( ) ( )
2)4(23)5(35)7(53)2(2)2(1)2(
213151
??????
+++++=++
nnnnnn
xpxpxpxxx ( ) yxp
n
?++
? 1)3(1
1
( ) ( ) ( ) ( ) yxpxpxpxpxx
nnnnnn
?+++++++=+
?????? 1)2(12)3(23)4(35)6(52)1(1)1(
1213151
( ) ( ) ( ) ( ) yxpxpxpxpx
nnnnn
?+++++++=
???? 1)1(12)2(23)3(35)5(51
1213151
() () () ( ) Myxp1xp21xp31xp51
1n12)1n(23)2n(35)4n(5
=?+++++++
???
0≥
ij
x niK3,2,1= 5,3,2,1=j 0≥y 5≥n
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表 2 只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和)
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一
X
11
X
12
X
13
X
15
1.018x
1
1
1.03888x
1
2
1.0648x
13
1.1152x
15
X
21
X
22
X
23
X
25
1.01800x
2
1
1.03888x
2
2
1.0648x
23
1.1152x
25
X
31
X
32
X
33
X
35
1.01800x
3
1
1.03888x
3
2
1.0648x
33
1.1152x
35
X
41
X
42
X
43
X
45
1.01800x
4
1
1.03888x
4
2
1.0648x
43
1.1152x
45
X
51
X
52
X
53
X
55
1.01800x
5
1
1.03888x
5
2
1.0648x
53
1.1152x
55
X
61
X
62
X
63
X
65
1.01800x
6
1
1.03888x
6
2
1.0648x
63
1.1152x
65
X
71
X
72
X
73
X
75
1.01800x
7
1
1.03888x
7
2
1.0648x
73
X
81
X
82
X
83
X
85
1.01800x
8
1
1.03888x
8
2
1.0648x
85
X
91
X
92
X
93
X
95
1.01800x
9
1
1.03888x
12
X
(10)1
X
(10)2
X
(10)3
X
(10)5
1.018x
(10)
1
当 n=10， M=5000，利率为题目中给定的利率时，模型为：
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max y
5000
15131211
=+++ xxxx
yxxxxx ?=+++
1125232221
018.1
yxxxxxx ?+=+++
211235333231
018.103888.1
yxxxxxxx ?++=+++
31221345434241
018.103888.10648.1
yxxxxxxx ?++=+++
41322355535251
018.103888.10648.1
yxxxxxxxx ?+++=+++
5142331565636261
018.103888.10648.11152.1
yxxxxxxx ?+++=++
61524325737271
018.103888.10648.11152.1
yxxxxxxx ?+++=++
71625335838281
018.103888.10648.11152.1
yxxxxxx ?+++=+
817263459291
018.103888.10648.11152.1
yxxxxx ?+++=
918273551)10(
018.103888.10648.11152.1
5000018.103888.10648.11152.1
1)10(928365
=?+++ yxxxx
0≥
ij
x i=1,2,…10 j=1,2,3,5
用 Lindo 求得最优投资方案如下表 3 所示。
表 3 奖金相同时的最佳投资方案 单位：万元
投资方式
年份
一年定期 二年定期 三年定期 五年定期 奖金
第一年 396． 76 200． 49 195． 61 4207． 13 109． 82
第二年 195． 61 98． 47 109． 82
第三年 98． 47 109． 82
第四年 98． 47 109． 82
第五年 98． 47 109． 82
第六年 4581． 97 109． 82
第七年 109． 82
第八年 109． 82
第九年 109． 82
第十年 109． 82
（ 2）考虑奖金逐年递增的情况
根据现实要求，每年的奖金额可有所增加，对于奖金额每年增长 1%， 2%， 3%,4%， 5%， 10%的情
况，只需要在相应的约束中修改变量 y 的系数，计算结果见表 4。
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表 4 奖金额逐年递增的最优投资方案 单位：万元
奖金增长率 1% 2% 3% 4% 5% 10%
第一年奖金额 105.155 100.653 95.826 92.119 88.664 70.093
一年期 394.790 392.856 390.927 389.100 389.827 378.651
二年期 198.579 196.661 194.810 192.827 192.169 181.400
三年期 195.683 195.712 195.686 195.658 190.412 194.679
第
一
年
五年期 4210.949 4214.772 4218.577 4222.415 4227.591 4245.270
一年期
二年期
三年期 197.639 199.626 201.557 203.484 206.710 214.149
第
二
年
五年期 99.102 99.649 100.580 100.500 101.470 101.224
一年期
二年期
三年期
第
三
年
五年期 100.093 101.642 103.598 104.520 106.544 111.350
一年期
二年期
三年期
第
四
年
五年期 101.094 103.675 106.705 108.700 111.871 122.481
一年期
二年期
三年期
第
五
年
五年期 102.105 105.748 109.907 113.049 117.465 134.731
一年期
二年期
三年期
第
六
年
五年期 4585.627 4591.363 4596.704 4601.071 4606.838 4631.701
一年期
二年期
三年期
第
七
年
五年期
一年期
二年期
三年期
第
八
年
五年期
一年期
二年期
三年期
第
九
年
五年期
一年期
二年期
三年期
投
资
方
式
第
十
年
五年期
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五 、 问题二：可存款也可购国库券的的情况
1、 问题分析
在这种情况下，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难， 因此我们
必须进行适当合理的简化。
由于购买两年期国库券，从时间上算一般要占用三年时间（这里包括存活期或半年期等待买国库券
的时间；也包括国库券到期以后存活期或半年期等待至本年终的时间） ，因此我们可以将购买两年期国库
券的投资方式看成是存定期三年的投资方式。类似的道理，也可将购买三年期和五年期国库券的投资方
式分别看成是四年和六年定期存款的投资方式。经过计算机枚举计算，我们发现如下结论：
定理 1： 对于任何一种国库券，因为购买国库券只能在发行的当月购买，所以发行的月份也就是购
买的月份，在某一年当中的任何月份发行（也即购买）所取得的收益是相同的（ 1 月 1 日和 7 月 1 日除
外） 。
证明： 假设在某一年第 n 月发行 m 年期的国库券， p
h
为活期利率， p
b
为半年期利率，又设 p
m
为国
库券利率， A 为第 n 年初准备用于购买 m 年期的国库券的资金额。
当 n≤ 7 时：
首先，将 A 万元的资金存 (n-1)个月的活期，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p
h
/12]
然后再将 A [1 + (n-1)p
h
/12]万元的资金用于购买 m 年期的国库券，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p
h
/12] (1+m*p
m
)
然后再将 A [1 + (n-1)p
h
/12] (1+m*p
m
)万元的资金存入半年定期，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p
h
/12] (1+m*p
m
) (1+p
b
/2)
最后，将 A [1 + (n-1)p
h
/12] (1+m*p
m
) (1+p
b
/2) 万元的资金存为活期，到期时的本利和为
A [1 + (n-1)p
h
/12] (1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1+(7-n)p
h
/12 ]
= A(1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1 + p
h
/2 +(n-1)(7-n)p
h
2
/12
2
] ①
当 n＞ 7 时：
首先，将 A 万元的资金存为半年定期，到期时的本利和为：
A (1 + p
b
/2)
然后再将 A (1 + p
b
/2)万元的资金存为（ n-7）个月活期，到期时的本利和为：
A (1 + p
b
/2)[1+(n-7)p
h
/12]
然后再用 A (1 + p
b
/2)[1+(n-7)p
h
/12]万元的资金购买 m 年期的国库券，到期时的本利和为：
A (1 + p
b
/2)[1+(n-7)p
h
/12]（ 1+mp
m
）
最后，将 A (1 + p
b
/2)[1+(n-7)p
h
/12]（ 1+mp
m
）万元的资金存为活期，到期时的本利和为
A [1 + (n-7)p
h
/12] (1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1+(13-n)p
h
/12 ]
= A(1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1 + p
h
/2 +(n-7)(13-n)p
h
2
/12
2
] ②
在①式中， (n-1)(7-n)p
h
2
/12
2
≤ 9?p
h
2
/12
2
=p
h
2
/16<< (1+p
b
/2)
在②式中， (n-7)(13-n)p
h
2
/12
2
≤ 9?p
h
2
/12
2
=p
h
2
/16<< (1+p
b
/2)
因此，无论是 n≤ 7 还是 n>7 最后的投资总收益近似为：
A(1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1 + p
h
/2]
与 n 无关。 证毕
关于上述结论的说明：对于 1 月 1 日发行的 m 年期国库券，则不需要等待购买，而是立即购买，资
金占用时间为 m 年，因而 m+1 的投资收益会高于 A(1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1 + p
h
/2]；同样对于 7 月 1 日发行
的 m 年期国库券，整个投资过程中可能会出现两次半年期存款方式，因而最后的投资收益也会高于
A(1+m*p
m
) (1+p
b
/2) [1 + p
h
/2]。对于这两天可另外处理，但在本问题中由于在这两天发行国库券的概率非
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常小，我们将不予考虑。
由定理 1，无论国库券发行是在哪一个月，我们均可以看作是在该年的 1 月 1 日，而购买国库券从
理论上分析是宜早不宜迟，因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样第二种
情况就可认为是第一种情况的一种拓广。
根据如下公式可计算出购买三种国库券相当于定期存款的年利率如表 5 所示。
1)A(m
A-/2] [1 /2)(1 )*mA(1 ppp
hbm
+
+++
=相对利率
表 5 国库券转换成定期存款的相对利率（%）
种类 二年期国库券
（看作定期三年）
三年期国库券
（看作定期四年）
五年期国库券
（看作定期六年）
原利率 2.55 2.89 3.14
相对利
率
2.131 2.502 2.854
由此可知：购买两年期国库券（看作定期三年）的利率 2.131 低于实际三年定期存款利率 2.160，
所以购买两年期国库券投资方式不可能被采用。另外，与问题一中类似，半年期和活期存款方式（四年
期和六年期存款中所包含的除外）同样不可能被采用，所以，此种情况下的各种可能的投资方式及年利
率如下表 6 所示。
表 6 国库券转换后的所有可能投资方式
投资方式 利率
一年期定期存款 1.800
二年期定期存款 1.944
三年期定期存款 2.160
四年期定期存款（三年期国库券） 2.502
五年期定期存款 2.304
六年期定期存款（五年期国库券） 2.854
2、 模型建立
建立模型的原则仍是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和 减去当年
初发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的
本利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为 M 万元） 。其目标仍是使每年可用
于发奖金的资金数尽可能多，并且 n 年后仍保留原有的基金数不变。
由于将购买国库券方式转换成了定期存款方式，因此这种情况也是线性规划问题。由于奖 金额逐年
递增的情况可以在奖金额相同的情况下通过简单的修改很容易得到结果（可仿照问题一） ，所以在此我们
仅就奖金额相同的情况进行处理。
计划期为 n 年的一般线性规划模型为：
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Mxxxxxx =+++++
161514131211
yxpxxxxxx ?+=+++++
111262524232221
)1(
yxpxpxxxxxx ?+++=+++++
211122363534333231
)1()21(
yxpxpxpxxxxxx ?+++++=+++++
311222123464544434241
)1()21()31( 第四年的约束
yxpxpxpxpxxxxxx ?+++++++=+++++
141322233144565554535251
)1()21()31()41(
422333244155666564636261
)21()31()41()51( xpxpxpxpxxxxxx +++++++=+++++
yxp ?++
511
)1(
() () () ()333444555656654321
)31()41()51()61(
????
+++++++=+++++
iiiiiiiiii
xpxpxpxpxxxxxx
() ()
57......)1()21(
111222
?≤≤?++++
??
niyxpxp
ii
() () () () () ( ) () ()48459561065444342414
)41()51()61(
????????
+++++=++++
xnnxnnnn
xpxpxpxxxxx
() () ()
yxpxpxp
nnn
?++++++
??? 151262373
)1()21()31(
() () () () () () () ()36347458569643332313
)31()41()51()61(
????????
+++++++=+++
nnnnnnnn
xpxpxpxpxxxx
() ()
yxpxp
nn
?++++
?? 141252
)1()21(.
() () () () () () ()353464575686322212
)31()41()51()61(
???????
+++++++=++
nnnnnnn
xpxpxpxpxxx
() ()
yx)p1(x)p21(
13n124n2
?++++
??
() ()
()
()
()
()
( )
()
( )
()3434545656762111
31415161
??????
+++++++=+
nnnnnn
xpxpxpxpxx
()
()
()
()
yxp1xp21
12n123n2
?++++
??
()
()
()
()
( )
()
( )
()3334445556661
31415161
????
+++++++=
nnnnn
xpxpxpxpx
()
()
()
()
yxp1xp21
11n122n2
?++++
??
()
()
()
()
()
()
( )
()
( )
()212323434545656
2131415161
?????
+++++++++
nnnnn
xpxpxpxpxp
() Myxp
n
=?++
11
1
6,5,4,3,2,1;....3,2,1....0 ==≥ jnix
ij
0≥y
?
?
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?
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?
max y
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究
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n=10 M=5000 的线性规划模型如下：
max y
5000
161514131211
=+++++ xxxxxx
yxxxxxxx ?=+++++
11262524232221
018.1
yxxxxxxxx ?+=+++++
2112363534333231
018.103888.1
yxxxxxxxxx ?++=+++++
312213464544434241
018.103888.10648.1
yxxxxxxxxxx ?+++=+++++
41322314565554535251
018.103888.10648.110008.1
yxxxxxxxxxx ?++++=++++
51423324156564636261
018.103888.10648.10008.11152.1
yxxxxxxxxxx ?+++++=+++
61524334251674737271
018.103888.10648.10008.11152.11713.1
yxxxxxxxxx ?+++++=++
716253443526838281
018.103888.10648.110008.11152.11713.1
Yxxxxxxxx ?+++++=+
8172636445369291
018.103888.10648.110008.11152.11713.1
yxxxxxxx ?+++++=
9182736455461)10(
018.103888.10648.110008.11152.11713.1
5000018.103888.10648.110008.11152.11713.1
1)10(9283746556
=?+++++ yxxxxxx
0≥
ij
x i =1,2,…10 j =1,2,3,4,5,6
用 Lindo 软件求得这种情况下的最优投资计划如表 7 所示。
表 7 可存款也可购买国库券情况下的最优投资方案 单位：万元
投资方式
年份
一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期 奖金额
第一年 346.14 227.59 222.05 4095.33 108.89 127.5436
第二年 115.94 108.89 127.5436
第三年 108.89 127.5436
第四年 108.89 127.5436
第五年 4377.65 127.5436
第六年 127.5436
第七年 127.5436
第八年 127.5436
第九年 127.5436
第十年 127.5436
在这种情况下，由于将购买国库券方式转换成定期存款方式，问题得到了很大的简化，但是当然也带
来了误差。根据我们对现实银行资料的调查可知，国库券一般每年至多发行 3 次，而根据题意发行时间
不定，可以将发行时间认为是服从 [1， 12]上的均匀分布的随机数。我们就国库券每年发行 3 次，发行时
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究
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间是服从 [1， 12]上的均匀分布的随机数，进行了随机抽样计算，得到每年最多能发的奖金额平均大约为
132 万元左右，而我们求到的结果为 127.54 万元，误差在 5%左右。与问题的简化程度相比，我们认为这
是一种比较合算的处理方法。
六、问题三：学校在基金到位后的第 3 年要举行校庆，这一年的奖金要比其它年度多 20%
对于这种情况，我们只需要在问题一和问题二中第四年（因第四年的 1 月 1 日发的奖金是用于第三
年）的约束等式中，将奖金额 y 改为 1.2y 即可求出最佳投资方案，所求结果见表 8 和表 9。
表 8 只存款且第三年奖金增加 20%情况下的投资方案 单位：万元
投资方式
年份
一年期 二年期 三年期 五年期 奖金额
第一年 388． 58 196.36 211.78 4203.28 107.55
第二年 191.58 96.44 107.55
第三年 96.44 129.06
第四年 96.44 107.55
第五年 96.44 107.55
第六年 4579.94 107.55
第七年 107.55
第八年 107.55
第九年 107.55
第十年 107.55
表 9 可存款也可购买国库券且第三年奖金增加 20%情况下的投资方案 单位：万元
投资方式
年份
一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期 奖金额
第一年 338.89 222． 82 240． 85 4090.83 106.61 124.87
第二年 113.51 106.61 124.87
第三年 106.61 149.84
第四年 106.61 124.87
第五年 4375.37 124.87
第六年 124.87
第七年 124.87
第八年 124.87
第九年 124.87
第十年 124.87
七、模型的评价与改进方向
模型的优缺点：
1、对于问题一本文建立的是线性规划模型，求出的是最优投资方案，不存在任何计算误差和人为误
差，是一种比较理想的结果，可完全应用于实际投资，以取得最好的投资效益。
2、在问题二中通过对购买国库券投资方式的灵活处理，大大减少了因国库券每年发行次数和时间不
确定性造成建模的复杂程度和问题求解的工作量，这在解决实际问题中具有重要的现实意义。
3、这种建模的思想和方法，能很好地适用于基金的无风险投资，计算简单，可操作性强，易于推广，
其稳定性也很好。
4、在问题二中由于对购买国库券投资方式的转换，在带来处理问题的简便、快捷等优点的同时也带
来了计算的误差。经过计算对比，在问题二中求出的最大奖金额可能稍许偏低，误差大约在 5%左右，但
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是与其减少的问题复杂程度相比，我们认为是合算的。
模型的改进方向：
1、 在问题二中，由于国库券每年的发行次数和发行时间不定，可作为服从某个分布的随机数来处理，建
立随机规划模型，从而求得尽可能多的奖金额及最好的投资方案。但是问题求解的复杂程度将是相当
大的。
2、 当利率是变动时，可建立二次规划模型加以解决。
3、 当需要同时考虑投资风险时，将化为一个多目标规划来处理。
八、参考文献
[1] 李火林等编 《 数学模型及方法 》 江西高校出版社 南昌 1997
[2] 叶其孝编 《 大学生数学建模竞赛辅导教材 (二 ) 》 湖南教育出版社 长沙 1997
[3] 吴 江等编 《 运筹学模型与方法教程 》 清华大学出版社 北京 2000
九、附录
定理 1的计算机验证程序 （ matlab 5.3）
%将国库券投资方式看作定期存款的相对利率的计算机验证
p0=0.00792; %活期存款利率
p05=0.01664; %半年期存款利率
p1=0.018; %一年期存款利率
p2=0.0255; %二年期国库券利率
p3=0.0289; %三年期国库券利率
p5=0.0314; %五年期国库券利率
y2=1；
%y2为把二年期国库券看作三年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
y3=1;
%y3为把三年期国库券看作四年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
y5=1;
%y5为把五年期国库券看作六年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
for n=1:12
x=n;
if x<7 %当国库券发行时间上半年时
if x==1 %当国库券发行时间为1月1日时
A=(1+p1); %A为购入国库券之前资金增长率
C=1; %C为国库券到期后资金增长率
else
A=(1+p0*(x-1)/12);
C=(1+p05/2)*(1+(7-x)*p0/12);
end
else %当国库券发行时间为下半年时
if x==7 %当国库券发行时间为7月1日时
A=(1+p05/2);
C=(1+p05/2);
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else
A=(1+p05/2)*(1+(x-7)*p0/12);
C=(1+p0*(13-x)/12);
end
end
B=A*(1+2*p2);
y2(n)=(B*C-1)/3*100;
B=A*(1+3*p3);
y3(n)=(B*C-1)/4*100;
B=A*(1+5*p5);
y5(n)=(B*C-1)/6*100;
end
y2 %输出三种国库券在各个月份发行时相对利率
y3
y5
subplot(2,2,1) %画出三种国库券在各个月份发行时相对利率图
plot(1:n,y2,'*')
subplot(2,2,2)
plot(1:n,y3,'*')
subplot(2,2,3)
plot(1:n,y5,'*')
%源程序结束
由 程序结果列表如下：
表 10 将各个月份发行的三种国库券看作定期存款的相对利率 （%）
1月
1 日
2 月 3月 4月 5月 6月 7月
1 日
8 月 9月 10 月 11 月 12 月
2 年
期国
库券
2.3306 2.1314 2.1315 2.1315 2.1315 2.1314 2.2854 2.1314 2.1315 2.1315 2.1315 2.1314
3 年
期国
库券
2.6565 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.6214 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021
5 年
期国
库券
2.9638
2.8542
2.8541 2.8542 2.8542 2.8541 2.8541 2.9389 2.8542 2.8542 2.8542 2.8542 2.8541
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图 1、 二年国库券看作三年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图( % )
图 2、 三年国库券看作四年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图( % )
图 3、五年国库券看作六年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图 ( % )
图中特殊的
两个点为 1
月 1 日和 7
月 1 日发行
国库券的相
对利率
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十、教师评析
本问题是一个最优投资问题。投资方案是固定的，投资方案的回报率也是固定的，因而可 用线性规
划处理较为理想。本文对于问题一建立的是线性规划模型，求出的是最优投资方案，不存在任何计算误
差和人为误差，是一种比较理想的结果，可完全应用于实际投资，以取得最好的投资效益。
在问题二中，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难，必须给予适
当合理的简化。一般地，购买两年期国库券，加上存活期或半年期等待（由于发行时间不定）购买的时
间，需要占用三年时间，从而可将购买两年期国库券的投资方式看成相当于三年期的定期存款方式，并
计算出相应的年利率。同样，三年期国库券的投资方式看成相当于四年期的定期存款方式，五年期的国
库券的投资方式看成相当于六年期的定期存款方式。而国库券在一年中发行月份的不同只相当于投资数
额的增加。这样就将所有的购买国库券方式转换成相应的定期存款方式来处理。通过对购买国库券投资
方式的灵活处理，大大减少了因国库券每年发行次数和时间不确定性造成建模的复杂程度和问题求解的
工作量，这在解决实际问题中具有重要的现实意义。
当然，在问题二的处理中，肯定是有误差的，这种误差程度有多大，是否可以接受，是应该加以定量说
明的。
