运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 1 页 共 11 页 案例三：里尤尼亚的外购问题 案例概述： 菲拉托伊.里尤尼蒂纺织厂是一家位 于意大利西北部的家族纺织厂在经 历了。第一 第二次世界大战后，生存下来了，企业得到了扩张，但由于 90 年代早期的意大利的经济衰退，企业的发展受到影响。最近随着意大利经济 的好转，菲拉托伊.里尤尼蒂纺织厂的产品需求开始增强，企业的纺织机的 生产能力不足以满足它的生产定单，企业决定外购部分纺织品，非拉托伊。 里尤尼蒂公司认为由于当地工厂对于高质量的纺纱收取较高的价格， 决定在 公司内部生产高质量的纱，外购低档纱。乔治.阿梅尼就任里尤尼蒂 CEO 后， 认为公司的内部管理队伍并不能胜任公司内部的基本重新规划任务， 决定雇 佣米兰咨询公司帮助解决面临的问题。 米兰咨询公司就成本方面提出了自己 的方案，尤其是外购策略对于里尤尼蒂公司成本的降低有着显著的作用。 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 2 页 共 11 页 案例求解： 一、 基本关系 要考虑的是外购价格及运输价格， 还有生产能力限制， 生产关系见下表： 二、目标函数 目标函数是生产成本最低。 Xij 在工厂 j 生产品质 i 的数量。其中： i: 1－极好的， 2－良好的， 3－中等的， 4－粗糙的 j: 1－安布罗西， 2－布雷西亚尼， 3－卡斯特里， 4－德布拉西， 5－埃斯坦西， 6－里 尤尼蒂， 7－朱利亚尼 MinZ=(17.4+0.4)X 12 +(17.4+0.8)X 13 +(17.5+0.7)X 15 +18.25X 16 +(19.75+0.5) X 17 +(13+0.3)X 21 +(14.1+0.4)X 22 +(14.22+0.8)X 23 +(14.3+0.7)X 24 +(13.8+0.7)X 25 + 13.9X 26 +(13.9+0.5)X 27 +(10.65+0.45)X 31 +(11.20+0.6)X 32 +(11+1.2)X 33 +(11.25+ 1.05)X 34 +(11.4+1.05)X 35 +11.4X 36 +(10.75+0.75)X 37 +(9.6+0.45)X 41 +(9.45+0.6) X 42 +(9.5+1.2)X 43 +(9.6+1.05)X 44 +(9.6+1.05)X 45 +8.90X 46 +(9.4+0.75)X 47 约束条件： 满足需求约束 （ C1） . X 12 +X 13 + X 15 +X 16 +X 17 ＝ 25000（极好质量纱） （ C2） . X 21 +X 22 +X 23 +X 24 +X 25 +X 26 +X 27 ＝ 26000 （ C3） . X 31 +X 32 +X 33 +X 34 +X 35 +X 36 +X 37 ＝ 28000 （ C4） . X 41 +X 42 +X 43 +X 44 +X 45 +X 46 +X 47 ＝ 28000 生产成本限制 自己生产 外 购 生产成本 生产能力 生产成本 生产能力 运输成本 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 3 页 共 11 页 生产能力约束 （ C5） . 0.4X 21 +0.375X 31 +0.25X 41 ≤ 2500（ 安布罗西） （ C6） . 0.7X 12 +0.5X 22 +0.35X 32 +0.25X 42 ≤ 3000 （ C7） . 0.675X 13 +0.45X 23 +0.4X 33 +0.25X 43 ≤ 2500 （ C8） . 0.45X 24 +0.35X 34 +0.2X 44 ≤ 2600 （ C9） . 0.65X 15 +0.45X 25 +0.4X 35 +0.25X 45 ≤ 2500 （ C10） . 0.625X 16 +0.5X 26 +0.425X 36 +0.425X 46 ≤ 38000 （ C11） . 0.7X 17 +0.45X 27 +0.35X 37 +0.4X 47 ≤ 2500 二、针对变化，优化模型 a） 、目标函数公式、极好质量纱的需求公式和安布罗西的生产能力约束 见第二部分。 b） 、最优供应策略 根据第二部分优化模型，利用 WinQSB 软件进行计算。优化结果如下： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X 12 4,286 17.8 76,286 0 basic -M 18.5735 2 X 13 3,704 18.2 67,407 0 basic -M 19.4048 3 X 15 3,846 18.2 70,000 0 basic -M 18.9108 4 X 16 13,164.43 18.25 240,250.80 0 basic 17.5392 20.5265 5 X 17 0 20.25 0 2.2765 at bound 17.9735 M 6 X 21 6,250.00 13.3 83,125.00 0 basic -M 13.6255 7 X 22 0 14.5 0 0.808 at bound 13.692 M 8 X 23 0 15.02 0 0.9769 at bound 14.0431 M 9 X 24 0 15 0 0.0412 at bound 14.9588 M 10 X 25 0 14.5 0 0.4921 at bound 14.0079 M 表一 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 4 页 共 11 页 11 X26 19,750.00 13.9 274,525.00 0 basic 13.5745 13.9412 Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 12 X 27 0 14.4 0 0.4697 at bound 13.9303 M 13 X 31 0 11.05 0 0.3051 at bound 10.7449 M 14 X 32 0 11.8 0 0.3868 at bound 11.4132 M 15 X 33 0 12.2 0 0.7139 at bound 11.4861 M 16 X 34 2,040.13 12.3 25,093.56 0 basic 11.5 12.335 17 X 35 0 12.45 0 0.9952 at bound 11.4548 M 18 X36 18,817 11.4 214,514 0 basic 11.365 11.6767 19 X 37 7,142.86 11.5 82,142.86 0 basic -M 11.8654 20 X 41 0 10.05 0 1.2868 at bound 8.7632 M 21 X 42 0 10.05 0 0.8834 at bound 9.1666 M 22 X 43 0 10.7 0 1.4087 at bound 9.2913 M 23 X 44 0 10.65 0 0.85 at bound 9.8 M 24 X 45 0 10.65 0 1.3783 at bound 9.2717 M 25 X46 28,000.00 8.9 249,200.00 0 basic -M 9.75 26 X 47 0 14.4 0 0.4697 at bound 13.9303 M Objective Function (Min.) = 1,382,544 从表一中可以得出目前的最优供应策略（见表二） ，同时在表一中的 “ Unit Cost or Profit c(j)”栏目中可以看出各项每单位的成本分摊。 采购方案 极好的 Kg 良好的 kg 中等的 kg 粗糙的 kg 安布罗西 0 6,250 0 0 布雷西亚 4,286 0 0 0 卡斯特里 3,704 0 0 0 德布拉西 0 0 2040 0 埃斯坦西 3,846 0 0 0 里尤尼蒂 13,164 19,750 18817 28000 朱利尼亚 0 0 7143 0 合 计 表二 续表一 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 5 页 共 11 页 此时，资源使用情况为： Constraint Left Hand Side Direction Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price Allowable Min. RHS Allowable Max. RHS 1 C1 25,000 = 25,000 0 20 23,613 28,664 2 C2 26,000 = 26,000 0 15 24,266 30,580 3 C3 28,000 = 28,000 0 12 25,960 33,388 4 C4 28,000 = 28,000 0 10 25,960 33,388 5 C5 2,500 <= 2,500 0 -4 668 3,194 6 C6 3,000 <= 3,000 0 -3 435 3,971 7 C7 2,500 <= 2,500 0 -2 27 3,436 8 C8 714 <= 2,600 1,886 0 714 M 9 C9 2,500 <= 2,500 0 -2 118 3,402 10 C10 38,000 <= 38,000 0 -2 35,710 38,867 11 C11 2,500 <= 2,500 0 -2 614 3,214 c） 、是否租用升级机器 从表一中的阴影行（里尤尼蒂的生产方案）可以看出，里尤尼蒂的成本 消耗是各项里面最低的， 所以提高里尤尼蒂的生产能力是最有效果的。 同时， 从表三中的阴影行得到里尤尼蒂的生产能力约束在（ 35,710， 38,867）范围 内的影子价格是 -2，则每月增加 600 小时成本降低贡献是 -2× 600＝ -1200 美 元，而租用升级机器的成本增加是 1500 美元，所以总的成本是增加，建议 不租用升级机器。 d） 、是否租用用于中等纱的升级机器 租用用于生产中等纱的升级机器，每月可增加产量： 300÷ 0.425＝ 706 Kg 节约成本： 表三 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 6 页 共 11 页 706×（ 11.4－ 5.7） =4024 美元 > 3000 美元 所以，建议租用用于生产中等纱的升级机器。 e） 、新增中等纱的报价问题 中等纱产量增加 6,000 公斤， C3 约束的右端变为 34,000，在不增加生产 能力的情况下优化结果见表四： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X 12 3,131 17.8 55,724 0 basic 17.5235 18.5735 2 X 13 3,704 18.2 67,407 0 basic -M 19.0878 3 X 15 3,846 18.2 70,000 0 basic -M 18.5765 4 X 16 14,319.59 18.25 261,332.50 0 basic 17.587 18.5265 5 X 17 0 20.25 0 3.05 at bound 17.2 M 6 X 21 6,250.00 13.3 83,125.00 0 basic -M 13.7859 7 X 22 0 14.5 0 0.6238 at bound 13.8762 M 8 X 23 0 15.02 0 0.6904 at bound 14.3296 M 9 X 24 0 15 0 0.2008 at bound 14.7992 M 10 X 25 0 14.5 0 0.2607 at bound 14.2393 M 11 X 26 19,750.00 13.9 274,525.00 0 basic 13.4141 14.1008 12 X 27 0 14.4 0 0.6294 at bound 13.7706 M 13 X 31 0 11.05 0 0.4556 at bound 10.5944 M 14 X 32 2,310.32 11.8 27,261.76 0 basic 11.4132 11.9058 15 X 33 0 12.2 0 0.5261 at bound 11.6739 M 16 X 34 7,428.57 12.3 91,371.44 0 basic -M 12.4562 17 X 35 0 12.45 0 0.8564 at bound 11.5936 M 18 X 36 17,118 11.4 195,148 0 basic 11.2978 11.728 19 X 37 7,142.86 11.5 82,142.86 0 basic -M 11.9895 20 X 41 0 10.05 0 0.9 at bound 9.15 M 21 X 42 0 10.05 0 0.1897 at bound 9.8603 M 22 X 43 0 10.7 0 0.7434 at bound 9.9566 M 23 X 44 0 10.65 0 0.2238 at bound 10.4262 M 表四 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 7 页 共 11 页 24 X 45 0 10.65 0 0.7436 at bound 9.9064 M 25 X 46 28,000.00 8.9 249,200.00 0 basic -M 9.0897 26 X 47 0.00 10.15 0.00 1.473 at bound 8.677 M Objective Function (Min.) =1,457,238 新的目标函数值是 1,457,238 元，比 1,382,544 美元增加 74,694 美元。 关于中等纱的函数值变化情况见表五（取自表一与表四的比较） ： 成本价格 原数量 新数量 增加 安布罗西 11.05 00 0 布雷西亚 11.8 0 2310 2310 卡斯特里 12.2 00 0 德布拉西 12.3 2040 7429 5389 埃斯坦西 12.45 0 0 0 里尤尼蒂 11.4 18817 17118 -1699 朱利尼亚 11.5 7143 7143 0 从表五中可以得出，如果不改变对原来客户的报价，那么新增的成本都 要由新客户承担，同时，由于里尤尼蒂中等纱生产减少而给老客户造成的成 本增加也要由这个新客户承担。从表五中也可以得到，供应给新客户的产品 来自不同地方，报价不是固定的，但是新客户要承担所有新增的成本，所以 其平均报价是： 74,694÷ 6000＝ 12.45 美元 /Kg。 这是比其他客户要高的报价， 也是要对新客户提出的附加条件。 f） 、里尤尼蒂的生产成本在± 5％的变化的生产建议 减少 增加 Decision Variable Unit Cost or Profit c(j) Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 5% 建议 5% 建议 极好的 X 16 18.25 17.5392 20.5265 17.3375 改变 19.1625 不变 良好的 X 26 13.9 13.5745 13.9412 13.205 改变 14.595 改变 中等的 X 36 11.4 11.365 11.6767 10.83 不变 11.97 改变 粗糙的 X 46 8.9 -M 9.75 8.455 不变 9.345 不变 表五 表六 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 8 页 共 11 页 表六基础数据取自表一， “ Allowable Min. c(j)”和“ Allowable Max. c(j)”栏 表明在允许范围内，所求目标函数值都是最小的，当超出范围时，需要重新 优化。在里尤尼蒂的生产成本出现极端变化时，生产建议如表六。 g） 、德布拉西的生产能力在± 20％的变化的生产建议 Right Hand Allowable Allowable 减少 增加 Constraint Side Min. RHS Max. RHS 20% 建议 20% 建议 德布拉西 C8 2600 714 M 2080 不变 3120 不变 表七基础数据取自表三， “ Allowable Min. c(j)”和“ Allowable Max. c(j)”栏 表明在允许范围内，所求目标函数值都是最小的，当超出范围时，需要重新 优化。在里尤尼蒂的生产成本出现极端变化时，生产建议如表六。 h） 、同安布罗西共同承担成本费用的生产建议 如果安布罗西不生产良好的纱， 那么成本变化就是里尤尼蒂要考虑是否共同 承担成本费用的依据。安布罗西不生产良好的纱，只需要在第二部分基模型 中增加约束： （ C12） X 21 ＝ 0 在 WinQSB 中只需要把变量 X 21 的范围由 0 到 M 变为由 0 到 0。运算结果如表八： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X 12 4,286 17.8 76,286 0 basic -M 18.5735 2 X 13 3,704 18.2 67,407 0 basic -M 19.4048 3 X 15 3,846 18.2 70,000 0 basic -M 18.9108 4 X 16 13,164.43 18.25 240,250.80 0 basic 17.5392 20.5265 5 X 17 0 20.25 0 2.2765 at bound 17.9735 M 6 X 21 0.00 13.3 0.00 13.3 at bound -M M 7 X 22 0 14.5 0 0.808 at bound 13.692 M 8 X 23 0 15.02 0 0.9769 at bound 14.0431 M 9 X 24 0 15 0 0.0412 at bound 14.9588 M 表七 表八 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 9 页 共 11 页 10 X 25 0 14.5 0 0.4921 at bound 14.0079 M 11 X 26 26,000.00 13.9 361,400.00 0 basic -M -M 12 X 27 0 14.4 0 0.4697 at bound 13.9303 M 13 X 31 6,666.67 11.05 73,666.66 0 basic -M -M 14 X 32 0 11.8 0 0.3868 at bound 11.4132 M Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 15 X 33 0 12.2 0 0.7139 at bound 11.4861 M 16 X 34 2,726.40 12.3 33,534.73 0 basic 11.5 -M 17 X 35 0 12.45 0 0.9952 at bound 11.4548 M 18 X 36 11,464 11.4 130,691 0 basic M 11.926 19 X 37 7,142.86 11.5 82,142.86 0 basic -M 11.8654 20 X 41 0 10.05 0 1.0833 at bound 8.9667 M 21 X 42 0 10.05 0 0.8834 at bound 9.1666 M 22 X 43 0 10.7 0 1.4087 at bound 9.2913 M 23 X 44 0 10.65 0 0.85 at bound 9.8 M 24 X 45 0 10.65 0 1.3783 at bound 9.2717 M 25 X 46 28,000.00 8.9 249,200.00 0 basic -M 9.75 26 X 47 0 10.15 0 1.2643 at bound 8.8857 M Objective Function (Min.) =1384579 比较表八和表一的目标函数值，每月成本增加： 1,384,579－ 1,382,544＝ 2035 美元 所以，里尤尼蒂要能共同承担最大成本费用是每月 2035 美元，超过此 值就需要从另外的生产厂家进行外购。 i） 、朱利亚尼加班增加成本费用的生产建议 朱利亚尼加班， 生产成本和生产能力同时增加， 相当于增加一个新工厂， 在第二部分基模型中增加变量： X 18 、 X 28 、 X 38 、 X 48 ，包括运输的相应成本是： 30.375、21.6、17.25、15.225 。所以在 第二部分的目标函数中增加项目： 30.375 X 18 ＋ 21.6 X 28 ＋ 17.25 X 38 ＋ 15.225 X 48 续表八 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 10 页 共 11 页 增加约束： （ C12） 0.7X 17 +0.45X 27 +0.35X 37 +0.4X 47 ≤ 5000 在 WinQSB 软件中对上述变化产生的新模型进行重新优化，结果见表 九： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X12 4,286 17.8 76,286 0 basic -M 18.5735 2 X13 3,704 18.2 67,407 0 basic -M 19.4048 3 X15 3,846 18.2 70,000 0 basic -M 18.9108 4 X16 13,164 18.25 240,250.80 0 basic 17.5392 20.5265 5 X17 0 20.25 0 2.2765 at bound 17.9735 M 6 X18 0 30.375 0.00 10.8015 at bound 19.5735 M 7 X21 6,250 13.3 83,125.00 0 basic -M 13.6255 8 X22 0 14.5 0 0.808 at bound 13.692 M 9 X23 0 15.02 0 0.9769 at bound 14.0431 M 10 X24 0 15 0 0.0412 at bound 14.9588 M 11 X25 0 14.5 0.00 0.4921 at bound 14.0079 M 12 X26 19,750 13.9 274,525.00 0 basic 13.5745 13.9412 13 X27 0 14.4 0 0.4697 at bound 13.9303 M 14 X28 0 21.6 0 6.6412 at bound 14.9588 M 15 X31 0 11.05 0 0.3051 at bound 10.7449 M 16 X32 0 11.8 0.00 0.3868 at bound 11.4132 M 17 X33 0 12.2 0 0.7139 at bound 11.4861 M 18 X34 2,040 12.3 25,094 0 basic 11.5 12.335 19 X35 0 12.45 0.00 0.9952 at bound 11.4548 M 20 X36 18,817 11.4 214,514.00 0 basic 11.365 11.6767 21 X37 7,143 11.5 82,142.86 0 basic -M 11.8654 22 X38 0 17.25 0 4.95 at bound 12.3 M 23 X41 0 10.05 0 1.2868 at bound 8.7632 M 24 X42 0 10.05 0 0.8834 at bound 9.1666 M 25 X43 0 10.7 0.00 1.4087 at bound 9.2913 M 26 X44 0 10.65 0 0.85 at bound 9.8 M 表九 运筹学案例 案例三：里尤尼亚的外购问题 第 11 页 共 11 页 27 X45 0 10.65 0 1.3783 at bound 9.2717 M 28 X46 28,000 8.9 249,200.00 0 basic -M 9.75 29 X47 0 10.15 0 1.2643 at bound 8.8857 M 30 X48 0 15.225 0 5.425 at bound 9.8 M Objective Function (Min.) =1,382,544 采购方案见表十： 采购方案 极好的 Kg 良好的 kg 中等的 kg 粗糙的 kg 安布罗西 6,250 0 0 布雷西亚 0 0 0 0 卡斯特里 4,286 0 0 0 德布拉西 0 2040 0 埃斯坦西 3,704 0 0 0 里尤尼蒂 3,846 19,750 18817 28000 朱利尼亚 13,164 0 7143 0 朱利尼亚(加班) 0 0 0 0 合 计 25,000 26,000 28000 28000 从表十中可以看出， “朱利尼亚（加班） ”的生产安排全部是零，比较表 二和表十，其他数据没有变化。这是因为：每种纱的生产中， “朱利尼亚（加 班） ”的生产成本都远远高于其他厂商，在当前的市场需求下，其他厂商的 生产能力已经可以满足。 表十