运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 1 页 共 10 页 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 案例概述： Sytech 国际公司是一家在同行业中处于领先地位的计算机和外围设备 的制造商。公司的主导产品分类如下：大型计算机（MF RAMES） 、小型计算机 （MINIS） 、个人计算机（PCS） 、和打印机（PR INTERS） 。公司的两个主要市 场是北美和欧洲。 公司一直按季度作出公司最初的重要决策。公 司必须按照营销部门的需 求预测来对分布在全球的三个工厂调整产量，公司下一季度需求预测如下： 表 1 需求预测 产品 北美 欧洲 大型计算机 962 321 小型计算机 4417 1580 个人计算机 48210 15400 打 印 机 15540 6850 而公司的三个工厂的生产能力限度又使得其不能随心所欲地在任一工厂进 行生产，限制主要是各工厂规模及劳动力约束。 表 2 工厂的生产能力 工厂 空间（平方英尺） 劳动力（小时） 伯灵顿 540710 277710 中国台湾 201000 499240 爱尔兰 146900 80170 表 3 资源利用率 产品 空间/单位 劳动小时/单位 大型计算机 17.48 79.0 小型计算机 17.48 31.5 个人计算机 3.00 6.9 打 印 机 5.30 5.6 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 2 页 共 10 页 最终分析所要求的数据由会计部门提供， 表 4 所显示的数据表示单位利 润贡献（税后） ： 表 4 单位利润贡献（美元） 单位利润 大型计算机 小型计算机 个人计算机 打印机 北美 欧洲 北美 欧洲 北美 欧洲 北美 欧洲 伯灵顿 16136.46 13694.03 8914.47 6956.23 1457.18 1037.57 1663.51 1345.43 中国台湾 17358.14 14709.96 9951.04 7852.36 1395.35 1082.49 1554.55 1270.16 爱尔兰 15652.68 13216.34 9148.55 7272.89 1197.52 1092.61 1478.9 1312.44 根据以上信息， SYTECH 公司建立了一个线性优化模型。 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 3 页 共 10 页 案例求解： 一、 基本关系 本案例的主要问题在于计算机制造地域安排问题，不同的地域安排收益 会不同，基本关系在案例中的“线性优化模型的公式表 ”已经给出。 二、目标函数 Xijk 在工厂 j 制造用于在市场 k 销售的产品 i 的数量。其中： i: 1-大型计算机， 2-小型计算机， 3-个人计算机， 4-打印机 j: 1-伯灵顿， 2-中国台湾， 3-爱尔兰 k: 1-北美， 2-欧洲 根据“单位利润贡献表”列出目标函数： MaxZ=16136.46X 111 +13694.03X 112 +17358.14X 121 +14709.96X 122 +15652.68X 131 +13216.34X 132 +891 4.47X 211 +6956.23X 212 +9951.04X 221 +7852.36X 222 +9148.55X 231 +7272.89X 232 +1457.18X 311 +1037.57X 312 + 1395.35X 321 +1082.49X 322 +1197.52X 331 +1092.61X 332 +1663.51X 411 +1345.43X 412 +1554.55X 421 +1270.16X 422 +1478.90X 431 +1312.44X 432 根据“工厂的生产能力表”列出空间约束和劳动力约束 空间约束： （ C1） . 17.48X 111 +17.48X 112 +17.48X 211 +17.48X 212 +3X 311 +3X 312 +5.3X 411 +5.3X 412 ≤ 540710 （ C2） . 17.48X 121 +17.48X 122 +17.48X 221 +17.48X 222 +3X 321 +3X 322 +5.3X 421 +5.3X 422 ≤ 201000 （ C3） . 17.48X 131 +17.48X 132 +17.48X 231 +17.48X 232 +3X 331 +3X 332 +5.3X 431 +5.3X 432 ≤ 146900 劳动力约束： （ C4） . 79X 111 +79X 112 +31.5X 211 +31.5X 212 +6.9X 311 +6.9X 312 +5.6X 411 +5.6X 412 ≤ 277710 （ C5） . 79X 121 +79X 122 +31.5X 221 +31.5X 222 +6.9X 321 +6.9X 322 +5.6X 421 +5.6X 422 ≤ 499240 （ C6） . 79X 131 +79X 132 +31.5X 231 +31.5X 232 +6.9X 331 +6.9X 332 +5.6X 431 +5.6X 432 ≤ 80170 需求约束： （ C7） . X 111 +X 121 +X 131 ≤ 962 （ C8） . X 112 +X 122 +X 132 ≤ 321 （ C9） . X 211 +X 221 +X 231 ≤ 4417 （ C10） . X 212 +X 222 +X 232 ≤ 1580 （ C11） . X 311 +X 321 +X 331 ≤ 48210 （ C12） . X 312 +X 322 +X 332 ≤ 15400 （ C13） . X 411 +X 421 +X 431 ≤ 15540 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 4 页 共 10 页 （ C14） . X 412 +X 422 +X 432 ≤ 6850 运算结果如下： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X111 0 16,136 0 -7,808 at bound -M 23,944 2 X112 0 13,694 0 -7,602 at bound -M 21,296 3 X121 962 17,358 16,698,530 0 basic 9,550 M 4 X122 321 14,710 4,721,897 0 basic 7,108 M 5 X131 0 15,653 0 -8,879 at bound -M 24,532 6 X132 0 13,216 0 -8,667 at bound -M 21,883 7 X211 1,683 8,914 14,999,890 0 basic 8,868 9,334 8 X212 0 6,956 0 -83 at bound -M 7,039 9 X221 1,769 9,951 17,606,130 0 basic 9,728 9,998 10 X222 0 7,852 0 -223 at bound -M 8,075 11 X231 965 9,149 8,829,076 0 basic 8,729 9,231 12 X232 1,580 7,273 11,491,170 0 basic 7,190 M 13 X311 14,395 1,457 20,975,510 0 basic 1,354 1,467 14 X312 0 1,038 0 -107 at bound -M 1,144 15 X321 33,815 1,395 47,184,330 0 basic 1,385 1,498 16 X322 15,400 1,082 16,670,350 0 basic 1,045 M 17 X331 0 1,198 0 -311 at bound -M 1,508 18 X332 0 1,093 0 -103 at bound -M 1,196 19 X411 15,540 1,664 25,850,950 0 basic 1,437 M 20 X412 6,850 1,345 9,216,196 0 basic 1,271 M 21 X421 0 1,555 0 -1,057 at bound -M 2,612 22 X422 0 1,270 0 -1,024 at bound -M 2,294 23 X431 0 1,479 0 -226 at bound -M 1,705 24 X432 0 1,312 0 -75 at bound -M 1,387 Objective Function (Max.) = 194,244,000 资源使用情况表 Constraint Left Hand Side Direction Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price Allowable Min. RHS Allowable Max. RHS 1 C1 191,263 <= 540,710 349,447 0 191,263 M 2 C2 201,000 <= 201,000 0 348 194,304 207,368 3 C3 44,488 <= 146,900 102,412 0 44,488 M 4 C4 277,710 <= 277,710 0 160 275,146 292,356 5 C5 496,676 <= 499,240 2,564 0 496,676 M 6 C6 80,170 <= 80,170 0 168 77,606 91,645 7 C7 962 <= 962 0 11,266 598 994 8 C8 321 <= 321 0 8,618 0 353 9 C9 4,417 <= 4,417 0 3,859 4,053 4,498 10 C10 1,580 <= 1,580 0 1,984 1,216 1,661 11 C11 48,210 <= 48,210 0 350 46,087 48,582 12 C12 15,400 <= 15,400 0 37 13,277 15,772 13 C13 15,540 <= 15,540 0 765 12,925 15,998 14 C14 6,850 <= 6,850 0 447 4,235 7,308 表二 表一 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 5 页 共 10 页 与案例中给出结果“用于基模型的生产计划表”一致。 二、针对变化，优化模型 a） 、爱尔兰工厂的劳动生产率减少到 78,000 这种变化在模型中体现于公式 C6 的右边变为 78,000，其他条件不变。 优化结果如下： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X111 0 16,136 0 -7,808 at bound -M 23,944 2 X112 0 13,694 0 -7,602 at bound -M 21,296 3 X121 962 17,358 16,698,530 0 basic 9,550 M 4 X122 321 14,710 4,721,897 0 basic 7,108 M 5 X131 0 15,653 0 -8,879 at bound -M 24,532 6 X132 0 13,216 0 -8,667 at bound -M 21,883 7 X211 2,001 8,914 17,836,470 0 basic 8,868 9,334 8 X212 0 6,956 0 -83 at bound -M 7,039 9 X221 1,520 9,951 15,125,230 0 basic 9,728 9,998 10 X222 0 7,852 0 -223 at bound -M 8,075 11 X231 896 9,149 8,198,844 0 basic 8,729 9,231 12 X232 1,580 7,273 11,491,170 0 basic 7,190 M 13 X311 12,942 1,457 18,858,740 0 basic 1,354 1,467 14 X312 0 1,038 0 -107 at bound -M 1,144 15 X321 35,268 1,395 49,211,280 0 basic 1,385 1,498 16 X322 15,400 1,082 16,670,350 0 basic 1,045 M 17 X331 0 1,198 0 -311 at bound -M 1,508 18 X332 0 1,093 0 -103 at bound -M 1,196 19 X411 15,540 1,664 25,850,950 0 basic 1,437 M 20 X412 6,850 1,345 9,216,196 0 basic 1,271 M 21 X421 0 1,555 0 -1,057 at bound -M 2,612 22 X422 0 1,270 0 -1,024 at bound -M 2,294 23 X431 0 1,479 0 -226 at bound -M 1,705 24 X432 0 1,312 0 -75 at bound -M 1,387 表三 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 6 页 共 10 页 Objective Function (Max.) = 193,879,600 可以得出，目标函数值变小，产品品种没有变化，数量进行了调整。与 表一比较得出：一） 、伯灵顿。针对北美市场的小型计算机增加 318 台，针 对北美市场的个人计算机却减少 1,457 台； 针对欧洲市场的打印机减少 2,767 台；二） 、台湾。针对北美市场的小型计算机减少 249 台，针对北美市场的 个人计算机增加 1,457 台；三） 、爱尔兰。针对北美市场的小型计算机减少 69 台。 这是对于爱尔兰工厂的劳动生产率减少到 78,000 时的最优生产安排。 此时，资源使用变化为： Constraint Left Hand Side Direction Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price Allowable Min. RHS Allowable Max. RHS 1 C1 192,468 <= 540,710 348,242 0 192,468 M 2 C2 201,000 <= 201,000 0 348 195,248 208,572 3 C3 43,284 <= 146,900 103,616 0 43,284 M 4 C4 277,710 <= 277,710 0 160 277,316 295,125 5 C5 498,846 <= 499,240 394 0 498,846 M 6 C6 78,000 <= 78,000 0 168 77,606 91,645 7 C7 962 <= 962 0 11,266 529 967 8 C8 321 <= 321 0 8,618 0 326 9 C9 4,417 <= 4,417 0 3,859 3,984 4,430 10 C10 1,580 <= 1,580 0 1,984 1,147 1,593 11 C11 48,210 <= 48,210 0 350 45,686 48,267 12 C12 15,400 <= 15,400 0 37 12,876 15,457 13 C13 15,540 <= 15,540 0 765 12,430 15,610 14 C14 6,850 <= 6,850 0 447 3,740 6,920 通过比较表二和表四的第六行，可以发现，劳动力约束的影子价格都是 160，劳动力的变化值是 78,000－ 80,170＝－ 2170，而－ 2170×160＝－ 347200， 恰好是目标函数值的变化。另外，台湾的生产空间约束和伯灵顿的 劳动力约束也达到极限。这是因为 7 8000 在条件 C6 的允许范围内（见表三 和表四的第六行的最后两列） 表四 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 7 页 共 10 页 b） 、爱尔兰工厂的劳动生产率增加到 95,000 这种变化在模型中体现于公式 C6 的右边变为 95,000，其他条件不变。 优化结果如下： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X111 0 16,136 0 -5,938 at bound -M 22,074 2 X112 0 13,694 0 -5,732 at bound -M 19,426 3 X121 962 17,358 16,698,530 0 basic 11,421 M 4 X122 321 14,710 4,721,897 0 basic 8,978 M 5 X131 0 15,653 0 -5,956 at bound -M 21,609 6 X132 0 13,216 0 -5,744 at bound -M 18,960 7 X211 0 8,914 0 -420 at bound -M 9,334 8 X212 0 6,956 0 -502 at bound -M 7,458 9 X221 3,473 9,951 34,560,850 0 basic 9,728 10,417 10 X222 0 7,852 0 -223 at bound -M 8,075 11 X231 944 9,149 8,635,410 0 basic 8,729 9,372 12 X232 1,580 7,273 11,491,170 0 basic 7,050 M 13 X311 24,322 1,457 35,441,750 0 basic 1,446 1,559 14 X312 0 1,038 0 -107 at bound -M 1,144 15 X321 23,888 1,395 33,331,910 0 basic 1,293 1,406 16 X322 15,400 1,082 16,670,350 0 basic 1,071 M 17 X331 0 1,198 0 -219 at bound -M 1,417 18 X332 0 1,093 0 -11 at bound -M 1,104 19 X411 15,540 1,664 25,850,950 0 basic 1,512 M 20 X412 4,083 1,345 5,493,001 0 basic 1,271 1,354 21 X421 0 1,555 0 -740 at bound -M 2,294 22 X422 0 1,270 0 -706 at bound -M 1,976 23 X431 0 1,479 0 -152 at bound -M 1,631 24 X432 2,767 1,312 3,631,902 0 basic 1,303 1,387 Objective Function (Max.) = 196,527,700 可以得出，目标函数值变大，产品品种和数量都进行了调整。与表一比 较得出：一） 、伯灵顿。针对北美市场的小型计算机减少 1,683 台，针对北 美市场的个人计算机却增加 9,927 台； 针对欧洲市场的打印机减少 2,767 台； 表五 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 8 页 共 10 页 二） 、台湾。针对北美市场的小型计算机增加 1,704 台，针对北美市场的个 人计算机减少 9,927 台；三） 、爱尔兰。针对北美市场的小型计算机减少 21 台，针对欧洲市场的打印机增加 2,767 台。这是对于爱尔兰工厂的劳动生产 率增加到 95,000 时的最优生产安排。 此时，资源使用变化为： Constraint Left Hand Side Direction Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price Allowable Min. RHS Allowable Max. RHS 1 C1 176,967 <= 540,710 363,743 0 176,967 M 2 C2 201,000 <= 201,000 0 238 199,138 203,747 3 C3 58,785 <= 146,900 88,115 0 58,785 M 4 C4 277,710 <= 277,710 0 112 273,428 284,028 5 C5 481,846 <= 499,240 17,394 0 481,846 M 6 C6 95,000 <= 95,000 0 106 91,645 99,950 7 C7 962 <= 962 0 13,205 805 1,069 8 C8 321 <= 321 0 10,557 164 428 9 C9 4,417 <= 4,417 0 5,798 4,260 4,524 10 C10 1,580 <= 1,580 0 3,922 1,423 1,687 11 C11 48,210 <= 48,210 0 683 47,294 48,831 12 C12 15,400 <= 15,400 0 370 14,484 16,021 13 C13 15,540 <= 15,540 0 1,035 14,412 16,305 14 C14 6,850 <= 6,850 0 717 5,966 7,615 通过比较表二和表六可以发现，爱尔兰劳动力约束的影子价格已经变为 106，台湾的生产空间约束和伯灵顿的劳动力约束达到极限，当务之急是解 决台湾的生产空间约束问题。 c） 、是否采用新技术 将基模型中的相关参数按采用新 技术后的约束值来进行调整，用 QSB 计算目标函数值为 196,192,500，比基模型的目标值增加 1,948,500。所以， 技术创新是可以给 SYTECH 公司带来利润的，应该采用新技术，但是这只 是每个季度的利润增加值，而购买此技术需要一次性支付一笔巨额费用，或 表六 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 9 页 共 10 页 者说增加利润的背后有巨大的成本代价， 这也是新技术能增加利润而不能轻 易采用的原因。是否采用新技术或者说采用新技术合适的花费是多少，还有 一个关键外部因素是新技术多久会成为公共知识。表七是新技术保密期、利 润的关系： 技术保密期(季度) 1 23456 7 8 总增加利润(亿元) 0.0195 0.0390 0.0585 0.0779 0.0974 0.1169 0.1364 0.1559 从上表中可以看出，如果购买新技术花费是 0.12 亿，那么技术保密期 至少要 7 个季度，否则亏损。同样，根据技术保密期的长短，所花费也只能 小于相应的增加利润额。 d） 、削减台湾小型机生产 削减台湾小型机生产即意味台湾生产供应北美和欧洲市场的小型机全 部为零， 即在基模型的基础上增加约束 X 211 ＝ 0 ； X 212 ＝ 0。 运算结果见表八： Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 1 X111 0 16,136 0 -1,930 at bound -M 18,066 2 X112 0 13,694 0 -1,724 at bound -M 15,418 3 X121 962 17,358 16,698,530 0 basic 15,429 M 4 X122 321 14,710 4,721,897 0 basic 12,986 M 5 X131 0 15,653 0 -3,000 at bound -M 18,653 6 X132 0 13,216 0 -2,789 at bound -M 16,005 7 X211 3,452 8,914 30,772,040 0 basic 18,866 9,334 8 X212 0 6,956 0 -83 at bound -M 7,039 9 X221 0 9,951 0 9,951 at bound -M M 10 X222 0 7,852 0 7,852 at bound -M M 11 X231 965 9,149 8,829,076 0 basic 8,729 1,296 12 X232 1,580 7,273 11,491,170 0 basic 15,125 M 表七 表八 运筹学案例 案例二： SYTECH 公司的生产优化问题 第 10 页 共 10 页 13 X311 6,317 1,457 9,205,682 0 basic 1,395 -723 14 X312 0 1,038 0 -107 at bound -M 1,144 15 X321 41,893 1,395 58,454,750 0 basic 3,575 1,457 Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c(j) Allowable Max. c(j) 16 X322 15,400 1,082 16,670,350 0 basic 980 M 17 X331 0 1,198 0 -311 at bound -M 1,508 18 X332 0 1,093 0 -103 at bound -M 1,196 19 X411 15,540 1,664 25,850,950 0 basic 1,605 M 20 X412 6,850 1,345 9,216,196 0 basic 1,320 M 21 X421 0 1,555 0 -59 at bound -M 1,613 22 X422 0 1,270 0 -25 at bound -M 1,295 23 X431 0 1,479 0 -226 at bound -M 1,705 24 X432 0 1,312 0 -75 at bound -M 1,387 Objective Function (Max.) = 191,910,600 由表八知目前目标函数值是 191,910,600 美元，每季度成本减少（即增 加利润） 8,300,000/4＝ 2,075,000 美元，目前实际目标值 191,910,600＋ 2,075,000＝ 193,985,600 美元，计划调整前目标值 194,244,000 美元。 193,985,600－ 194,244,000=－ 258,400 美元 所以，采用这种调整是不经济的。 续表八