?管理与人文学院 忻展红
1999,4
2.4 灵敏度分析
“心有灵犀一点通”
灵敏度分析又称为后优化分析
Post-optimization Analysis
2
2.4 线性规划的灵敏度分析
? 线性规划是静态模型
? 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
? 哪些参数容易发生变化
– C,b,A
? 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解
? 灵敏度越小，解的稳定性越好
3
2.4.1 边际值 (影子价 ) qi
? 以 (max,?)为例
? 边际值 (影子价 )qi 是指在最优解的基础上，当第 i 个约
束行的右端项 bi 减少一个单位时，目标函数的变化量
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
?
?
?
?
?
??
????
??
m
i
iji
m
i
iji
1
Bj
1
Bj
in
in
i
i
1
Bin
1
Bin
i
1
Bii
m
k
kk
1
B
1
B
aqaBCPBCz
z
z
q
BCPBCz
BCbxfq
bBCbBCxf
11
1
)(
,
)(
,)()(
)()(
式机会成本的另外表达形
剩余变量
人工变量松弛变量
因此
机会成本
左导数
4
例 2.4.2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
5
关于影子价的一些说明
? 影子价是资源最优配臵下资源的理想价格，资源的影子价与
资源的紧缺度有关
? 松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位
? 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位
? 资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子
价为 0
? 影子价为 0，资源并不一定有剩余
? 应用，邮电产品的影子价格
?
?
?
?
?? ?
0Y
XYAI
YC
Δ
ΔΔ)(
Δ m a x
1
6
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
? cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
? cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况
下，分析 cj 允许的变动范围 ?cj
? cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数
– 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
)(
0)(
jjj
jjj
zcc
zcc
??????
???
?
?
故有
要保持
7
例 2.4.2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
75.5,75.2
25.4,25.3
,
33
11
31
????????
????????
cc
cc
xx
?
?所以
为非基变量
8
2,基变量对应的价值系数的灵敏度分析
? 由于 基变量对应的价值系数在 CB中出现，因此它会影响所
有非基变量的检验数
? 只有一个基变量的 cj?发生变化，变化量为 ? cj?
? 令 cj?在 CB中的第 k行，研究非基变量 xj机会成本的变化
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0m i n0m a x
,
' kj
kj
jj
j
jkj
kj
jj
j
a
a
zc
ca
a
zc
?
有验数仍满足最优条件为保证所有非基变量检
9
设 x4的价值系数增加 ?c4，对应 k=2，
? 有一边为空集，有非基变量检验数为 0如何处理
? 为什么 akj=0不出现在任何一边的集合中
? 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
C B X B b 1 5 3 4 0 0 0
0 x 5 100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x 4 200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x 2 100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c j -z j - 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
10
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
? 设 XB=B?1b 是最优解，则有 XB=B?1b?0
? b 的变化不会影响检验数
? b 的变化量 ?b 可能导致原最优解变为非可行解
11
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
12
以 b2为例,x6是对应的初始基变量，所以有
13
2.4.4 技术系数 aij 的灵敏度分析
? 技术系数 aij变化的影响比较复杂
– 对应基变量的 aij,且资源 bi已全部用完
– 对应基变量的 aij,但资源 bi未用完
– 对应非基变量的 aij,且资源 bi全用完或 未用完
1、对应基变量的 aij,且资源 bi已全部用完 ?aij=0
2、对应基变量的 aij,但资源 bi未用完 ????aij? xn+i /xj
– 上述两个公式不是充分必要的，为什么？
– B–1发生变化，从而引起非基变量检验数 cj– zj 的变化
3、对应非基变量的 aij
– 只影响对应非基变量 xj的检验数 cj– zj
– 若 ?aij > 0，不会破坏最优解
– 若 ?aij < 0，必须保证 cj– zj ? 0
14
15
x1,x3为非基变量,q1= 0,q2= 0.25,q3= 1,故有
x2,x4为基变量,x5=100,b1有剩余,故有
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
C B X B b 1 5 3 4 0 0 0
0 x 5 100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x 4 200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x 2 100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c j -z j - 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
16
2.4.5 新增决策变量的分析
? 例 2.4.2中，若新增产品 x8，问是否生产？
– 已知 c8=9,a18=5,a28=4,a38=3
– 计算 x8 的检验数可知生产是否有利
结论,生产 x8有利。
将 B–1P8加入最优单纯型表中，以 x8为入变量进行迭代
17
2.4.6 新增约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条
件加入最优单纯型表，并变换为标准型
3、利用对偶单纯型法继续迭代
– 为什么可以利用对偶单纯型法
例 2.4.2 第 2步
18
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 ( 1 ) 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
650 1 2 3 3 0 0 0 1
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 ( 1 ) 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
450 5 / 2 0 - 5 / 2 3 0 1, 5 -2 1
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
- 1 5 0 - 7 / 2 0 7 / 2 0 0 - 1, 5 1 1
19
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
- 1 5 0 - 7 / 2 0 7 / 2 0 0 ( - 1, 5 ) 1 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1 0
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1 0
0 x
5
75 - 0, 3 3 0 - 2, 6 7 0 1 0 - 0, 8 3 0, 1 7
4 x
4
100 - 0, 3 3 0 0, 3 3 1 0 0 - 0, 3 3 0, 6 7
5 x
2
175 1 1 1 0 0 0 0, 5 - 0, 5
0 x
6
100 2, 3 3 0 - 2, 3 3 0 0 1 - 0, 6 7 - 0, 6 7
1275 3, 6 7 5 6, 3 3 4 0 0 1, 1 7 0, 1 7
c
j
-z
j
- 2, 6 7 0 - 3, 3 3 0 0 0 - 1, 1 7 - 0, 1 7
注意,最优解的目标函数减少了 25个单位
20
2.4.7 灵敏度分析举例
例 2.4.3 某工厂生产三种产品 A,B,C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 110 个，求收
益最大的生产方案。
21
例 2.4.3
解, 设 xj为已选定各种组合方案的组数 (j=1,2,…,5), x6为 A产品
的剩余变量,x7,x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
22
例 2.4.3
? 最优解的 B–1是什么
? 产品 A的影子价为多少
? 第 II组方案的生产费用提高 2元，是否要调整生产组别
? 若工人加班费为 1元 /小时，是否要采取加班措施
? 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少
? A产品的订购合同是否有利,A产品的变动范围多大
? 若要选用第 IV组方案，该组的生产费用应降低多少
? 若工人加班费为 0.3元 /小时，最多允许加班时间多少
? 若机器租费低于 44元 /小时，问租几部机器才合适 (每天
8小时计 )
? 若第 III组方案使机器工时减少 0.5小时，能否被选入
23
2.4.8 其他类型线性规划问题的灵敏度分析
? 目标函数为 min型
– 当 xj 不在基中：
– 当 xj 在基中：
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 0m i n0m a x ' kj
kj
jj
jjkjkj
jj
j
aa zccaa zc ?
? 当第 i 个约束条件为 ?型
– 由于 xn+i 为剩余变量,-Pn+i才代表 B-1的第 i 列，故
右端项 ?bi 的允许变化范围为
???
?
???
? ???
???
?
???
? ?
?
?
?
?
0m i n0m a x,
,
,
,
ink
ink
k
kiinkink
k
k
aa bbaa b ?
24
2.4.8 其他类型线性规划问题的灵敏度分析
? 当第 i 个约束条件为 ?型，其右端项 bi 的边际值为
qi = -zn+i
? 无论目标函数为 max 型或 min 型，若 xj 为非基变量，
则 ?aij 的变化范围为
0,-
0,
?
??
???
?
?
???
?
i
jj
i
jj
ij
i
jj
ij
i
jj
q
zc
q
zc
a
q
zc
a
q
zc
Δ
Δ
或
25
2.5 参数线性规划
? 2.4 节中 aij,bi,cj 只有一个发生变化，多个同时发生变
化则很难解析
? 但在一些特殊情况下，用参数表示变化量，也可以用
来进行多个系数的灵敏度分析
2.5.1 参数 cj的变化分析
?i 第 i 种资源的单位费用变化量,?i ?不限
?i ?i 变化对 cj 的影响率
26
例 2.4.2 资源 b1单价 变化量 ?1，价格影响率 ?j=a1j
27
例 2.4.2 资源 b1单价变化量 ?1与 ?c5
28
2.5.2 参数 bi 的变化分析
? 例 2.4.2中，将 b1,b2,b3理解为三个车间的周工时资源。假设从
第 2向 1车间调动工人 ?个，每个工人的周工时为 40小时，问
调动多少工人不会破坏最优产品组合
1999,4
2.4 灵敏度分析
“心有灵犀一点通”
灵敏度分析又称为后优化分析
Post-optimization Analysis
2
2.4 线性规划的灵敏度分析
? 线性规划是静态模型
? 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
? 哪些参数容易发生变化
– C,b,A
? 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解
? 灵敏度越小，解的稳定性越好
3
2.4.1 边际值 (影子价 ) qi
? 以 (max,?)为例
? 边际值 (影子价 )qi 是指在最优解的基础上，当第 i 个约
束行的右端项 bi 减少一个单位时，目标函数的变化量
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
?
?
?
?
?
??
????
??
m
i
iji
m
i
iji
1
Bj
1
Bj
in
in
i
i
1
Bin
1
Bin
i
1
Bii
m
k
kk
1
B
1
B
aqaBCPBCz
z
z
q
BCPBCz
BCbxfq
bBCbBCxf
11
1
)(
,
)(
,)()(
)()(
式机会成本的另外表达形
剩余变量
人工变量松弛变量
因此
机会成本
左导数
4
例 2.4.2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
5
关于影子价的一些说明
? 影子价是资源最优配臵下资源的理想价格，资源的影子价与
资源的紧缺度有关
? 松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位
? 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位
? 资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子
价为 0
? 影子价为 0，资源并不一定有剩余
? 应用，邮电产品的影子价格
?
?
?
?
?? ?
0Y
XYAI
YC
Δ
ΔΔ)(
Δ m a x
1
6
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
? cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
? cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况
下，分析 cj 允许的变动范围 ?cj
? cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数
– 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
)(
0)(
jjj
jjj
zcc
zcc
??????
???
?
?
故有
要保持
7
例 2.4.2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
75.5,75.2
25.4,25.3
,
33
11
31
????????
????????
cc
cc
xx
?
?所以
为非基变量
8
2,基变量对应的价值系数的灵敏度分析
? 由于 基变量对应的价值系数在 CB中出现，因此它会影响所
有非基变量的检验数
? 只有一个基变量的 cj?发生变化，变化量为 ? cj?
? 令 cj?在 CB中的第 k行，研究非基变量 xj机会成本的变化
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0m i n0m a x
,
' kj
kj
jj
j
jkj
kj
jj
j
a
a
zc
ca
a
zc
?
有验数仍满足最优条件为保证所有非基变量检
9
设 x4的价值系数增加 ?c4，对应 k=2，
? 有一边为空集，有非基变量检验数为 0如何处理
? 为什么 akj=0不出现在任何一边的集合中
? 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
C B X B b 1 5 3 4 0 0 0
0 x 5 100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x 4 200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x 2 100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c j -z j - 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
10
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
? 设 XB=B?1b 是最优解，则有 XB=B?1b?0
? b 的变化不会影响检验数
? b 的变化量 ?b 可能导致原最优解变为非可行解
11
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
12
以 b2为例,x6是对应的初始基变量，所以有
13
2.4.4 技术系数 aij 的灵敏度分析
? 技术系数 aij变化的影响比较复杂
– 对应基变量的 aij,且资源 bi已全部用完
– 对应基变量的 aij,但资源 bi未用完
– 对应非基变量的 aij,且资源 bi全用完或 未用完
1、对应基变量的 aij,且资源 bi已全部用完 ?aij=0
2、对应基变量的 aij,但资源 bi未用完 ????aij? xn+i /xj
– 上述两个公式不是充分必要的，为什么？
– B–1发生变化，从而引起非基变量检验数 cj– zj 的变化
3、对应非基变量的 aij
– 只影响对应非基变量 xj的检验数 cj– zj
– 若 ?aij > 0，不会破坏最优解
– 若 ?aij < 0，必须保证 cj– zj ? 0
14
15
x1,x3为非基变量,q1= 0,q2= 0.25,q3= 1,故有
x2,x4为基变量,x5=100,b1有剩余,故有
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
C B X B b 1 5 3 4 0 0 0
0 x 5 100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1
4 x 4 200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x 2 100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1
c j -z j - 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1
16
2.4.5 新增决策变量的分析
? 例 2.4.2中，若新增产品 x8，问是否生产？
– 已知 c8=9,a18=5,a28=4,a38=3
– 计算 x8 的检验数可知生产是否有利
结论,生产 x8有利。
将 B–1P8加入最优单纯型表中，以 x8为入变量进行迭代
17
2.4.6 新增约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条
件加入最优单纯型表，并变换为标准型
3、利用对偶单纯型法继续迭代
– 为什么可以利用对偶单纯型法
例 2.4.2 第 2步
18
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 ( 1 ) 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
650 1 2 3 3 0 0 0 1
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 ( 1 ) 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
450 5 / 2 0 - 5 / 2 3 0 1, 5 -2 1
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
- 1 5 0 - 7 / 2 0 7 / 2 0 0 - 1, 5 1 1
19
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
C
B
X
B
b 1 5 3 4 0 0 0 0
0 x
5
100 1 / 4 0 - 1 3 / 4 0 1 1 / 4 -1 0
4 x
4
200 2 0 -2 1 0 1 -1 0
5 x
2
100 - 3 / 4 1 1 1 / 4 0 0 - 3 / 4 1 0
0 x
8
- 1 5 0 - 7 / 2 0 7 / 2 0 0 ( - 1, 5 ) 1 1
1300 4, 2 5 5 5, 7 5 4 0 0, 2 5 1 0
c
j
-z
j
- 3, 2 5 0 - 2, 7 5 0 0 - 0, 2 5 -1 0
0 x
5
75 - 0, 3 3 0 - 2, 6 7 0 1 0 - 0, 8 3 0, 1 7
4 x
4
100 - 0, 3 3 0 0, 3 3 1 0 0 - 0, 3 3 0, 6 7
5 x
2
175 1 1 1 0 0 0 0, 5 - 0, 5
0 x
6
100 2, 3 3 0 - 2, 3 3 0 0 1 - 0, 6 7 - 0, 6 7
1275 3, 6 7 5 6, 3 3 4 0 0 1, 1 7 0, 1 7
c
j
-z
j
- 2, 6 7 0 - 3, 3 3 0 0 0 - 1, 1 7 - 0, 1 7
注意,最优解的目标函数减少了 25个单位
20
2.4.7 灵敏度分析举例
例 2.4.3 某工厂生产三种产品 A,B,C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 110 个，求收
益最大的生产方案。
21
例 2.4.3
解, 设 xj为已选定各种组合方案的组数 (j=1,2,…,5), x6为 A产品
的剩余变量,x7,x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
22
例 2.4.3
? 最优解的 B–1是什么
? 产品 A的影子价为多少
? 第 II组方案的生产费用提高 2元，是否要调整生产组别
? 若工人加班费为 1元 /小时，是否要采取加班措施
? 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少
? A产品的订购合同是否有利,A产品的变动范围多大
? 若要选用第 IV组方案，该组的生产费用应降低多少
? 若工人加班费为 0.3元 /小时，最多允许加班时间多少
? 若机器租费低于 44元 /小时，问租几部机器才合适 (每天
8小时计 )
? 若第 III组方案使机器工时减少 0.5小时，能否被选入
23
2.4.8 其他类型线性规划问题的灵敏度分析
? 目标函数为 min型
– 当 xj 不在基中：
– 当 xj 在基中：
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 0m i n0m a x ' kj
kj
jj
jjkjkj
jj
j
aa zccaa zc ?
? 当第 i 个约束条件为 ?型
– 由于 xn+i 为剩余变量,-Pn+i才代表 B-1的第 i 列，故
右端项 ?bi 的允许变化范围为
???
?
???
? ???
???
?
???
? ?
?
?
?
?
0m i n0m a x,
,
,
,
ink
ink
k
kiinkink
k
k
aa bbaa b ?
24
2.4.8 其他类型线性规划问题的灵敏度分析
? 当第 i 个约束条件为 ?型，其右端项 bi 的边际值为
qi = -zn+i
? 无论目标函数为 max 型或 min 型，若 xj 为非基变量，
则 ?aij 的变化范围为
0,-
0,
?
??
???
?
?
???
?
i
jj
i
jj
ij
i
jj
ij
i
jj
q
zc
q
zc
a
q
zc
a
q
zc
Δ
Δ
或
25
2.5 参数线性规划
? 2.4 节中 aij,bi,cj 只有一个发生变化，多个同时发生变
化则很难解析
? 但在一些特殊情况下，用参数表示变化量，也可以用
来进行多个系数的灵敏度分析
2.5.1 参数 cj的变化分析
?i 第 i 种资源的单位费用变化量,?i ?不限
?i ?i 变化对 cj 的影响率
26
例 2.4.2 资源 b1单价 变化量 ?1，价格影响率 ?j=a1j
27
例 2.4.2 资源 b1单价变化量 ?1与 ?c5
28
2.5.2 参数 bi 的变化分析
? 例 2.4.2中，将 b1,b2,b3理解为三个车间的周工时资源。假设从
第 2向 1车间调动工人 ?个，每个工人的周工时为 40小时，问
调动多少工人不会破坏最优产品组合
