?管理与人文学院 忻展红
1999,4
第八章 标准服务系统
M/M/n 系统
鱼与熊掌兼得？
2
8.1 M/M/n 损失制
8.1.1 M/M/n 损失制，无限源 (M/M/n,?/n/FIFO)
? 令从顾客源来的顾客到达率为 ?，每台的服务率为 ?
– 则有 ?j = ?,j=0,1,...,n–1; ?n=0,?j = j?,j=1,...,n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
? 式中 ?=?/?称为 业务量 (traffic)，是无量纲量 ； 表示单位时间
内要求系统提供的服务时间； ?和 ? 的单位必须一致；由于
纪念 Erlang，用 爱尔兰 作单位 (Erl)
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j
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3
系统的服务质量
? 系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法
– 按时间计算的 损失率 pn，即单位时间内服务台全被占用的
时间
– 按顾客计算的 损失率 B，即单位时间内损失的顾客数与到
达顾客数之比
– 在本系统中有 B=pn=En(?)，称为 爱尔兰损失公式
? 不是所有系统都有 B=pn 的性质
? 工程上经常是已知 ?，给定 B，求所需最少的服务台 n
? 求 n 一般有三种方法：迭代计算，查图，查表
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4
求所需服务台的方法
1、查图，如书上 262页
2,迭代计算
– 无法由 En(?) 给出 n 的逆函数，因此采用逐次试算的方法
– 注意,En(?) 有较简单的递推公式
3、工程上经常采用查表的方法
– 爱尔兰表最左边一列为服务台数 n，最上面一行为服务
质量的不同等级，即 B
– 爱尔兰表中元素的值为 ?，表示服务台数为 n，服务质
量为 B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用
A表示 ?, A 是 加入话务量
即为所求则迭代直到首次满足,)(
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En
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5
爱尔兰损失表
A
n
B
0, 0 0 5 0, 0 1 0, 0 5 0, 1 0, 2 0, 3
1 0, 0 0 5 0, 0 1 0 0, 0 5 3 0, 1 1 1 0, 2 5 0 0, 4 2 9
2 0, 1 0 5 0, 1 5 3 0, 3 8 1 0, 5 9 5 1, 0 0 0 1, 4 4 9
3 0, 3 4 9 0, 4 5 5 0, 8 9 9 1, 2 7 1 1, 9 3 0 2, 6 3 3
4 0, 7 0 1 0, 8 6 9 1, 5 2 5 2, 0 4 5 2, 9 4 5 3, 8 9 1
5 1, 1 3 2 1, 3 6 1 2, 2 1 8 2, 8 8 1 4, 0 1 0 5, 1 8 9
6 1, 6 2 2 1, 9 0 9 2, 9 6 0 3, 7 5 8 5, 1 0 9 6, 5 1 4
7 2, 1 5 7 2, 5 0 1 3, 7 3 8 4, 6 6 6 6, 2 3 0 7, 8 5 7
8 2, 7 3 0 3, 1 2 8 4, 5 4 3 5, 5 9 7 7, 3 6 9 9, 2 1 3
9 3, 3 3 3 3, 7 8 3 5, 3 7 0 6, 5 4 6 8, 5 2 2 1 0, 5 7 9
10 3, 9 6 1 4, 4 6 1 6, 2 1 6 7, 5 1 1 9, 6 8 5 1 1, 9 5 3
– n=3,B=0.01,查表得 ?=0.455
– 已知 n 和 ? 如何求 B,线性内插法 ；例,n=3,? =2.5，
由表可知 B 落在 0.2~0.3 之间，若假设在这区间所承担
的业务量与 B成线性关系，则有 线性内插公式
– B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281
6
例 1 M/M/n 损失制无限源系统，已知 n=3,?=5人 /小时，平均服
务时长 30分钟 /人,试求,(1)系统中没有顾客的概率； (2)只有
一个服务台被占用的概率； (3)系统的损失率
解,由题意可知 ?=60/30=2人 /小时，所以 ?=?/?=2.5Erl
(1) p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)?1=0.108
(2) p1= ? p0=2.5?0.108=0.27
(3) B=E3(2.5)=p0 ?3/3!=0.108 ?2.604=0.28
例 2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为 240，每次通话平均时长
为 5 分钟，规定两局间中继线的服务等级为 B?0.01,问,(1)
应配备多少条中继线？ (2)中继线群的 利用率 为多少？
解,中继线群上的加入话务量为 ?=240 ?5/60= 20Erl，
(1)查 262页图,n=30条；
(2)查爱尔兰表可知,n=30,B=0.01时可承担 A=20.337，
B=0.005 时可承担 A=19.034，因此,E30(20)=0.005+0.005
?(20?19.034)/(20.337?19.034)=0.008707
中继线群利用率 ? = ?(1?B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862
7
服务台利用率与服务台数量的关系 ??n 图
? 当给定 n和 B 后，系统所能承担的业务量 ? 可以通过爱尔
兰公式求出，从而可计算出服务台利用率 ?；若保持 B不
变，不断增加服务台数 n,? 也会发生变化，就可以得到
??n 图如下；通过观察，有几点结论：
2 10864 12 20181614
10
20
30
40
50
60
70
80
0
? ? ? ?
n
B = 0, 0 1
B = 0, 0 5
B = 0, 1 0
B = 0, 1 5
1,B不变时,?随 n 增加；
说明大电路群效率高
2,n 不变时,?随 B 增加；
说明效率与质量是矛盾
的； (高效路由 )
3,?具有 边际递减 规律
4,?越大，系统抗过负荷
能力越差
8
系统过负荷特性 ??B 图
? 过负荷 是指系统加入的业
务量 A?,超过给定服务质量
所能承担的业务量 A
? 过负荷用过载业务量与标
准应承担的业务量的比值
来表示，即
? = (A??A)/A = ?A/A
En(A) = B,En(A?) = B?
? 由图可见，在同样标准的
服务质量和同样的过负荷
率下，大系统的质量劣化
严重；说明效率与可靠性
是矛盾的
0, 0 0 2
0
? ? ? ?
n =5
0, 0 0 4
0, 0 0 6
0, 0 0 8
5 10 15 20
n = 1 0
n = 1 5
25
B'
B=
9
例 3 某服务部门把顾客分为两组，分别组成两个单独的服务系统。
各系统的到达率分别为 ?1 =4人 /小时,?2 =8人 /小时，每人的
平均占用时长都为 6 分钟；给定损失率为 B ? 0.01,试求,(1)
分组服务时每组应配备的服务台数； (2)合并为一个服务系统
时，各种条件不变，应配备的服务台数； (3)比较两种组织方
式的服务台利用率。
解, (1) 分组时,?1=4 ?0.1=0.4Erl,?2=8 ?0.1=0.8Erl
查爱尔兰表，得 n1=3台,n2=4台，共需 7台。
B1=0.005+0.005 ?(0.4?0.349)/(0.455 ?0.349)=0.0074
B2=0.005+0.005 ?(0.8?0.701)/(0.869 ?0.701)=0.00795
? = [?1(1 ? B1)+?2(1 ? B2)]/(n1+n2)=0.17
(2) 合组时,?=12 ?0.1=1.2Erl,
查爱尔兰表，得 n=5台，节省了 2台。
B =0.005+0.005 ?(1.2?1.132)/(1.361?1.132)=0.006485
? = ?(1 ? B)/n=0.238
10
8.2.1 M/M/n 损失制，有限源 (M/M/n,N/n/FIFO)
例 交换机内部有 n 条绳路,N条入中继线,N> n； 每条入中
继线上的呼叫到达强度为 ?，且为波松分布，通话时长为负
指数分布 (参数为 ? ),问入中继线上呼叫的损失率为多少？
? 上述例子就是一个 M/M/n 损失制，有限源系统。当已经接
受绳路服务的中继线在通话中，该中继线上就不会有新的
呼叫。因此，整个系统的呼叫到达率是与系统中被服务的
中继线数相关的。这就是有限源系统的特点
? 显然，系统在各状态下的到达率和离去率分别为
– ?j =(N– j)?,j=0,1,...,n–1,?n=0,?j = j?,j=1,...,n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
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11
? 当 j=n 时,pn表示按时间计算的损失率
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? 下面分析按顾客计算的损失率 B
B=单位时间平均损失顾客数 /单位时间平均到达顾客数
? 在有限源系统中，顾客到达率随系统状态变化，因此有 平
均顾客到达率 ?，又称为 有效到达率
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由
12
? 可见，在有限源情况下，系统按时间计算的损失率 pn 和按
顾客计算的损失率 B 是不相等的；其原因就是输入过程随
系统状态而变
? 从一个极端情况看，若 N=n，则 B=0，但 pn ? 0
? 虽然爱尔兰损失公式和恩格谢特损失公式都是在负指数服
务时长假设下推导出来的，但已证明服务时间是其它一般
平稳分布，结论仍是正确的
? 服务台利用率：
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恩格谢特损失公式得
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13
例 4 有一电话查询服务处集中答复三个查询点的所有查询事项。
查询服务处与查询点之间用电话联系。查询服务处只有一名
值班员答复所有的查询。已知每个查询点平均每小时有两次
查询，每次平均通话 12分钟，问,(1)值班员空闲的概率； (2)
值班员打电话的概率； (3)查询时值班员忙的概率； (4)服务处
查询电话的平均到达率； (5)值班员的工时利用率。
解,系统是有限源 M/M/1 损失制。 q=?/? =(2/60)?12=0.4Erl
(1) p0=1/(1+Nq)=0.4545
5455.0)5(
/91.423)()4(
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4.021
4.022
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???? 小时次
14
8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量
(M/M/n,?/?/FIFO)
8.2.1 系统稳态概率及 等待概率
? 令从顾客源来的顾客到达率为 ?，每台的服务率为 ?
– 则有 ?j = ?,j?0; ?j = j?,j<n； ?j = n?,j?n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
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得由
15
? 当 ?? n 时，则 p0 中第二项不收敛，系统中队长将趋于无穷
? 当 ? < n 时，系统有稳态，处于动态平衡；无限容量等待制，
每个顾客早晚都会得到服务，因此系统完成的业务量也是 ?
? 顾客进入系统必须排队等待的概率为
1
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有才收敛时只有注意
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j
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1
0
0
即
? D 爱尔兰等待公式
? 排队等待的概率是
等待制系统的重要
指标之一
? n=1 时,D= ?
? 公式 D 的记忆法
16
8.2.2 系统的各种指标
? 等待制系统的指标有,平均逗留队长 ； 平均等待队长 ； 平
均逗留时长 ； 平均等待时长 和 服务台利用率 等
n
L
n
D
LW
LW
nnp
L
n
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服务台利用率服务台平均占用数
平均等待时长
平均逗留时长
平均等待队长
平均逗留队长
? n=1 时,D= ?, Ld =? /(1??),Lq =? 2/(1??),Wq= ? /(???)
? 例 5 书上 273页
17
8.2.3 等待时间的概率分布
? 前面只推导了要等待的概率 D=P{W>0}，但在很多情况下
我们希望知道等待时长的分布，即 P{W>t}
? 系统中有 j 个顾客,j?n 时，新来顾客要排队等待，采用
FIFO规则；令新顾客到达时为 0 时刻，显然，只有服务台
上离去 j?n个顾客时，新顾客才排到队首
? 当 n 个服务台连续服务时，顾客离去率为 n?，因此服务台
空出的过程是 波松流,在 (0,t)内空出 i 次的概率为
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nj
jj
nj
i
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i
j
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i
i
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经推导可得
应用全概率公式可以是任何值系统状态新顾客到达时
的概率等效为故等待时间
18
等待时长分布的推导
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i
i
tn
n
k
k
i
i
i
tn
n
k
i
i
k
k
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k
i
i
k
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yx
19
例 6 某储蓄所内，已知忙时顾客到达率 ?=40人 /小时，窗口营业
员服务率为 ?=16人 /小时,要求,(1)工时利用率不低于 60%；
(2)顾客平均等待时间不超过 5 分钟；问：设几个窗口适当。
解,系统是无限源 M/M/n 等待制。 ?= ? /? =40/16=2.5Erl
(1) ? = ? /n ? 0.6，解出 n ? 4.17，故 n 可取值 3,4
(2) n=3 时,p0=(1+?+?2/2!+ (?3/3!)(3/(3-2.5))?1=0.045
分钟小时
时
分钟小时
8.00133 28.0
0737.0
5.1!340
5.2
)()!1(
0737 0.0,4 )3(
27.50878 9.0
40163
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/
7031 25.0045.0
5.23
3
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5.2
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2
5
0
2
1
0
3
0
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20
例 7 兴建一座港口码头，只有一个装卸泊位，要求设计泊位的生
产能力，能力用日装卸船只数表示。已知单位装卸能力日平
均生产费用为 a=2000元；船只到港后若不能及时装卸，逗留
一日要损失运输费 b=1500元；预计船只的平均到达率为 ?=3
只 /日。设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，
问港口生产能力设计为多大时，每天总费用最小？
解,系统是无限源 M/M/1 等待制，生产能力用 ? (只 /日 )表示
目标函数,min C= a? +bLd
万元日总费用为日只最佳设计生产能力为答
万元
只
日只解出
故有
时当
2.1,/5.4,
2.1215005.42000
)(2)35.4(3)(
)/(5.4
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31500
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2
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21
例 8 M/M/1 等待制系统,无限队长,顾客到达与队长有关
? 该系统仍为无限源，但考虑到顾客对排队的心理，假设顾
客到达率与队长成反比关系 即 ?j = ?0/(1+j),?0 为队长为 0
时的顾客到达率
? 从而系统的 ?j 和 ?j 为
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? 将 ?j 和 ?j 代入生灭方程，得
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系统有效到达率为
?
1999,4
第八章 标准服务系统
M/M/n 系统
鱼与熊掌兼得？
2
8.1 M/M/n 损失制
8.1.1 M/M/n 损失制，无限源 (M/M/n,?/n/FIFO)
? 令从顾客源来的顾客到达率为 ?，每台的服务率为 ?
– 则有 ?j = ?,j=0,1,...,n–1; ?n=0,?j = j?,j=1,...,n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
? 式中 ?=?/?称为 业务量 (traffic)，是无量纲量 ； 表示单位时间
内要求系统提供的服务时间； ?和 ? 的单位必须一致；由于
纪念 Erlang，用 爱尔兰 作单位 (Erl)
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nj
k
j
p
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p
j
p
j
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k
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j
j
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3
系统的服务质量
? 系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法
– 按时间计算的 损失率 pn，即单位时间内服务台全被占用的
时间
– 按顾客计算的 损失率 B，即单位时间内损失的顾客数与到
达顾客数之比
– 在本系统中有 B=pn=En(?)，称为 爱尔兰损失公式
? 不是所有系统都有 B=pn 的性质
? 工程上经常是已知 ?，给定 B，求所需最少的服务台 n
? 求 n 一般有三种方法：迭代计算，查图，查表
)(
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p
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4
求所需服务台的方法
1、查图，如书上 262页
2,迭代计算
– 无法由 En(?) 给出 n 的逆函数，因此采用逐次试算的方法
– 注意,En(?) 有较简单的递推公式
3、工程上经常采用查表的方法
– 爱尔兰表最左边一列为服务台数 n，最上面一行为服务
质量的不同等级，即 B
– 爱尔兰表中元素的值为 ?，表示服务台数为 n，服务质
量为 B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用
A表示 ?, A 是 加入话务量
即为所求则迭代直到首次满足,)(
1)(
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E
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E
E
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5
爱尔兰损失表
A
n
B
0, 0 0 5 0, 0 1 0, 0 5 0, 1 0, 2 0, 3
1 0, 0 0 5 0, 0 1 0 0, 0 5 3 0, 1 1 1 0, 2 5 0 0, 4 2 9
2 0, 1 0 5 0, 1 5 3 0, 3 8 1 0, 5 9 5 1, 0 0 0 1, 4 4 9
3 0, 3 4 9 0, 4 5 5 0, 8 9 9 1, 2 7 1 1, 9 3 0 2, 6 3 3
4 0, 7 0 1 0, 8 6 9 1, 5 2 5 2, 0 4 5 2, 9 4 5 3, 8 9 1
5 1, 1 3 2 1, 3 6 1 2, 2 1 8 2, 8 8 1 4, 0 1 0 5, 1 8 9
6 1, 6 2 2 1, 9 0 9 2, 9 6 0 3, 7 5 8 5, 1 0 9 6, 5 1 4
7 2, 1 5 7 2, 5 0 1 3, 7 3 8 4, 6 6 6 6, 2 3 0 7, 8 5 7
8 2, 7 3 0 3, 1 2 8 4, 5 4 3 5, 5 9 7 7, 3 6 9 9, 2 1 3
9 3, 3 3 3 3, 7 8 3 5, 3 7 0 6, 5 4 6 8, 5 2 2 1 0, 5 7 9
10 3, 9 6 1 4, 4 6 1 6, 2 1 6 7, 5 1 1 9, 6 8 5 1 1, 9 5 3
– n=3,B=0.01,查表得 ?=0.455
– 已知 n 和 ? 如何求 B,线性内插法 ；例,n=3,? =2.5，
由表可知 B 落在 0.2~0.3 之间，若假设在这区间所承担
的业务量与 B成线性关系，则有 线性内插公式
– B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281
6
例 1 M/M/n 损失制无限源系统，已知 n=3,?=5人 /小时，平均服
务时长 30分钟 /人,试求,(1)系统中没有顾客的概率； (2)只有
一个服务台被占用的概率； (3)系统的损失率
解,由题意可知 ?=60/30=2人 /小时，所以 ?=?/?=2.5Erl
(1) p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)?1=0.108
(2) p1= ? p0=2.5?0.108=0.27
(3) B=E3(2.5)=p0 ?3/3!=0.108 ?2.604=0.28
例 2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为 240，每次通话平均时长
为 5 分钟，规定两局间中继线的服务等级为 B?0.01,问,(1)
应配备多少条中继线？ (2)中继线群的 利用率 为多少？
解,中继线群上的加入话务量为 ?=240 ?5/60= 20Erl，
(1)查 262页图,n=30条；
(2)查爱尔兰表可知,n=30,B=0.01时可承担 A=20.337，
B=0.005 时可承担 A=19.034，因此,E30(20)=0.005+0.005
?(20?19.034)/(20.337?19.034)=0.008707
中继线群利用率 ? = ?(1?B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862
7
服务台利用率与服务台数量的关系 ??n 图
? 当给定 n和 B 后，系统所能承担的业务量 ? 可以通过爱尔
兰公式求出，从而可计算出服务台利用率 ?；若保持 B不
变，不断增加服务台数 n,? 也会发生变化，就可以得到
??n 图如下；通过观察，有几点结论：
2 10864 12 20181614
10
20
30
40
50
60
70
80
0
? ? ? ?
n
B = 0, 0 1
B = 0, 0 5
B = 0, 1 0
B = 0, 1 5
1,B不变时,?随 n 增加；
说明大电路群效率高
2,n 不变时,?随 B 增加；
说明效率与质量是矛盾
的； (高效路由 )
3,?具有 边际递减 规律
4,?越大，系统抗过负荷
能力越差
8
系统过负荷特性 ??B 图
? 过负荷 是指系统加入的业
务量 A?,超过给定服务质量
所能承担的业务量 A
? 过负荷用过载业务量与标
准应承担的业务量的比值
来表示，即
? = (A??A)/A = ?A/A
En(A) = B,En(A?) = B?
? 由图可见，在同样标准的
服务质量和同样的过负荷
率下，大系统的质量劣化
严重；说明效率与可靠性
是矛盾的
0, 0 0 2
0
? ? ? ?
n =5
0, 0 0 4
0, 0 0 6
0, 0 0 8
5 10 15 20
n = 1 0
n = 1 5
25
B'
B=
9
例 3 某服务部门把顾客分为两组，分别组成两个单独的服务系统。
各系统的到达率分别为 ?1 =4人 /小时,?2 =8人 /小时，每人的
平均占用时长都为 6 分钟；给定损失率为 B ? 0.01,试求,(1)
分组服务时每组应配备的服务台数； (2)合并为一个服务系统
时，各种条件不变，应配备的服务台数； (3)比较两种组织方
式的服务台利用率。
解, (1) 分组时,?1=4 ?0.1=0.4Erl,?2=8 ?0.1=0.8Erl
查爱尔兰表，得 n1=3台,n2=4台，共需 7台。
B1=0.005+0.005 ?(0.4?0.349)/(0.455 ?0.349)=0.0074
B2=0.005+0.005 ?(0.8?0.701)/(0.869 ?0.701)=0.00795
? = [?1(1 ? B1)+?2(1 ? B2)]/(n1+n2)=0.17
(2) 合组时,?=12 ?0.1=1.2Erl,
查爱尔兰表，得 n=5台，节省了 2台。
B =0.005+0.005 ?(1.2?1.132)/(1.361?1.132)=0.006485
? = ?(1 ? B)/n=0.238
10
8.2.1 M/M/n 损失制，有限源 (M/M/n,N/n/FIFO)
例 交换机内部有 n 条绳路,N条入中继线,N> n； 每条入中
继线上的呼叫到达强度为 ?，且为波松分布，通话时长为负
指数分布 (参数为 ? ),问入中继线上呼叫的损失率为多少？
? 上述例子就是一个 M/M/n 损失制，有限源系统。当已经接
受绳路服务的中继线在通话中，该中继线上就不会有新的
呼叫。因此，整个系统的呼叫到达率是与系统中被服务的
中继线数相关的。这就是有限源系统的特点
? 显然，系统在各状态下的到达率和离去率分别为
– ?j =(N– j)?,j=0,1,...,n–1,?n=0,?j = j?,j=1,...,n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
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11
? 当 j=n 时,pn表示按时间计算的损失率
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? 下面分析按顾客计算的损失率 B
B=单位时间平均损失顾客数 /单位时间平均到达顾客数
? 在有限源系统中，顾客到达率随系统状态变化，因此有 平
均顾客到达率 ?，又称为 有效到达率
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由
12
? 可见，在有限源情况下，系统按时间计算的损失率 pn 和按
顾客计算的损失率 B 是不相等的；其原因就是输入过程随
系统状态而变
? 从一个极端情况看，若 N=n，则 B=0，但 pn ? 0
? 虽然爱尔兰损失公式和恩格谢特损失公式都是在负指数服
务时长假设下推导出来的，但已证明服务时间是其它一般
平稳分布，结论仍是正确的
? 服务台利用率：
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恩格谢特损失公式得
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13
例 4 有一电话查询服务处集中答复三个查询点的所有查询事项。
查询服务处与查询点之间用电话联系。查询服务处只有一名
值班员答复所有的查询。已知每个查询点平均每小时有两次
查询，每次平均通话 12分钟，问,(1)值班员空闲的概率； (2)
值班员打电话的概率； (3)查询时值班员忙的概率； (4)服务处
查询电话的平均到达率； (5)值班员的工时利用率。
解,系统是有限源 M/M/1 损失制。 q=?/? =(2/60)?12=0.4Erl
(1) p0=1/(1+Nq)=0.4545
5455.0)5(
/91.423)()4(
444.0
4.021
4.022
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14
8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量
(M/M/n,?/?/FIFO)
8.2.1 系统稳态概率及 等待概率
? 令从顾客源来的顾客到达率为 ?，每台的服务率为 ?
– 则有 ?j = ?,j?0; ?j = j?,j<n； ?j = n?,j?n
? 将 ?j,?j 代入生灭方程，得
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得由
15
? 当 ?? n 时，则 p0 中第二项不收敛，系统中队长将趋于无穷
? 当 ? < n 时，系统有稳态，处于动态平衡；无限容量等待制，
每个顾客早晚都会得到服务，因此系统完成的业务量也是 ?
? 顾客进入系统必须排队等待的概率为
1
1
0
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0
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有才收敛时只有注意
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j
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j
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}0{
1
0
0
即
? D 爱尔兰等待公式
? 排队等待的概率是
等待制系统的重要
指标之一
? n=1 时,D= ?
? 公式 D 的记忆法
16
8.2.2 系统的各种指标
? 等待制系统的指标有,平均逗留队长 ； 平均等待队长 ； 平
均逗留时长 ； 平均等待时长 和 服务台利用率 等
n
L
n
D
LW
LW
nnp
L
n
D
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n
D
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n
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1
服务台利用率服务台平均占用数
平均等待时长
平均逗留时长
平均等待队长
平均逗留队长
? n=1 时,D= ?, Ld =? /(1??),Lq =? 2/(1??),Wq= ? /(???)
? 例 5 书上 273页
17
8.2.3 等待时间的概率分布
? 前面只推导了要等待的概率 D=P{W>0}，但在很多情况下
我们希望知道等待时长的分布，即 P{W>t}
? 系统中有 j 个顾客,j?n 时，新来顾客要排队等待，采用
FIFO规则；令新顾客到达时为 0 时刻，显然，只有服务台
上离去 j?n个顾客时，新顾客才排到队首
? 当 n 个服务台连续服务时，顾客离去率为 n?，因此服务台
空出的过程是 波松流,在 (0,t)内空出 i 次的概率为
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nj
jj
nj
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i
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i
i
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经推导可得
应用全概率公式可以是任何值系统状态新顾客到达时
的概率等效为故等待时间
18
等待时长分布的推导
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i
i
tn
n
k
k
i
i
i
tn
n
k
i
i
k
k
tn
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yx
19
例 6 某储蓄所内，已知忙时顾客到达率 ?=40人 /小时，窗口营业
员服务率为 ?=16人 /小时,要求,(1)工时利用率不低于 60%；
(2)顾客平均等待时间不超过 5 分钟；问：设几个窗口适当。
解,系统是无限源 M/M/n 等待制。 ?= ? /? =40/16=2.5Erl
(1) ? = ? /n ? 0.6，解出 n ? 4.17，故 n 可取值 3,4
(2) n=3 时,p0=(1+?+?2/2!+ (?3/3!)(3/(3-2.5))?1=0.045
分钟小时
时
分钟小时
8.00133 28.0
0737.0
5.1!340
5.2
)()!1(
0737 0.0,4 )3(
27.50878 9.0
40163
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7031 25.0045.0
5.23
3
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0
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20
例 7 兴建一座港口码头，只有一个装卸泊位，要求设计泊位的生
产能力，能力用日装卸船只数表示。已知单位装卸能力日平
均生产费用为 a=2000元；船只到港后若不能及时装卸，逗留
一日要损失运输费 b=1500元；预计船只的平均到达率为 ?=3
只 /日。设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，
问港口生产能力设计为多大时，每天总费用最小？
解,系统是无限源 M/M/1 等待制，生产能力用 ? (只 /日 )表示
目标函数,min C= a? +bLd
万元日总费用为日只最佳设计生产能力为答
万元
只
日只解出
故有
时当
2.1,/5.4,
2.1215005.42000
)(2)35.4(3)(
)/(5.4
2000
31500
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21
例 8 M/M/1 等待制系统,无限队长,顾客到达与队长有关
? 该系统仍为无限源，但考虑到顾客对排队的心理，假设顾
客到达率与队长成反比关系 即 ?j = ?0/(1+j),?0 为队长为 0
时的顾客到达率
? 从而系统的 ?j 和 ?j 为
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?
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,2,1
,2,1,0
1
0
j
j
j
j
j
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? 将 ?j 和 ?j 代入生灭方程，得
? ?0
00
1
1
,2,1,0
!!
1
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1
0
0
0
1
1
0
0
0
000
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ep
j
je
j
pe
j
p
p
j
p
j
je
j
j
i
i
j
j
系统有效到达率为
?
