复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 1 第二章 OLG模型 1 交叠世代模型同样解决了新古典增长中的消费和储蓄问题，并作为个人的跨 期选择的结果。不同于拉姆齐模型的是，这里假定个人的生命是有限的，在同一 个时期同时存在出生不同年代的人。那么是无限期生存模型的那些不足使得人们 去研究叠代模型呢？有人认为现实中的人的生命是有限的，但是我们发现当完全 互爱的代际关系，叠代模型与拉姆齐无限期解模型是等价的。其实最主要的问题 是，无限期解模型，每一期和下一期都是类似的，因此并没有凸现出，现实经济 中同时存在老人和青年，人面临一生中的储蓄，退休等生命周期问题，也不能分 析这两种人的不同消费和储蓄动机对社会保障、资本积累的影响，即在这个框架 下政府的税收政策对均衡产出和工人劳动力供给和退休决定的影响。 第一节 两期寿命Diamond模型 代表性家庭生存两期。考虑一个t期出生的个人，我们用1tc表示他（她）在 第一期（年轻时）的消费，用21tc +表示他在第二期（老年时）的消费。家庭的 偏好为如下： 1 121()(1 ) ( )tt tUuc ucρ ? +=++ (1.1) 其中ρ为主观贴现率。个人只在青年的时候工作，无弹性地供给1单位劳动 力，工资为tw，在t期进行储蓄并在1t+期消费，收益率为1tr +。因此他面临如 下的预算： 1tt tcsw+= (1.2) 21 1(1 )tttcsr++=+ (1.3) 效用最大化的一阶条件为： 11 21'( ) (1 )(1 ) '( ) 0tt tuc r ucρ+++ ++ = (1.4) 即 11 21 '( ) 1 '( ) 1 tt t uc r uc ρ + + + = + (1.5) 即MRS MRT=。同样我们可以用外生变量tw和1tr +来表示ts： 1 主要参见了布兰查德和费歇尔（1989）第三章 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 2 11(, )ttt ttswc swr+=?= 将方程式(1.4)写为 1 11 1 1 1 1(,,)'()(1)()'(1)( )0tt t t t t t tcr w uc r u r w cζρ ? +++=+++ + ?= (1.6) 那么，通过隐函数定理，可以求出 1 21 11 21 /''() 11 /''()(1)(1)'() tt w ttt t sc w uc s ww cuc r uc ζ ζρ ? ++ ???? ==?=+ = ???? ++ + (1.7) 因此01ws<<，因此这可以得出两个时期的消费都是正常商品。 那么储蓄对利率的反应呢？我们知道由于存在收入效应和替代效应，所 以符号并不确定，取决于风险系数。当效用函数为CRRA时，如 1 1 () 1 c uc θ θ ? ? = ? ，0, 1θ θ>≠；() loguc c=，1θ = 因此 (1 ) / 1 1/ (1 )/ 1 (1 ) (1 ) (1 ) t tt t r sw r θθ θθθ ρ ? + ? + + = +++ (1.8) 当1θ <时，利率的增加导致替代效应大于收入效应，因此储蓄增加。因为 1/ 1σ θ=>，也即跨其替代弹性大于1，这意味着当跨其替代弹性较大时，利率 的上升导致个人更愿意多进行储蓄。 考虑一个新古典生产函数，要素价格由以下给出： '( )ttrfkδ=? (1.9) () '()ttttwfkkfk=? (1.10) 考虑资本市场 11(, )ttt tLs w r K+ += (1.11) 或者考虑当人口增长率为n，那么1.11可变为 11 1 (, ) (1 ) tt tt t tt KL swr nk LL ++ + ==+ (1.12) 所以， 1 1 ( , ) ( ( ) '( ), '( ) ) 11 tt t t t t t swr sfk kf k f k k nn δ+ + ? ? == ++ (1.13) 在稳态时，有 * 1ttkk k+==，所以 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 3 *** * * (() '(),'() ) 1 sfk kfk fk k n δ?? = + (1.14) (1.14)隐含地定义了 * k。将均衡条件(1.13)写为 11(, ) (1 ) (() '(), '() ) 0tt t t t t tkk nk sfk kfk fkφ δ++=+ ? ? ? = (1.15) 因此 1 11 /''() / 1 ''( ) ttwt rt dk k s kf k dk k n s f k φ φ + ++ ?? ? =? = ?? +? (1.16) 因为rs符号未定，所以 1t t dk dk + 的值也不定，当0rs >时， 1 0 t t dk dk + >。即使 1 0 t t dk dk + >， 我们仍可能会有三种情况，因此我们需要确定均衡存在、唯一的条件。 均衡稳定的条件是 1 ||1 t t dk dk + < (1.17) 因此图1－1中， * 0 k和 * 2 k是稳定的均衡资本。 我们来分析在稳态时的效率。因为稳态时的人均消费为 1tk + tk 1ttkk+= A B C * 1 k * 2 k * 0 k 图2－1， 储蓄与稳态 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 4 ** * ()( )cfk n kδ=?+ (1.18) 所以资本积累的黄金律由下式给出 * '( ) gold fk nδ=+ (1.19) 因此如果 * '( )fk nδ<+，则将出现被称为动态无效的情况，因为这个时候通 过永久地减少资本积累dk，增加当期消费，并可以使以后各代的消费都增加。 1() (1 ) (1δ)tt t tcfk nk k+=?+ ? (1.20) 因此有 (1 ) 0tdc n dk=? + > (1.21) ( '( ) ( )) 0tj tjdc f k n dkσ++=?+> (1.22) 例一 假定效用函数为 1 121log( ) (1 ) log( )tt tUc cρ ? +=++ (1.23) 生产函数为 () ,0 1t t fk k α α=<< (1.24) 可以计算出，储蓄方程： 2 t t w s ρ = + (1.25) 要素价格分别为： (1 )t t wk α α=? (1.26) 1 t t rk α α ? = (1.27) 同时有 1 (1 ) (1 )(2 ) t t k k n α α ρ + ? = ++ (1.28) 稳态均衡条件可以表示为： * * (1 )( ) (1 )(2 ) k k n α α ρ ? = ++ (1.29) 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 5 1 * 1 (1 ) [] (1 )(2 ) k n α α ρ ? ? = ++ ，当 * 0k ≠ (1.30) 同时有 1 1 (1 ) (1 )(2 ) t t t kdk dk n α αα ρ ? + ? = ++ (1.31) 1 0 lim t t k t dk dk + → =∞ (1.32) 因此0k =不是稳态点。 而 * 1 1 1 1 (1 ) (1 ) |.[](0,1) (1 )(2 ) (1 )(2 ) tt t kkk t dk dk n n α α α αα α ρρ + ? + ? == ? ? ∈ ++ ++ (1.33) 因此 * kk=不是稳态点。 同时这也意味着，任何 * 0 {0, }kk?都将收敛于 * k，这意味着资本存量和增长 率都有上界。如下所揭示的； 1 1 (1 ) γ (1 )(2 ) t t k t kk kn α α ρ ? + ? == ++ (1.34) 1 1 1 (1 ) γ lim [lim ] 0 (1 )(2 )tt t t t kk t kk k kn α α α ρ ? + ? ∞ →∞ →∞ ? == = ++ (1.35) 资本累积的黄金律为 *1 () gold kn α α δ ? =+ (1.36) 1 *1 1 () [ ] gold k n α α α α δ ? ? = + (1.37) 比较两种资本积累水平，当 (1 ) (1 )(2 )nn α α ρ δ ? > ++ + ， (1.38) 即 (1 )(2 ) n nn δ α ρ δ + < ++++ (1.39) 时，经济处于动态无效。因为α和上式右边都处于(0,1)，因此存在α值满足 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 6 上式。 社会计划者解： 现在我们假定存在一个社会计划者，他的福利函数为： 1 1(1)1 20 1 2 1 0 (1 ) ( ) (1 ) [ ( ) (1 ) ( )] T t tt t U uc R uc ucρρ ? ??+? + = =+ + + ++ ∑ (1.40) 其中，R为社会计划者的对未来各代效用的贴现率。社会计划者面临的约束 是： 1112(, )tt tttttKKFKNNcNc+??= ? ? 或者 2 11(1 ) ( ) 1 t tt tt c nk k f k c n ++?=?? + (1.41) 以及给定01, Tkk+。我们可以用约束条件(1.41)中的值代替目标函数中的 1 , 0,..., 1tct T=?。整理包含2tc或tk的项得： 11 11 2 1 21 1 11 2 2 1 1 ... ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ... ... ( ( ) (1 ) ) (1 ) ( ) 1 (1 ) ( ( ) (1 ) ) ... 1 ttt t tt t t t tt t uc uc R uc c ufk k nk uc n c Rufk k nk n ρ ρ ?? ? ? ? ?? ? + +++ ++ + =+ +?+? ++ + ++ +?+ ? + + (1.42) 对(1.42)中的2tc和tk进行微分： 111 21(1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) 0ttuc R n ucρ ??? +?++= (1.43) 1 11 1(1 ) '( ) (1 ) [1 '( )] '( ) 0tnu c R f k u c ? ??+ ++ + = (1.44) 解释： 1．方程(1.43)是社会计划者在年轻人和老年人之间作出最优配置的条件。 我们把(1.43)重新表述： 1 1 1 2 (1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) t t Ruc n ucρ ? ? + =+ + (1.45) 即t期年轻人的消费和老年人的消费之间的边际替代率（经过贴现的） 等于转移率1 n+，MRS MRT=。 2．把方程(1.44)写为： 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 7 11 11 1'( ) (1 ) (1 ) [1 '( )] '( ) 0tttuc n R f kuc ?? ??++++ = (1.46) 即在1t?时期减少一单位消费使得效用减少11'( )tuc?，但是通过资本 积累可以在t期增加效用 11 1(1 ) (1 ) [1 '( )] '( )ttnRfkuc ?? +++，并保持总效用水 平不变。 结合(1.43)和(1.44)，可以得到： 11 2'( ) (1 )(1 ) '( ) 0tt tuc r ucρ? ++ + = 因此得到了和市场经济中一样的私人跨期消费安排的条件。考虑稳态： **111 (1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) 0uc R n ucρ ??? +?++= (1.47) * 1'()(1)(1)tf knR+=++ (1.48) (1.48)又被称为修正的黄金律。 第二节 社会保障与资本积累 基金制：年轻人在t时期缴纳的社会保障金被用于投资，在1t+期连同利 息返还给不再年轻的老年人，社会保障金的收益率为1tr +。 现收现付制：把t时期年轻人缴纳的社会保障金直接转移给当前的老年 人，因此收益率为n。 我们通过一个例子来分析基金制和现收现付制对资本积累的不同影响。 考虑如下： (a)基金制 1 121() log (1 ) logttMaxU t c cρ ? +=++ 1.. ttttstc w s d= ?? 21 1(1 )( )ttttcrsd++= ++ 1(1 )tttknsd+ + =+ (b)现收现付制 1 121() log (1 ) logttMaxU t c cρ ? +=++ 1.. ttttstc w s d= ?? 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 8 21 1(1 ) (1 )ttt tcsr nd++= +++ 1(1 )ttkns+ + = 显然在基金制下，私人用于储蓄和缴纳保障金所获得收益都是1tr +，且储 蓄和保障金的分配并不影响资本积累，因为他们都转化为资本，所以引进基 金制并不改变原来的资源配置。 所以我们主要研究现收现付制，一阶条件为 21 1 1 1 1 tt t cr c ρ +++ = + (2.1) 利用预算约束，可以写为 11(1 ) (1 ) 1 1 tt t t ttt sr nd r wsd ρ + ++ ++ + = ?? + (2.2) 我们可以把储蓄表示为 1 1 1(1)() (, ) [ (1 )] 21 ttt t t t n sswr w d r ρ ρ + + + + ==? ++ (2.3) 结合 (1 )t t wk α α=? (2.4) 1 t t rk α α ? = (2.5) 得到： 1 1 1 1(1)( [(1 ) (1 ) ] (1 )(2 ) 1 t t t t n kkd nk α α ρ α ρα + ? + + + =?? ++ + (2.6) 与(1.28)相比较，可以发现 1t t dk dk + 比原来要低，同时稳态资本积累也比原来 低，我们可以从图2－2看出。 如果条件(1.39)满足，那么最初的稳态处于动态无效的水平，那么通过引 进现收现付制的社会保障制度，可以增加当期老人的消费，同时降低了资本 积累，增加了未来各代人的消费。相反，如果条件(1.39)不满足，那么最初 的稳态处于动态有效，引入现收现付制，当期老年人可以获益，但是由于新 的稳态资本在低于黄金律水平资本存量的区间，比原来更低，所以未来各代 的福利降低。 复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG模型 9 第三节 Diamond模型下的财政政策 第四节 迭代模型中法定货币的引入 1tk + tk 1ttkk+= 1k * 2 k * 0 k 图2－2， 社会保障与资本积累 A：非现收现付 B：非现收现付