3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
3.1 概述
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
3.4 多自由度弹性体系的地震反应的振型分解法
3.5 多自由度体系的水平地震作用
3.6 结构自振周期和振型计算
3.7 地基与结构的相互作用
3.10 结构的抗震验算
3.1 概 述一、建筑结构抗震设计步骤
1、计算结构的地震作用 — 地震荷载
2、计算结构、构件的地震作用效应 — M,Q,N及位移
3、地震作用效应与其他荷载效应进行组合、验算结构和构件的抗震承载力及变形（确保结构、构件的内力 <材料抗力）。
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计二、结构抗震设计理论发展过程的三个阶段
1.静力理论阶段 ---静力法
1920年，日本大森房吉提出。
假设建筑物为绝对刚体。
)(txg
m
)(txm g
地震作用
---地震系数,反映震级、震中距、地基等的影响将 F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
2、反应谱理论阶段,1940年美国皮奥特教授提出的,
弹性反应谱理论,
目前我国采用,底部剪力法 或 震型分解反应谱法 （用于小震或中震的计算）
计算时：单自由度多质点体系（多个等效单质点体系）
，如糖葫芦重力荷载的代表值。:G
）特性，如周期、阻尼等动力系数( 反映结构的:?
GKF?
目前，世界上普遍采用的方法。
3、动态分析阶段,时程分析法 — 用于大震分析计算，
借助于计算机。
三、与各类型结构相应的地震作用分析方法
不超过 40m的规则结构,底部 剪力法
一般的规则结构：两个主轴的振型 分解反应 谱法
质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法
8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度的高层建筑：考虑竖向地震作用
特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算补充：单自由度体系动力学分析回顾单自由度体系自由振动
（ 1）无阻尼时时
（ 2）有阻尼时
阻尼：振动过程中的阻力。
无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程将无限地进行下去。
有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消耗振动的能量，使振幅不断减小。
强迫振动：在外加剂激振力作用下的振动称为强迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）
有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
1,单自由度弹性体系的计算简图
把结构的所有质量集中在屋盖处，墙、柱视为一个无质量的弹性杆,形成一个单质点体系。
当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由度体系。
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
2、运动方程
)(0tx
)(tx
：地面（基础）的水平位移
：质点对地面的的相对位移
：质点的总位移
：质点的绝对加速度
)()(0 txtx?
)()(0 txtx
)(0 tx
动荷载取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的力：
惯性力：
弹性恢复力：
阻尼力：（粘滞阻尼理论）
根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用下的运动方程为：
)(
)(
)()(0
txcD
tkxS
txtxmI
上式进一步简化为：
km
c
m
c
m
k
xxxx
22
3,52
0
2
）（式
）（式 3,52 02 xxxx
式（ 3.5）为一个 二阶常系数非齐次微分方程 。令方程式左边 =0，得该方程的齐次解，即方程
02 2 xxx 的通解。
则方程式（ 3.5）的解由有上述的 齐次解和特解 两部分组成。
之间
1,0—1程结构阻尼比在0,0体系的阻尼比，一般工—ζ
内的振动次数
2 π秒系的圆频率，即质点在无阻尼单自由度弹性体—ω
阻尼系数—
所需施加的力质点点发生单位位移时，在弹性直杆的刚度，即质—
上式中
C
k
)3,1 2(s i n
)0(
c o s)0(
０
1
)3,1 1(s i n
( 0 )( 0 )
c o s)0(
02
2
2
式
，
式
ωt
ω
x
ωtxx ( t )
＝ω ω，ζ
ζωω
tω
ω
ζ ω xx
tωxex ( t )
xωxζωx
t
的自由振动方程为：则无阻尼单自由度体系当体系无阻尼时的圆频率为有阻尼单自由度体系式中
：解得该方程的齐次解为运动方程等于零自由振动方程：令体系
3,自由振动
t=0时，体系的初始位移
t=0时，体系的初始速度由上图可知，无阻尼自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的振幅随时间的增加而减小，
且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。
。
，
——
即使结构周期加大使结构自由频率减小，说明由于阻尼存在，将为有阻尼的自振频率，
间隔称为周期）等的，也可以把该时间间间隔是相振动一个循环所需的时衰减是往复的，质点每振动不是周期的，但阻尼时有阻尼振动的周期（有
。次数，称为体系的频率单位时间内质点的振动
π内的振动次数）：圆频率( 质点在时间2
自振周期：无阻尼单自由度体系的
ωωω
ω
π
T
ζ
f
πfω
ω
π
T
2
0
2
2
称为临界阻尼系数得又因体系发生振动体系不发生振动由试验测得为临界阻尼比）此时的表示结构不产生振动，
时当知由式
kmc
ckmc
km
c
ζ
ζζ
ζ
ωζ
ζωω
r
r
2
2
2
11
1
01
1
2
。，，
（
。是结构的一种固有属性关，周期与其质量和刚度有由此可知：结构的自振周期则得单自由度体系自振因近似取在实际结构中，的取值一般很小，所以但理论上
k
m
πT
m
k
ω
ωω
ωω
2?
，,?
4、强迫振动
瞬时冲量及其引起的自由振动
）（ 21.3s i n
000
0
0
0
tω
ωm
P d t
etx
m
P d t
)(x,x
m
P d t
v
v
mvmvp d t
ζ ω t
由振动方程则得瞬时荷载作用下自因式3,1 1 ）根据自由振动的方程（
则此时的速度若体系原先静止，即瞬时冲量：
）（式
，
，
3,2 1s i n
000
0
tω
ωm
P d tetx
m
P d t)(x,x
m
P d tvmvmvp d t
ζ ω t
由振动方程则得瞬时荷载作用下自式3,1 1 ）根据自由振动的方程（
此时的速度瞬时冲量：
杜哈默积分
d τω
ω
tx
e d x
tω
ωm
p d t
ex
τt，tm
d τxP d t
xxωxζωx
--
- ζ
τ)-(ts i n
)(
( t )
s i n( t )
1
)(
2
0τ)-(t
t
0
0
2
得 则由( 式3,2 1 )
改为瞬时冲量的强迫振动就是质点由外荷载引起的特解 )( 式3,5
取可视为作用于单位质量上的动力荷载
d ττteτx
ω
tx
)(x)x(
d ττteτx
ω
tω
ω
)ζ ω x ()(x
tω)x(etx
d ττteτx
ω
tx
τtζω
t
τtζω
t
ζ ω t
τtζω
t
s i n
1
0000
s i n
1
s i n
00
c o s0
s i n
1
0
0
0
0
0
0
则时，当体系的初始状态静止的通解为：( 式3,5 ) 微分方程默积分）系的总位移：（即杜哈通过对上式积分，得体
，，
上式即为处于静止状态的 单自由度体系地震位移反应 计算公式。
3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
1,单自由度弹性体系的水平地震作用对于单自由度弹性体系，通常把 惯性力 看作一种反映地震对结构体系影响的 等效力,可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。（把动荷载转化为静荷载解决计算问题。）
下式为质点的绝对最大加速度 计算公式，取决于地震时地面运动加速度,结构的自振周期 T及结构的阻尼比
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
aS
)(0?x
2、地震反应谱地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质点相对于地面的相对位移,相对速度,绝对加速度 均为时间 t的函数，从工程观点看
，在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有实际意义，此 最大值随质点自振周期变化的曲线称为反应谱 。
)(tx )(tx?
)()( 0 txtx
下图即为在给定的地震作用下 质点绝对最大加速度 与体系 自振周期 的关系曲线。
最大速度反应最大位移反应最大加速度反应
m a x
m a x
m a x0
)(
)(
)()(
txS
txS
txtxmS
v
d
a
特点：
*结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响
*高频结构主要取决于地面的最大加速度 Sa
*中频结构主要取决于地面的最大速度 Sv
*低频结构主要取决于地面的最大位移 Sd
2、标准反应谱把水平地震作用的基本公式 （ 3.31） 变换为式 （ 3.32）
放大了多少倍。
地面最大加速度质点最大绝对加速度比即表示由于动力效应,
大加速度之比。大绝对加速度与地面最动力系数，是单质点最:
加速度之比。动的最大加速度与重力地震系数，表示地面运
β
tx
S
k
g
( t )x
k
a
)34.3(
)(
:
3,3 3 )(
0
0
）（式
）（式
3,3 2
)(
)(
3,3 1)()()(
0
0
m a x0m a x
kG
g
tx
tx
S
mg
mStxtxmtFF
a
a
将 Sa的表达式（ 3.30）代入式（ 3.34）得：
β 与 T的关系曲线称为 β 谱曲线：
（ 1） β 谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。
（ 2）曲线峰值对应的结构自振周期 T=Tg,Tg为场地的特征周期（过去也称作卓越周期）
标准反应谱曲线,根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。
下图为 β 谱曲线及加速度谱曲线
2、设计反应谱
,规范,把 α 与 T的关系作为设计反应谱。
体系自振周期按图3,9 确定地震影响系数
：
，
T
g
S a,
αGF
k β
g
S
α
kG
g
tx
tx
S
mgmSF
a
a
a
则水平地震力因?
)(
)(
0
0
55.0
05.0
9.0
)38.3(
T
T
m a x2
g
曲线下降段的衰减指数计算α采用3,3 8 式进行范围内，地震影响系数5TT在T
gg
---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
m a x
m a xm a xm a xm a x
2
222
45.01
252
:
1,706.0
05.0
1
55.055.0
k
k
.,βk βα
T
g
,此时与地面加速度相等，即其加速度0时,结构为一刚体，T注意：当结构自振周期见表3,3见表3,1,α
水平地震系数的最大值特征周期，见表3,2
阻尼调整系数，
m a x
：
时，取?
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度括号数字分别对应于设计基本加速度 0.15g和 0.30g地区的地震影响系数特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解,（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
查表确定 max?
16.0max
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
h=5m
查表确定 max?
16.0max
解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
h=5m
查表确定 gT
3.0?gT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N /m2 4 9 6 0?K t4.71? s336.0?T
（ 2）求水平地震影响系数?
16.0max
h=5m
3.0?gT
gg TTT 5
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTTm a x2
)(TT g?
9.055.0 05.09.0
17.106.0 05.012 1 4 4.016.0)3 3 6.0/3.0( 9.0
（ 3）计算结构水平地震作用 kN8.100700144.0 GF?
例 1,P79 习题 1
解：查表 3.2(P35)
3 4,8 K N 。用下的水平地震作用为则该结构在多遇地震作由公式3,3 7 得：因其中由公式3,3 8
0,3 0g 时，为8 度，基本加速度为查表3,3,设防烈度因
KN..αGF
KNG
TTTs.TsT
ggg
8342 0 01 7 40
,2 0 0
0.102.09.005.0
1 7 4.024.00.1
0,5
35.0
T
T
24.0
5,5035.0
21
9.0
m a x2
g
m a x
，，，
则,
抗震术语
自由振动：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情况下结构体系所进行的振动。
自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间。
（ 1）自振频率：当外力不复存在时，结构体系每秒振动的次数，又称固有频率。
（ 2）基本周期：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。又称第一自振周期。
振型：结构按某一自振周期振动时的变形模式。
（ 1）基本振型：多自由度体系和连续体自由振动时,最小自振频率所对应 的振动变形模式，又称第一振型。
（ 2）高阶振型：多自由度体系和连续体自由振动时，对应于二阶频率以上（含二阶）的振动变形模式。
共振：当 干扰频率与结构自振频率接近 时，振幅急剧增大的现象。
3.4多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法
1、计算简图
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计体系只作单向振动时，
n个质点
n个自由度体系
n个独立等效单自由度弹性体系的最大地震反应
n个 振型作用效应 （ M,V,N）
组合 n个振型效应验算截面抗震
通常第一振型周期最长，影响最大，振型愈高，影响愈小。
2,运动方程先考虑两个自由度体系的运动方程，图 3.11所示
)4 5 b.3(
2
)4 5 a.3(
)(
)(
)(
1
0222211222211222
0121211121211111
2121111
2121111
1011
xmxkxkxCxCxm
xmxkxkxCxCxm
xCxCD
xkxkS
xxmI
的运动方程：同理，得质点根据达朗贝尔原理：
阻尼力：
弹性恢复力：
惯性力：
的力有：作用在质点
( 3,4 6 b )
112
121
)46.3(
222
22112
2111
12
11
222
22112
2111
cc
ccc
ccc
C
k
k
a
kk
kkk
kkk
k
阻尼系数处引起的弹性反力；
保持不动时，在质点产生单位位移而质点使质点所需施加的水平力；
处保持不动时，在质点产生单位位移而质点使质点刚度系数—式中
。，一般采用振型分解法上述的运动方程的求解列的矩阵。行别为个质点，则上述各项分当有用矩阵形式表示：式
nnn
0
0
)47.3(1
3,4 5
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
kk
kk
k
cc
cc
c
m
m
m
xmxkxcxm
3,自由振动
(1)自振频率
)50.3(
0)(
0)(
48.349.3
21
)49.3(
)s i n (
)s i n (
:
)48.3(
0
0
2
2
222121
2121
2
111
21
22
11
22212122
21211111
XmkXk
XkXmk
XX
tXx
tXx
xkxkxm
xkxkxm
）式得：）代入（将（
的位移幅值。、质点—、
上述微分方程的解为该体系的自振方程：去阻尼的影响，则可得对二自由度体系，若略
））（，见式（个质点的多自由度体系对值）第二自振圆频率（较大—
本自振圆频率）第一自振圆频率（或基—
的两个正实根）可求得由式（
解得：
——
行列式必等于零，即：）有非零解，则其系数为使式（
3,5 43,5 3n
3,5 2
)52.3(
2
1
2
1
0
50.3
2
1
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2
22221
12
2
111
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
mkk
kmk
程二自由度体系的频率方
(2) 主振型形式通常称为主振型。
变，这种振动的位移比值始终保持不中的任意时刻，两质点结构振动过程无关，为一常数，即在位移幅值的比值与时间
12
11
2
21
12
22
12
11
2
11
11
12
21
213,5 0
k
km
X
X
k
km
X
X
，位移幅值的比值：对应于第二自振圆频率
，位移幅值的比值：对应于第一自振圆频率的位移幅值。、），即求得质点带入式（，把求得的
因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移值定为 1。
一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型，他们是体系的固有属性 。
(3)主振型的正交性
P31,由式 （ 3.27）
知：结构在任一瞬时的位移等于惯性力产生的静位移 。 因此上述的主振型曲线可看作体系按某一频率振动式时,其上相应的惯性荷载所引起的静力变形曲线 。
对于二自由度体系,其两个振型的变形曲线及相应的惯性力如图 3.13所示
tkxtxtxm 0
ji
2
jii
2
11011
2
10
1011
)()(
1
28.3)()()(P 3 1
)(1
XmI
jii
txmxxmI
txtx
m
k
xx
xxmI
振型时：质点质点，对的惯性力可表示为：则质点
）（见的惯性力：如质点
)59.3(0X
:
3,5 8
)58.3(0
0
2212221111
21
2212221111
2
2
2
1
1222
2
221121
2
212212
2
122111
2
11
K
T
j
Xm
XXmXXm
XXmXXm
XXmXXmXXmXXm
用矩阵表示为称为振型的正交性。）所表示的关系，通常式（
则一般
）（
整理得：
根据功的互等定理：
，也都有上述的正交特性
j 与k 之间度体系，任意两个振型对于两个以上的多自由
—刚度矩阵—
也有正交性，即任意两个振型对事实上，多自由度体系的正交性。意两个振型对）表示多自由度体系任式（
—振型号—、—质点号；—上式中：
）中式（
k
XkX
kji
X
X
X
X
m
m
m
mXXX
k
T
j
kn
k
k
k
n
jnjj
T
j
0
:
3,5 9
0
0
X
3,5 9
2
1
2
1
21
刚度矩阵质量矩阵
。K N / m103
K N / m105t50,t60
)a(14.33,1
4
2
4
121
k
kmm
第二层层间侧移刚度为
，为。第一层层间侧移刚度正交性。各层质量为其主振型的振频率和振型，并验证所示二层框架结构的自计算图例
0
50103103
10360108
3,5 1
K N / m103
K N / m103K N / m108
244
424
4
222
4
22112
4
2111
）得频率方程：由式（
系数：解：求各层的层间刚度
kk
kkkkkk
0
1
71.1
33
38
1
4 8 8.0
10X kX
0
1
71.1
500
060
1
4 8 8.0
X mX
( c )b)3,1 4
71.1
1
103
1088.1 6 2 560
4 8 8.0
1
103
1086.3 0 760
3,5 7
/32.40;/54.17
(
4
2
T
1
2
T
1
4
4
12
11
2
21
12
22
4
4
12
11
2
11
11
12
21
T
T
k
km
X
X
k
km
X
X
sr a dsr a d
刚度矩阵质量矩阵验证主振型的正交性：
（振型见图第二振型：
第一振型：
）得该结构的振型：由式（
该结构的自振频率）的两个正实根解上式得
解,
例,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk
02
22221
12
2
111?
mkk
kmk
m12k
1EI
1EI
1k
m2
kkkk 22111 kkk 2112 kk?22
02 2
2
mkk kmk
0))(2( 222 kmkmk
mk /6 1 8.01 mk /6 1 8.12
1
61 8.0
1
61 8.1
12
11
2
21
12
22
12
11
2
11
11
21
k
km
X
X
k
km
X
X
1
1.618
1
0.618
1X2X
4、,振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法 。 先以二自由度体系为例,如图 3.21所示 。
)81.3(
)80.3()()(
3,7 9
)()(
)79.3(
)()()(
)()()(
)()(
1
21
2221212
2121111
2121
qXx
Xtqtx
tqtq
XtqXtqtx
XtqXtqtx
txtxmm
n
j
jiji
或用矩阵形式表示为：
）可写为：式（当为多自由度体系中，
。与第二振型所占的分量时刻的变位中第一振型一义坐标，表示在质点任是时间的函数，称为广、
来表示，即：其两个振型的线性组合用和的位移在地震作用下任一时刻和将质点
值。时的即当各质点位移振型的振型参与系数。体系在地震反应中第式中理后得刚度矩阵的正交性，整根据振型对质量矩阵和
，得：将上式等号两边各乘以故得：比例常数、式中之间的耦合，即令：
型足正交条件，以消除振从而使阻尼矩阵亦能满刚度矩阵的线性组合，
质量矩阵和），并假定阻尼矩阵是）代入运动方程式（将式（
jnj
j
n
i
jii
n
i
jii
j
T
j
T
j
j
jjjjjj
T
j
T
j
T
j
T
j
T
j
qxxxx
j
Xm
Xm
XmX
mX
njxqqq
xmXqXkXqXkmXqXmX
X
xmqXkqXkmqXm
kmc
1
)87.3(
1
)86.3(),2,1(;
)82.3(
3,4 73,8 1
21
1
2
1
0
22
21
021
021
21
21
)90.3(
2
2;
2
2;3,8 8
)98.3(),2,1(2
3,8 6
)88.3(2
3,8 6
2
1
2
2
1122
2
2
1
2
2
122121
1
22
2
221
11
2
121
21
0
2
2
21
解得
）得由式（
和阻尼比确定，即第一、第二振型的频率通常根据、振型的阻尼比，系数对应于式中
）可写为：则式（
）中，令：在式（
j
njxqqq
j
jjjjjjj
jjj
。的质点地震作用下其中任一，多自由度弹性体系在）就是用振型分解法时式（
），得：）代入式（将式（
。相应的自由度体系称作与振型下的位移反应，这个单反应的单自由度体系在地震、自振频率为）相当于阻尼比为式（
）（式中或写为：
）式的解：可写出（
），）的解，即式（动微分方程式（参照单自由度体系的运位移公式
( 3,9 4 )
振子
i
n
j
jijj
n
j
jiji
jj
t
j
t
j
j
jjj
t
j
t
j
j
j
m
XtXtqtx
j
dtext
ttq
dtextq
jj
jj
3,9 4
)()()(
3,8 03,9 2
3,9 3
3,9 3)(s i n)(
1
)(
)92.3()()(
)91.3()(s i n)()(
3,8 9
3,2 43,5
11
0
)(
0
0
)(
0
3.5 多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是质点的地震作用。质点上的地震作用为：
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
地震作用效应。
结构的最大组合这些效应，以求得的地震作用效应，然后最大地震作用及其相应一振型的琐，一般采用先求出每大地震作用。但计算繁最大值就是设计用的最的时程曲线。曲线上随时间变化的曲线，即）作出根据式（
速度。振型相应振子的绝对加—与第—
的相对加速度；—质点—
—地面运动的加速度；—式中
)()(3,1 0 0
)()(
)(
)(
)100.3()()(
)97.3()()()(
0
0
0
1
0
tFtF
jttx
itx
tx
ttxXm
txtxmtF
ii
j
i
j
n
j
jiji
iii
质点的重力荷载代表值—集中于—
即振型位移；质点的水平相对位移，振型——
）计算；式（的振型参与系数，可按振型——
确定；的地震影响系数，按图振型自振周期—相应于第—式中
）（则上式写为：
令绝对最大标准值：质点上的水平地震作用振型第），作用在第由式（
iG
ijX
j
Tj
GXF
gmG
g
ttx
ttxXmF
ij
i
ji
j
jj
ijijjji
ii
j
j
jjijiji
3,8 7
3,9
3,1 0 2
)()(
)1 0 1.3()()(
3,1 0 0
m a x
0
m a x
0
用1,振型的最大地震作和变形。的作用效应，包括内力振型水平地震作用产生——
—水平地震作用效应；—式中确定，即：“平方和开方”的方法似采用构总的地震作用效应近最大值。则结用及效应并不一定也达，其他各振型的地震作应的效应）达最大值时用（使其相刻当某一振型的地震作也是最大值。但任一时轴力、变形），这里的
（弯矩、剪力、震作用效应后，就可计算结构的地质点上的最大地震作用振型求出
jS
S
SS
S
Sij
j
j
j
j
)1 0 3.3(
2
2,振型组合
一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加而迅速减少，所以频率最低的几个振型控制结构的最大地震反应。
实际计算中，一般采用前 2— 3个振型即可。
,规范,规定：在进行结构抗震验算时，结构任一楼层的水平地震剪力应符合下式要求层的重力荷载代表值。—第—
的增大系数；尚应乘以规则结构的薄弱层，规定的数值，对竖向不表—剪力系数，不应小于—
标准值的楼层剪力；层对应于水平地震作用—第—
jG
iV
GV
j
E k i
n
ij
jE k i
1,1 5
4.3
)1 0 4.3(
二、底部剪力法
,规范,5.2.1：对于高度不超过 40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采用底部剪力法。
)107.3(1 EqEk GF?
1、底部剪力计算符合规定的结构，根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个与其基本周期相等的单质点体系代替。底部剪力用式（ 3.37）进行计算：
式中 —— 相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数，
按图 3.9确定，对于多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，可取水平地震影响系数最大值；
—— 结构等效总重力荷载,
式中 —— 集中于质点 i的重力荷载代表值；
c —— 等效系数。,规范,规定取 c=0.85
注意：因为 标准值，则结构总水平地震作用 为标准值。
1?
eqG
n
i
ieq GcG
1
iG
iG
)1 0 7.3(1 eqEk GF?
EkF
2、各质点的水平地震作用标准值的计算因符合规范要求的结构，其地震反应以基本振型为主，而且基本振型接近于直线，呈倒三角形，如图
3.22所示。
的结构。）适用于基本周期式（
的地震作用质点上分配到各质点，即得各用把结构的总水平地震作所以可得：
则又因振型为倒三角形，
由该式知：
的水平地震作用为：），质点根据式（
g
Ek
n
j
jj
ii
i
i
Ek
ii
ii
iiiiii
TT
F
HG
HG
F
F
F
HGF
HX
GXFGXF
i
4.13,1 0 9
)1 0 9.3(
3,1 0 2
1
1
1
1111
，且不向下传递。宜乘以系数作用效应，因鞭端效应囱等地震的屋顶间、女儿墙、烟规定：对顶部突出屋面《规范》
。；对其他房屋，取房，确定；对多层内框架砖由表结构房屋，对多层钢筋混凝土和钢
，，（
为：的水平地震作用标准值则质点用—顶部附加水平地震作—
数—顶部附加地震作用系—式中构的顶部加以修正：以集中力的形式加在结水平地震作用的建筑，取顶部附加的基本自振周期《规范》规定：对结构上部震害较为严重。本周期较长的建筑物，震害经验表明：某些基计算、顶部附加地震作用的
3
3.5,2
00,2
3,5
)1 1 0.3()n21)1(
i
4.1
3
1
1
nn
n
nEkn
j
ii
ii
i
n
n
Eknn
n
g
iF
HG
HG
F
F
FF
F
TT
在地震作用下，高层建筑或其他建（构）筑物顶部细长突出部分振幅剧烈增大的现象。
1 1 5 8.0
0.102.09.005.0,25.1535.025.03,9
16.00,2 0 g83,3
25.03,2
2
1 5 6.03 5 8.0
0 0 0.1-
1,7 1 0
X
X
0 0 0.1
4 8 8.0
X
X
1
05.0
,0,2 0 g
83,13,1 43,5
m a x2
1
1
21
m a x
1111111
21
22
21
12
11
T
T
sTgTsT
sT
gmXGXF
sTsT
g
gg
g
iiiii
响系数为：由以上数据，得地震影
，，，则：由图
，则度为度，设计基本地震加速：设防烈度为由表为第一组，则类场地，设计地震分组：由表震作用为：第一振型的质点水平地
）水平地震作用（
周期为：）主振型及相应的自振（
算用振型分解反应谱法计解：
架的层间地震剪力。和底部剪力法计算该框，试分别用振型分解法
，结构的阻尼比设计地震分组为第一组速度为该地区设计基本地震加类场地上，度的在设防烈度为）所示框架结构，建造（例图例
）所示。（层间剪力图如图的层间地震剪力为：），可求得一层、二层按式（
所示。（作用及剪力图如第一、第二振型的地震根据以上计算，对应于
）层间地震剪力（
振型：同理可得：相应于第二则
）式（计算振型参与系数，按
c3,2 3
2.72)3.18(8.69
4.1 1 22.197.1 1 0
3,1 0 3
a) ( b )3,2 3
3
3.188.950)1(2 3 3.016.0
5.378.96071.12 3 3.016.0
8.698.950123.11 1 5 8.0
9.408.9604 8 8.023.11 1 5 8.0
23.1
1504 8 8.060
1504 8 8.060
3,8 7
22
2
22
1
22
12
12
11
22
1
2
1
1
1
1
KNV
KNV
KNF
KNF
KNF
KNF
Xm
Xm
n
i
ii
n
i
ii
所示。间剪力图见图框架水平地震作用及层作用：顶部附加集中水平地震则
：按表的水平地震作用为：），质点式（
）各质点地震作用（
则
）由式（
）结构总水平地震作用（
用底部剪力法计算
3,2 4
5.101.1 0 60 9 8 6.0
8.590 9 8 6.011.1 0 6
448.95048.960
)44(8.950
1F
9.350 9 8 6.011.1 0 6
448.95048.960
48.960
1F
0 9 8 6.007.008.03,5,35.025.04.14.13 5 8.0
1F
3,1 1 0
2
1.1 0 69 1 61 1 5 8.0
9 1 68.9)5060(85.085.03,1 0 7
1
2
1
22
2
2
1
11
1
11
1
1
1
1
KNFF
KNF
HG
HG
KNF
HG
HG
TsTsT
F
HG
HG
i
KNGF
KNgmGGF
Eknn
nEk
j
jj
nEk
j
jj
ng
nEk
n
j
jj
ii
i
eqEk
n
i
ieqeqEk
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
查表得 16.0m a x
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别
s4.0?gT
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(T
Tg?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数查表得 16.0m a x
s4.0?gT
第一振型 gg TTT 51
m a x21 )(T
T g? 139.0?
第二振型 gTT 2s1.0
16.0m a x22
第三振型 gTT 3s1.0
16.0m a x23
55.0
05.09.0
7.106.0
05.01
2?
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数第一振型
3
1
2
1
3
1
11 /
i
ii
i
ii xmxm? 363.11180667.0270334.0270
1180667.0270334.0270
222
第二振型
3
1
2
2
3
1
22 /
i
ii
i
ii xmxm? 428.01180)666.0(270)667.0(270 1180)666.0(270)667.0(270 222
第三振型
3
1
2
3
3
1
33 /
i
ii
i
ii xmxm? 063.01180)035.3(270019.4270
1180)035.3(270019.4270
222
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.1678.9270334.0363.1139.011F
第一振型
kN4.3348.9270667.0363.1139.012F
kN2.3348.9180000.1363.1139.013F
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN9.1208.9270)667.0()428.0(16.021F
第二振型
kN7.1208.9270)666.0()428.0(16.022F
kN8.1208.9180000.1)428.0(16.023F
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN2.1078.9270019.4063.016.031F
第三振型
kN9.808.9270)035.3(063.016.032F
kN8.178.9180000.1063.016.033F
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
第一振型 kN8362.3344.3344.167
11V
kN6.6682.3344.33412V
kN2.3 3 413?V
2.334
6.668
836
1振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
2.334
6.668
836
1振型第二振型 kN8.1208.1207.1209.120
21V
kN1.08.1 2 07.1 2 022V
8.12023V
8.120?
1.0?
8.120
2振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
2.334
6.668
836
1振型
8.120?
1.0?
8.120
2振型第三振型 kN1.448.179.802.1 0 7
31V
kN1.638.179.8032V
kN8.1733?V
8.17
1.63?
1.44
3振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应
2.334
6.668
836
1振型
8.120?
1.0?
8.120
2振型
8.17
1.63?
1.44
3振型
（ 6）计算地震作用效应（层间剪力）
kN8.8452312212111 VVVV
kN6.6712322222122 VVVV
kN8.3 3 52332232133 VVVV
8.335
6.671
8.845
组合后各层地震剪力例：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用
EKnn FF
gTT 4.11?gTT 4.11?)(sTg
35.0?
55.0~35.0
55.0?
07.008.0 1?T
01.008.0 1?T
02.008.0 1?T
0
0
0
顶部附加地震作用系数
56.04.1?gT
gTT 4.11? 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值
)1(
1
nEKn
k
kk
ii
i F
GH
GHF
例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值 )1(
1
nEKn
k
kk
ii
i F
GH
GHF
7.1 6 67.8 3 35.108.91 8 078.92 7 05.38.92 7 0 5.38.92 7 01F
5.33 37.83 35.108.918 078.927 05.38.927 0 0.78.927 02F
5.33 37.83 35.108.918 078.927 05.38.927 0 5.108.918 03F
例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值
7.1661?F 5.3332?F 5.3333?F
（ 6）计算各层的层间剪力
kNFFFV 7.8 3 33211
kNFFV 0.6 6 7322
kNFV 5.3 3 333
tm 2701?
tm 2702?
5.333
5.333
7.166
5.333
0.667
7.833
8.335
6.671
8.845
振型分解反应谱法结果
3.6 结构自振周期和振型计算
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计按振型分解法计算多质点体系的地震作用时，需要确定体系的基频和高频以及相应的振型；用反应谱底部剪力法计算时，需要知道基本周期。从理论上讲，
他们可通过解频率方程得到，但质点多于三个时，计算很困难。本节将介绍一些经常采用的近似计算方法，
可根据其使用条件及计算需要选用。
一、能量法二、等效质量法（折算质量法）
三、顶点位移法四、矩阵迭代法一,能量法能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求 结构的基本频率 （ 第一振型的频率 ） 。
本方法常用于求解 以剪切型为主的框架结构 。由于框架结构可以用 D值法直接求得层间变形，所以这一方法应用十分方便。
单位一致。单位必须与—重力加速度，其长度—
的水平位移；质点为各层水平荷载求出的—以—层的重量；—第—
则结构的基本周期为：式为：体系基本频率的计算公
i
iii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
X
iGXiG
XG
XG
Xmg
Xm
T
Xm
Xmg
g
)66.3(22
2
)65.3(
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
解,
例,已知：
kN / m10 72 0,kN / m14 28 0
kN30 0,kN40 0
21
21
kk
GG
求结构的基本周期。 2k
G2
1k
G1
1G
2G 2
u
1u（ 1）计算各层层间剪力
kNV 7003004001
kNV 3002?
（ 2）计算各楼层处的水平位移
mkVu 0 4 9.01 4 2 8 0/7 0 0/ 111
mkVkVu 0 7 7.01 0 7 2 0/3 0 00 4 9.0// 22112
（ 3）计算基本周期
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
s50 8.007 7.030 004 9.040 0 07 7.030 004 9.040 02 22
基本频率及振型。
构的。试用能量法计算该结，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N/ m108,2 3K N/ m1003.9
K N/ m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（ b）
（ a） （ b）
m101 4 5,4 9m107 9 2.61 3 8,7 0X
m101 3 8,7 0m1037.3433.1 0 4X
m1033.1 0 4
m1033.1 0 4
1043.5
2 5 6 12 5 4 55 5 9
m1037.34
1003.9
2 5 4 55 5 9
m107 9 2.6
1023.8
5 5 9
44
323
44
212
4
11
4
5
1
123
1
4
5
2
23
2
4
5
3
3
3
ggXX
ggXX
gXX
g
g
k
gmmm
X
g
g
k
gmm
X
g
g
k
gm
X
各层位移为：
：结构的层间相对位移为
0 0 0.1
479.0
6 9 0.0
:s/8 8 r a d.8
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 7.0
10g
49.1 4 5
70.1 3 8
33.1 0 4
s/8 9 r a d.8
10g49.1 4 55 5 970.1 3 82 5 4 533.1 0 42 5 6 1
10g49.1 4 55 5 970.1 3 82 5 4 533.1 0 42 5 6 1
13
12
11
4
13
12
11
2
4222
4
1
2
1
X
X
X
X
X
X
g
Xm
Xmg
n
i
ii
n
i
ii
相应的基本振型；频率迭代结果为：进一步的迭代，第一次为提高精度，还可进行相应的基本振型为：
则体系的基本频率为：
二,等效质量法在求 多自由度体系的基本频率 时，为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称为等效质量。
如图 3.18所示的悬臂体系，有两单自由度体系频率相等，则：
)69.3(
11
)68.3(n
3,6 7
1
2
1
2
1i
n
i i
n
i ii
i
jj
e
n
ii
i
jje
i
ii
jj
e
e
jj
i
ii
k
m
k
m
k
m
km
m
k
m
k
k
mj
m
k
m
k
体系的基本频率为：
个集中质量，则若体系有体系的基本频率：
）（点的等效质量：体系顶端
。，弯曲刚度为的质量为面柱，两柱沿单位长度处，设柱为等截作用于柱高的，两边吊车质量已知屋盖质量为构的基本频率。）所示单层厂房排架结（用等效质量法计算图例
EIm
MM 5/4,
a3,1 93,4
lmMMl
EI
llmMMl
EI
m
k
lmMMmmMm
lmdxm
l
x
m
MMM
l
l
m
m
l
x
m
k
k
m
l
x
k
k
l
EI
k
x
EI
k
e
eee
l
e
e
ii
ii
jj
e
ii
jj
jj
ii
25.05.0
732.1
25.05.0
3
4
25.05.03
25.02
5.0512.0
8.0
3
3
)1(:
3
0
3
3
33
3
3
）该结构的基本频率：（
质量：）作用于柱顶的总等效（
等效质量：）柱均布质量在柱顶的（
质量为：则吊车梁在柱顶的等效效质量：求吊车梁在柱顶的的等解三,顶点位移法用“换算体系”方法可以把一多质点体系用一等效的单质点体系来代替，从而将多自由度体系求周期问题简化为相应的单自由度问题。
顶点位移法是根据 在重力荷载水平作用时算得的顶点位移 来求解基本频率的一种方法。
悬臂型剪切型 弯剪型抗震墙结构可视为弯曲型杆，即悬臂型结构。
框架结构可近似视为剪切型杆。
框架 -抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。
6 8 s.01049.1 4 58.18.1
m1049.1 4 5
3,2
3,2
7.1
8.1
6.1
4
4
3
gT
gX
T
T
T
ss
s
bs
ss
bb
则该结构的基本周期：
结构）的顶点位移：知该框架结构（剪切型解：由例所示结构的基本周期。算例例：试用顶点位移法计的任何体系结构。度沿高度分布比较均匀本方法适用于质量及刚位移，单位为ｍ。
得的顶点水平作为各楼层水平荷载求—相应结构在重力荷载—
对弯剪型结构：
对剪切型结构：
对弯曲型结构：
结构变形的三种形式框架结构在水平力作用下的受力特点如下图所示。
其侧移有两部分组成：
第一部分侧移由柱和梁的弯曲变形产生。梁、柱都有反弯点，形成侧向变形。框架下部的梁、柱内力大，
层间变形也大，愈到上部层间变形愈小，使整个结构呈 剪切型变形,如图（ a）。
第二部分侧移由柱的轴向变形产生，在水平荷载作用下，柱的拉伸和压缩使结构出现侧移。这种侧移在上部各层较大，愈到底部层间变形愈小，使整个结构呈 弯曲型 变形，如图（ b)所示。
框架结构中第一部分侧移是主要的，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但合成以后框架仍然呈剪切型变形特征，如图（ c）。
（ a） （ b） （ c）
框架结构的侧向变形
自振周期的经验公式根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算
（ 1）高度低于 25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期
（ 2）高度低于 50m的钢筋混凝土框架 -抗震墙结构的基本周期
31 /35.022.0 BHT
H---房屋总高度； B---所考虑方向房屋总宽度。
321 /0 0 0 6 9.033.0 BHT
（ 3）高度低于 50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期
31 /0 3 8.004.0 BHT
（ 4）高度低于 35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期
35.21 /0 0 1 5.029.0 BHT
在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，
有下列更粗略的公式
（ 1）钢筋混凝土框架结构
（ 2）钢筋混凝土框架 -抗震墙或钢筋混凝土框架 -筒体结构
NT )10.0~08.0(1?
N---结构总层数。
NT )08.0~06.0(1?
（ 3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构
NT )05.0~04.0(1?
（ 4）钢 -钢筋混凝土混合结构
NT )08.0~06.0(1?
（ 5）高层钢结构
NT )12.0~08.0(1?
四,矩阵迭代法
述步骤即可。数少了一个），重复上使矩阵降低一阶（未知正交性原理，得：由振型关于质量矩阵的可计算基本周期；由即基本振型）继续到（
即
，和式右端，可求出代入）再将（
即的近似值，和近似值的第一次，从而求得第一振型，代入式先假定基本振型）（
得上式左乘
）为，教材式（
0
2
,3
)61.3(2
)61.3( 1
)61.3(
0k,
0k:P 3 83,5 3 b
2
T
1
1
1
2
1
n
1
n1n
②2①2
②2①
①222①
212
211
2
XmX
TXXXX
XXmX
XcX
XXmXX
cX
cXmXXmkX
Xmkk
Xm
2,求高频振型和频率型求体系的基本频率和振 1、
:频率和振型的步骤用矩阵迭代法计算结构
可求出多质点体系多个频率及相应的振型。
的频率及振型。
该结构。试用矩阵迭代法计算，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N/ m108,2 3K N/ m1003.9
K N/ m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
101 4 5 5
1 4 5 5
1 3 8 7
1 0 4 2
10
1
1
1
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
0
0
)6 1 c.3(,
1
1
1
2
KN
m
1016.4
111
KN
m
1095.2
11;
KN
m
1084.1
1
1
52
1
52
1
62
1
13
12
11
3
2
1
333231
232221
131211
2
1
13
12
11
13
12
11
6
321
33
6
21
2322
6
1
131211
X
X
X
m
m
m
X
X
X
X
X
X
kkk
kkk
代入式次近似值为：先假设第一振型的第一
）求第一振型：（
为：）求该结构的柔度系数解：（
0 0 0.1
479.0
6 8 7.0
102 6 91
2 6 91
2 0 21
8 7 2
10
:)6 1 c.3
0 0 0.1
489.0
6 9 0.0
102 8 51
2 8 51
2 1 81
8 8 7
10
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
:)6 1 c.3
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
52
1
52
1
13
12
11
52
1
52
1
62
1
13
12
11
13
12
11
X
X
X
X
X
X
X
X
X
代入式（将此值第三次的近似值
，再将此值代入式（
似值为：则第一振型的第二次近
s/8 8 r ad.8
101 2 6 9
1
0 0 0.1102 6 910 0 0.1
ab15.3
0 0 0.1
479.0
6 8 7.0
51
52
1
13
12
11
1
,，解得结构的基本频率
）式：）所示。根据上（（，如图
：则该结构的基本振型为即符合相等于第二次的振型，这样第三次的振型近似
X
X
X
xx
nn
)(3 1 1.41 4 7.3
05 5 92 4 1 01 7 5 9
0
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
0 0 0.1
9 4 7.0
6 8 7.0
0
59.3
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
0
0
)6 1 c.3(
2
221232
322212
32
22
12
32
22
12
62
2
32
22
12
3
2
1
333231
232221
131211
2
2
32
22
12
cXXX
XXX
X
X
X
XmX
X
X
X
X
X
X
m
m
m
X
X
X
T
k
T
j
）得：式（将第一振型的位移代入根据主振型的正交性，
：第二振型由式
）求第二振型：（
及相应频率，略。）方法，可求第三振型同（
）所示。，如图（则第二振型为：
）得：由式（
则第二频率为：
，经两轮迭代后得：
移，令个接近于第二振型的位）进行迭代，先假设一对式（
）（
）（
：）中的第一、第二式得）式代入式（将（
2
c
0 0 0.1
5 0 1.0
0 1 4.1
9 6 7.10 0 0.13 1 1.49 9 5.11 4 7.3c
s/2 r ad.27
101 3 5 1
1
0 0 0.1
9 9 5.1
1 3 5 110
1
2
d
d
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
3 9 94 7 7-
2 4 91 4 7 5
10
b
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
bc
)(3 1 1.41 4 7.3
32
22
12
32
6
2
62
2
22
12
22
12
22
1262
2
22
12
32
22
12
62
2
32
22
12
221232
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
cXXX
产生扭转地震反应的原因
3.6 结构的地震扭转效应
1.建筑自身的原因（结构的偏心）
两方面：建筑自身的原因和地震地面运动的原因。
m
)(tug
质心刚心产生偏心的原因：
a.建筑物的柱体与墙体等抗侧力构件布置不对称。
b.建筑物的平面不对称。
抗震结构设计
c.建筑物的立面不对称。
d.建筑物的平面、立面均不对称。
e.建筑物各层质心与刚心重合，
但上下层不在同一垂直线上。
f.偶然偏心。
2.地面运动的云因（存在扭转分量）
地震波在地面上各点的波速、周期和相位不同。建筑结构基底将产生绕竖直轴的转动，结构便会产生扭转振动。
无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭转振动均是存在的。
但二者有区别，无偏心结构的平动与扭转振动不是耦合的，而有偏心结构的平动与扭转振动是耦合的。
3.7 地基与结构的相互作用
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计在对建筑结构进行地震反应分析时，通常假定地基是刚性的。实际一般地基并非刚性，故当上部结构的地震作用通过基础反馈给地基时，地基将产生一定的局部变形，从而引起结构的移动或摆动，这种现象称为地基与结构的相互作用。
3.7.1 地基与上部结构相互作用的影响
大震实记表明：结构与支承他的地基之间存在着相互作用，主要表现在：
结构对地基的反馈作用：改变了地基运动的频谱组成，
使得接近结构自振频率的分量获得加强。 T（结构的基本周期）接近与 Tg（场地的特征周期），易共振，
相差大则地震作用减弱。
地基变形对结构的影响：地基愈柔，结构的基本周期延长；结构的振动衰减愈大（阻尼、位移愈大）。
当地基刚度比上部结构刚度大得多时，这两种作用趋于消失。
3.7.2 考虑地基结构相互作用的抗震设计
结构的抗震计算在一般情况下可不考虑地基与结构的相互作用。但 ① 对于建造在 8度和 9度,Ⅲ
或 Ⅳ 类场地上,② 采用箱基、刚性较好的筏基或桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑,③ 当结构的基本周期处于特征周期的 1.2～ 5倍范围内时,
可考虑地基与结构动力相互作用的影响。对采用刚性地基假定计算的水平地震剪力按下列规定予以折减，并且其层间变形也应按折减后的楼层剪力计算。
（ 1）、高宽比小于 3的结构，各楼层地震剪力的折减系数可按下式计算：
），按表3,7 采用。互作用的附加周期（s考虑地基与结构动力相结构基本周期（s ）；按刚性地基假定确定的减系数；互作用后的地震剪力折考虑地基与结构动力相
——
——
——
T
T
TT
T
1
9.0
1
1
)1 5 0.3(
（ 2）高宽比大于 3的结构，底部的地震剪力按上述规定折减，但顶部不折减。中间按线性插入。
目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的结构或构件有：
1.长悬臂结构；
2.大跨度结构；
3.高耸结构和较高的高层建筑；
4.以轴向力为主的结构构件（柱或悬挂结构）；
5.砌体结构；
6.突出于建筑顶部的小构件。
我国抗震设计,规范,规定：
8度和 9度的大跨度结构、长悬臂结构；烟囱和类似的高耸结构； 9度时的高层建筑。应考虑竖向地震作用的不利影响。
3.8 竖向地震作用抗震结构设计分析结果表明：
高耸结构和高层建筑竖向第一振型的地震内力与竖向前 5个振型按平方和开方组合的地震内力相比较，误差仅在 5%--15%。
此外，竖向第一振型的数值大致呈倒三角形式，基本周期小于场地特征周期。
因此，高耸结构和高层建筑竖向地震作用可按与底部剪力法类似的方法计算。
3.8.1 高耸结构和高层建筑竖向地震作用基本计算公式
eqVEVK GF m a x
ieq GG 75.0
m a xm a x 65.0 HV
---结构总竖向地震作用标准值；
EVKF
m a xm a x,HV
---竖向、水平地震影响系数最大值。
G1
nG
iG
EVKF
ViF
EVKn
j
jj
ii
Vi F
HG
HGF
1
---质点 i的竖向地震作用标准值。
规范要求,9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用效应应乘以 1.5的增大系数。
3.10 建筑结构抗震验算
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
结构抗震承载力验算
结构抗震变形验算
抗震设计方法的步骤
3.10.1 结构抗震承载力验算
1、地震作用方向水平方向 —— 地面运动水平方向的分量较大时考虑垂直方向 —— 高烈度、大跨、长悬臂、高耸及高层才考虑扭转方向 —— 质量和刚度重合时不考虑一般，仅考虑水平地震作用。
2、重力荷载代表值在计算结构时，水平、竖向地震作用标准值都要用到：集中到质点处的重力荷载代表值。
。数，见表个可变荷载的组合值系—第—
个可变荷载的标准值；—结构或构件第—
载标准值；—结构或构件的永久荷—
3,1 2
)1 9 6.3(
iQ
i
G
QGG
Ki
Ei
K
KiEiKE
3、结构构件截面的抗震验算在抗震设计的第一阶段要做到,小震不坏,,即多遇地震的水平地震作用标准值，用线弹性理论的方法求出结构构件的地震作用效应，再与其他荷载效应组合，计算出结构内力组合设计值进行验算，以达到
“小震不坏” 的要求。
。建筑取层，风载起控制作用的高般结构取—风载组合值系数，一—
载标准值的效应；作用标准值的效应、风应、水平、竖向地震—重力荷载代表值的效—、、、；—风载分项系数，取—
采用；震作用分项系数，按表—分别为水平、竖向地—、；有利时，不应大于
，当重力荷载对构件一般情况取—重力荷载分项系数，—
，按下式计算。设计值（结构的效应）—结构构件内力组合的—
。折减竖向地震破坏力大，不取作用时，对各类构件均采用。当考虑竖向地震表—承载力调整系数，按—
计值（结构的抗力）—结构构件承载力的设—
0,2
0,0
SSSS
1,4
3,1 4
1,0
1,2
)1 9 8.3(SSSSS
)1,0 (
3,1 3
)1 9 7.3(
w
wkE v kE h kGE
w
EvEh
G
wkwwE v kEvE h kEhGEG
S
R
R
S
RE
RE
3.10.2 结构的抗震变形验算
1、多遇地震（小震）作用下的结构抗震变形验算表 3.15所列各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算，其楼层内最大的弹性层间位移应符合下式要求：
—计算楼层层高。—
采用；，按表—弹性层间位移角限值—
刚度；的截面刚度可采用弹性。钢筋混凝土结构构件各作用分项系数取形。整体弯曲变形和扭转变建筑外，不应扣除结构以弯曲变形为主的高层间位移，计算时除产生的楼层最大弹性层—多遇地震作用标准值—
h
u
hu
e
e
ee
3,1 5
1,0
)1 9 9.3(
2、罕遇地震（大震）作用下的结构抗震变形验算
⑴ 应 进行 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形验算的结构为：
① 8度 Ⅲ,Ⅳ 场地和 9度时，高大的单层钢筋混凝土柱厂房的横向排架；
② 7～ 9度时的楼层屈服强度系数小于 0.5的钢筋混凝土框架结构；
③ 采用隔震和消能减震设计的结构；
④ 甲类建筑和 9度时的乙类建筑中的钢筋混凝土结构和刚结构。
⑤ 高度大于 150m的钢结构。
（ 2） 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形计算，可采用下列方法：
① 不超过 12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构、单层工业厂房可采用 （ 3） 的计算方法。
② 除 ① 以外的建筑结构，可采用静力弹塑性计算方法或弹塑性时程分析法；
③ 规则结构可采用弯剪层模型或平面杆系模型，属于规范规定的 不规则结构 应采用空间结构模型。
（ 3） 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形验算的步骤：
① 计算各楼层的屈服强度系数 ξ
当各层 ξ 大于 0.5，该结构无薄弱层；
若小震抗震抗震变形验算满足要求，则大震也能满足，不需验算。
② 结构薄弱层位置的确定
ξ 沿高度分布均匀取底层
ξ 沿高度分布不均匀，取相对较小的，一般不超过 2～ 3个
单层厂房取上柱
③ 薄弱楼层层间弹塑性位移的计算,式（ 3.201 ～ 203）
④ 结构薄弱层弹塑性位移应符合式（ 3.204）的要求。
楼层屈服强度系数根据对大量钢筋混凝土 剪切型结构 实例的弹塑性时程分析可知：结构弹塑性层位移主要取决于 楼层屈服强度系数的大小 和 楼层屈服强度系数沿房屋高度的分布情况。
弱层。的现象，该楼层即为薄塑性变形集中”弹塑性变形较大形成“值较小的楼层先屈服，大震时，
地震剪力的相对关系。载力与该楼层所受弹性反映了结构中楼层的承
。，见表地震时的应采用罕遇层的弹性地震剪力。—罕遇地震作用下第—
层受剪承载力；料强度标准值计算的—按构件实际配筋和材—
用下式确定层的楼层屈服强度系数结构第
y
y
e
y
e
y
y
y
iV
iiV
iV
iV
i
ii
3,3
i)(
)(
)2 0 0.3(
)(
)(
)(
:)(
m a x
m a x
钢筋混凝土剪切型结构弹塑性变形的一般规律指侧移主要由层间 剪切变形 引起，各楼层在结构振动过程中始终保持水平，各层层间位移具有独立性，互不影响，下层位移较大，沿高度逐渐减小。
弹塑性层间位移的计算
）可采用式（弹塑性层间位移计算也层的层间刚度。—第—
层的弹性地震剪力；—罕遇地震作用下第—
性分析的层间位移；—罕遇地震作用下按弹—
说明取用。；按表—弹塑性位移增大系数—
—弹塑性层间位移；—
3,2 0 3
)(
3,1 6
)2 0 2.3(
)(
)()2 0 1.3(
ik
iiV
u
u
k
iV
iuuu
i
e
e
p
p
i
e
eepp
薄弱楼层弹塑性层间位移的验算：
hu pp ][
---弹塑性层间位移角限值，按下表采用；
h ---薄弱层楼层高度或单层厂房上柱高度。
][ p?
1/70多、高层钢结构
1/120钢筋混凝土抗震墙、筒中筒
1/100钢筋混凝土框架 -抗震墙、板柱 -抗震墙、框架 -核心筒
1/100底部框架砖房中的框架 -抗震墙
1/50钢筋混凝土框架
1/30单层混凝土柱排架结构类型 ][ p?
开 始结构方案按多遇地震烈度确定弹性地震作用,将地震作用效应与其他荷载组合效应组合抗震强度验算 弹性位移验算 抗震构造措施是否需要验算弹塑性位移否结 束按罕遇地震烈度验算弹塑性位移对薄弱部位采取加强措施是
抗震设计方法的步骤
3.1 概述
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
3.4 多自由度弹性体系的地震反应的振型分解法
3.5 多自由度体系的水平地震作用
3.6 结构自振周期和振型计算
3.7 地基与结构的相互作用
3.10 结构的抗震验算
3.1 概 述一、建筑结构抗震设计步骤
1、计算结构的地震作用 — 地震荷载
2、计算结构、构件的地震作用效应 — M,Q,N及位移
3、地震作用效应与其他荷载效应进行组合、验算结构和构件的抗震承载力及变形（确保结构、构件的内力 <材料抗力）。
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计二、结构抗震设计理论发展过程的三个阶段
1.静力理论阶段 ---静力法
1920年，日本大森房吉提出。
假设建筑物为绝对刚体。
)(txg
m
)(txm g
地震作用
---地震系数,反映震级、震中距、地基等的影响将 F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
2、反应谱理论阶段,1940年美国皮奥特教授提出的,
弹性反应谱理论,
目前我国采用,底部剪力法 或 震型分解反应谱法 （用于小震或中震的计算）
计算时：单自由度多质点体系（多个等效单质点体系）
，如糖葫芦重力荷载的代表值。:G
）特性，如周期、阻尼等动力系数( 反映结构的:?
GKF?
目前，世界上普遍采用的方法。
3、动态分析阶段,时程分析法 — 用于大震分析计算，
借助于计算机。
三、与各类型结构相应的地震作用分析方法
不超过 40m的规则结构,底部 剪力法
一般的规则结构：两个主轴的振型 分解反应 谱法
质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法
8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度的高层建筑：考虑竖向地震作用
特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算补充：单自由度体系动力学分析回顾单自由度体系自由振动
（ 1）无阻尼时时
（ 2）有阻尼时
阻尼：振动过程中的阻力。
无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程将无限地进行下去。
有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消耗振动的能量，使振幅不断减小。
强迫振动：在外加剂激振力作用下的振动称为强迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）
有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
1,单自由度弹性体系的计算简图
把结构的所有质量集中在屋盖处，墙、柱视为一个无质量的弹性杆,形成一个单质点体系。
当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由度体系。
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
2、运动方程
)(0tx
)(tx
：地面（基础）的水平位移
：质点对地面的的相对位移
：质点的总位移
：质点的绝对加速度
)()(0 txtx?
)()(0 txtx
)(0 tx
动荷载取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的力：
惯性力：
弹性恢复力：
阻尼力：（粘滞阻尼理论）
根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用下的运动方程为：
)(
)(
)()(0
txcD
tkxS
txtxmI
上式进一步简化为：
km
c
m
c
m
k
xxxx
22
3,52
0
2
）（式
）（式 3,52 02 xxxx
式（ 3.5）为一个 二阶常系数非齐次微分方程 。令方程式左边 =0，得该方程的齐次解，即方程
02 2 xxx 的通解。
则方程式（ 3.5）的解由有上述的 齐次解和特解 两部分组成。
之间
1,0—1程结构阻尼比在0,0体系的阻尼比，一般工—ζ
内的振动次数
2 π秒系的圆频率，即质点在无阻尼单自由度弹性体—ω
阻尼系数—
所需施加的力质点点发生单位位移时，在弹性直杆的刚度，即质—
上式中
C
k
)3,1 2(s i n
)0(
c o s)0(
０
1
)3,1 1(s i n
( 0 )( 0 )
c o s)0(
02
2
2
式
，
式
ωt
ω
x
ωtxx ( t )
＝ω ω，ζ
ζωω
tω
ω
ζ ω xx
tωxex ( t )
xωxζωx
t
的自由振动方程为：则无阻尼单自由度体系当体系无阻尼时的圆频率为有阻尼单自由度体系式中
：解得该方程的齐次解为运动方程等于零自由振动方程：令体系
3,自由振动
t=0时，体系的初始位移
t=0时，体系的初始速度由上图可知，无阻尼自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的振幅随时间的增加而减小，
且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。
。
，
——
即使结构周期加大使结构自由频率减小，说明由于阻尼存在，将为有阻尼的自振频率，
间隔称为周期）等的，也可以把该时间间间隔是相振动一个循环所需的时衰减是往复的，质点每振动不是周期的，但阻尼时有阻尼振动的周期（有
。次数，称为体系的频率单位时间内质点的振动
π内的振动次数）：圆频率( 质点在时间2
自振周期：无阻尼单自由度体系的
ωωω
ω
π
T
ζ
f
πfω
ω
π
T
2
0
2
2
称为临界阻尼系数得又因体系发生振动体系不发生振动由试验测得为临界阻尼比）此时的表示结构不产生振动，
时当知由式
kmc
ckmc
km
c
ζ
ζζ
ζ
ωζ
ζωω
r
r
2
2
2
11
1
01
1
2
。，，
（
。是结构的一种固有属性关，周期与其质量和刚度有由此可知：结构的自振周期则得单自由度体系自振因近似取在实际结构中，的取值一般很小，所以但理论上
k
m
πT
m
k
ω
ωω
ωω
2?
，,?
4、强迫振动
瞬时冲量及其引起的自由振动
）（ 21.3s i n
000
0
0
0
tω
ωm
P d t
etx
m
P d t
)(x,x
m
P d t
v
v
mvmvp d t
ζ ω t
由振动方程则得瞬时荷载作用下自因式3,1 1 ）根据自由振动的方程（
则此时的速度若体系原先静止，即瞬时冲量：
）（式
，
，
3,2 1s i n
000
0
tω
ωm
P d tetx
m
P d t)(x,x
m
P d tvmvmvp d t
ζ ω t
由振动方程则得瞬时荷载作用下自式3,1 1 ）根据自由振动的方程（
此时的速度瞬时冲量：
杜哈默积分
d τω
ω
tx
e d x
tω
ωm
p d t
ex
τt，tm
d τxP d t
xxωxζωx
--
- ζ
τ)-(ts i n
)(
( t )
s i n( t )
1
)(
2
0τ)-(t
t
0
0
2
得 则由( 式3,2 1 )
改为瞬时冲量的强迫振动就是质点由外荷载引起的特解 )( 式3,5
取可视为作用于单位质量上的动力荷载
d ττteτx
ω
tx
)(x)x(
d ττteτx
ω
tω
ω
)ζ ω x ()(x
tω)x(etx
d ττteτx
ω
tx
τtζω
t
τtζω
t
ζ ω t
τtζω
t
s i n
1
0000
s i n
1
s i n
00
c o s0
s i n
1
0
0
0
0
0
0
则时，当体系的初始状态静止的通解为：( 式3,5 ) 微分方程默积分）系的总位移：（即杜哈通过对上式积分，得体
，，
上式即为处于静止状态的 单自由度体系地震位移反应 计算公式。
3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
1,单自由度弹性体系的水平地震作用对于单自由度弹性体系，通常把 惯性力 看作一种反映地震对结构体系影响的 等效力,可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。（把动荷载转化为静荷载解决计算问题。）
下式为质点的绝对最大加速度 计算公式，取决于地震时地面运动加速度,结构的自振周期 T及结构的阻尼比
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
aS
)(0?x
2、地震反应谱地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质点相对于地面的相对位移,相对速度,绝对加速度 均为时间 t的函数，从工程观点看
，在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有实际意义，此 最大值随质点自振周期变化的曲线称为反应谱 。
)(tx )(tx?
)()( 0 txtx
下图即为在给定的地震作用下 质点绝对最大加速度 与体系 自振周期 的关系曲线。
最大速度反应最大位移反应最大加速度反应
m a x
m a x
m a x0
)(
)(
)()(
txS
txS
txtxmS
v
d
a
特点：
*结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响
*高频结构主要取决于地面的最大加速度 Sa
*中频结构主要取决于地面的最大速度 Sv
*低频结构主要取决于地面的最大位移 Sd
2、标准反应谱把水平地震作用的基本公式 （ 3.31） 变换为式 （ 3.32）
放大了多少倍。
地面最大加速度质点最大绝对加速度比即表示由于动力效应,
大加速度之比。大绝对加速度与地面最动力系数，是单质点最:
加速度之比。动的最大加速度与重力地震系数，表示地面运
β
tx
S
k
g
( t )x
k
a
)34.3(
)(
:
3,3 3 )(
0
0
）（式
）（式
3,3 2
)(
)(
3,3 1)()()(
0
0
m a x0m a x
kG
g
tx
tx
S
mg
mStxtxmtFF
a
a
将 Sa的表达式（ 3.30）代入式（ 3.34）得：
β 与 T的关系曲线称为 β 谱曲线：
（ 1） β 谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。
（ 2）曲线峰值对应的结构自振周期 T=Tg,Tg为场地的特征周期（过去也称作卓越周期）
标准反应谱曲线,根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。
下图为 β 谱曲线及加速度谱曲线
2、设计反应谱
,规范,把 α 与 T的关系作为设计反应谱。
体系自振周期按图3,9 确定地震影响系数
：
，
T
g
S a,
αGF
k β
g
S
α
kG
g
tx
tx
S
mgmSF
a
a
a
则水平地震力因?
)(
)(
0
0
55.0
05.0
9.0
)38.3(
T
T
m a x2
g
曲线下降段的衰减指数计算α采用3,3 8 式进行范围内，地震影响系数5TT在T
gg
---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
m a x
m a xm a xm a xm a x
2
222
45.01
252
:
1,706.0
05.0
1
55.055.0
k
k
.,βk βα
T
g
,此时与地面加速度相等，即其加速度0时,结构为一刚体，T注意：当结构自振周期见表3,3见表3,1,α
水平地震系数的最大值特征周期，见表3,2
阻尼调整系数，
m a x
：
时，取?
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度括号数字分别对应于设计基本加速度 0.15g和 0.30g地区的地震影响系数特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解,（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
查表确定 max?
16.0max
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
h=5m
查表确定 max?
16.0max
解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
h=5m
查表确定 gT
3.0?gT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N /m2 4 9 6 0?K t4.71? s336.0?T
（ 2）求水平地震影响系数?
16.0max
h=5m
3.0?gT
gg TTT 5
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTTm a x2
)(TT g?
9.055.0 05.09.0
17.106.0 05.012 1 4 4.016.0)3 3 6.0/3.0( 9.0
（ 3）计算结构水平地震作用 kN8.100700144.0 GF?
例 1,P79 习题 1
解：查表 3.2(P35)
3 4,8 K N 。用下的水平地震作用为则该结构在多遇地震作由公式3,3 7 得：因其中由公式3,3 8
0,3 0g 时，为8 度，基本加速度为查表3,3,设防烈度因
KN..αGF
KNG
TTTs.TsT
ggg
8342 0 01 7 40
,2 0 0
0.102.09.005.0
1 7 4.024.00.1
0,5
35.0
T
T
24.0
5,5035.0
21
9.0
m a x2
g
m a x
，，，
则,
抗震术语
自由振动：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情况下结构体系所进行的振动。
自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间。
（ 1）自振频率：当外力不复存在时，结构体系每秒振动的次数，又称固有频率。
（ 2）基本周期：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。又称第一自振周期。
振型：结构按某一自振周期振动时的变形模式。
（ 1）基本振型：多自由度体系和连续体自由振动时,最小自振频率所对应 的振动变形模式，又称第一振型。
（ 2）高阶振型：多自由度体系和连续体自由振动时，对应于二阶频率以上（含二阶）的振动变形模式。
共振：当 干扰频率与结构自振频率接近 时，振幅急剧增大的现象。
3.4多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法
1、计算简图
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计体系只作单向振动时，
n个质点
n个自由度体系
n个独立等效单自由度弹性体系的最大地震反应
n个 振型作用效应 （ M,V,N）
组合 n个振型效应验算截面抗震
通常第一振型周期最长，影响最大，振型愈高，影响愈小。
2,运动方程先考虑两个自由度体系的运动方程，图 3.11所示
)4 5 b.3(
2
)4 5 a.3(
)(
)(
)(
1
0222211222211222
0121211121211111
2121111
2121111
1011
xmxkxkxCxCxm
xmxkxkxCxCxm
xCxCD
xkxkS
xxmI
的运动方程：同理，得质点根据达朗贝尔原理：
阻尼力：
弹性恢复力：
惯性力：
的力有：作用在质点
( 3,4 6 b )
112
121
)46.3(
222
22112
2111
12
11
222
22112
2111
cc
ccc
ccc
C
k
k
a
kk
kkk
kkk
k
阻尼系数处引起的弹性反力；
保持不动时，在质点产生单位位移而质点使质点所需施加的水平力；
处保持不动时，在质点产生单位位移而质点使质点刚度系数—式中
。，一般采用振型分解法上述的运动方程的求解列的矩阵。行别为个质点，则上述各项分当有用矩阵形式表示：式
nnn
0
0
)47.3(1
3,4 5
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
kk
kk
k
cc
cc
c
m
m
m
xmxkxcxm
3,自由振动
(1)自振频率
)50.3(
0)(
0)(
48.349.3
21
)49.3(
)s i n (
)s i n (
:
)48.3(
0
0
2
2
222121
2121
2
111
21
22
11
22212122
21211111
XmkXk
XkXmk
XX
tXx
tXx
xkxkxm
xkxkxm
）式得：）代入（将（
的位移幅值。、质点—、
上述微分方程的解为该体系的自振方程：去阻尼的影响，则可得对二自由度体系，若略
））（，见式（个质点的多自由度体系对值）第二自振圆频率（较大—
本自振圆频率）第一自振圆频率（或基—
的两个正实根）可求得由式（
解得：
——
行列式必等于零，即：）有非零解，则其系数为使式（
3,5 43,5 3n
3,5 2
)52.3(
2
1
2
1
0
50.3
2
1
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2
22221
12
2
111
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
mkk
kmk
程二自由度体系的频率方
(2) 主振型形式通常称为主振型。
变，这种振动的位移比值始终保持不中的任意时刻，两质点结构振动过程无关，为一常数，即在位移幅值的比值与时间
12
11
2
21
12
22
12
11
2
11
11
12
21
213,5 0
k
km
X
X
k
km
X
X
，位移幅值的比值：对应于第二自振圆频率
，位移幅值的比值：对应于第一自振圆频率的位移幅值。、），即求得质点带入式（，把求得的
因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移值定为 1。
一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型，他们是体系的固有属性 。
(3)主振型的正交性
P31,由式 （ 3.27）
知：结构在任一瞬时的位移等于惯性力产生的静位移 。 因此上述的主振型曲线可看作体系按某一频率振动式时,其上相应的惯性荷载所引起的静力变形曲线 。
对于二自由度体系,其两个振型的变形曲线及相应的惯性力如图 3.13所示
tkxtxtxm 0
ji
2
jii
2
11011
2
10
1011
)()(
1
28.3)()()(P 3 1
)(1
XmI
jii
txmxxmI
txtx
m
k
xx
xxmI
振型时：质点质点，对的惯性力可表示为：则质点
）（见的惯性力：如质点
)59.3(0X
:
3,5 8
)58.3(0
0
2212221111
21
2212221111
2
2
2
1
1222
2
221121
2
212212
2
122111
2
11
K
T
j
Xm
XXmXXm
XXmXXm
XXmXXmXXmXXm
用矩阵表示为称为振型的正交性。）所表示的关系，通常式（
则一般
）（
整理得：
根据功的互等定理：
，也都有上述的正交特性
j 与k 之间度体系，任意两个振型对于两个以上的多自由
—刚度矩阵—
也有正交性，即任意两个振型对事实上，多自由度体系的正交性。意两个振型对）表示多自由度体系任式（
—振型号—、—质点号；—上式中：
）中式（
k
XkX
kji
X
X
X
X
m
m
m
mXXX
k
T
j
kn
k
k
k
n
jnjj
T
j
0
:
3,5 9
0
0
X
3,5 9
2
1
2
1
21
刚度矩阵质量矩阵
。K N / m103
K N / m105t50,t60
)a(14.33,1
4
2
4
121
k
kmm
第二层层间侧移刚度为
，为。第一层层间侧移刚度正交性。各层质量为其主振型的振频率和振型，并验证所示二层框架结构的自计算图例
0
50103103
10360108
3,5 1
K N / m103
K N / m103K N / m108
244
424
4
222
4
22112
4
2111
）得频率方程：由式（
系数：解：求各层的层间刚度
kk
kkkkkk
0
1
71.1
33
38
1
4 8 8.0
10X kX
0
1
71.1
500
060
1
4 8 8.0
X mX
( c )b)3,1 4
71.1
1
103
1088.1 6 2 560
4 8 8.0
1
103
1086.3 0 760
3,5 7
/32.40;/54.17
(
4
2
T
1
2
T
1
4
4
12
11
2
21
12
22
4
4
12
11
2
11
11
12
21
T
T
k
km
X
X
k
km
X
X
sr a dsr a d
刚度矩阵质量矩阵验证主振型的正交性：
（振型见图第二振型：
第一振型：
）得该结构的振型：由式（
该结构的自振频率）的两个正实根解上式得
解,
例,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk
02
22221
12
2
111?
mkk
kmk
m12k
1EI
1EI
1k
m2
kkkk 22111 kkk 2112 kk?22
02 2
2
mkk kmk
0))(2( 222 kmkmk
mk /6 1 8.01 mk /6 1 8.12
1
61 8.0
1
61 8.1
12
11
2
21
12
22
12
11
2
11
11
21
k
km
X
X
k
km
X
X
1
1.618
1
0.618
1X2X
4、,振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法 。 先以二自由度体系为例,如图 3.21所示 。
)81.3(
)80.3()()(
3,7 9
)()(
)79.3(
)()()(
)()()(
)()(
1
21
2221212
2121111
2121
qXx
Xtqtx
tqtq
XtqXtqtx
XtqXtqtx
txtxmm
n
j
jiji
或用矩阵形式表示为：
）可写为：式（当为多自由度体系中，
。与第二振型所占的分量时刻的变位中第一振型一义坐标，表示在质点任是时间的函数，称为广、
来表示，即：其两个振型的线性组合用和的位移在地震作用下任一时刻和将质点
值。时的即当各质点位移振型的振型参与系数。体系在地震反应中第式中理后得刚度矩阵的正交性，整根据振型对质量矩阵和
，得：将上式等号两边各乘以故得：比例常数、式中之间的耦合，即令：
型足正交条件，以消除振从而使阻尼矩阵亦能满刚度矩阵的线性组合，
质量矩阵和），并假定阻尼矩阵是）代入运动方程式（将式（
jnj
j
n
i
jii
n
i
jii
j
T
j
T
j
j
jjjjjj
T
j
T
j
T
j
T
j
T
j
qxxxx
j
Xm
Xm
XmX
mX
njxqqq
xmXqXkXqXkmXqXmX
X
xmqXkqXkmqXm
kmc
1
)87.3(
1
)86.3(),2,1(;
)82.3(
3,4 73,8 1
21
1
2
1
0
22
21
021
021
21
21
)90.3(
2
2;
2
2;3,8 8
)98.3(),2,1(2
3,8 6
)88.3(2
3,8 6
2
1
2
2
1122
2
2
1
2
2
122121
1
22
2
221
11
2
121
21
0
2
2
21
解得
）得由式（
和阻尼比确定，即第一、第二振型的频率通常根据、振型的阻尼比，系数对应于式中
）可写为：则式（
）中，令：在式（
j
njxqqq
j
jjjjjjj
jjj
。的质点地震作用下其中任一，多自由度弹性体系在）就是用振型分解法时式（
），得：）代入式（将式（
。相应的自由度体系称作与振型下的位移反应，这个单反应的单自由度体系在地震、自振频率为）相当于阻尼比为式（
）（式中或写为：
）式的解：可写出（
），）的解，即式（动微分方程式（参照单自由度体系的运位移公式
( 3,9 4 )
振子
i
n
j
jijj
n
j
jiji
jj
t
j
t
j
j
jjj
t
j
t
j
j
j
m
XtXtqtx
j
dtext
ttq
dtextq
jj
jj
3,9 4
)()()(
3,8 03,9 2
3,9 3
3,9 3)(s i n)(
1
)(
)92.3()()(
)91.3()(s i n)()(
3,8 9
3,2 43,5
11
0
)(
0
0
)(
0
3.5 多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是质点的地震作用。质点上的地震作用为：
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
地震作用效应。
结构的最大组合这些效应，以求得的地震作用效应，然后最大地震作用及其相应一振型的琐，一般采用先求出每大地震作用。但计算繁最大值就是设计用的最的时程曲线。曲线上随时间变化的曲线，即）作出根据式（
速度。振型相应振子的绝对加—与第—
的相对加速度；—质点—
—地面运动的加速度；—式中
)()(3,1 0 0
)()(
)(
)(
)100.3()()(
)97.3()()()(
0
0
0
1
0
tFtF
jttx
itx
tx
ttxXm
txtxmtF
ii
j
i
j
n
j
jiji
iii
质点的重力荷载代表值—集中于—
即振型位移；质点的水平相对位移，振型——
）计算；式（的振型参与系数，可按振型——
确定；的地震影响系数，按图振型自振周期—相应于第—式中
）（则上式写为：
令绝对最大标准值：质点上的水平地震作用振型第），作用在第由式（
iG
ijX
j
Tj
GXF
gmG
g
ttx
ttxXmF
ij
i
ji
j
jj
ijijjji
ii
j
j
jjijiji
3,8 7
3,9
3,1 0 2
)()(
)1 0 1.3()()(
3,1 0 0
m a x
0
m a x
0
用1,振型的最大地震作和变形。的作用效应，包括内力振型水平地震作用产生——
—水平地震作用效应；—式中确定，即：“平方和开方”的方法似采用构总的地震作用效应近最大值。则结用及效应并不一定也达，其他各振型的地震作应的效应）达最大值时用（使其相刻当某一振型的地震作也是最大值。但任一时轴力、变形），这里的
（弯矩、剪力、震作用效应后，就可计算结构的地质点上的最大地震作用振型求出
jS
S
SS
S
Sij
j
j
j
j
)1 0 3.3(
2
2,振型组合
一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加而迅速减少，所以频率最低的几个振型控制结构的最大地震反应。
实际计算中，一般采用前 2— 3个振型即可。
,规范,规定：在进行结构抗震验算时，结构任一楼层的水平地震剪力应符合下式要求层的重力荷载代表值。—第—
的增大系数；尚应乘以规则结构的薄弱层，规定的数值，对竖向不表—剪力系数，不应小于—
标准值的楼层剪力；层对应于水平地震作用—第—
jG
iV
GV
j
E k i
n
ij
jE k i
1,1 5
4.3
)1 0 4.3(
二、底部剪力法
,规范,5.2.1：对于高度不超过 40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采用底部剪力法。
)107.3(1 EqEk GF?
1、底部剪力计算符合规定的结构，根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个与其基本周期相等的单质点体系代替。底部剪力用式（ 3.37）进行计算：
式中 —— 相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数，
按图 3.9确定，对于多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，可取水平地震影响系数最大值；
—— 结构等效总重力荷载,
式中 —— 集中于质点 i的重力荷载代表值；
c —— 等效系数。,规范,规定取 c=0.85
注意：因为 标准值，则结构总水平地震作用 为标准值。
1?
eqG
n
i
ieq GcG
1
iG
iG
)1 0 7.3(1 eqEk GF?
EkF
2、各质点的水平地震作用标准值的计算因符合规范要求的结构，其地震反应以基本振型为主，而且基本振型接近于直线，呈倒三角形，如图
3.22所示。
的结构。）适用于基本周期式（
的地震作用质点上分配到各质点，即得各用把结构的总水平地震作所以可得：
则又因振型为倒三角形，
由该式知：
的水平地震作用为：），质点根据式（
g
Ek
n
j
jj
ii
i
i
Ek
ii
ii
iiiiii
TT
F
HG
HG
F
F
F
HGF
HX
GXFGXF
i
4.13,1 0 9
)1 0 9.3(
3,1 0 2
1
1
1
1111
，且不向下传递。宜乘以系数作用效应，因鞭端效应囱等地震的屋顶间、女儿墙、烟规定：对顶部突出屋面《规范》
。；对其他房屋，取房，确定；对多层内框架砖由表结构房屋，对多层钢筋混凝土和钢
，，（
为：的水平地震作用标准值则质点用—顶部附加水平地震作—
数—顶部附加地震作用系—式中构的顶部加以修正：以集中力的形式加在结水平地震作用的建筑，取顶部附加的基本自振周期《规范》规定：对结构上部震害较为严重。本周期较长的建筑物，震害经验表明：某些基计算、顶部附加地震作用的
3
3.5,2
00,2
3,5
)1 1 0.3()n21)1(
i
4.1
3
1
1
nn
n
nEkn
j
ii
ii
i
n
n
Eknn
n
g
iF
HG
HG
F
F
FF
F
TT
在地震作用下，高层建筑或其他建（构）筑物顶部细长突出部分振幅剧烈增大的现象。
1 1 5 8.0
0.102.09.005.0,25.1535.025.03,9
16.00,2 0 g83,3
25.03,2
2
1 5 6.03 5 8.0
0 0 0.1-
1,7 1 0
X
X
0 0 0.1
4 8 8.0
X
X
1
05.0
,0,2 0 g
83,13,1 43,5
m a x2
1
1
21
m a x
1111111
21
22
21
12
11
T
T
sTgTsT
sT
gmXGXF
sTsT
g
gg
g
iiiii
响系数为：由以上数据，得地震影
，，，则：由图
，则度为度，设计基本地震加速：设防烈度为由表为第一组，则类场地，设计地震分组：由表震作用为：第一振型的质点水平地
）水平地震作用（
周期为：）主振型及相应的自振（
算用振型分解反应谱法计解：
架的层间地震剪力。和底部剪力法计算该框，试分别用振型分解法
，结构的阻尼比设计地震分组为第一组速度为该地区设计基本地震加类场地上，度的在设防烈度为）所示框架结构，建造（例图例
）所示。（层间剪力图如图的层间地震剪力为：），可求得一层、二层按式（
所示。（作用及剪力图如第一、第二振型的地震根据以上计算，对应于
）层间地震剪力（
振型：同理可得：相应于第二则
）式（计算振型参与系数，按
c3,2 3
2.72)3.18(8.69
4.1 1 22.197.1 1 0
3,1 0 3
a) ( b )3,2 3
3
3.188.950)1(2 3 3.016.0
5.378.96071.12 3 3.016.0
8.698.950123.11 1 5 8.0
9.408.9604 8 8.023.11 1 5 8.0
23.1
1504 8 8.060
1504 8 8.060
3,8 7
22
2
22
1
22
12
12
11
22
1
2
1
1
1
1
KNV
KNV
KNF
KNF
KNF
KNF
Xm
Xm
n
i
ii
n
i
ii
所示。间剪力图见图框架水平地震作用及层作用：顶部附加集中水平地震则
：按表的水平地震作用为：），质点式（
）各质点地震作用（
则
）由式（
）结构总水平地震作用（
用底部剪力法计算
3,2 4
5.101.1 0 60 9 8 6.0
8.590 9 8 6.011.1 0 6
448.95048.960
)44(8.950
1F
9.350 9 8 6.011.1 0 6
448.95048.960
48.960
1F
0 9 8 6.007.008.03,5,35.025.04.14.13 5 8.0
1F
3,1 1 0
2
1.1 0 69 1 61 1 5 8.0
9 1 68.9)5060(85.085.03,1 0 7
1
2
1
22
2
2
1
11
1
11
1
1
1
1
KNFF
KNF
HG
HG
KNF
HG
HG
TsTsT
F
HG
HG
i
KNGF
KNgmGGF
Eknn
nEk
j
jj
nEk
j
jj
ng
nEk
n
j
jj
ii
i
eqEk
n
i
ieqeqEk
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
查表得 16.0m a x
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别
s4.0?gT
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(T
Tg?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数查表得 16.0m a x
s4.0?gT
第一振型 gg TTT 51
m a x21 )(T
T g? 139.0?
第二振型 gTT 2s1.0
16.0m a x22
第三振型 gTT 3s1.0
16.0m a x23
55.0
05.09.0
7.106.0
05.01
2?
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数第一振型
3
1
2
1
3
1
11 /
i
ii
i
ii xmxm? 363.11180667.0270334.0270
1180667.0270334.0270
222
第二振型
3
1
2
2
3
1
22 /
i
ii
i
ii xmxm? 428.01180)666.0(270)667.0(270 1180)666.0(270)667.0(270 222
第三振型
3
1
2
3
3
1
33 /
i
ii
i
ii xmxm? 063.01180)035.3(270019.4270
1180)035.3(270019.4270
222
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.1678.9270334.0363.1139.011F
第一振型
kN4.3348.9270667.0363.1139.012F
kN2.3348.9180000.1363.1139.013F
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN9.1208.9270)667.0()428.0(16.021F
第二振型
kN7.1208.9270)666.0()428.0(16.022F
kN8.1208.9180000.1)428.0(16.023F
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
ijjijji GxF
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN2.1078.9270019.4063.016.031F
第三振型
kN9.808.9270)035.3(063.016.032F
kN8.178.9180000.1063.016.033F
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
第一振型 kN8362.3344.3344.167
11V
kN6.6682.3344.33412V
kN2.3 3 413?V
2.334
6.668
836
1振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
2.334
6.668
836
1振型第二振型 kN8.1208.1207.1209.120
21V
kN1.08.1 2 07.1 2 022V
8.12023V
8.120?
1.0?
8.120
2振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
2.334
6.668
836
1振型
8.120?
1.0?
8.120
2振型第三振型 kN1.448.179.802.1 0 7
31V
kN1.638.179.8032V
kN8.1733?V
8.17
1.63?
1.44
3振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。
抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地，设计地震分组为第二组。
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
解,（ 1）求体系的自振周期和振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
1X
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2X
0 0 0.1
0 3 5.3
0 1 9.4
3X
s467.01?T s208.02?T s134.03?T
（ 2）计算各振型的地震影响系数
139.01 16.02 16.03
（ 3）计算各振型的振型参与系数
363.11 428.02 063.03
（ 4）计算各振型各楼层地震作用
kN4.167
kN4.334
kN2.334
第一振型
kN8.120?
kN7.120
kN9.120
第二振型
kN8.17
kN9.80?
kN2.107
第三振型
（ 5）计算各振型的地震作用效应
2.334
6.668
836
1振型
8.120?
1.0?
8.120
2振型
8.17
1.63?
1.44
3振型
（ 6）计算地震作用效应（层间剪力）
kN8.8452312212111 VVVV
kN6.6712322222122 VVVV
kN8.3 3 52332232133 VVVV
8.335
6.671
8.845
组合后各层地震剪力例：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用
EKnn FF
gTT 4.11?gTT 4.11?)(sTg
35.0?
55.0~35.0
55.0?
07.008.0 1?T
01.008.0 1?T
02.008.0 1?T
0
0
0
顶部附加地震作用系数
56.04.1?gT
gTT 4.11? 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值
)1(
1
nEKn
k
kk
ii
i F
GH
GHF
例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值 )1(
1
nEKn
k
kk
ii
i F
GH
GHF
7.1 6 67.8 3 35.108.91 8 078.92 7 05.38.92 7 0 5.38.92 7 01F
5.33 37.83 35.108.918 078.927 05.38.927 0 0.78.927 02F
5.33 37.83 35.108.918 078.927 05.38.927 0 5.108.918 03F
例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s,抗震设防烈度为 8度,Ⅱ 类场地,设计地震分组为第二组。
解,（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5 9 9 7?
eqG
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
M N /m2451?K
M N /m1952?K
M N /m983?K
（ 2）计算水平地震影响系数 16.0m a x s4.0?gT 139.01
（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.8 3 3?EKF
（ 4）顶部附加水平地震作用 0?n?
（ 5）计算各层的水平地震作用标准值
7.1661?F 5.3332?F 5.3333?F
（ 6）计算各层的层间剪力
kNFFFV 7.8 3 33211
kNFFV 0.6 6 7322
kNFV 5.3 3 333
tm 2701?
tm 2702?
5.333
5.333
7.166
5.333
0.667
7.833
8.335
6.671
8.845
振型分解反应谱法结果
3.6 结构自振周期和振型计算
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计按振型分解法计算多质点体系的地震作用时，需要确定体系的基频和高频以及相应的振型；用反应谱底部剪力法计算时，需要知道基本周期。从理论上讲，
他们可通过解频率方程得到，但质点多于三个时，计算很困难。本节将介绍一些经常采用的近似计算方法，
可根据其使用条件及计算需要选用。
一、能量法二、等效质量法（折算质量法）
三、顶点位移法四、矩阵迭代法一,能量法能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求 结构的基本频率 （ 第一振型的频率 ） 。
本方法常用于求解 以剪切型为主的框架结构 。由于框架结构可以用 D值法直接求得层间变形，所以这一方法应用十分方便。
单位一致。单位必须与—重力加速度，其长度—
的水平位移；质点为各层水平荷载求出的—以—层的重量；—第—
则结构的基本周期为：式为：体系基本频率的计算公
i
iii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
X
iGXiG
XG
XG
Xmg
Xm
T
Xm
Xmg
g
)66.3(22
2
)65.3(
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
解,
例,已知：
kN / m10 72 0,kN / m14 28 0
kN30 0,kN40 0
21
21
kk
GG
求结构的基本周期。 2k
G2
1k
G1
1G
2G 2
u
1u（ 1）计算各层层间剪力
kNV 7003004001
kNV 3002?
（ 2）计算各楼层处的水平位移
mkVu 0 4 9.01 4 2 8 0/7 0 0/ 111
mkVkVu 0 7 7.01 0 7 2 0/3 0 00 4 9.0// 22112
（ 3）计算基本周期
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
s50 8.007 7.030 004 9.040 0 07 7.030 004 9.040 02 22
基本频率及振型。
构的。试用能量法计算该结，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N/ m108,2 3K N/ m1003.9
K N/ m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（ b）
（ a） （ b）
m101 4 5,4 9m107 9 2.61 3 8,7 0X
m101 3 8,7 0m1037.3433.1 0 4X
m1033.1 0 4
m1033.1 0 4
1043.5
2 5 6 12 5 4 55 5 9
m1037.34
1003.9
2 5 4 55 5 9
m107 9 2.6
1023.8
5 5 9
44
323
44
212
4
11
4
5
1
123
1
4
5
2
23
2
4
5
3
3
3
ggXX
ggXX
gXX
g
g
k
gmmm
X
g
g
k
gmm
X
g
g
k
gm
X
各层位移为：
：结构的层间相对位移为
0 0 0.1
479.0
6 9 0.0
:s/8 8 r a d.8
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 7.0
10g
49.1 4 5
70.1 3 8
33.1 0 4
s/8 9 r a d.8
10g49.1 4 55 5 970.1 3 82 5 4 533.1 0 42 5 6 1
10g49.1 4 55 5 970.1 3 82 5 4 533.1 0 42 5 6 1
13
12
11
4
13
12
11
2
4222
4
1
2
1
X
X
X
X
X
X
g
Xm
Xmg
n
i
ii
n
i
ii
相应的基本振型；频率迭代结果为：进一步的迭代，第一次为提高精度，还可进行相应的基本振型为：
则体系的基本频率为：
二,等效质量法在求 多自由度体系的基本频率 时，为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称为等效质量。
如图 3.18所示的悬臂体系，有两单自由度体系频率相等，则：
)69.3(
11
)68.3(n
3,6 7
1
2
1
2
1i
n
i i
n
i ii
i
jj
e
n
ii
i
jje
i
ii
jj
e
e
jj
i
ii
k
m
k
m
k
m
km
m
k
m
k
k
mj
m
k
m
k
体系的基本频率为：
个集中质量，则若体系有体系的基本频率：
）（点的等效质量：体系顶端
。，弯曲刚度为的质量为面柱，两柱沿单位长度处，设柱为等截作用于柱高的，两边吊车质量已知屋盖质量为构的基本频率。）所示单层厂房排架结（用等效质量法计算图例
EIm
MM 5/4,
a3,1 93,4
lmMMl
EI
llmMMl
EI
m
k
lmMMmmMm
lmdxm
l
x
m
MMM
l
l
m
m
l
x
m
k
k
m
l
x
k
k
l
EI
k
x
EI
k
e
eee
l
e
e
ii
ii
jj
e
ii
jj
jj
ii
25.05.0
732.1
25.05.0
3
4
25.05.03
25.02
5.0512.0
8.0
3
3
)1(:
3
0
3
3
33
3
3
）该结构的基本频率：（
质量：）作用于柱顶的总等效（
等效质量：）柱均布质量在柱顶的（
质量为：则吊车梁在柱顶的等效效质量：求吊车梁在柱顶的的等解三,顶点位移法用“换算体系”方法可以把一多质点体系用一等效的单质点体系来代替，从而将多自由度体系求周期问题简化为相应的单自由度问题。
顶点位移法是根据 在重力荷载水平作用时算得的顶点位移 来求解基本频率的一种方法。
悬臂型剪切型 弯剪型抗震墙结构可视为弯曲型杆，即悬臂型结构。
框架结构可近似视为剪切型杆。
框架 -抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。
6 8 s.01049.1 4 58.18.1
m1049.1 4 5
3,2
3,2
7.1
8.1
6.1
4
4
3
gT
gX
T
T
T
ss
s
bs
ss
bb
则该结构的基本周期：
结构）的顶点位移：知该框架结构（剪切型解：由例所示结构的基本周期。算例例：试用顶点位移法计的任何体系结构。度沿高度分布比较均匀本方法适用于质量及刚位移，单位为ｍ。
得的顶点水平作为各楼层水平荷载求—相应结构在重力荷载—
对弯剪型结构：
对剪切型结构：
对弯曲型结构：
结构变形的三种形式框架结构在水平力作用下的受力特点如下图所示。
其侧移有两部分组成：
第一部分侧移由柱和梁的弯曲变形产生。梁、柱都有反弯点，形成侧向变形。框架下部的梁、柱内力大，
层间变形也大，愈到上部层间变形愈小，使整个结构呈 剪切型变形,如图（ a）。
第二部分侧移由柱的轴向变形产生，在水平荷载作用下，柱的拉伸和压缩使结构出现侧移。这种侧移在上部各层较大，愈到底部层间变形愈小，使整个结构呈 弯曲型 变形，如图（ b)所示。
框架结构中第一部分侧移是主要的，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但合成以后框架仍然呈剪切型变形特征，如图（ c）。
（ a） （ b） （ c）
框架结构的侧向变形
自振周期的经验公式根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算
（ 1）高度低于 25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期
（ 2）高度低于 50m的钢筋混凝土框架 -抗震墙结构的基本周期
31 /35.022.0 BHT
H---房屋总高度； B---所考虑方向房屋总宽度。
321 /0 0 0 6 9.033.0 BHT
（ 3）高度低于 50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期
31 /0 3 8.004.0 BHT
（ 4）高度低于 35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期
35.21 /0 0 1 5.029.0 BHT
在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，
有下列更粗略的公式
（ 1）钢筋混凝土框架结构
（ 2）钢筋混凝土框架 -抗震墙或钢筋混凝土框架 -筒体结构
NT )10.0~08.0(1?
N---结构总层数。
NT )08.0~06.0(1?
（ 3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构
NT )05.0~04.0(1?
（ 4）钢 -钢筋混凝土混合结构
NT )08.0~06.0(1?
（ 5）高层钢结构
NT )12.0~08.0(1?
四,矩阵迭代法
述步骤即可。数少了一个），重复上使矩阵降低一阶（未知正交性原理，得：由振型关于质量矩阵的可计算基本周期；由即基本振型）继续到（
即
，和式右端，可求出代入）再将（
即的近似值，和近似值的第一次，从而求得第一振型，代入式先假定基本振型）（
得上式左乘
）为，教材式（
0
2
,3
)61.3(2
)61.3( 1
)61.3(
0k,
0k:P 3 83,5 3 b
2
T
1
1
1
2
1
n
1
n1n
②2①2
②2①
①222①
212
211
2
XmX
TXXXX
XXmX
XcX
XXmXX
cX
cXmXXmkX
Xmkk
Xm
2,求高频振型和频率型求体系的基本频率和振 1、
:频率和振型的步骤用矩阵迭代法计算结构
可求出多质点体系多个频率及相应的振型。
的频率及振型。
该结构。试用矩阵迭代法计算，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N/ m108,2 3K N/ m1003.9
K N/ m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
101 4 5 5
1 4 5 5
1 3 8 7
1 0 4 2
10
1
1
1
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
0
0
)6 1 c.3(,
1
1
1
2
KN
m
1016.4
111
KN
m
1095.2
11;
KN
m
1084.1
1
1
52
1
52
1
62
1
13
12
11
3
2
1
333231
232221
131211
2
1
13
12
11
13
12
11
6
321
33
6
21
2322
6
1
131211
X
X
X
m
m
m
X
X
X
X
X
X
kkk
kkk
代入式次近似值为：先假设第一振型的第一
）求第一振型：（
为：）求该结构的柔度系数解：（
0 0 0.1
479.0
6 8 7.0
102 6 91
2 6 91
2 0 21
8 7 2
10
:)6 1 c.3
0 0 0.1
489.0
6 9 0.0
102 8 51
2 8 51
2 1 81
8 8 7
10
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
:)6 1 c.3
0 0 0.1
9 5 3.0
7 1 6.0
52
1
52
1
13
12
11
52
1
52
1
62
1
13
12
11
13
12
11
X
X
X
X
X
X
X
X
X
代入式（将此值第三次的近似值
，再将此值代入式（
似值为：则第一振型的第二次近
s/8 8 r ad.8
101 2 6 9
1
0 0 0.1102 6 910 0 0.1
ab15.3
0 0 0.1
479.0
6 8 7.0
51
52
1
13
12
11
1
,，解得结构的基本频率
）式：）所示。根据上（（，如图
：则该结构的基本振型为即符合相等于第二次的振型，这样第三次的振型近似
X
X
X
xx
nn
)(3 1 1.41 4 7.3
05 5 92 4 1 01 7 5 9
0
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
0 0 0.1
9 4 7.0
6 8 7.0
0
59.3
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
0
0
)6 1 c.3(
2
221232
322212
32
22
12
32
22
12
62
2
32
22
12
3
2
1
333231
232221
131211
2
2
32
22
12
cXXX
XXX
X
X
X
XmX
X
X
X
X
X
X
m
m
m
X
X
X
T
k
T
j
）得：式（将第一振型的位移代入根据主振型的正交性，
：第二振型由式
）求第二振型：（
及相应频率，略。）方法，可求第三振型同（
）所示。，如图（则第二振型为：
）得：由式（
则第二频率为：
，经两轮迭代后得：
移，令个接近于第二振型的位）进行迭代，先假设一对式（
）（
）（
：）中的第一、第二式得）式代入式（将（
2
c
0 0 0.1
5 0 1.0
0 1 4.1
9 6 7.10 0 0.13 1 1.49 9 5.11 4 7.3c
s/2 r ad.27
101 3 5 1
1
0 0 0.1
9 9 5.1
1 3 5 110
1
2
d
d
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
3 9 94 7 7-
2 4 91 4 7 5
10
b
5 5 90
2 5 4 5
02 5 6 1
16.495.284.1
95.295.284.1
84.184.184.1
10
bc
)(3 1 1.41 4 7.3
32
22
12
32
6
2
62
2
22
12
22
12
22
1262
2
22
12
32
22
12
62
2
32
22
12
221232
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
cXXX
产生扭转地震反应的原因
3.6 结构的地震扭转效应
1.建筑自身的原因（结构的偏心）
两方面：建筑自身的原因和地震地面运动的原因。
m
)(tug
质心刚心产生偏心的原因：
a.建筑物的柱体与墙体等抗侧力构件布置不对称。
b.建筑物的平面不对称。
抗震结构设计
c.建筑物的立面不对称。
d.建筑物的平面、立面均不对称。
e.建筑物各层质心与刚心重合，
但上下层不在同一垂直线上。
f.偶然偏心。
2.地面运动的云因（存在扭转分量）
地震波在地面上各点的波速、周期和相位不同。建筑结构基底将产生绕竖直轴的转动，结构便会产生扭转振动。
无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭转振动均是存在的。
但二者有区别，无偏心结构的平动与扭转振动不是耦合的，而有偏心结构的平动与扭转振动是耦合的。
3.7 地基与结构的相互作用
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计在对建筑结构进行地震反应分析时，通常假定地基是刚性的。实际一般地基并非刚性，故当上部结构的地震作用通过基础反馈给地基时，地基将产生一定的局部变形，从而引起结构的移动或摆动，这种现象称为地基与结构的相互作用。
3.7.1 地基与上部结构相互作用的影响
大震实记表明：结构与支承他的地基之间存在着相互作用，主要表现在：
结构对地基的反馈作用：改变了地基运动的频谱组成，
使得接近结构自振频率的分量获得加强。 T（结构的基本周期）接近与 Tg（场地的特征周期），易共振，
相差大则地震作用减弱。
地基变形对结构的影响：地基愈柔，结构的基本周期延长；结构的振动衰减愈大（阻尼、位移愈大）。
当地基刚度比上部结构刚度大得多时，这两种作用趋于消失。
3.7.2 考虑地基结构相互作用的抗震设计
结构的抗震计算在一般情况下可不考虑地基与结构的相互作用。但 ① 对于建造在 8度和 9度,Ⅲ
或 Ⅳ 类场地上,② 采用箱基、刚性较好的筏基或桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑,③ 当结构的基本周期处于特征周期的 1.2～ 5倍范围内时,
可考虑地基与结构动力相互作用的影响。对采用刚性地基假定计算的水平地震剪力按下列规定予以折减，并且其层间变形也应按折减后的楼层剪力计算。
（ 1）、高宽比小于 3的结构，各楼层地震剪力的折减系数可按下式计算：
），按表3,7 采用。互作用的附加周期（s考虑地基与结构动力相结构基本周期（s ）；按刚性地基假定确定的减系数；互作用后的地震剪力折考虑地基与结构动力相
——
——
——
T
T
TT
T
1
9.0
1
1
)1 5 0.3(
（ 2）高宽比大于 3的结构，底部的地震剪力按上述规定折减，但顶部不折减。中间按线性插入。
目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的结构或构件有：
1.长悬臂结构；
2.大跨度结构；
3.高耸结构和较高的高层建筑；
4.以轴向力为主的结构构件（柱或悬挂结构）；
5.砌体结构；
6.突出于建筑顶部的小构件。
我国抗震设计,规范,规定：
8度和 9度的大跨度结构、长悬臂结构；烟囱和类似的高耸结构； 9度时的高层建筑。应考虑竖向地震作用的不利影响。
3.8 竖向地震作用抗震结构设计分析结果表明：
高耸结构和高层建筑竖向第一振型的地震内力与竖向前 5个振型按平方和开方组合的地震内力相比较，误差仅在 5%--15%。
此外，竖向第一振型的数值大致呈倒三角形式，基本周期小于场地特征周期。
因此，高耸结构和高层建筑竖向地震作用可按与底部剪力法类似的方法计算。
3.8.1 高耸结构和高层建筑竖向地震作用基本计算公式
eqVEVK GF m a x
ieq GG 75.0
m a xm a x 65.0 HV
---结构总竖向地震作用标准值；
EVKF
m a xm a x,HV
---竖向、水平地震影响系数最大值。
G1
nG
iG
EVKF
ViF
EVKn
j
jj
ii
Vi F
HG
HGF
1
---质点 i的竖向地震作用标准值。
规范要求,9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用效应应乘以 1.5的增大系数。
3.10 建筑结构抗震验算
3 结构地震反应分析与抗震验算抗震结构设计
结构抗震承载力验算
结构抗震变形验算
抗震设计方法的步骤
3.10.1 结构抗震承载力验算
1、地震作用方向水平方向 —— 地面运动水平方向的分量较大时考虑垂直方向 —— 高烈度、大跨、长悬臂、高耸及高层才考虑扭转方向 —— 质量和刚度重合时不考虑一般，仅考虑水平地震作用。
2、重力荷载代表值在计算结构时，水平、竖向地震作用标准值都要用到：集中到质点处的重力荷载代表值。
。数，见表个可变荷载的组合值系—第—
个可变荷载的标准值；—结构或构件第—
载标准值；—结构或构件的永久荷—
3,1 2
)1 9 6.3(
iQ
i
G
QGG
Ki
Ei
K
KiEiKE
3、结构构件截面的抗震验算在抗震设计的第一阶段要做到,小震不坏,,即多遇地震的水平地震作用标准值，用线弹性理论的方法求出结构构件的地震作用效应，再与其他荷载效应组合，计算出结构内力组合设计值进行验算，以达到
“小震不坏” 的要求。
。建筑取层，风载起控制作用的高般结构取—风载组合值系数，一—
载标准值的效应；作用标准值的效应、风应、水平、竖向地震—重力荷载代表值的效—、、、；—风载分项系数，取—
采用；震作用分项系数，按表—分别为水平、竖向地—、；有利时，不应大于
，当重力荷载对构件一般情况取—重力荷载分项系数，—
，按下式计算。设计值（结构的效应）—结构构件内力组合的—
。折减竖向地震破坏力大，不取作用时，对各类构件均采用。当考虑竖向地震表—承载力调整系数，按—
计值（结构的抗力）—结构构件承载力的设—
0,2
0,0
SSSS
1,4
3,1 4
1,0
1,2
)1 9 8.3(SSSSS
)1,0 (
3,1 3
)1 9 7.3(
w
wkE v kE h kGE
w
EvEh
G
wkwwE v kEvE h kEhGEG
S
R
R
S
RE
RE
3.10.2 结构的抗震变形验算
1、多遇地震（小震）作用下的结构抗震变形验算表 3.15所列各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算，其楼层内最大的弹性层间位移应符合下式要求：
—计算楼层层高。—
采用；，按表—弹性层间位移角限值—
刚度；的截面刚度可采用弹性。钢筋混凝土结构构件各作用分项系数取形。整体弯曲变形和扭转变建筑外，不应扣除结构以弯曲变形为主的高层间位移，计算时除产生的楼层最大弹性层—多遇地震作用标准值—
h
u
hu
e
e
ee
3,1 5
1,0
)1 9 9.3(
2、罕遇地震（大震）作用下的结构抗震变形验算
⑴ 应 进行 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形验算的结构为：
① 8度 Ⅲ,Ⅳ 场地和 9度时，高大的单层钢筋混凝土柱厂房的横向排架；
② 7～ 9度时的楼层屈服强度系数小于 0.5的钢筋混凝土框架结构；
③ 采用隔震和消能减震设计的结构；
④ 甲类建筑和 9度时的乙类建筑中的钢筋混凝土结构和刚结构。
⑤ 高度大于 150m的钢结构。
（ 2） 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形计算，可采用下列方法：
① 不超过 12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构、单层工业厂房可采用 （ 3） 的计算方法。
② 除 ① 以外的建筑结构，可采用静力弹塑性计算方法或弹塑性时程分析法；
③ 规则结构可采用弯剪层模型或平面杆系模型，属于规范规定的 不规则结构 应采用空间结构模型。
（ 3） 罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形验算的步骤：
① 计算各楼层的屈服强度系数 ξ
当各层 ξ 大于 0.5，该结构无薄弱层；
若小震抗震抗震变形验算满足要求，则大震也能满足，不需验算。
② 结构薄弱层位置的确定
ξ 沿高度分布均匀取底层
ξ 沿高度分布不均匀，取相对较小的，一般不超过 2～ 3个
单层厂房取上柱
③ 薄弱楼层层间弹塑性位移的计算,式（ 3.201 ～ 203）
④ 结构薄弱层弹塑性位移应符合式（ 3.204）的要求。
楼层屈服强度系数根据对大量钢筋混凝土 剪切型结构 实例的弹塑性时程分析可知：结构弹塑性层位移主要取决于 楼层屈服强度系数的大小 和 楼层屈服强度系数沿房屋高度的分布情况。
弱层。的现象，该楼层即为薄塑性变形集中”弹塑性变形较大形成“值较小的楼层先屈服，大震时，
地震剪力的相对关系。载力与该楼层所受弹性反映了结构中楼层的承
。，见表地震时的应采用罕遇层的弹性地震剪力。—罕遇地震作用下第—
层受剪承载力；料强度标准值计算的—按构件实际配筋和材—
用下式确定层的楼层屈服强度系数结构第
y
y
e
y
e
y
y
y
iV
iiV
iV
iV
i
ii
3,3
i)(
)(
)2 0 0.3(
)(
)(
)(
:)(
m a x
m a x
钢筋混凝土剪切型结构弹塑性变形的一般规律指侧移主要由层间 剪切变形 引起，各楼层在结构振动过程中始终保持水平，各层层间位移具有独立性，互不影响，下层位移较大，沿高度逐渐减小。
弹塑性层间位移的计算
）可采用式（弹塑性层间位移计算也层的层间刚度。—第—
层的弹性地震剪力；—罕遇地震作用下第—
性分析的层间位移；—罕遇地震作用下按弹—
说明取用。；按表—弹塑性位移增大系数—
—弹塑性层间位移；—
3,2 0 3
)(
3,1 6
)2 0 2.3(
)(
)()2 0 1.3(
ik
iiV
u
u
k
iV
iuuu
i
e
e
p
p
i
e
eepp
薄弱楼层弹塑性层间位移的验算：
hu pp ][
---弹塑性层间位移角限值，按下表采用；
h ---薄弱层楼层高度或单层厂房上柱高度。
][ p?
1/70多、高层钢结构
1/120钢筋混凝土抗震墙、筒中筒
1/100钢筋混凝土框架 -抗震墙、板柱 -抗震墙、框架 -核心筒
1/100底部框架砖房中的框架 -抗震墙
1/50钢筋混凝土框架
1/30单层混凝土柱排架结构类型 ][ p?
开 始结构方案按多遇地震烈度确定弹性地震作用,将地震作用效应与其他荷载组合效应组合抗震强度验算 弹性位移验算 抗震构造措施是否需要验算弹塑性位移否结 束按罕遇地震烈度验算弹塑性位移对薄弱部位采取加强措施是
抗震设计方法的步骤
