数 控 技 术 概 论
及 加 工 编 程
(5)
制作,周利平
西华大学机械工程与自动化学院
第五章 数控编程技术
第一节 数控加工的工艺设计
一、数控加工内容的选择
通用机床无法加工的内容应作为优选内容；
通用机床难加工，质量也难以保证的内容应作为重点选择内容；
通用机床加工效率低、工人手工操作劳动强度大的内容，可在数
控机床尚存在富余能力的基础上进行选择。
工艺设计是对工件进行数控加工的前期工艺准备工作，
合理的工艺设计方案是数控编程的依据。编程人员必须首先
搞好工艺设计，然后再考虑编程。
数控加工工艺与普通加工工艺在原则上基本相同，但又
有其特点：
?数控加工的工序内容复杂
?数控加工程序的编制复杂
工艺内容明确而具体
对刀点、换刀点
二、数控加工工艺性分析
?尺寸标注应符合数控加工的特点
?宜用同一基准引注或坐标式尺寸
?零件轮廓几何要素的条件应完整、准确
?定位基准要可靠
?不充分、不清楚
?过于, 苛刻,,自相矛盾
?应采用同一基准定位
?同一基准可以是工件上已有表面，也可设置
辅助基准
?零件结构工艺性
? 结合数控加工特点灵活运用普通加工工艺的一般原则，将数
控加工工序穿插与零件加工的整个工艺过程中，使之与普通
工序良好衔接。
三、数控加工工艺路线设计
首先找出所有加工的零件表面
并逐一确定各表面的加工方法
划分加工阶段
划分工序，安排顺序
常规工序、热处理工序
零件加工工艺路线
? 工序的划分
?以一次安装、加工作为一道工序
?以同一把刀具加工内容
作为一道工序
?以加工部位划分工序
?以粗、精加工划分工序
? 工步的划分
?先粗后精；
?先面后孔；
?按刀具集中。
?上道工序的加工不能影响下道工序的定位与夹紧，中间
穿插有通用机床加工工序的也要综合考虑；
?先内后外；
?以相同定位、夹紧方式或同一把刀具加工的工序，最好
连续进行，以减少重复定位次数、换刀次数与挪动压板
次数；
?在同一次安装中进行的多道工序，应先安排对工件刚性
破坏较小的工序。
? 顺序的安排
? 数控加工工序与普通工序的衔接
?建立工序间的相互状态要求。
四、数控加工工序设计
?数控加工工艺十分严密，工序设计中必须注意加工过程
中的每一个细节；
?对图形进行数学处理、计算和编程时，力求准确无误。
数控工序设计的主要任务：
?本工序加工内容（走刀路线、工步顺序）的确定；
?定位夹紧方式及夹具选择；
?数控刀具的选择；
?切削用量的选择；
?对刀点、换刀点的确定。
? 确定走刀路线
?走刀路线,在数控加工中，刀具刀位点相对于工件运动
的轨迹。
?走刀路线不仅包括了加工内容，也反映出加工顺序，是
编程的依据之一。
? 确定走刀路线的原则
1)应保证被加工工件的精度和表面粗糙度；
2)应使加工路线最短，以减少空行程时间，提高加工效率；
3)在满足工件精度、表面粗糙度、生产率等要求的情况下，
尽量简化数学处理时的数值计算工作量，以简化编程工作。
?为保证零件表面质量，应减少接刀、停刀刀痕
?应尽量减少在轮廓切削中停刀；
?避免沿法向切入工件；
?最终轮廓应在一次走刀中连续加工出来；
?尽量采用顺铣，提高零件表面质量和刀具耐用度。
?使数值计算简单，减少编程工作量
?每次直线进给，刀位点计算
简单，程序段短、而且加工过
程符合直纹面的形成规律，利
于准确保证母线的直线度。
?符合这类工件表面数据给
出情况，便于加工后检验，
叶形的准确度高。
?寻求最逗走刀路线，减少空刀时间以提高加工效率；但不
能忽略必要的辅助尺寸（刀具引入量和超出量）以及对位置
精度的影响。
? 定位基准与夹紧方案的确定
1)力求设计基准、工艺基准与编程计算的基准统一；
2)尽量将工序集中，减少装夹次数，尽可能在一次定位装夹
后就能加工出全部待加工表面；
3)避免采用占机人工调整装调方案，以充分发挥数控机床的
效能。
? 夹具的选择
1)当零件加工批量不大时，应尽量采用组合夹具、可调夹具
和其它通用夹具，以缩短准备时间、节省生产费用；
2)在成批生产时才考虑采用专用夹具，并力求结构简单；
3)夹具要开敞，加工部位开阔，夹具的定位、夹紧机构元件
不能影响加工中的进给 (如产生碰撞等 )；
4)装卸零件要快速、方便、可靠，以缩短辅助时间，批量较
大时应考虑采用气动或液压夹具、多工位夹具。
?对刀点与换刀点的确定
?对刀点：是指通过对刀确定刀具与工件相对位置的基准点。
?通过 G54～ G59设定加工坐标系，对刀点往往是零件的加工
原点。
?通过 G92或 G50设定加工坐标系，对刀点被认为是程序开始
运行的起点，又称, 起刀点, 。
?选择对刀点的原则是：
1)便于数学处理和简化程序编制；
2)在机床上容易找正；
3)在加工中便于检查；
4)有利于提高加工精度。
?“刀位点,,刀具的定位基点。
?“换刀点, 是指多刀机床在加工
过程中换刀时的位置
? 刀具的选择
?刀具刚性要好
?刀具耐用度要高
?刀具精度要高
采用先进的刀具材料
优选刀具参数
尽可能采用机夹可转位刀片
?刀具参数选择：
?铣刀：
?铣内凹轮廓：
r=(0.8~0.9)Rmin
铣外凸轮廓时,r尽量大
?零件加工高度,H≤(1/4~1/6)r
?为保证平底两次走刀路线搭接，编程半径取,0.95(r-rε)
?钻孔：
?L/D≤5
?镗孔：
?尽量采用对称的两刃或两刃以上的镗刀头
?精镗宜采用微调镗刀。
?选择镗刀主偏角接近 90°,大于 75° 。
? 切削用量的确定
?轮廓加工中注意进给速度的, 超程,,, 欠程, 现象。
?选择变化的进给速度；
?自动编程系统自身的, 超
程, 保护功能；
?利用机床, 进给倍率, 旋
纽手工控制。
?加工圆弧段时，切削点的实际进给速度 ≠刀具中心进给速度。
五、数控加工工艺文件的编写
?数控加工工序卡
?数控加工走刀路线图
第二节 数控编程中的数学处理
一、选择原点、换算尺寸
?车削件的编程原点,X——取在工件的回转中心
Z——取在工件的左、右端面或对称平面
?铣削件的编程原点,X,Y——工件的基准面、孔轴线或对称面
Z——工件的上、下表面
?尺寸换算：
按尺寸公差中值换算
二、基点与节点
?基点,与系统插补功能一致的各几何要素的连接点。
?方法,联立方程组；
几何元素间的三角函数关系。
? ? ? ? 222 301480 ???? YX
kXY ?
61530
1
.
ta nta n
ta nta n
)ta n (
?
??
?
?
??
??
??
??k
? ? ? ? 222 301480 ???? YX
XY 6 1 5 30,?
（ 64.2786,39.5507）
（ 64.2786,51.5507）
?方法,根据被加工曲线方程特性、逼近线段形状（直线
或圆弧）和允许的插补误差，利用数学关系求解。
?节点：
零件轮廓 ≠系统插补功能，如：椭圆、双曲线、抛物线等。
被加工曲线
逼近线段
交点＝节点
零件轮廓＝系统插补功能
节点＝基点
三、程序编制中的误差
),,( 圆插逼程 ????? f
),,,,( ???????? 对刀定位进控程数加,f
数加程 ??? )/~/( 10151
程编误差在零件轮廓上
的分布,
△ 逼 —— 采用近似计算方法逼近零件轮廓曲线时产生的误差；
△ 插 —— 逼近曲线与零件轮廓曲线之最大差值；
△ 圆 —— 四舍五入圆整脉冲值产生的误差。
点位系统中△ 圆 → 坐标尺寸精度
轮廓外 轮廓内
轮廓两侧
节点在
轮廓上
第三节 非圆曲线的逼近处理
数控加工中把除直线与圆弧以外的平面轮廓曲线称为 非圆曲线 。
可用方程表达的曲线
列表曲线
?数值计算过程：
选择逼近方法
确定允许的插补误差，
δ≤δ允 =(1/5~1/10)△ 零件公差
确定计算方法
根据算法计算节点坐标
?直线逼近法 数学处理较简单，
但计算的坐标数据较多，且各直
线段间连接处存在尖角，不利于
加工表面质量的提高。
?圆弧逼近法 可大大减少程序段
数目，相邻圆弧彼此相切，工件
表面光滑，有利于加工表面质量
的提高，但其数学处理过程比 直
线逼近法 复杂。
X
Y
O
一、直线逼近法－弦线法
?等插补段法：每个插补段长度相等。
?求 Rmin
"
))'(1( 2/32
Y
YR ??
)(XfY ?
0))'(1(')"(3 22 ?????? YYYY
?求弦长 AB
2m in2m in2 )()2/( 允???? RRAB
允?m in22 RAB ?
?求插补节点坐标
A B
P(X
0,Y0)
? ? ? ? 允?m i nRYYXX 82020 ????? ? ? ? 允?m i nRYYXX 82020 ????
)( XfY ?
(X1,Y1)
C
D
δ允
0?dxdR
例：非圆曲线为抛物线 X2=16Y
?求 Rmin
?求弦长 AB
?求插补节点坐标
0))'(1(')"(3 22 ?????? YYYY X＝ 0
"
))'(1( 2/32
Y
YR ?? Rmin=8mm
若 δ允 ＝ 0.04mm
允?m in22 RAB ?
mm
AB
6.1
04.0822
?
???
? ? ? ? 5622020,???? YYXX
YX 162 ?
δ 允 很小 → AB很小
X=1.592mm
y=0.158mm
特点：①计算方法简单；
②曲率半径较大的地方仍采用很小的
AB来插补 → 节点数 ↑ → 编程量 ↑。
8XY ?? 81Y ??? 0Y ????
?以起点 (X0,Y0)为圆心，
δ 允 为半径 建立圆方程：
?等插补误差法：每个插补段误差相等，插补段长度不等。
)( XfY ?
22020 )()()( 允????? YYXX
?求该 圆 与曲线 Y=f(X)的
公切线斜率：
01
01
XX
YYK
???
????
00 )( YXXKY ???
00
01
01
0
11
01
01
1
)(
)(
)(
)('
YXF
XX
YY
XF
YXf
XX
YY
Xf
???
???
???
???
???
???
???
??
?求插补节点坐标：
)(XfY ?
00 )( YXXKY ???
特点：①插补段最大误差相等 →插补段长度不等
→插补段数 ↓→节点数 ↓→编程量 ↓；
②手工计算较麻烦，用计算机辅助。
?方法 1：采用, 等插补段法, 或, 等插补误差法, 求
出节点坐标，再用三点作圆法求各段圆弧的圆心和半
径。
二、圆弧逼近法
022 ????? FEYDXYX
2321
2
3
2
321
2
1
2
123
2321
2
2
2
21
2
2
2
23
2321
2
1
2
13
2
3
2
31
)()(
)()(
)()(
YXYX
YXXYYXXY
F
YXYX
YXXYXX
E
YXYX
YXYYXY
D
?
???
?
?
???
?
?
???
?
2,2 11
EYDX
oo ????
2
422 FEDR ???
?三点作圆法，不一定用邻近的三点，也可用相隔的三点。
各点与圆心 O1的距离
R
该距离－ R≤δ允 逼近成功
该距离－ R＞ δ允 逼近不成功
?方法 2：直接利用二次曲线方程，采用误差检验法
进行圆弧逼近。
分割曲线（等参数增量法）
两点 +两点参数中值
误差计算与检验
搜寻合理的节点
三点圆弧逼近
例：椭圆轮廓曲线的圆弧逼近
1）椭圆参数方程
2）分割曲线（等参数增量法）
X=acos?
Y=bsin?
?1 U1(X1,Y1)
?2? ?1??? U2(X2,Y2)
PM2的斜率,(Y2-Y1)/(X2-X1)
K4=-(X2-X1)/(Y2-Y1)
K5=-(X3-X2)/(Y3-Y2)
Y=K4X+(Y4-K4X4)
Y=K5X+(Y5-K5X5)
3) 两点 +两点参数中值 三点圆弧逼近
C1=?1 ? P C3=?2 ? Q 3
C2=(?1+ ?2)/2 ?M2
OM4的斜率,
OM5的斜率,
O(X0,Y0)的坐标 2)1Y0(Y2)1X0(XR ????
P（ X1,Y1）,Q3（ X3,Y3）两点
参数中值点 M2（ X2,Y2）
4) 误差计算与检验
M8(X8,Y8)
误差 D=M6M8的长度
286286 )()( YYXXD ????
Y=K4X+(Y4-K4X4)
(X-X0)2+(Y-Y0)2=R2
X6,Y6
Y=K4X+(Y4-K4X4)
X2/a2+Y2/b2=1
X8,Y8
D≤δ允
M2 Q3段按相同方法检验误差 D，若
D≤δ允
P Q3段拟合成功
5）搜寻合理的节点
U1,U3?P,Q3
U1,U4?P,Q3
U1,U5?P,Q3
U1,U6?P,Q3
第一次逼近圆
第二次逼近圆
第三次逼近圆
第四次逼近圆
?列表曲线 ——用列表点（离散点）描述零件轮廓。
三、列表曲线的数学处理方法
X
Y
曲线方程拟合（逼近）型值点
满足：①曲线通过型值点；
②与型值点凸凹一致；
③光滑性（一阶或二阶）。
?处理方法：
一般采用三次样条函数
分段拟合
三次样条函数形式：
数控系统具有
的插补功能
（直线或圆弧）
逼近拟合曲线
（与前述的逼
近方法相同）
特点：① 一阶和二阶导数连续，整体光滑，拟合效
果好；
② 拟合图形不具有几何不变性（拟合曲线随
坐标的改变而变化） 。
近年来还采用参数样条函数分段拟合
例如：非均匀有理 B样条 NURBS(non-uniform
rational B-spline)
特点：①曲线 形状与坐标变换无关；
② 处理大挠度时误差小；
③ STEP(Standard for Exchange of
Product Model Data)标准推荐采用 。
还有采用圆弧样条和双圆弧样条函数分段拟合
及 加 工 编 程
(5)
制作,周利平
西华大学机械工程与自动化学院
第五章 数控编程技术
第一节 数控加工的工艺设计
一、数控加工内容的选择
通用机床无法加工的内容应作为优选内容；
通用机床难加工，质量也难以保证的内容应作为重点选择内容；
通用机床加工效率低、工人手工操作劳动强度大的内容，可在数
控机床尚存在富余能力的基础上进行选择。
工艺设计是对工件进行数控加工的前期工艺准备工作，
合理的工艺设计方案是数控编程的依据。编程人员必须首先
搞好工艺设计，然后再考虑编程。
数控加工工艺与普通加工工艺在原则上基本相同，但又
有其特点：
?数控加工的工序内容复杂
?数控加工程序的编制复杂
工艺内容明确而具体
对刀点、换刀点
二、数控加工工艺性分析
?尺寸标注应符合数控加工的特点
?宜用同一基准引注或坐标式尺寸
?零件轮廓几何要素的条件应完整、准确
?定位基准要可靠
?不充分、不清楚
?过于, 苛刻,,自相矛盾
?应采用同一基准定位
?同一基准可以是工件上已有表面，也可设置
辅助基准
?零件结构工艺性
? 结合数控加工特点灵活运用普通加工工艺的一般原则，将数
控加工工序穿插与零件加工的整个工艺过程中，使之与普通
工序良好衔接。
三、数控加工工艺路线设计
首先找出所有加工的零件表面
并逐一确定各表面的加工方法
划分加工阶段
划分工序，安排顺序
常规工序、热处理工序
零件加工工艺路线
? 工序的划分
?以一次安装、加工作为一道工序
?以同一把刀具加工内容
作为一道工序
?以加工部位划分工序
?以粗、精加工划分工序
? 工步的划分
?先粗后精；
?先面后孔；
?按刀具集中。
?上道工序的加工不能影响下道工序的定位与夹紧，中间
穿插有通用机床加工工序的也要综合考虑；
?先内后外；
?以相同定位、夹紧方式或同一把刀具加工的工序，最好
连续进行，以减少重复定位次数、换刀次数与挪动压板
次数；
?在同一次安装中进行的多道工序，应先安排对工件刚性
破坏较小的工序。
? 顺序的安排
? 数控加工工序与普通工序的衔接
?建立工序间的相互状态要求。
四、数控加工工序设计
?数控加工工艺十分严密，工序设计中必须注意加工过程
中的每一个细节；
?对图形进行数学处理、计算和编程时，力求准确无误。
数控工序设计的主要任务：
?本工序加工内容（走刀路线、工步顺序）的确定；
?定位夹紧方式及夹具选择；
?数控刀具的选择；
?切削用量的选择；
?对刀点、换刀点的确定。
? 确定走刀路线
?走刀路线,在数控加工中，刀具刀位点相对于工件运动
的轨迹。
?走刀路线不仅包括了加工内容，也反映出加工顺序，是
编程的依据之一。
? 确定走刀路线的原则
1)应保证被加工工件的精度和表面粗糙度；
2)应使加工路线最短，以减少空行程时间，提高加工效率；
3)在满足工件精度、表面粗糙度、生产率等要求的情况下，
尽量简化数学处理时的数值计算工作量，以简化编程工作。
?为保证零件表面质量，应减少接刀、停刀刀痕
?应尽量减少在轮廓切削中停刀；
?避免沿法向切入工件；
?最终轮廓应在一次走刀中连续加工出来；
?尽量采用顺铣，提高零件表面质量和刀具耐用度。
?使数值计算简单，减少编程工作量
?每次直线进给，刀位点计算
简单，程序段短、而且加工过
程符合直纹面的形成规律，利
于准确保证母线的直线度。
?符合这类工件表面数据给
出情况，便于加工后检验，
叶形的准确度高。
?寻求最逗走刀路线，减少空刀时间以提高加工效率；但不
能忽略必要的辅助尺寸（刀具引入量和超出量）以及对位置
精度的影响。
? 定位基准与夹紧方案的确定
1)力求设计基准、工艺基准与编程计算的基准统一；
2)尽量将工序集中，减少装夹次数，尽可能在一次定位装夹
后就能加工出全部待加工表面；
3)避免采用占机人工调整装调方案，以充分发挥数控机床的
效能。
? 夹具的选择
1)当零件加工批量不大时，应尽量采用组合夹具、可调夹具
和其它通用夹具，以缩短准备时间、节省生产费用；
2)在成批生产时才考虑采用专用夹具，并力求结构简单；
3)夹具要开敞，加工部位开阔，夹具的定位、夹紧机构元件
不能影响加工中的进给 (如产生碰撞等 )；
4)装卸零件要快速、方便、可靠，以缩短辅助时间，批量较
大时应考虑采用气动或液压夹具、多工位夹具。
?对刀点与换刀点的确定
?对刀点：是指通过对刀确定刀具与工件相对位置的基准点。
?通过 G54～ G59设定加工坐标系，对刀点往往是零件的加工
原点。
?通过 G92或 G50设定加工坐标系，对刀点被认为是程序开始
运行的起点，又称, 起刀点, 。
?选择对刀点的原则是：
1)便于数学处理和简化程序编制；
2)在机床上容易找正；
3)在加工中便于检查；
4)有利于提高加工精度。
?“刀位点,,刀具的定位基点。
?“换刀点, 是指多刀机床在加工
过程中换刀时的位置
? 刀具的选择
?刀具刚性要好
?刀具耐用度要高
?刀具精度要高
采用先进的刀具材料
优选刀具参数
尽可能采用机夹可转位刀片
?刀具参数选择：
?铣刀：
?铣内凹轮廓：
r=(0.8~0.9)Rmin
铣外凸轮廓时,r尽量大
?零件加工高度,H≤(1/4~1/6)r
?为保证平底两次走刀路线搭接，编程半径取,0.95(r-rε)
?钻孔：
?L/D≤5
?镗孔：
?尽量采用对称的两刃或两刃以上的镗刀头
?精镗宜采用微调镗刀。
?选择镗刀主偏角接近 90°,大于 75° 。
? 切削用量的确定
?轮廓加工中注意进给速度的, 超程,,, 欠程, 现象。
?选择变化的进给速度；
?自动编程系统自身的, 超
程, 保护功能；
?利用机床, 进给倍率, 旋
纽手工控制。
?加工圆弧段时，切削点的实际进给速度 ≠刀具中心进给速度。
五、数控加工工艺文件的编写
?数控加工工序卡
?数控加工走刀路线图
第二节 数控编程中的数学处理
一、选择原点、换算尺寸
?车削件的编程原点,X——取在工件的回转中心
Z——取在工件的左、右端面或对称平面
?铣削件的编程原点,X,Y——工件的基准面、孔轴线或对称面
Z——工件的上、下表面
?尺寸换算：
按尺寸公差中值换算
二、基点与节点
?基点,与系统插补功能一致的各几何要素的连接点。
?方法,联立方程组；
几何元素间的三角函数关系。
? ? ? ? 222 301480 ???? YX
kXY ?
61530
1
.
ta nta n
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XY 6 1 5 30,?
（ 64.2786,39.5507）
（ 64.2786,51.5507）
?方法,根据被加工曲线方程特性、逼近线段形状（直线
或圆弧）和允许的插补误差，利用数学关系求解。
?节点：
零件轮廓 ≠系统插补功能，如：椭圆、双曲线、抛物线等。
被加工曲线
逼近线段
交点＝节点
零件轮廓＝系统插补功能
节点＝基点
三、程序编制中的误差
),,( 圆插逼程 ????? f
),,,,( ???????? 对刀定位进控程数加,f
数加程 ??? )/~/( 10151
程编误差在零件轮廓上
的分布,
△ 逼 —— 采用近似计算方法逼近零件轮廓曲线时产生的误差；
△ 插 —— 逼近曲线与零件轮廓曲线之最大差值；
△ 圆 —— 四舍五入圆整脉冲值产生的误差。
点位系统中△ 圆 → 坐标尺寸精度
轮廓外 轮廓内
轮廓两侧
节点在
轮廓上
第三节 非圆曲线的逼近处理
数控加工中把除直线与圆弧以外的平面轮廓曲线称为 非圆曲线 。
可用方程表达的曲线
列表曲线
?数值计算过程：
选择逼近方法
确定允许的插补误差，
δ≤δ允 =(1/5~1/10)△ 零件公差
确定计算方法
根据算法计算节点坐标
?直线逼近法 数学处理较简单，
但计算的坐标数据较多，且各直
线段间连接处存在尖角，不利于
加工表面质量的提高。
?圆弧逼近法 可大大减少程序段
数目，相邻圆弧彼此相切，工件
表面光滑，有利于加工表面质量
的提高，但其数学处理过程比 直
线逼近法 复杂。
X
Y
O
一、直线逼近法－弦线法
?等插补段法：每个插补段长度相等。
?求 Rmin
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?求弦长 AB
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?求插补节点坐标
A B
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(X1,Y1)
C
D
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例：非圆曲线为抛物线 X2=16Y
?求 Rmin
?求弦长 AB
?求插补节点坐标
0))'(1(')"(3 22 ?????? YYYY X＝ 0
"
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若 δ允 ＝ 0.04mm
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6.1
04.0822
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δ 允 很小 → AB很小
X=1.592mm
y=0.158mm
特点：①计算方法简单；
②曲率半径较大的地方仍采用很小的
AB来插补 → 节点数 ↑ → 编程量 ↑。
8XY ?? 81Y ??? 0Y ????
?以起点 (X0,Y0)为圆心，
δ 允 为半径 建立圆方程：
?等插补误差法：每个插补段误差相等，插补段长度不等。
)( XfY ?
22020 )()()( 允????? YYXX
?求该 圆 与曲线 Y=f(X)的
公切线斜率：
01
01
XX
YYK
???
????
00 )( YXXKY ???
00
01
01
0
11
01
01
1
)(
)(
)(
)('
YXF
XX
YY
XF
YXf
XX
YY
Xf
???
???
???
???
???
???
???
??
?求插补节点坐标：
)(XfY ?
00 )( YXXKY ???
特点：①插补段最大误差相等 →插补段长度不等
→插补段数 ↓→节点数 ↓→编程量 ↓；
②手工计算较麻烦，用计算机辅助。
?方法 1：采用, 等插补段法, 或, 等插补误差法, 求
出节点坐标，再用三点作圆法求各段圆弧的圆心和半
径。
二、圆弧逼近法
022 ????? FEYDXYX
2321
2
3
2
321
2
1
2
123
2321
2
2
2
21
2
2
2
23
2321
2
1
2
13
2
3
2
31
)()(
)()(
)()(
YXYX
YXXYYXXY
F
YXYX
YXXYXX
E
YXYX
YXYYXY
D
?
???
?
?
???
?
?
???
?
2,2 11
EYDX
oo ????
2
422 FEDR ???
?三点作圆法，不一定用邻近的三点，也可用相隔的三点。
各点与圆心 O1的距离
R
该距离－ R≤δ允 逼近成功
该距离－ R＞ δ允 逼近不成功
?方法 2：直接利用二次曲线方程，采用误差检验法
进行圆弧逼近。
分割曲线（等参数增量法）
两点 +两点参数中值
误差计算与检验
搜寻合理的节点
三点圆弧逼近
例：椭圆轮廓曲线的圆弧逼近
1）椭圆参数方程
2）分割曲线（等参数增量法）
X=acos?
Y=bsin?
?1 U1(X1,Y1)
?2? ?1??? U2(X2,Y2)
PM2的斜率,(Y2-Y1)/(X2-X1)
K4=-(X2-X1)/(Y2-Y1)
K5=-(X3-X2)/(Y3-Y2)
Y=K4X+(Y4-K4X4)
Y=K5X+(Y5-K5X5)
3) 两点 +两点参数中值 三点圆弧逼近
C1=?1 ? P C3=?2 ? Q 3
C2=(?1+ ?2)/2 ?M2
OM4的斜率,
OM5的斜率,
O(X0,Y0)的坐标 2)1Y0(Y2)1X0(XR ????
P（ X1,Y1）,Q3（ X3,Y3）两点
参数中值点 M2（ X2,Y2）
4) 误差计算与检验
M8(X8,Y8)
误差 D=M6M8的长度
286286 )()( YYXXD ????
Y=K4X+(Y4-K4X4)
(X-X0)2+(Y-Y0)2=R2
X6,Y6
Y=K4X+(Y4-K4X4)
X2/a2+Y2/b2=1
X8,Y8
D≤δ允
M2 Q3段按相同方法检验误差 D，若
D≤δ允
P Q3段拟合成功
5）搜寻合理的节点
U1,U3?P,Q3
U1,U4?P,Q3
U1,U5?P,Q3
U1,U6?P,Q3
第一次逼近圆
第二次逼近圆
第三次逼近圆
第四次逼近圆
?列表曲线 ——用列表点（离散点）描述零件轮廓。
三、列表曲线的数学处理方法
X
Y
曲线方程拟合（逼近）型值点
满足：①曲线通过型值点；
②与型值点凸凹一致；
③光滑性（一阶或二阶）。
?处理方法：
一般采用三次样条函数
分段拟合
三次样条函数形式：
数控系统具有
的插补功能
（直线或圆弧）
逼近拟合曲线
（与前述的逼
近方法相同）
特点：① 一阶和二阶导数连续，整体光滑，拟合效
果好；
② 拟合图形不具有几何不变性（拟合曲线随
坐标的改变而变化） 。
近年来还采用参数样条函数分段拟合
例如：非均匀有理 B样条 NURBS(non-uniform
rational B-spline)
特点：①曲线 形状与坐标变换无关；
② 处理大挠度时误差小；
③ STEP(Standard for Exchange of
Product Model Data)标准推荐采用 。
还有采用圆弧样条和双圆弧样条函数分段拟合
