北京科技大学2004年硕士学位研究生入学考试试题答案
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物理常数：光速：；普朗克常数：；玻尔兹曼常数：；电子质量：；碳原子质量：；电子电荷：
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物质波（30分）：1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________（10分）；假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________（10分，保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_____________________________（10分，保留1位有效数字）。
解：德布洛意关系（10分）：
电子物质波波长：
物质波波长：
薛定谔方程（40分）：质量为的一个粒子在边长为的立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：；（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10分）；（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（15分，提示：电子自旋为，是费米子）； （iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（15分）；
解：（2.i）（10分）定态薛定谔方程：
分离变量：，
；；
，
（2.ii）（15分）电子是费米子，波函数应是反对称的：
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
基态：，基态波函数：
（2.iii）（15分）玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：
势垒散射（40分）：
质量为的电子以动能由左向右入射到高度为（）的台阶势上，在台阶势的跃起处考虑还存在势：，（）的散射，即电子所受势能为，这里，为单位阶跃函数；（i）列出定态薛定谔方程及波函数导数在两侧的跃变条件（15分）；（ii）求电子在处的透射系数，和反射系数（25分）；
解：（3.i）（15分）定态薛定谔方程：；
化简为：，在两侧邻域积分：，
，即在两侧不连续；
（3.ii）（25分）在的区域，定态薛定谔方程可分为，两个区域考虑：
其解可表示为：
，求导：
根据处的连续，和跃变条件得到：
，即：
消去：，即： 所以：
根据粒子流密度公式：，
反射系数：
透射系数：
可以验证：
磁场中的电子（40分）：假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：，这里，（）为电子的磁矩；自旋用泡利矩阵表示；，，。
解：（i）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：（10分）；（ii）假设时，电子自旋指向轴正向，即，求时，自旋的平均值（20分）；（iii）求时，电子自旋指向轴负向，即的几率是多少（10分）？
（4.i）（10分）忽略电子轨道运动，；这里：，是玻尔磁子。
所以哈密顿为：，薛定谔方程为：
（4.ii）（20分）在表象中求解，自旋波函数可表示为：
，即：
，，这里：。
设时，电子的自旋指向轴正向，对应波函数为，满足：，即：
，并满足归一关系：，解出：，即：；
解出：
时刻，自旋的平均值：：
所以：
（4.iii）（10分）假设t时刻，的几率为，则的几率为，
，所以：
