北京科技大学2002——2003学年度第一学期
量子力学与原子物理试题
题号
一
二
三
四
五
总分
学院：
班级：
学号：
姓名：
得分
1。无限高势阱中的粒子[38分]
质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
1-1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（）求系统能量本征值和归一化波函数；[8分]
1-2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。[8分]
1-3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；[12分]
1-4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；[10分]
解：1-1）定态薛定谔方程：
分离变量：，
；；
，
1-2）系统基态能量：，简并度：1
第一激发态能量：，简并度：3
1-3）电子是费米子，波函数应是反对称的：
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
基态：，基态波函数：
1-4）玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：
2。玻色-爱因斯坦凝聚[25分]
承接上题，假设有个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，当温度时，将发生玻色-爱因斯坦凝聚，即全部玻色子都布居在系统基态。实际上，当趋于某个临界温度时，就可观察到玻色-爱因斯坦凝聚的发生。这可以解释为：时，量子效应不明显，粒子可看作是经典粒子，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。当时，量子效应不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生。1995年，Ketterle（2001年诺贝尔物理奖）使用Na原子为玻色子，在实验中观测到了Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚。
2-1）实验中Na原子气的数密度为：，估算粒子间平均距离。[5分]
（）
2-2）根据能均分原理，估算粒子在温度时的平均动能。[5分]
2-3）根据德布罗意关系，估算粒子物质波波长。[5分]
2-4）当粒子平均距离小于物质波波长时，相邻原子波函数交叠很厉害，量子效应不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生；而当粒子平均距离大于物质波波长时，相邻原子波函数几乎不交叠，量子效应可以忽略，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。利用条件：，估算发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度。[10分]
（注：实验观测值为数量级）
[物理常数：Na原子质量：，普朗克常数：，玻尔兹曼常数：]
解：2-1），所以：
2-2）根据能均分原理，单粒子平均能量：
2-3）
2-4），，
讨论）实验测量值为：，与估算值相差还是较大的。更严格的计算：假设有个无相互作用玻色子，在温度时，部分玻色子由于玻色-爱因斯坦凝聚占据最低能态，其余玻色子则占据各激发态
，
为态密度，（假设玻色子自旋为0）
，，
在绝对零度时，全部玻色子发生玻色凝聚，重新选择能量零点为系统基态能（）：
由于宏观系统，所以：
变量变换：
其中Zeta函数：，Gamma函数：
由于：，可以定义：
所以：
与实验数据吻和很好。
[参考：K.B. Davis, et al., Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).]
[参考：黄克逊，《统计力学》]
3。自旋在磁场中的运动[37分]
电子在均匀磁场中运动，假设磁场沿正z方向：，电子自旋为1/2，质量为，电荷为，磁矩为：，（）。自旋用泡利矩阵：表示；
，，
3-1）求自旋在均匀磁场中的哈密顿量，并写出自旋的运动方程：；[5分]
（提示：磁矩在均匀磁场中的能量：）
3-2）在表象中求解，自旋波函数可表示为：，并满足归一条件：；假设，，求时刻，波函数的表达式；[10分]
3-3）求时刻，自旋的平均值：；
（即求：，，）[12分]
3-4）求时刻，自旋延y方向取值为的几率是多少？[10分]
解：3-1），玻尔磁子：
所以：，运动方程：
3-2）在表象中求解，自旋波函数可表示为：
，即：
，
这里：。
如果：，，即：，。则：
3-3）
3-4）先求自旋延y方向取值为的矩阵表示：
，即：，求出：
解法2）：假设时刻t时，自旋延y方向取值为的几率为，则自旋延y方向取值为的几率为，，所以：
