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DEPARTMENT OF MATHEMATICS
第二章 数值微分和数值积分
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数值微分
h
hxfhxf
h
hxfxf
h
xfhxfxf
hhh 2
)()(lim)()(lim)()(lim)('
000
??????????
???
1,函数 f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，
2,函数 f(x)过于复杂
这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值
微积分中，关于导数的定义如下：
自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
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h
xfhxfxf )()()(' 00
0
???
由 Taylor展开
hxxfhxhfxfhxf ??????? 00
2
000 ),(''!2)(')()( ??
因此，有误差
)()(''!2)()()(')( 000 hOfhh xfhxfxfxR ??????? ?
向前差商
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h
hxfxfxf )()()(' 00
0
???
由 Taylor展开
hxxfhxhfxfhxf ??????? 00
2
000 ),(''!2)(')()( ??
因此，有误差
)()(''!2)()()(')( 000 hOfhh hxfxfxfxR ?????? ?
向后差商
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h
hxfhxfxf
2
)()()(' 00
0
????
由 Taylor展开
23
0 0 0 0 1 0 1 0
23
0 0 0 0 2 0 2 0
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ),
2 ! 3!
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ),
2 ! 3!
hh
f x h f x hf x f x f x x h
hh
f x h f x hf x f x f x h x
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
因此，有误差
)()('''
6
)](''')('''[
12
2
)()(
)(')(
2
2
21
2
00
0
hOf
h
ff
h
h
hxfhxf
xfxR
????
???
??
???
中心差商
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由误差表达式,h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长
我们可以用事后误差估计的方法来确定
设 D(h),D(h/2)分别为步长为 h,h/2的差商公式。则
??? )2()( hDhD
时的步长 h/2就是合适的步长
'( ) ( ) ( )
'( ) ( / 2) ( / 2)
f x D h O h
f x D h O h
??
??
'( ) ( ) ( ) 2
'( ) ( / 2 ) ( / 2 )
f x D h O h
f x D h O h
? ??
?
'( ) ( ) 2 '( ) 2 ( / 2 )f x D h f x D h? ? ?
'( ) ( / 2 ) ( ) ( / 2 )f x D h D h D h? ? ?
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f(x)=exp(x)
h f’(1.15) R(x) h f’(1.15) R(x)
0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008
0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006
0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001
0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 -0.0007
0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 -0.0032
例：
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插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值
函数的导数近似为原函数的导数
)()( )()( xLxf knk ?
误差
)()()()!1( )()(
)1(
xLxfxnfxR nn
n
n ????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)!1(
)()( )1()( x
n
f
dx
dxR
n
n
k
k
k
n ?
?
插值型数值微分
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给定点列 ? ?2
0))(,( ?iii xfx
且 hxxxx ????
0112
，求
)('),('),(' 012 xfxfxf解：
)(2 ))(()())(()(2 ))(()( 22 1012 2002 212 xfh xxxxxfh xxxxxfh xxxxxL ???? ??????
)(2 )()()()(2 )()(' 22 1012 2002 212 xfh xxxxxfh xxxxxfh xxxxxL ????? ????????
例：
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? ? 20 2 0 0 1 21'( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ? ?
? ? 21 2 1 0 21'( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( )26 hf x L x f x f x fh ?? ? ? ? ?
? ? 22 2 2 0 1 21'( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ?
Taylor展开分析，可以知道，它们都是 )( 2hO 称为 三点公式
? ? 2 ( 4 )0 2 0 0 1 2 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ? ?
? ? 2 ( 4 )1 1 2 0 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )12hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ?
? ? 2 ( 4 )2 2 2 0 1 2 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ?
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数值积分
)()()( aFbFdxxfba ???
关于积分，有 Newton-Leibniz公式
但是，在很多情况下，还是要数值积分：
1、函数有离散数据组成
2,F(x)求不出
3,F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
)()(
0
i
n
i
in xfafI ?
?
?
称为积分系数，与 f(x)无关，与积分区间和积分点有关
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代数精度
)()(
0
i
n
i
in xfafI ?
?
?
为数值积分,?
? ba dxxffI )()(
为积分，则称数值
积分有 k阶代数精度 是指,)()(;,,0),()( 11 ?? ??? kk
niin xIxIkixIxI ?
两个问题：
1、系数 ai如何选取，即选取原则
2、若节点可以自由选取，取什么点好？
定义
对任意次数不高于 k次的多项式 f(x)，
数值积分没有误差
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用插值函数的积分，作为数值积分
)()()()()()(
00
i
n
i
b
a ii
b
a
n
i
i
b
a nn
xfdxxldxxfxldxxLfI ? ?? ??
??
?????????
ia
代数精度
由 Lagrange插值的误差表达式,)(
)!1(
)()( )1( x
n
fxR
n
n
n ?
?
??
?,有
dxxnfdxxRfIfI b
a n
nb
a nn ?? ?
???
?
)()!1( )()()()(
)1(
??
可以看出，至少 n阶代数精度
nkxxfxf kn ????,)(,0)()1(?
插值型
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
2
111
11
22
1
0
10
10
n
ab
ab
ab
a
a
a
xxx
xxx
nn
n
n
n
nn
n
??
?
????
?
?
Vandermonde行列式
使用尽可能高的代数精度
mixIxI iin,,0),()( ??? ? ?n
iia 0?
已知 求系数
所以，要存在唯一,m＝ n，确定一个 n＋ 1阶的方程组
是否有更好的方法使得代数精度为至少为 n+1阶？
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所以,m=n时存在唯一，且 至少 n阶代数精度。与节点的选取有关。
若数值积分至少 n阶代数精度，则系数唯一
( ),0,,bii aa l x d x i n???
误差
dxxnfdxxRfIfI b
a n
nb
a nn ?? ?
???
?
)()!1( )()()()(
)1(
??
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一点数值积分
))(
2
()(
))(()(
0
0
ab
ba
ffI
abaffI
?
?
?
??
0阶代数精度
1阶代数精度
例：
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Newton-Cote’s 积分
若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。
该数值积分称为 Newton-Cote’s积分
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niihaxn abh i,,0,,??????
dtntitittt
nini
nh
dth
ini
ntitittt
dxxla
n
in
n
in
thaxb
a
ii
?
??
??????
?
?
??
??
??????
??
?
?
??
0
0
)()1)(1()1(
)!(!
)1(
)1()!(!
)()1)(1()1(
)(
??
??
)()( nii Caba ???
设节点步长
)(niC(b-a)
与步长 h无关，可以预先求出
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N＝ 1时
2
1
2
1
)1(
1
0
)1(
1
1
0
)1(
0
??
????
?
?
dttC
dttC
)(21)()(21)()(1 bfabafabfI ????
梯形公式
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N＝ 2时
6
1
)1(
4
1
6
4
)2(
2
1
6
1
)2)(1(
4
1
2
0
)2(
2
2
0
)2(
1
2
0
)2(
0
???
????
????
?
?
?
dtttC
dtttC
dtttC
)(61)()2(64)()(61)()(2 bfababfabafabfI ???????
Simpson公式
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1、梯形公式
)(''12 )())((!2 )(''))((!2 )('')(
3
1 ?
?? fabdxbxaxfdxbxaxffE b
a
b
a
????????? ??
此处用了积分中值定理
误差
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2,Simpson公式
)(
2 8 8 0
)(
)(
2
)(
!4
)(
)(
2
)(
!4
)(
)()()()()()()(
)4(
52)4(
2)4(
332
?
?
?
f
ab
dxbx
ba
xax
f
dxbx
ba
xax
f
fSPIPIfIfSfIfE
b
a
b
a
?
????
?
?
?
?
? ?
???
??
?
?
?
?
? ?
???
??????
?
?
注意到,Simpson公式有 3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们
用 3次多项式估计误差
)2(')2('),2()2(),()(),()( 3333 bafbaPbafbaPbfbPafaP ????????
为 0
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一般的有
kndxxxKfn KfE b
a nn
nn
n 2,0)(),()!2()(
)2( ???
?? ?
? ??
12,0)(),()!1()( )1( ?????? ?? kndxxKfn KfE b
a nn
nn
n ??
因此,N-C积分，对偶数有 n＋ 1阶代数精度，而奇数为 n阶代数精度
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复化积分
数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此 Runge现象的存在，使得我们不能用
太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法
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)(''12))()((2)(
3
1
1
iii
x
x
fhxfxfhxfi
i
???? ?? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
1
0
31
1
1
0
3
1
)(''
12
)(
2
1
)()(
2
1
)(''
12
))()((
2
)(
n
i
i
n
i
i
n
i
iiin
f
h
bfxfafh
f
h
xfxf
h
fT
?
?
误差
做等距节点，
niihaxn abh i,,0,,??????
复化梯形公式
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由均值定理知
)('')(''.,.],,[],[
1
0
2 ??? nfftsbabaCf
n
i
i ????? ?
?
?
)(''12 )()('')(12)(''12)( 2
323
??? fnabfabhfnhfE n ?????????
可以看出，复化梯形公式是收敛的。
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)(2880 )2())()(4)((62)( )4(
5
22122
22
2
iiii
x
x
fhxfxfxfhxfi
i
????? ??? ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????
1
0
)4(
51
1
2
1
0
12
1
0
)4(
5
22122
)(
2 8 8 0
)2(
)()(2)(4)(
3
)(
2 8 8 0
)2(
))()()((
6
2
)(
m
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
iiiin
f
h
bfxfxfaf
h
f
h
xfxfxf
h
fS
?
?
误差
做等距节点，
mnniihaxn abh i 2;,,0,,?????? ?
复化 Simpson公式
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由均值定理知
)(180 )()(2880 )()(2880 )2()( )4(4
5
)4(
4
5
)4(
5
??? fnabfmabfmhfE n ????????
可以看出，复化 Simpson公式是收敛的。
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定义 若一个积分公式的误差满足 且 C ? 0，
则 称该公式是 p 阶收敛 的 。
???? Ch fR ph ][lim 0
)(,)(,)( 642 hOChOShOT nnn ~~~
例,计算 dx
x? ??
1
0 1
4
2?
解：
?????? ??? ?
?
)1()(2)0(161 7
1
8 fxffT
k
k8
kx
k ?
其中
= 3.138988494
?????? ???? ? ? )1()(2)(4)0(241
o d d e v e n
4 fxfxffS kk8kxk ?
其中
= 3.141592502
运算量基
本相同
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3、积分的自适应计算
函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化
缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧
烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。
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① 先看看事后误差估计 （ 不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的 ）
以复化梯形公式为例
)(''12 )()()( 2 ?fhabfTfI n ????
)(''212 )()()(
2
2 ?f
habfTfI
n ??
??
?
?????
n等分区间
2n等分区间
近似有：
)('')('' ?? ff ?
? ?)()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn ????
)()(151)()( 22 fSfSfSfI nnn ???
类似，复化 Simpsom公式
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② 自适应计算
记 为复化一次,2次的 Simpson公式],[],,[
21 baSbaS
0??控制 dxxffI b
a?? )()(
求
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],[],,[ 21 baSbaS
?15],[],[ 21 ?? baSbaS ],[)( 2 baSfI ?
是
2
15],
2
[],
2
[
2
15]
2
,[]
2
,[
21
21
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
b
ba
Sb
ba
S
ba
aS
ba
aS
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4,Romberg积分
? ?)()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn ???
由前面的事后误差估计式，
? ? )()()(31)()( 222 fSfTfTfTfI nnnn ????
则，
这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。
? ? )()()(151)()( 222 fCfSfSfSfI nnnn ????
类似，
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记 为以步长为 h的某数值积分公式，有)(hI
)()()( mm hochhIfI ???
???
?
???
?
?
?
??
?
???
?
??
?
??? mm hohchIfI
22
)
2
()(
12
)
2
()(
)
2
()(
?
?
?? m
hIhI
hIfI
12
)
2
()(
)
2
()(
?
?
?? m
hIhI
hIfI
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有如下的 Euler-Maclaurin定理
)(
12
)
2
()(
)
2
()
2
( 222
)()(
)()1( ?? ?
?
?
?? mm
mm
mm ho
hIhI
hIhI
若
)()()( 2)( mm hohIfI ?? 为 2m阶公式，则
Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分
?Romberg
算法：
< ??
< ??
< ??
… … … … … …
? T1 = )0(0T
? T8 = )3(0T
? T4 = )2(0T
? T2 = )1(0T ? S1 = )0(1T
? R1 = )0(3T
? S2 = )1(1T ? C1 = )0(2T
? C2 = )1(2T? S4 = )2(1T
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重积分的计算
? ?ba dc dxdyyxf ),(
在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分
也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对
非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。
a,b,c,d为常数,f在 D上连续。将它变为化累次积分
? ?? ?? ? ?????????????? dc baba dcba dc dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(),(
首先来看看复化梯形公式的二重推广
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做等距节点,x轴,y轴分别有：
n
cdk
m
abh ????,
?dc dyyxf ),(
先计算
???
?
???
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(21),(
1
1
0 n
n
j
j
d
c
yxfyxfyxfkdyyxf
，将 x作为常数，有
再将 y作为常数，在 x方向，计算上式的每一项的积分
?
?
??
?
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(212),(21 0
1
1
0000 yxfyxfyxf
hdxyxf
m
m
i
i
b
a
?
?
??
?
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(212),(21
1
1
0 nm
m
i
nin
b
a n
yxfyxfyxfhdxyxf
二重积分的复化梯形公式
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? ??
? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
),(),(
2
1
),(
2
1
),(
2
1
),(),(
2
1
),(),(
n
j
m
i
ji
n
j
jmj
n
j
jm
m
i
jij
n
j
b
a
j
b
a
n
j
j
yxfhyxfyxfh
yxfyxfyxfh
dxyxfdxyxf
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? ?
? ?? ?
????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
00000
),(}),(
),(),(),(),(
2
1
),(),(),(),(
4
1
{),(
n
j
m
i
jiji
n
j
m
i
ji
n
j
jm
n
j
j
m
i
ni
m
i
i
mmn
b
a
d
c
yxfchkyxf
yxfyxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxfhkdxdyyxf
系数，在积分区域的四个角点为 1/4,4个边界为 1/2，内部节点为 1
???
?
???
?
?
??
?
????? ),(),(
12
))(()(
2
2
2
2
2
2 ???? f
ykfxh
abcdfE
误差
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类似前面有：
? ?? ?
? ?
?
m
i
n
j
jiji
b
a
d
c
yxfhkdxdyyxf
0 0
,),(),( ?
记
? ?
? ?
T
n
T
m
vvvV
uuuU
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
3
1
,
3
4
,
3
2
,,
3
4
,
3
2
,
3
4
,
3
1
,,,
3
1
,
3
4
,
3
2
,,
3
4
,
3
2
,
3
4
,
3
1
,,,
10
10
??
??
jiji vu ??,?
二重积分的复化 Simpson公式
做等距节点,x轴,y轴分别有：
n
cdk
m
abh ????,m,n为偶数
数 学 系
University of Science and Technology of China
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
???
?
???
?
?
??
?
????? ),(),(
1 8 0
))(()(
4
4
4
4
4
4 ???? f
ykfxh
abcdfE
误差
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Gauss型积分公式
Newton-Cote’s积分公式，可以知道 n为偶数时,n＋ 1个点数值积分公
式有 n＋ 1阶精度。是否有更高的代数精度呢？ n个点的数值积分公式，最高
可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。
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例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有 4个未知量
可以列出 4个方程, （以 f(x)在 [-1,1]为例）
1010,,,xxaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
0
3
2
0
2111
1
1
33
11
3
00
1
1
22
11
2
00
1
1
1100
1
1
10
dxxxaxa
dxxxaxa
xd xxaxa
dxaa
可解出：
3
1,
3
1,1,1
1010 ????? xxaa
可以看出，数值积分公式
)31()31(1 1 fffd x ?????
具有 3阶代数精
度，比梯形公式
1阶代数精度高
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n个积分点的数值积分公式，最高 2n－ 1阶
??
?
??
?
?
b
a
ii
n
i
iin
b
a
dxxlaxfafI
dxxffI
)(,)()(
)()(
0
证明：
取
)()())(()( 210 xxxxxxxxp nn ?????? ?
易知：
0))((
0))((
?
?
xpI
xpI
n
也就是说，数值积分公式，对一个 2n+2阶的多项式是有误差的，
所以,n＋ 1个点的数值积分公式不超过 2n＋ 1阶
如何构造 最高阶精度的公式？
定理
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一般性，考虑积分：
0)(,)()()( ?? ? xWdxxfxWfI ba
称为 权函数
定义两个可积函数的内积为,?
? ba dxxgxfxWgf )()()(),(
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为 0
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利用 Schmidt正交化过程，
? ?nxx,,,1 ? 变为正交基
00
1
0
( ) ( )
( ( ),( ) )
( ) ( ) ( )
( ( ),( ) )
n
ni
n n i
i ii
g x f x
f x g x
g x f x g x
g x g x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
? ?)(,),(),( 10 xpxpxp n?
就可以将多项式基函数
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以 n阶正交多项式的 n个零点为积分点的数值积分公式有 2n－ 1阶的代数精度
Gauss点 Gauss积分，记为 Gn(f)
证明：
???? ba nnn dxxWxxxxxffIfIfE )()(],,,,[)()()( 21 ??
],,,,[ 21 xxxxf n?
若 f为 2n－ 1次多项式，则 为 n－ 1次多项式
又,)(),( xpx
nn?
仅差一个常数（ 零点相同 ）
0)( ?? fE 1)( ?? nn Pfp?
具有一个很好的性质：
???? nfIfG n ),()(
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(2)求出 pn(x)的 n个零点 x1,x2,… x n 即为 Gsuss点,
(1)求出区间 [a,b]上权函数为 W(x)的正交多项式 pn(x),
(3)计算积分系数
Gauss型求积公式的构造方法
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)())(),(( ))(,()( 0
00
0
1 xpxpxp
xpxxxp ??
)())(),(( ))(,()())(),(( ))(,()( 1
11
1
2
0
00
0
2
2
2 xpxpxp
xpxxp
xpxp
xpxxxp ???
5
32
1
1
4
1
1
5
1
1
2
1
1
4
2 ?????
?
?
?
?
?
?
?
? xx
dxx
dxx
dxx
dxxx
解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式,
的 2点 Gauss公式,求积分 dxxfx )(1
1 2??例：
0 ( ) 1px ?
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故两点 Gauss公式为
积分系数为
3
1)( 1
1
21
221
1 1
2
1 ?? ?? ??
??? dx
xx
xxxdxxlxA
1122 1
22
21
1()
3
xxA x l x dx x dx
xx??
?? ? ?
???
)]()([)( 5353311 1 2 ffdxxfx ?????
P2(x)的两个零点为,,
532531 ??? xx
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区间 [-1,1]上权函数 W(x)=1的 Gauss型求积公式,称为 Gauss-
Legendre求积公式,其 Gauss点为 Legendre多项式 的零点,
(1) Gauss-Legendre求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
几种 Gauss型求积公式
由
因此,[a,b]上权函数 W(x)=1的 Gauss型求积公式为
? ?? ?????????ba tabbaxdttabbafabdxxf )2 )()(()22(2)( 1 1
? ?? ?????ba ni ii xabbafAabdxxf 1 )22(2)(
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n xk Ak n xk Ak
1 0 2
6
± 0.9324695142
± 0.6612093865
± 0.2386191861
0.1713244924
0.3607615730
0.4679139346
2 ± 0.5773502692 1
3
± 0.7745966692
0
0.5555555556
0.8888888889
7
± 0.9491079123
± 0.7415311856
± 0.4058451514
0
0.1294849662
0.2797053915
0.3818300505
0.41795918374
± 0.8611363116
± 0.3399810436
0.3478548451
0.6521451549
8
± 0.9602898565
± 0.7966664774
± 0.5255324099
± 0.1834346425
0.1012285363
0.2223810345
0.3137066459
0.3626837834
5
± 0.9061798459
± 0.5384693101
0
0.2369268851
0.4786286705
0.5688888889
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? Gauss 公式的余项：
? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 设 P为 f的过 x0 … xn的插值多项式 */
? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(
/*只要 P 的阶数不大于 2n+1，则下一步
等式成立 */
dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????
插值多项式 的余项
Q,什么样的 插值多项式 在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？
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A,Hermite 多项式！ 满足 )()(),()(
kkkk xfxHxfxH ????
? ?? ba dxxHxffR )]()([][
),(,)(
)!22(
)(
)(
)!22(
)(
2
)12(
2
)12(
badxxw
n
f
dxxw
n
f
b
a
n
b
a
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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区间 [0,??)上权函数 W(x)=e-x的 Gauss型求积公式,称为 Gauss-
Laguerre求积公式,其 Gauss点为 Laguerre多项式 的零点,
(2) Gauss-Laguerre求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
由
所以,对 [0,+?)上权函数 W(x)=1的积分,也可以构造类似的
Gauss-Laguerre求积公式,
?? ? ?? ? 00 )()( dxxfeedxxf xx
? ??
?
?0
1
)()( n
i
i
x
i xfeAdxxf
i
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n xk Ak n xk Ak
2 0.5858864376
3.4142135623
0.8535533905
0.1464466094
5
0.2635603197
1.4134030591
3.5964257710
7.0858100058
12.6408008442
0.5217556105
0.3986668110
0.0759424497
0.0036117587
0.00002337003
0.4157745567
2.2942803602
602899450829
0.7110930099
0.2785177335
0.0103892565
6
0.2228466041
1.1889321016
2.9927363260
5.7751435691
9.8374674183
15.9828739806
0.4589646793
0.4170008307
0.1133733820
0.0103991975
0.0002610172
0.0000008985
4
0.3225476896
1.7457611011
4.5366202969
9.3950709123
0.6031541043
0.3574186924
0.0388879085
0.0005392947
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(3) Gauss-Hermite求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
n xk Ak n xk Ak
2 ± 0.7071067811 0.8862269254
6
± 0.4360774119
± 1.3358490704
± 2.3506049736
0.7246295952
0.1570673203
0.0045300099
3 ± 1.2247448713
0
0.2954089751
1.8163590006
4 ± 0.5246476232
± 1.6506801238
0.8049140900
0.0813128354
7
± 0.8162878828
± 1.6735516287
± 2.6519613563
0
0.4256072526
0.0545155828
0.0009717812
0.81026461755
± 0.9585724646
± 2.0201828704
0
0.3936193231
0.0199532421
0.9453087204
区间 (-?,??)上权函数 W(x)= 2xe? 的 Gauss型求积公式,称为
Gauss-Hermite求积公式,其 Gauss点为 Hermite多项式 的零点,
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第二章 数值微分和数值积分
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数值微分
h
hxfhxf
h
hxfxf
h
xfhxfxf
hhh 2
)()(lim)()(lim)()(lim)('
000
??????????
???
1,函数 f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，
2,函数 f(x)过于复杂
这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值
微积分中，关于导数的定义如下：
自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
数 学 系
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h
xfhxfxf )()()(' 00
0
???
由 Taylor展开
hxxfhxhfxfhxf ??????? 00
2
000 ),(''!2)(')()( ??
因此，有误差
)()(''!2)()()(')( 000 hOfhh xfhxfxfxR ??????? ?
向前差商
数 学 系
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h
hxfxfxf )()()(' 00
0
???
由 Taylor展开
hxxfhxhfxfhxf ??????? 00
2
000 ),(''!2)(')()( ??
因此，有误差
)()(''!2)()()(')( 000 hOfhh hxfxfxfxR ?????? ?
向后差商
数 学 系
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h
hxfhxfxf
2
)()()(' 00
0
????
由 Taylor展开
23
0 0 0 0 1 0 1 0
23
0 0 0 0 2 0 2 0
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ),
2 ! 3!
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ),
2 ! 3!
hh
f x h f x hf x f x f x x h
hh
f x h f x hf x f x f x h x
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
因此，有误差
)()('''
6
)](''')('''[
12
2
)()(
)(')(
2
2
21
2
00
0
hOf
h
ff
h
h
hxfhxf
xfxR
????
???
??
???
中心差商
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由误差表达式,h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长
我们可以用事后误差估计的方法来确定
设 D(h),D(h/2)分别为步长为 h,h/2的差商公式。则
??? )2()( hDhD
时的步长 h/2就是合适的步长
'( ) ( ) ( )
'( ) ( / 2) ( / 2)
f x D h O h
f x D h O h
??
??
'( ) ( ) ( ) 2
'( ) ( / 2 ) ( / 2 )
f x D h O h
f x D h O h
? ??
?
'( ) ( ) 2 '( ) 2 ( / 2 )f x D h f x D h? ? ?
'( ) ( / 2 ) ( ) ( / 2 )f x D h D h D h? ? ?
数 学 系
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f(x)=exp(x)
h f’(1.15) R(x) h f’(1.15) R(x)
0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008
0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006
0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001
0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 -0.0007
0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 -0.0032
例：
数 学 系
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插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值
函数的导数近似为原函数的导数
)()( )()( xLxf knk ?
误差
)()()()!1( )()(
)1(
xLxfxnfxR nn
n
n ????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)!1(
)()( )1()( x
n
f
dx
dxR
n
n
k
k
k
n ?
?
插值型数值微分
数 学 系
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给定点列 ? ?2
0))(,( ?iii xfx
且 hxxxx ????
0112
，求
)('),('),(' 012 xfxfxf解：
)(2 ))(()())(()(2 ))(()( 22 1012 2002 212 xfh xxxxxfh xxxxxfh xxxxxL ???? ??????
)(2 )()()()(2 )()(' 22 1012 2002 212 xfh xxxxxfh xxxxxfh xxxxxL ????? ????????
例：
数 学 系
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? ? 20 2 0 0 1 21'( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ? ?
? ? 21 2 1 0 21'( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( )26 hf x L x f x f x fh ?? ? ? ? ?
? ? 22 2 2 0 1 21'( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ?
Taylor展开分析，可以知道，它们都是 )( 2hO 称为 三点公式
? ? 2 ( 4 )0 2 0 0 1 2 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ? ?
? ? 2 ( 4 )1 1 2 0 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )12hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ?
? ? 2 ( 4 )2 2 2 0 1 2 1 221''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ?
数 学 系
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数值积分
)()()( aFbFdxxfba ???
关于积分，有 Newton-Leibniz公式
但是，在很多情况下，还是要数值积分：
1、函数有离散数据组成
2,F(x)求不出
3,F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
)()(
0
i
n
i
in xfafI ?
?
?
称为积分系数，与 f(x)无关，与积分区间和积分点有关
数 学 系
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代数精度
)()(
0
i
n
i
in xfafI ?
?
?
为数值积分,?
? ba dxxffI )()(
为积分，则称数值
积分有 k阶代数精度 是指,)()(;,,0),()( 11 ?? ??? kk
niin xIxIkixIxI ?
两个问题：
1、系数 ai如何选取，即选取原则
2、若节点可以自由选取，取什么点好？
定义
对任意次数不高于 k次的多项式 f(x)，
数值积分没有误差
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用插值函数的积分，作为数值积分
)()()()()()(
00
i
n
i
b
a ii
b
a
n
i
i
b
a nn
xfdxxldxxfxldxxLfI ? ?? ??
??
?????????
ia
代数精度
由 Lagrange插值的误差表达式,)(
)!1(
)()( )1( x
n
fxR
n
n
n ?
?
??
?,有
dxxnfdxxRfIfI b
a n
nb
a nn ?? ?
???
?
)()!1( )()()()(
)1(
??
可以看出，至少 n阶代数精度
nkxxfxf kn ????,)(,0)()1(?
插值型
数 学 系
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
2
111
11
22
1
0
10
10
n
ab
ab
ab
a
a
a
xxx
xxx
nn
n
n
n
nn
n
??
?
????
?
?
Vandermonde行列式
使用尽可能高的代数精度
mixIxI iin,,0),()( ??? ? ?n
iia 0?
已知 求系数
所以，要存在唯一,m＝ n，确定一个 n＋ 1阶的方程组
是否有更好的方法使得代数精度为至少为 n+1阶？
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所以,m=n时存在唯一，且 至少 n阶代数精度。与节点的选取有关。
若数值积分至少 n阶代数精度，则系数唯一
( ),0,,bii aa l x d x i n???
误差
dxxnfdxxRfIfI b
a n
nb
a nn ?? ?
???
?
)()!1( )()()()(
)1(
??
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一点数值积分
))(
2
()(
))(()(
0
0
ab
ba
ffI
abaffI
?
?
?
??
0阶代数精度
1阶代数精度
例：
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Newton-Cote’s 积分
若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。
该数值积分称为 Newton-Cote’s积分
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niihaxn abh i,,0,,??????
dtntitittt
nini
nh
dth
ini
ntitittt
dxxla
n
in
n
in
thaxb
a
ii
?
??
??????
?
?
??
??
??????
??
?
?
??
0
0
)()1)(1()1(
)!(!
)1(
)1()!(!
)()1)(1()1(
)(
??
??
)()( nii Caba ???
设节点步长
)(niC(b-a)
与步长 h无关，可以预先求出
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N＝ 1时
2
1
2
1
)1(
1
0
)1(
1
1
0
)1(
0
??
????
?
?
dttC
dttC
)(21)()(21)()(1 bfabafabfI ????
梯形公式
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N＝ 2时
6
1
)1(
4
1
6
4
)2(
2
1
6
1
)2)(1(
4
1
2
0
)2(
2
2
0
)2(
1
2
0
)2(
0
???
????
????
?
?
?
dtttC
dtttC
dtttC
)(61)()2(64)()(61)()(2 bfababfabafabfI ???????
Simpson公式
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1、梯形公式
)(''12 )())((!2 )(''))((!2 )('')(
3
1 ?
?? fabdxbxaxfdxbxaxffE b
a
b
a
????????? ??
此处用了积分中值定理
误差
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2,Simpson公式
)(
2 8 8 0
)(
)(
2
)(
!4
)(
)(
2
)(
!4
)(
)()()()()()()(
)4(
52)4(
2)4(
332
?
?
?
f
ab
dxbx
ba
xax
f
dxbx
ba
xax
f
fSPIPIfIfSfIfE
b
a
b
a
?
????
?
?
?
?
? ?
???
??
?
?
?
?
? ?
???
??????
?
?
注意到,Simpson公式有 3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们
用 3次多项式估计误差
)2(')2('),2()2(),()(),()( 3333 bafbaPbafbaPbfbPafaP ????????
为 0
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一般的有
kndxxxKfn KfE b
a nn
nn
n 2,0)(),()!2()(
)2( ???
?? ?
? ??
12,0)(),()!1()( )1( ?????? ?? kndxxKfn KfE b
a nn
nn
n ??
因此,N-C积分，对偶数有 n＋ 1阶代数精度，而奇数为 n阶代数精度
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复化积分
数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此 Runge现象的存在，使得我们不能用
太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法
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)(''12))()((2)(
3
1
1
iii
x
x
fhxfxfhxfi
i
???? ?? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
1
0
31
1
1
0
3
1
)(''
12
)(
2
1
)()(
2
1
)(''
12
))()((
2
)(
n
i
i
n
i
i
n
i
iiin
f
h
bfxfafh
f
h
xfxf
h
fT
?
?
误差
做等距节点，
niihaxn abh i,,0,,??????
复化梯形公式
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由均值定理知
)('')(''.,.],,[],[
1
0
2 ??? nfftsbabaCf
n
i
i ????? ?
?
?
)(''12 )()('')(12)(''12)( 2
323
??? fnabfabhfnhfE n ?????????
可以看出，复化梯形公式是收敛的。
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)(2880 )2())()(4)((62)( )4(
5
22122
22
2
iiii
x
x
fhxfxfxfhxfi
i
????? ??? ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????
1
0
)4(
51
1
2
1
0
12
1
0
)4(
5
22122
)(
2 8 8 0
)2(
)()(2)(4)(
3
)(
2 8 8 0
)2(
))()()((
6
2
)(
m
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
iiiin
f
h
bfxfxfaf
h
f
h
xfxfxf
h
fS
?
?
误差
做等距节点，
mnniihaxn abh i 2;,,0,,?????? ?
复化 Simpson公式
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由均值定理知
)(180 )()(2880 )()(2880 )2()( )4(4
5
)4(
4
5
)4(
5
??? fnabfmabfmhfE n ????????
可以看出，复化 Simpson公式是收敛的。
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定义 若一个积分公式的误差满足 且 C ? 0，
则 称该公式是 p 阶收敛 的 。
???? Ch fR ph ][lim 0
)(,)(,)( 642 hOChOShOT nnn ~~~
例,计算 dx
x? ??
1
0 1
4
2?
解：
?????? ??? ?
?
)1()(2)0(161 7
1
8 fxffT
k
k8
kx
k ?
其中
= 3.138988494
?????? ???? ? ? )1()(2)(4)0(241
o d d e v e n
4 fxfxffS kk8kxk ?
其中
= 3.141592502
运算量基
本相同
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3、积分的自适应计算
函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化
缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧
烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。
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① 先看看事后误差估计 （ 不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的 ）
以复化梯形公式为例
)(''12 )()()( 2 ?fhabfTfI n ????
)(''212 )()()(
2
2 ?f
habfTfI
n ??
??
?
?????
n等分区间
2n等分区间
近似有：
)('')('' ?? ff ?
? ?)()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn ????
)()(151)()( 22 fSfSfSfI nnn ???
类似，复化 Simpsom公式
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② 自适应计算
记 为复化一次,2次的 Simpson公式],[],,[
21 baSbaS
0??控制 dxxffI b
a?? )()(
求
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],[],,[ 21 baSbaS
?15],[],[ 21 ?? baSbaS ],[)( 2 baSfI ?
是
2
15],
2
[],
2
[
2
15]
2
,[]
2
,[
21
21
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
b
ba
Sb
ba
S
ba
aS
ba
aS
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4,Romberg积分
? ?)()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn ???
由前面的事后误差估计式，
? ? )()()(31)()( 222 fSfTfTfTfI nnnn ????
则，
这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。
? ? )()()(151)()( 222 fCfSfSfSfI nnnn ????
类似，
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记 为以步长为 h的某数值积分公式，有)(hI
)()()( mm hochhIfI ???
???
?
???
?
?
?
??
?
???
?
??
?
??? mm hohchIfI
22
)
2
()(
12
)
2
()(
)
2
()(
?
?
?? m
hIhI
hIfI
12
)
2
()(
)
2
()(
?
?
?? m
hIhI
hIfI
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有如下的 Euler-Maclaurin定理
)(
12
)
2
()(
)
2
()
2
( 222
)()(
)()1( ?? ?
?
?
?? mm
mm
mm ho
hIhI
hIhI
若
)()()( 2)( mm hohIfI ?? 为 2m阶公式，则
Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分
?Romberg
算法：
< ??
< ??
< ??
… … … … … …
? T1 = )0(0T
? T8 = )3(0T
? T4 = )2(0T
? T2 = )1(0T ? S1 = )0(1T
? R1 = )0(3T
? S2 = )1(1T ? C1 = )0(2T
? C2 = )1(2T? S4 = )2(1T
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重积分的计算
? ?ba dc dxdyyxf ),(
在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分
也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对
非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。
a,b,c,d为常数,f在 D上连续。将它变为化累次积分
? ?? ?? ? ?????????????? dc baba dcba dc dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(),(
首先来看看复化梯形公式的二重推广
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做等距节点,x轴,y轴分别有：
n
cdk
m
abh ????,
?dc dyyxf ),(
先计算
???
?
???
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(21),(
1
1
0 n
n
j
j
d
c
yxfyxfyxfkdyyxf
，将 x作为常数，有
再将 y作为常数，在 x方向，计算上式的每一项的积分
?
?
??
?
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(212),(21 0
1
1
0000 yxfyxfyxf
hdxyxf
m
m
i
i
b
a
?
?
??
?
? ??? ?? ?
?
),(21),(),(212),(21
1
1
0 nm
m
i
nin
b
a n
yxfyxfyxfhdxyxf
二重积分的复化梯形公式
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? ??
? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
),(),(
2
1
),(
2
1
),(
2
1
),(),(
2
1
),(),(
n
j
m
i
ji
n
j
jmj
n
j
jm
m
i
jij
n
j
b
a
j
b
a
n
j
j
yxfhyxfyxfh
yxfyxfyxfh
dxyxfdxyxf
数 学 系
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? ?
? ?? ?
????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
00000
),(}),(
),(),(),(),(
2
1
),(),(),(),(
4
1
{),(
n
j
m
i
jiji
n
j
m
i
ji
n
j
jm
n
j
j
m
i
ni
m
i
i
mmn
b
a
d
c
yxfchkyxf
yxfyxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxfhkdxdyyxf
系数，在积分区域的四个角点为 1/4,4个边界为 1/2，内部节点为 1
???
?
???
?
?
??
?
????? ),(),(
12
))(()(
2
2
2
2
2
2 ???? f
ykfxh
abcdfE
误差
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类似前面有：
? ?? ?
? ?
?
m
i
n
j
jiji
b
a
d
c
yxfhkdxdyyxf
0 0
,),(),( ?
记
? ?
? ?
T
n
T
m
vvvV
uuuU
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
3
1
,
3
4
,
3
2
,,
3
4
,
3
2
,
3
4
,
3
1
,,,
3
1
,
3
4
,
3
2
,,
3
4
,
3
2
,
3
4
,
3
1
,,,
10
10
??
??
jiji vu ??,?
二重积分的复化 Simpson公式
做等距节点,x轴,y轴分别有：
n
cdk
m
abh ????,m,n为偶数
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???
?
???
?
?
??
?
????? ),(),(
1 8 0
))(()(
4
4
4
4
4
4 ???? f
ykfxh
abcdfE
误差
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Gauss型积分公式
Newton-Cote’s积分公式，可以知道 n为偶数时,n＋ 1个点数值积分公
式有 n＋ 1阶精度。是否有更高的代数精度呢？ n个点的数值积分公式，最高
可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。
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例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有 4个未知量
可以列出 4个方程, （以 f(x)在 [-1,1]为例）
1010,,,xxaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
0
3
2
0
2111
1
1
33
11
3
00
1
1
22
11
2
00
1
1
1100
1
1
10
dxxxaxa
dxxxaxa
xd xxaxa
dxaa
可解出：
3
1,
3
1,1,1
1010 ????? xxaa
可以看出，数值积分公式
)31()31(1 1 fffd x ?????
具有 3阶代数精
度，比梯形公式
1阶代数精度高
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n个积分点的数值积分公式，最高 2n－ 1阶
??
?
??
?
?
b
a
ii
n
i
iin
b
a
dxxlaxfafI
dxxffI
)(,)()(
)()(
0
证明：
取
)()())(()( 210 xxxxxxxxp nn ?????? ?
易知：
0))((
0))((
?
?
xpI
xpI
n
也就是说，数值积分公式，对一个 2n+2阶的多项式是有误差的，
所以,n＋ 1个点的数值积分公式不超过 2n＋ 1阶
如何构造 最高阶精度的公式？
定理
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一般性，考虑积分：
0)(,)()()( ?? ? xWdxxfxWfI ba
称为 权函数
定义两个可积函数的内积为,?
? ba dxxgxfxWgf )()()(),(
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为 0
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利用 Schmidt正交化过程，
? ?nxx,,,1 ? 变为正交基
00
1
0
( ) ( )
( ( ),( ) )
( ) ( ) ( )
( ( ),( ) )
n
ni
n n i
i ii
g x f x
f x g x
g x f x g x
g x g x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
? ?)(,),(),( 10 xpxpxp n?
就可以将多项式基函数
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以 n阶正交多项式的 n个零点为积分点的数值积分公式有 2n－ 1阶的代数精度
Gauss点 Gauss积分，记为 Gn(f)
证明：
???? ba nnn dxxWxxxxxffIfIfE )()(],,,,[)()()( 21 ??
],,,,[ 21 xxxxf n?
若 f为 2n－ 1次多项式，则 为 n－ 1次多项式
又,)(),( xpx
nn?
仅差一个常数（ 零点相同 ）
0)( ?? fE 1)( ?? nn Pfp?
具有一个很好的性质：
???? nfIfG n ),()(
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(2)求出 pn(x)的 n个零点 x1,x2,… x n 即为 Gsuss点,
(1)求出区间 [a,b]上权函数为 W(x)的正交多项式 pn(x),
(3)计算积分系数
Gauss型求积公式的构造方法
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)())(),(( ))(,()( 0
00
0
1 xpxpxp
xpxxxp ??
)())(),(( ))(,()())(),(( ))(,()( 1
11
1
2
0
00
0
2
2
2 xpxpxp
xpxxp
xpxp
xpxxxp ???
5
32
1
1
4
1
1
5
1
1
2
1
1
4
2 ?????
?
?
?
?
?
?
?
? xx
dxx
dxx
dxx
dxxx
解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式,
的 2点 Gauss公式,求积分 dxxfx )(1
1 2??例：
0 ( ) 1px ?
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故两点 Gauss公式为
积分系数为
3
1)( 1
1
21
221
1 1
2
1 ?? ?? ??
??? dx
xx
xxxdxxlxA
1122 1
22
21
1()
3
xxA x l x dx x dx
xx??
?? ? ?
???
)]()([)( 5353311 1 2 ffdxxfx ?????
P2(x)的两个零点为,,
532531 ??? xx
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区间 [-1,1]上权函数 W(x)=1的 Gauss型求积公式,称为 Gauss-
Legendre求积公式,其 Gauss点为 Legendre多项式 的零点,
(1) Gauss-Legendre求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
几种 Gauss型求积公式
由
因此,[a,b]上权函数 W(x)=1的 Gauss型求积公式为
? ?? ?????????ba tabbaxdttabbafabdxxf )2 )()(()22(2)( 1 1
? ?? ?????ba ni ii xabbafAabdxxf 1 )22(2)(
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n xk Ak n xk Ak
1 0 2
6
± 0.9324695142
± 0.6612093865
± 0.2386191861
0.1713244924
0.3607615730
0.4679139346
2 ± 0.5773502692 1
3
± 0.7745966692
0
0.5555555556
0.8888888889
7
± 0.9491079123
± 0.7415311856
± 0.4058451514
0
0.1294849662
0.2797053915
0.3818300505
0.41795918374
± 0.8611363116
± 0.3399810436
0.3478548451
0.6521451549
8
± 0.9602898565
± 0.7966664774
± 0.5255324099
± 0.1834346425
0.1012285363
0.2223810345
0.3137066459
0.3626837834
5
± 0.9061798459
± 0.5384693101
0
0.2369268851
0.4786286705
0.5688888889
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? Gauss 公式的余项：
? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 设 P为 f的过 x0 … xn的插值多项式 */
? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(
/*只要 P 的阶数不大于 2n+1，则下一步
等式成立 */
dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????
插值多项式 的余项
Q,什么样的 插值多项式 在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？
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A,Hermite 多项式！ 满足 )()(),()(
kkkk xfxHxfxH ????
? ?? ba dxxHxffR )]()([][
),(,)(
)!22(
)(
)(
)!22(
)(
2
)12(
2
)12(
badxxw
n
f
dxxw
n
f
b
a
n
b
a
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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区间 [0,??)上权函数 W(x)=e-x的 Gauss型求积公式,称为 Gauss-
Laguerre求积公式,其 Gauss点为 Laguerre多项式 的零点,
(2) Gauss-Laguerre求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
由
所以,对 [0,+?)上权函数 W(x)=1的积分,也可以构造类似的
Gauss-Laguerre求积公式,
?? ? ?? ? 00 )()( dxxfeedxxf xx
? ??
?
?0
1
)()( n
i
i
x
i xfeAdxxf
i
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n xk Ak n xk Ak
2 0.5858864376
3.4142135623
0.8535533905
0.1464466094
5
0.2635603197
1.4134030591
3.5964257710
7.0858100058
12.6408008442
0.5217556105
0.3986668110
0.0759424497
0.0036117587
0.00002337003
0.4157745567
2.2942803602
602899450829
0.7110930099
0.2785177335
0.0103892565
6
0.2228466041
1.1889321016
2.9927363260
5.7751435691
9.8374674183
15.9828739806
0.4589646793
0.4170008307
0.1133733820
0.0103991975
0.0002610172
0.0000008985
4
0.3225476896
1.7457611011
4.5366202969
9.3950709123
0.6031541043
0.3574186924
0.0388879085
0.0005392947
数 学 系
University of Science and Technology of China
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
(3) Gauss-Hermite求积公式
公式的 Gauss点和求积系数可在数学用表中查到,
n xk Ak n xk Ak
2 ± 0.7071067811 0.8862269254
6
± 0.4360774119
± 1.3358490704
± 2.3506049736
0.7246295952
0.1570673203
0.0045300099
3 ± 1.2247448713
0
0.2954089751
1.8163590006
4 ± 0.5246476232
± 1.6506801238
0.8049140900
0.0813128354
7
± 0.8162878828
± 1.6735516287
± 2.6519613563
0
0.4256072526
0.0545155828
0.0009717812
0.81026461755
± 0.9585724646
± 2.0201828704
0
0.3936193231
0.0199532421
0.9453087204
区间 (-?,??)上权函数 W(x)= 2xe? 的 Gauss型求积公式,称为
Gauss-Hermite求积公式,其 Gauss点为 Hermite多项式 的零点,
