1
2
第五章 静定平面桁架
§ 5-1 平面桁架的计算简图
§ 5-2 结点法
§ 5-3 截面法
§ 5-4 截面法和结点法的联合运用
§ 5-5 各式桁架比较
§ 5-6 组合结构的计算
3
§ 5— 1 平面桁架的计算简图
1,桁架：
2,桁架计算简图的基本假定
（ 1）各结点都是无摩擦的理想铰；
（ 2）各杆轴都是直线，并在
同一平面内且通过铰的中心；
（ 3）荷载只作用在结点上
并在桁架平面内。
实际结构与计算简图的差别（主应力、次应力）
结点均为铰结点的结构。
返 回
4
铰
返 回
5
3,桁架的各部分名称
跨度 L
节间长度 d 下弦杆
上弦杆 腹杆 斜杆竖杆
返 回
6
4,桁架的分类
（ 1）按外形分为：
a,平行弦桁架； b,折弦桁架；
c,三角形桁架。
（ 2）按照竖向荷载是否引起水平反力（推力）分为：
a,梁式桁架（无推力桁架）；
b,拱式桁架（有推力桁架）。
（ 3）按几何组成方式分为：
a,简单桁架：由一个铰结三角形依次增加二元体
而组成的桁架；
b,联合桁架：由简单桁架按基本组成规则而联合
组成的桁架；
c.复杂桁架。 返 回
7
平行弦桁架
返 回
8
折弦桁架
返 回
9
三角形桁架
返 回
10
梁式桁架
返 回
11
拱式桁架
返 回
12
A B
C
D E
联合桁架
返 回
13
§ 5－ 2 结点法
1,求桁架内力的基本方法：
2,结点法：
3,预备知识,在计算中，经常需要把斜杆的内力 S分
解为水平分力 X和竖向分力 Y。
X
Y ? 则由比例关系可知
yx L
Y
L
X
L
S ??
在 S,X,Y三者中，任知其一
便可求出其余两个，无需使用
三角函数。
结点法和截面法。
所取隔离体只包含一个结点，称为结点法。
L
Lx
Ly
S
S
返 回
14
4,结点法计算举例
（ 1）首先由桁
架的整体平衡条
件求出支反力。
VA=45kN
HA=120kN
HB=120kN
（ 2）截取各结
点解算杆件内力。
分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁
架，由基本三角形 ABC按二元体规则依
次装入新结点构成。由最后装入的结点
G开始计算。（或由 A结点开始）
取结点 G隔离体
G
15kN
SGF
SGE
YGE
XGE
由 ∑ Y=0 可得 YGE=15kN（拉）
由比例关系求得 XGE=
3
415? =20kN(拉 )
及 SGE=15×
3
5 =25kN(拉 )
再由 ∑ X=0 可得 SGF=-XGE=-20kN(压）
-20-20
20
30
40
+60+60
60
45
-120
然后依次取结点 F,E,D,C计算。
???
A
B
C
D E
F G
15kN 15kN 15kN
4m 4m 4m
F 20kN
SFE=+15kN
15kN
SFC=-20kN
E
+15kN
+20kN
+15kNYEC=-30kN
XEC=-40kN
SED=+60kN到结点 B时，只有一个未知力 SBA，
最后到结点 A时，轴力均已求出，
故以此二结点的平衡条件进行校核。 返 回
15
5,计算中的技巧
当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：
(1)改变投影轴的方向
A
S2
S1
x
由 ∑ X=0 可首先求出 S1
(2)改用力矩式平衡方程
由 ∑ MC=0 一次求出
h
PdX
1 ?
B
C
Y1
X1
P
r
将力 S1在 B点分解为 X1,Y1
A
B
C d
返 回
16
6,几种特殊结点及零杆
（ 1） L形结点
当结点上无荷载时, S1=0,S2=0
内力为零的杆称为 零杆 。
（ 2） T形结点
当结点上无荷载时,
（ 3） X形结点
当结点上无荷载时, S1=S2,S3=S4
S3=0
（ 4） K形结点
当结点上无荷载时, S1≠S2,S3=－ S4 返 回
17
S1
S2
图 a L形结点 图 b T形结点
S1
S3
S2
图 c X形结点
S2
S1 S3
S4
图 d K形结点
S2
S1
S3
S4?
?
返 回
18
7,零杆的判断
例 1
8,几点结论
（ 1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点
开始计算。
（ 2）每次所取结点的未知力不能多于两个。
（ 3）计算前先判断零杆。
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
返 回
19
§ 5－ 3 截 面 法
1,截面法的概念：
2,截面法据所选方程类型的不同，
又分为力矩法、投影法。
截面法是作一截面将桁架分成两部
分，任取一部分为隔离体（含两个以上
的结点），用平衡方程计算所截杆件的
内力（一般内力不超过三个）。
返 回
20
（ 1）力矩法
以例说明
设支反力已求出。
RA RB
求 EF,ED,CD三杆的
内力。
作截面 Ⅰ -Ⅰ,
Ⅰ
Ⅰ
取左部分
为隔离体。
SEF
SED
SCD
由 ∑ME=0 有
RAd－ P1d－ P2× 0－ SCDh=0
得
h
0PdPdRS 21A
CD
????
h
MS 0E
CD ?
（拉）
h
MS 0E
CD ?
（拉）
XEF 由 ∑MD=0 有
RA× 2d－ P1× 2d－ P2d+XEFH=0
得
H
M
H
dPd2Pd2RX 0D21A
EF ??
??????
H
MX 0D
EF ??
（压）
可以证明：简支桁架在竖向荷
载作用下，下弦杆受拉力，上弦杆受压力。
a dd
XED
YED
由 ∑MO=0 有
－ RAa+P1a+P2(a+d)+YED(a+2d)=0
d2a
)da(PaPaRY 21A
ED ?
????
YEF
RA
返 回
21
SEF
SED
SCD
XEF
a dd
XED
YED
YEF
RA
返 回
22
（ 2）投影法
求 DG杆内力
作 Ⅱ — Ⅱ 截面，
Ⅱ
Ⅱ
取左部分为隔离体。
XDG
YDG
由 ∑Y=0 有
RA－ P1－ P2－ P3+YDG=0
YDG=SDGsin?=－ (RA－ P1－ P2－ P3)
上式括号内之值恰等于相
应简支梁上 DG段的剪力，故
此法又称为剪力法。 RA 返 回
23
3, 几点结论
(1) 用截面法求内力时，一般截断的
杆件一次不能多于三个 (特殊情况例外 )。
(2) 对于简单桁架，求全部杆件内力
时,应用结点法；若只求个别杆件内力，
用截面法。
(3) 对于联合桁架，先用截面法将联
合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架
进行分析 (见图 )。 返 回
24
A B
C
D E
Ⅰ
Ⅰ
返 回
25
§ 5－ 4 截面法和结点法的联合应用
结点法与截面法各有所长，据具体情况选用。有些情
况下,截面法和结点法联合使用，更为方便。举例说明。
例 5— 1 求桁架中 a杆和 b杆的内力。
解,（ 1）求 a杆的内力
作 Ⅰ － Ⅰ 截面，
a
b
Ⅰ
Ⅰ 并取
左部为隔离体，有四
个未知力尚不能求解。
为此，可取其它隔离
体，求出其一或其中
两个之间的关系。
取 K点为隔离体
K
Sa
Sc
有
c
Sa=－ Sc
或 Ya=－ Yc
再由 Ⅰ － Ⅰ 截面
据 ∑Y=0 有
3P－
2
P － P－ P+Ya－ Yc=0
即
2
P +2Ya=0 Ya=－
4
P 由比例关系得 Sa=－ P125354P ??? （压）
Sa求得后,再由 ∑MC=0 即可求得 Sb(略）。
3P 3P
Ya
Yc
返 回
26
§ 5－ 5 各式桁架比较
不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦
各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常
用的三种桁架加以比较。
内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增
。构造上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同,便于
标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。
内力分布均匀，在材料使用上
经济。但构造上复杂。大跨度桥梁 (100— 150m)及大
跨度屋架 (18-30m)中常采用。
内力分布不均匀，弦杆内力两端
大，两端结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋
顶要求，在屋架中常采用。
1.平行弦桁架：
2,抛物线形桁架：
3,三角形桁架：
返 回
27
平行弦桁架
返 回
28
抛物线形桁架
返 回
29
三角形桁架
返 回
30
§ 5－ 6 组合结构计算
1,组合结构的概念：
2,组合结构的计算步骤：
（ 1）求支座反力；
（ 2）计算各链杆的轴力；
（ 3）分析受弯杆件的内力。
由链杆（受轴
向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的
结构。
返 回
31
例 5－ 2 分析此组合结构的内力。
解：
1,由整体平衡条
件求 出支反力。
2,求各链杆的内
力：作 Ⅰ － Ⅰ 截面
拆开 C铰和截断 DE
杆，取右部为隔离体。
由 ∑MC=0 有
3× 8－ SDE× 2=0
SED=12kN(拉）
再考虑结点 D,E的平 衡可求出各链杆的内力。
2
VCH
C
SDE 12 6?+12 -6
12
VA=5kN RB=3kN
Ⅰ
Ⅰ
HA=0
5 1
12
6
+12
?
返 回
32
3,分析受弯杆件
取 AC杆为隔离体，
A C
5kN
12kN
F
6kN HC
VC
考虑其平衡可求得：
HC=12kN←
VC=3kN↑
并可作出弯矩图。
=12kN
=3kN
8kN
M图
（ kN·m)
4
6
12
0 0
A BC
1kN 6kN
8kN
3kN6kN
0
返 回
2
第五章 静定平面桁架
§ 5-1 平面桁架的计算简图
§ 5-2 结点法
§ 5-3 截面法
§ 5-4 截面法和结点法的联合运用
§ 5-5 各式桁架比较
§ 5-6 组合结构的计算
3
§ 5— 1 平面桁架的计算简图
1,桁架：
2,桁架计算简图的基本假定
（ 1）各结点都是无摩擦的理想铰；
（ 2）各杆轴都是直线，并在
同一平面内且通过铰的中心；
（ 3）荷载只作用在结点上
并在桁架平面内。
实际结构与计算简图的差别（主应力、次应力）
结点均为铰结点的结构。
返 回
4
铰
返 回
5
3,桁架的各部分名称
跨度 L
节间长度 d 下弦杆
上弦杆 腹杆 斜杆竖杆
返 回
6
4,桁架的分类
（ 1）按外形分为：
a,平行弦桁架； b,折弦桁架；
c,三角形桁架。
（ 2）按照竖向荷载是否引起水平反力（推力）分为：
a,梁式桁架（无推力桁架）；
b,拱式桁架（有推力桁架）。
（ 3）按几何组成方式分为：
a,简单桁架：由一个铰结三角形依次增加二元体
而组成的桁架；
b,联合桁架：由简单桁架按基本组成规则而联合
组成的桁架；
c.复杂桁架。 返 回
7
平行弦桁架
返 回
8
折弦桁架
返 回
9
三角形桁架
返 回
10
梁式桁架
返 回
11
拱式桁架
返 回
12
A B
C
D E
联合桁架
返 回
13
§ 5－ 2 结点法
1,求桁架内力的基本方法：
2,结点法：
3,预备知识,在计算中，经常需要把斜杆的内力 S分
解为水平分力 X和竖向分力 Y。
X
Y ? 则由比例关系可知
yx L
Y
L
X
L
S ??
在 S,X,Y三者中，任知其一
便可求出其余两个，无需使用
三角函数。
结点法和截面法。
所取隔离体只包含一个结点，称为结点法。
L
Lx
Ly
S
S
返 回
14
4,结点法计算举例
（ 1）首先由桁
架的整体平衡条
件求出支反力。
VA=45kN
HA=120kN
HB=120kN
（ 2）截取各结
点解算杆件内力。
分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁
架，由基本三角形 ABC按二元体规则依
次装入新结点构成。由最后装入的结点
G开始计算。（或由 A结点开始）
取结点 G隔离体
G
15kN
SGF
SGE
YGE
XGE
由 ∑ Y=0 可得 YGE=15kN（拉）
由比例关系求得 XGE=
3
415? =20kN(拉 )
及 SGE=15×
3
5 =25kN(拉 )
再由 ∑ X=0 可得 SGF=-XGE=-20kN(压）
-20-20
20
30
40
+60+60
60
45
-120
然后依次取结点 F,E,D,C计算。
???
A
B
C
D E
F G
15kN 15kN 15kN
4m 4m 4m
F 20kN
SFE=+15kN
15kN
SFC=-20kN
E
+15kN
+20kN
+15kNYEC=-30kN
XEC=-40kN
SED=+60kN到结点 B时，只有一个未知力 SBA，
最后到结点 A时，轴力均已求出，
故以此二结点的平衡条件进行校核。 返 回
15
5,计算中的技巧
当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：
(1)改变投影轴的方向
A
S2
S1
x
由 ∑ X=0 可首先求出 S1
(2)改用力矩式平衡方程
由 ∑ MC=0 一次求出
h
PdX
1 ?
B
C
Y1
X1
P
r
将力 S1在 B点分解为 X1,Y1
A
B
C d
返 回
16
6,几种特殊结点及零杆
（ 1） L形结点
当结点上无荷载时, S1=0,S2=0
内力为零的杆称为 零杆 。
（ 2） T形结点
当结点上无荷载时,
（ 3） X形结点
当结点上无荷载时, S1=S2,S3=S4
S3=0
（ 4） K形结点
当结点上无荷载时, S1≠S2,S3=－ S4 返 回
17
S1
S2
图 a L形结点 图 b T形结点
S1
S3
S2
图 c X形结点
S2
S1 S3
S4
图 d K形结点
S2
S1
S3
S4?
?
返 回
18
7,零杆的判断
例 1
8,几点结论
（ 1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点
开始计算。
（ 2）每次所取结点的未知力不能多于两个。
（ 3）计算前先判断零杆。
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
返 回
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§ 5－ 3 截 面 法
1,截面法的概念：
2,截面法据所选方程类型的不同，
又分为力矩法、投影法。
截面法是作一截面将桁架分成两部
分，任取一部分为隔离体（含两个以上
的结点），用平衡方程计算所截杆件的
内力（一般内力不超过三个）。
返 回
20
（ 1）力矩法
以例说明
设支反力已求出。
RA RB
求 EF,ED,CD三杆的
内力。
作截面 Ⅰ -Ⅰ,
Ⅰ
Ⅰ
取左部分
为隔离体。
SEF
SED
SCD
由 ∑ME=0 有
RAd－ P1d－ P2× 0－ SCDh=0
得
h
0PdPdRS 21A
CD
????
h
MS 0E
CD ?
（拉）
h
MS 0E
CD ?
（拉）
XEF 由 ∑MD=0 有
RA× 2d－ P1× 2d－ P2d+XEFH=0
得
H
M
H
dPd2Pd2RX 0D21A
EF ??
??????
H
MX 0D
EF ??
（压）
可以证明：简支桁架在竖向荷
载作用下，下弦杆受拉力，上弦杆受压力。
a dd
XED
YED
由 ∑MO=0 有
－ RAa+P1a+P2(a+d)+YED(a+2d)=0
d2a
)da(PaPaRY 21A
ED ?
????
YEF
RA
返 回
21
SEF
SED
SCD
XEF
a dd
XED
YED
YEF
RA
返 回
22
（ 2）投影法
求 DG杆内力
作 Ⅱ — Ⅱ 截面，
Ⅱ
Ⅱ
取左部分为隔离体。
XDG
YDG
由 ∑Y=0 有
RA－ P1－ P2－ P3+YDG=0
YDG=SDGsin?=－ (RA－ P1－ P2－ P3)
上式括号内之值恰等于相
应简支梁上 DG段的剪力，故
此法又称为剪力法。 RA 返 回
23
3, 几点结论
(1) 用截面法求内力时，一般截断的
杆件一次不能多于三个 (特殊情况例外 )。
(2) 对于简单桁架，求全部杆件内力
时,应用结点法；若只求个别杆件内力，
用截面法。
(3) 对于联合桁架，先用截面法将联
合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架
进行分析 (见图 )。 返 回
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A B
C
D E
Ⅰ
Ⅰ
返 回
25
§ 5－ 4 截面法和结点法的联合应用
结点法与截面法各有所长，据具体情况选用。有些情
况下,截面法和结点法联合使用，更为方便。举例说明。
例 5— 1 求桁架中 a杆和 b杆的内力。
解,（ 1）求 a杆的内力
作 Ⅰ － Ⅰ 截面，
a
b
Ⅰ
Ⅰ 并取
左部为隔离体，有四
个未知力尚不能求解。
为此，可取其它隔离
体，求出其一或其中
两个之间的关系。
取 K点为隔离体
K
Sa
Sc
有
c
Sa=－ Sc
或 Ya=－ Yc
再由 Ⅰ － Ⅰ 截面
据 ∑Y=0 有
3P－
2
P － P－ P+Ya－ Yc=0
即
2
P +2Ya=0 Ya=－
4
P 由比例关系得 Sa=－ P125354P ??? （压）
Sa求得后,再由 ∑MC=0 即可求得 Sb(略）。
3P 3P
Ya
Yc
返 回
26
§ 5－ 5 各式桁架比较
不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦
各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常
用的三种桁架加以比较。
内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增
。构造上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同,便于
标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。
内力分布均匀，在材料使用上
经济。但构造上复杂。大跨度桥梁 (100— 150m)及大
跨度屋架 (18-30m)中常采用。
内力分布不均匀，弦杆内力两端
大，两端结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋
顶要求，在屋架中常采用。
1.平行弦桁架：
2,抛物线形桁架：
3,三角形桁架：
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27
平行弦桁架
返 回
28
抛物线形桁架
返 回
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三角形桁架
返 回
30
§ 5－ 6 组合结构计算
1,组合结构的概念：
2,组合结构的计算步骤：
（ 1）求支座反力；
（ 2）计算各链杆的轴力；
（ 3）分析受弯杆件的内力。
由链杆（受轴
向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的
结构。
返 回
31
例 5－ 2 分析此组合结构的内力。
解：
1,由整体平衡条
件求 出支反力。
2,求各链杆的内
力：作 Ⅰ － Ⅰ 截面
拆开 C铰和截断 DE
杆，取右部为隔离体。
由 ∑MC=0 有
3× 8－ SDE× 2=0
SED=12kN(拉）
再考虑结点 D,E的平 衡可求出各链杆的内力。
2
VCH
C
SDE 12 6?+12 -6
12
VA=5kN RB=3kN
Ⅰ
Ⅰ
HA=0
5 1
12
6
+12
?
返 回
32
3,分析受弯杆件
取 AC杆为隔离体，
A C
5kN
12kN
F
6kN HC
VC
考虑其平衡可求得：
HC=12kN←
VC=3kN↑
并可作出弯矩图。
=12kN
=3kN
8kN
M图
（ kN·m)
4
6
12
0 0
A BC
1kN 6kN
8kN
3kN6kN
0
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