1
2
第四章 静 定 拱
§ 4-1 概述
§ 4-2 三铰拱的数解法
§ 4-3三铰拱的合理拱轴线
3
§ 4— 1 概述
1,拱的概念：
2,拱常用的形式
3,拱的特点：
4,拱的各部分名称
跨度 L
起拱线
拱顶
拱高 ?拱
趾
拱
趾
拱轴线
高跨比
L
f
杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产
生水平反力的结构。
在竖向荷载作用下会产生水平反力（推
力），截面上主要承受压力，应力分布均匀。
三铰拱 两铰拱 无铰拱
返 回
§ 4— 2 三铰拱的数解法
1,支反力的计算
支反力计算同三铰刚架。
由 ∑ MB=0 及 ∑ MA=0
得 VA=
L
bP ii?
VB=
L
aP ii?
由 ∑X=0 可得 HA=HB=H
取左半拱为隔离体，由 ∑ MC=0 有 VAL1－ P1(L1－ a1) － Hf=0
可得 H=
f
)aL(PLV 1111A ??
（ a）
（ b）
（ c）
以上三式可写成：
f
M
H
VV
VV
0
C
0
BB
0
AA
?
?
?
（ 4－ 1）
式中 0C0 `B0 `A MVV 为
相应简支梁的有关量
值。
→ ←
VA VB
H HA B
C
f
L
L1 L2
?
a1
P1
a2
?P2
b1 b2
↑ ↑
↑ ↑0AV 0BV
A B?P1 ?P2C
返 回
5
2,内力的计算
用截面法求任一截面 K(x,y)的内力。 y
取 AK段为隔离体,截面 K的弯矩为
M=[VAx－ P1(x－ a1)] － Hy
即 M= 0M － Hy （内侧受拉为正）
截面 K上的剪力为
Q=VAcos?－ P1 cos ? － Hsin?
=(VA－ P1) cos ? － Hsin?
= Q0cos ? － Hsin?
截面 K上的轴力 (压为正）为
N=Q0sin ?+ Hcos?
综上所述 M= 0M － Hy
Q=Q0cos ? － Hsin?
N=Q0sin ? + Hcos?
(4－ 2)
K
Q0为相应简支梁的剪力
→ ←H HA B
C?a1 ?P
2P1
x
y
x
?
A
K
↑VA→H
↑VA ↑N
Q
M VB
K
?
返 回
6
)xL(xL f4y 2 ??
解：
1,先求支座反力
由式（ 4－ 1）得
kN575
12
3509614VV 0
AA ??
??????
VA↑ ↑ VB
→ ←
↑ ↑
例 4－ 1 作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程
为
VA=75.5kN↑
kN55812 9503614VV 0BB ????????
VB=58.5kN↑
kN25504 36146575fMH
0
C ?????????
H=50.25kN→←
75.5kN 58.5kN
2,按式（ 4— 2）计算各
截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），
计算各分段点的 M,Q,N值。
以 1截面为例,将 L=12m,f=4m 代入拱轴方程
得
1
H H
。
VA0 VB0
返 回
7
VA↑ ↑ VB
→ ←
58.5kN75.5kN
50.25kN 50.25kN
x
y
o
1
2 3 4
)x12(9x)x12(x12 44y 2 ?????
)x6(92dxdytg ????
代入 x1=1.5m 得
y1=1.75m tg?1=1
据此可得 ?1=450 sin ?1=0.707 cos ?1=0.707
于是由式（ 4— 2）得
mkN697512550)2 51511451575(HyMM 1011 ??????????????????
kN037 0 7025507 0 70)5114575(s i nHc o sQQ 11011 ?????????????????
N1=Q10sin ?1+Hcon?1=(75·5－ 14× 1·5) × 0·707+50·25× 0·707=74·0kN
H H
返 回
8
§ 4－ 3 三铰拱的合理拱轴线
1.合理拱轴线的概念,拱上所有截面的弯矩都等于零，
只有轴力时，这时的拱轴线为合理拱轴线。
2.合理拱轴线的确定：
由式（ 4－ 2）的第一式 得
M=M0－ Hy=0
由此得
H
My 0? （ 4－ 4）
上式表明，三铰拱合理拱轴线的纵坐标 y与相应简支
梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应
简支梁的弯矩方程式，除以常数 H便得到合理拱轴线方
程。 返 回
9
例 4－ 2 求图示对称三铰拱在均布荷载 q作用下的
合理拱轴线。
解：
x
y
x
相应简支梁的弯矩
方程为
M0= )xL(qx
2
1
2
qxx
2
qL 2 ???
由式（ 4－ 1）得
f8
qL
f
MH 20C ??
于是由式（ 4－ 4）有
)xL(xL f4HMy 2
0
???
合理拱轴线为抛物线 返 回
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第四章 静 定 拱
§ 4-1 概述
§ 4-2 三铰拱的数解法
§ 4-3三铰拱的合理拱轴线
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§ 4— 1 概述
1,拱的概念：
2,拱常用的形式
3,拱的特点：
4,拱的各部分名称
跨度 L
起拱线
拱顶
拱高 ?拱
趾
拱
趾
拱轴线
高跨比
L
f
杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产
生水平反力的结构。
在竖向荷载作用下会产生水平反力（推
力），截面上主要承受压力，应力分布均匀。
三铰拱 两铰拱 无铰拱
返 回
§ 4— 2 三铰拱的数解法
1,支反力的计算
支反力计算同三铰刚架。
由 ∑ MB=0 及 ∑ MA=0
得 VA=
L
bP ii?
VB=
L
aP ii?
由 ∑X=0 可得 HA=HB=H
取左半拱为隔离体，由 ∑ MC=0 有 VAL1－ P1(L1－ a1) － Hf=0
可得 H=
f
)aL(PLV 1111A ??
（ a）
（ b）
（ c）
以上三式可写成：
f
M
H
VV
VV
0
C
0
BB
0
AA
?
?
?
（ 4－ 1）
式中 0C0 `B0 `A MVV 为
相应简支梁的有关量
值。
→ ←
VA VB
H HA B
C
f
L
L1 L2
?
a1
P1
a2
?P2
b1 b2
↑ ↑
↑ ↑0AV 0BV
A B?P1 ?P2C
返 回
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2,内力的计算
用截面法求任一截面 K(x,y)的内力。 y
取 AK段为隔离体,截面 K的弯矩为
M=[VAx－ P1(x－ a1)] － Hy
即 M= 0M － Hy （内侧受拉为正）
截面 K上的剪力为
Q=VAcos?－ P1 cos ? － Hsin?
=(VA－ P1) cos ? － Hsin?
= Q0cos ? － Hsin?
截面 K上的轴力 (压为正）为
N=Q0sin ?+ Hcos?
综上所述 M= 0M － Hy
Q=Q0cos ? － Hsin?
N=Q0sin ? + Hcos?
(4－ 2)
K
Q0为相应简支梁的剪力
→ ←H HA B
C?a1 ?P
2P1
x
y
x
?
A
K
↑VA→H
↑VA ↑N
Q
M VB
K
?
返 回
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)xL(xL f4y 2 ??
解：
1,先求支座反力
由式（ 4－ 1）得
kN575
12
3509614VV 0
AA ??
??????
VA↑ ↑ VB
→ ←
↑ ↑
例 4－ 1 作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程
为
VA=75.5kN↑
kN55812 9503614VV 0BB ????????
VB=58.5kN↑
kN25504 36146575fMH
0
C ?????????
H=50.25kN→←
75.5kN 58.5kN
2,按式（ 4— 2）计算各
截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），
计算各分段点的 M,Q,N值。
以 1截面为例,将 L=12m,f=4m 代入拱轴方程
得
1
H H
。
VA0 VB0
返 回
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VA↑ ↑ VB
→ ←
58.5kN75.5kN
50.25kN 50.25kN
x
y
o
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)x12(9x)x12(x12 44y 2 ?????
)x6(92dxdytg ????
代入 x1=1.5m 得
y1=1.75m tg?1=1
据此可得 ?1=450 sin ?1=0.707 cos ?1=0.707
于是由式（ 4— 2）得
mkN697512550)2 51511451575(HyMM 1011 ??????????????????
kN037 0 7025507 0 70)5114575(s i nHc o sQQ 11011 ?????????????????
N1=Q10sin ?1+Hcon?1=(75·5－ 14× 1·5) × 0·707+50·25× 0·707=74·0kN
H H
返 回
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§ 4－ 3 三铰拱的合理拱轴线
1.合理拱轴线的概念,拱上所有截面的弯矩都等于零，
只有轴力时，这时的拱轴线为合理拱轴线。
2.合理拱轴线的确定：
由式（ 4－ 2）的第一式 得
M=M0－ Hy=0
由此得
H
My 0? （ 4－ 4）
上式表明，三铰拱合理拱轴线的纵坐标 y与相应简支
梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应
简支梁的弯矩方程式，除以常数 H便得到合理拱轴线方
程。 返 回
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例 4－ 2 求图示对称三铰拱在均布荷载 q作用下的
合理拱轴线。
解：
x
y
x
相应简支梁的弯矩
方程为
M0= )xL(qx
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1
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qxx
2
qL 2 ???
由式（ 4－ 1）得
f8
qL
f
MH 20C ??
于是由式（ 4－ 4）有
)xL(xL f4HMy 2
0
???
合理拱轴线为抛物线 返 回
