空间问题的讨论 空间问题共有15个未知函数： 6个应力分量： 6个应变分量： 3个位移分量： 15个函数应该满足15个基本方程： 3个平衡微分方程：  6个几何方程： 6个物理方程：或  第二章 水泥混凝土路面应力分析 §2.1概述 应力分析的目的 1．弹性材料的疲劳方程：  和由材料性质决定，是作用次数，是材料的强度(抗拉？)， 是试验应力，由结构，作用力决定（刚体） 已知：和、、和作用力（BZZ—100），可以求得 2．结构设计法——荷载影响和环境影响效应对拟定结构所引致疲劳使结构能在达到正常使用极限状态或承载能力极限状态时的作用次数达到或超过N次。 关键点 求得的过程——结构应力分析的过程 水泥混凝土路面板的应力分析方法 解析法 有限单元法 §2.2水泥混凝土路面的力学模型和弹性曲面方程 一、力学模型和假设 力学模型：弹性地基上的小挠度弹性薄板 假设： 地基假设—弹性地基（Winkler地基或Boussinesq地基） 板的假设—薄板，h<<最小尺寸b，不计自重。 小挠度，挠度w<<h 弹性假设，(1) 垂直于中面方向的形变分量εz极其微小，可忽略不计（板无 压缩） (2) 应力分量τzx 、τzy 、σz远小于其余三个应力分量，因而是次要的，由它们引起的应变不计。（无畸变） （3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。（无剪切滑移） 二、模型几何方程、物理方程、平衡方程的推导 (一)、几何方程 由假设（1）： (2-1) 由假设（2）： (2-2) 由假设（3） ，（2-2）式 ＝》  (2-3) 由假设和(2-3)式，可以推出板的几何方程为：  (2-9) （二）、物理方程 由(2-9)可见，按照假设，薄板弯曲时的主要应变分量为xy面内的应变分量、和，且仅用一个挠度函数w即可表示，即板内任意一点均处于平行与中面的平面应力状态。 由假设（1）中＝0，且假设（2）中由应力分量引起得形变不计得薄板物理方程为： 将其改写为  将几何方程(2-9)带入上式 （2-10） （三）平衡方程 薄板弯曲时，各应力分量的量级虽然有所不同（τzx 、τzy 、σz甚小，故在物理方程中略去），但他们的微商（沿坐标之变化率）之间的关系仍然满足三维微元体的平衡方程。  (2-11) （1）、（2）中因不存在平行与中面的荷载，所以＝＝0，（3）式中≠0 上面已经考察了主要应力分量、、，下面用平衡微分方程考察次要应力分量σz、τzx 、τzy （目的把σz、τzx 、τzy也仅仅用w表示） τzx 、τzy用w表示 将（2－10）代入(2-11)中的（1）和（2），并注意到，得到： 其中：——拉普拉斯算子 注意到假设1，,w不随z而变，将上式对z积分：  利用薄板上下表面的边界条件：，求出、，代会上式得：  （2－12） （2－12）式表明和沿厚度成抛物线分布，与与直梁的剪应力解相似。 2．σz用w表示 把薄板美单位面积内的体力归并为面力（如表面均布压力），由圣维南定理（）消去(2-11)的（3）中的Z。（这样处理只会对次要应力分量σz引起误差，对其他应力分量毫无影响）， 得(2-11)的（3）式为：(Z已经归并为面力，Z＝0) 再将（2－12）中的和代入上式得： 上式对z积分,并注意到w不随z而变得：  利用薄板下面边界条件，求出，再代回表达式得：  （2－13） 薄板挠曲面微分方程 板的上表面边界条件：，q为由圣维南定理计算的面力或者表面均布荷载，代回公式（2－13）得：，令，叫做板得弯曲刚度， 则上式写成：，展开成： 上两式即为板的挠曲面微分方程（相当于材料力学中直梁的,求解时，可按照边界条件由此式求得w，在由w求各应力分量。 用内力表示的挠曲面微分方程 由式（2－10）知，各项应力分量均为在z的奇函数，因此在厚度方向截面上内力的和为0 表述为： 单位宽度截面上的水平剪力： 、合成竖向剪力，表述为： 此外，在单元上的应力分量、、合成弯矩 （2－14）  (2-14)与（2－10）、(2-12)、（2－13）联立，的到用内力表示的应力表达式:  (2-14)的（3）代入（2－10）的(1)  (2-14)的（4）代入（2－10）的(2)  (2-14)的（5）代入（2－10）的(3)  (2-14)的（1）代入（2－12）的(1) (2-15)  (2-14)的（2）代入（2－12）的(2) ， （2-13）引入边界条件 ,再代回（2－13） (2-15)中的最大值，发生在上下表面，发生在中面，发生在顶面  由教材上的图(2-2)，写出单元体受力平衡方程，约去二阶微量，整理得：  （2－16） 将（2－16）中的（1）、（2）代入（3）得： （2－17） 它与公式（2－一样，是薄板的挠曲面微分方程的表达式 §2.3弹性地基板的荷载应力 一、板与地基接触关系假设 当板置于弹性地基上并与之共同工作，在分析时，除了前面所作的弹性小挠度薄板的假设仍然适用外，在解题时还应对板与地基之间的联系做补充。 补充假设如下：1在变形过程中，板与地基始终紧密接触，因此地基顶面的垂直位移与薄板中面的垂直位移相等（上下协调变形） 2板与地基的接触面上无摩擦阻力，可以自由滑动，即层间水平剪力为0，地基对板只有垂直作用。 此时，弹性地基板的弹性挠曲面微分方程为： 式中的q——不同于上节的q,是板顶的均布荷载 P——地基反力 ——板自身承担的荷载 对于同样的q，当采用不同的地基，就会有不同的p与的分配；采用不同的地基模型，就会有不同的反力表达式，因此板的有关解也不同。 二、地基模型建立的目的 地基模型建立的目的：找出w——p关系，使挠曲面微分方程只有一个未知量。 三、地基模型种类 稠密液体地基（Hertz—Winkler地基）： 弹性半无限空间体地基(Bousinessiq地基、弹性半无限空间体地基)： §2.4Winkler地基板轴对称课题解 Winkler地基：，k——地基反应模量/基床系数/垫层系数 Winkler地基模型对地基实际工作状态所作的假定，有时出入较大，所以在不少情况下，Winkler地基板的理论解不能较好地反映弹性地基板的真实工作状态，但是由于引入这种假设，使得一些弹性地基板课题变得简单或有可能求解。 解的方法和过程 （一）、待定系数法 挠曲面微分方程：  其中：， 引入相对刚度半径，令，则上式变为  微分方程的解为其对应的齐次方程的通解及该方程的特解之和，也即： 挠曲面微分方程对应的齐次方程为：是一个四阶线性微分方程，其通解为： 其中：A1、A2、A3、A4是积分常数（待定），、、、是四个互不相关的独立解，确定四个互不相关的解可用幂级数法，也可以用贝赛尔函数法。 贝赛尔函数简介： 贝赛尔函数标准形： 它的解：① ② 或上两式组合： ③ 其中：叫n阶第一类贝赛尔函数 叫n阶第二类贝赛尔函数 叫n阶第一类汉克尔函数 叫n阶第二类汉克尔函数 若函数形如： 令或做变量代换化为： 它的解：① ② 其中：叫做虚数变量 叫做虚数变量的n阶第一类开尔文函数 叫做虚数变量的n阶第二类开尔文函数 贝赛尔函数解法： 齐次方程又可以表示为： 可分解为两个零阶贝赛尔方程：   令，则式（d）可变为 令，则式（e）可变为 因此式（d）（e）有公轭解：  两个解的线性组合即为上式解： 根据第三类贝赛尔函数定义，有： 它们代入上式为： 令  上式表示为： 所有的贝赛尔函数及其变形都可以展开成幂级数，待定系数均为实数，可通过课题的边界条件求得：(无限大板) 板中集中荷载： ，在板中心处， ＝》 ，＝》 对于柱坐标(极坐标)： =》 板中圆面积均布荷载： 圆内，  圆外  中心处：  （二）、积分变换法 汉克尔积分变换及反演 反演： 其中：叫做对称核，叫做以为对称核的n阶汉克尔变换 汉克尔积分变换及反演的其他性质见教材12页 积分变换 弹性曲面方程：两边同时进行以为对称核进行汉克尔变换，等式成立(两边同时乘以，再取无穷积分)，上式变为： 上式解得：，对该式做反演，并令，则得到板的挠度表达式为： ＝》  其边界条件：圆面积均布荷载（半径为a） 集中荷载  代入上式可求得Mr和Mr 3、汉克尔积分变换解： 令 需要解：，，，；四个对幂级数的无穷积分（都是收敛的） 二、威斯特卡德的实际应用解（有限矩形尺寸板的解） 威斯特卡德，美，1925年提出结论 §2.5弹性半空间体地基板的解 §2.6多荷载作用时板内应力叠加 §2.7混凝土路面板荷载应力的有限元分析 §2.8水泥混凝土路面板温度应力分析 温度应力来源与类型 温度应力的来源 混凝土的温度变形——热胀冷缩（属于温度线弹性题）  ——混凝土内的温度梯度 ——温度线变形 ——－混凝土体长或板长 ——－水泥混凝土温度线变形系数，通常取 当变形受到约束时则产生温度应力 2．温度应力的类型 1)温度沿板厚均匀分布时，产生绝对的变形与应力。 温度变化因素通常考虑年变温或硬化初期的水化热。 约束为板底的摩阻或似摩阻与板的抗拉（压）能力。 2）温度沿板厚不均匀分布时，产生板顶、板底不均匀温度变形和应力 温度变化因素通常考虑日变温 约束为地基的作用（为主）、厚板效应、板边钳制作用。 胀缩应力与变形分析（板整体绝对变形和应力） 路面板温度位移与温度应力分布趋势 如右图：弹性体平面内任意点温度影响下的物理方程（有限尺寸板）  （温度均匀变化时，板体可以简化为平面） 滑动区 固定区 滑动区 位移 A B C D 板底摩阻力 板内应力 有限尺寸板温度胀缩应力与位移分布图 1）.板中部胀缩完全受阻区应力 ,上式解得： 而对于板边缘中部或窄长板， ，（A点）上式解得：(固定区内应力) 2）.滑动区应力与滑动区长度 板内应力由约束决定，摩阻力是被动力，有多大变形，就会产生多大的摩阻，也即产生相应的板内应力，因此滑动区的板内应力为：， 其中，，  在图2－20中，滑动区与固定区交界的B、C两点上，板内应力与固定区应力相等 ＝＝》滑动区总长度（教材2－126） 3).对于端部位移 等于完全自由无约束的温度位移－约束抵消的位移 或积分： 已知滑动区内的应力： 则滑动区内的应变： 滑动区的总变形： (2-127) 2.胀缩变形——应力分析的实际应用 1）.混凝土降温时，最大应力区（由图2－20的第三图，最大应力区在固定区）的温度应力超过混凝土的抗拉能力，为防止不规则断裂，必须将板分割为足够短，从而使固定区内的应力，也即固定区长度应为无限短或0，示意图如下： X x  由滑动区长度公式：极限滑动区长，由此，极限板长为。 混凝土终凝以后很短的时间内，水化热变化明显，容许拉应力极低，此时若基层与板底摩阻系数足够大则会产生不规则横向贯穿裂缝，为此必须适时切缝。 例1：混凝土C40，，板温由浇注2h的50℃下降为龄期2d的15℃，此时容许拉应力为0.15MPa，，，求是否应该切缝，切缝距离。 最大温度应力： (事实上收缩应力还应该包含干缩应力，所以收缩应力远大于混凝土的抗拉强度) 肯定要切缝才能消除固定区。 切缝距离： 2).混凝土升温时，膨胀应力可以由板底摩阻和混凝土的抗压能力共同承担， 只要板就不会被挤坏。 例2：假设，10m长的路面板，其他条件同前，求路面板允许的温差  显然路面板不会达到如此的温差，也即普通的变温不会造成板被压坏，但是路面板是一种薄壳结构，会在压力下发生屈曲失稳，我们需要在一定距离上或容易屈曲的位置预留膨胀空间，以释放其温度应力。 例3：假设温差为30℃，其他条件同前，求需要胀缝的宽度， ，若设在路中，需乘2，若设在桥前，则不需要乘2。 3）由以上三例， 降温时采用较小的摩阻系数f将使板的长度更长，对我们有利。(讨论) 升温时采用较大的摩阻系数f将使板适应更大的温差和产生较小的端部位移，对我们有利。 翘曲变形和应力分析（板顶、板底不均匀温度变形和应力） 1．温度梯度来源与温度应力起因 温度来源——有限尺寸混凝土路面板的板内日变温 温度应力起因——路面板受地基约束（为主）、板边钳制、板的自重、厚板效应约束翘曲变形，产生翘曲应力。 威氏翘曲应力分析法（板只受到地基约束的应力） 1）.假设： ①温度沿板的断面呈直线变化 ②板与地基始终紧密接触 ③不计板的自重 2）.无限大板中心的温度应力 温度影响时的板的物理方程： ，  转换为：  截面上的弯矩（公式2－11），  当路面板与地基紧密接触，不受荷载时，，上式变为： 最大弯拉应力发生在板面或板底： B 结论：无限大板的板中温度应力在与地基紧密接触时与地基无关。 B 3）.有限尺寸板的翘曲应力（近似解） 如右图所示矩形板， b 求解时，近似取板的挠度由两部分组成，(a) 其中：①是图中B有限，时，板条的挠度 ②是图中b有限，时，板条的挠度 对于①，只与x相关，与y无关，所以：或 将其代入挠曲面微分方程：，其中， 由此，方程简化为：,令相对刚度半径,左式化为： 解此四阶常系数齐次微分方程： 其特征方程为：，特征根： 则：  (b) 同理： (c) 其中的各个待定系数由矩形板四周的弯矩及横向剪力等于零的条件确定 由条件(a)：，把他们代入无限大板板中温度弯矩表达式（2－130） 得：  （d） 而且剪力为： （第9页公式2—12） （e） 现在将（b）（c）代入(d)(e)并引入边界条件（边缘处弯矩和剪力为0） 由边界条件确定8个方程可以求出8个待定系数，将其代回（b）（c）后在代回（d） 由w M  得到：  简化形式  （2－146） 和是与有关得系数 4）.实际应用 实际应用中，因最大翘曲应力发生在板中或对于窄长板在长边棱得中部，为了与临界荷位得荷载应力叠加，取后者：  实际应用中，除了要考虑翘曲应力以外，还要考虑温度在厚板中非线性分布造成得内应力、板边钳制和板的自重。 现行规范已经将制成依板长和温度索引的诺模图，供设计人员查用。同时检索到时，考虑以上三种因素加以修正为。主要工作由谈至明完成（见谈至明《公路混凝土路面应力分析》2002公路）