习题2.1解答
1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下：
试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。
（1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。
解 （1）依题知所有可能的取值为,因为
所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：
（2）类似于（1），可求得
所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：
2,已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为、，求的联合概率分布和边缘概率分布。
解 依题知、所有可能的取值分别为及，故
所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：
3,已知随机变量、的概率分布分别为
且，求
（1）和的联合概率分布； （2）.
解 （1）因为
所以
又根据得，从而,于是由表
可得
,,,.
故的联合概率分布为
(2) 由(1)知.
4,设二维随机向量的联合概率密度为
试求：（1）常数；
（2）关于、的边缘概率密度；
（3）；
（4）；
（5）.
解 （1）由联合概率密度分的性质知
，
即 ,求得.
（2）当时，有
.
当时，有.
所以关于的边缘概率密度为
同理可得关于的边缘概率密度为
（3）
.
（4）积分区域如图阴影部分
（5）积分区域如图阴影部分
=.
5．设二维随机向量的联合概率密度为
试求：（1）关于、的边缘概率密度；
（2）.
解 （1）当时，有
；
当时，有.
所以关于的边缘概率密度为
同理可得关于的边缘概率密度为
（2）由条件概率的定义知
而
；
；
于是
.
6．设二维随机向量的联合概率密度为
试求：（1）关于、的边缘概率密度；
（2）.
解 （1）当时，有
；
当时，有.
所以关于的边缘概率密度为
同理当时，有
；
当时，有.
所以关于的边缘概率密度为
（2） .
7,某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。
解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点分与12点分。依题可假定服从区域
上的均匀分布，其联合概率密度为
“二人能会面”这一事件
（图中所示阴影部分）可表示为
于是
习题2.2解答
1.设随机变量与相互独立同分布，且，，则( ).
（A） （B）
（C） （D）
解 由与相互独立同分布知的联合概率分布为
于是有
2.设随机变量相互独立同分布，且，，求行列式的分布列。
解 ，而、的概率分布分别为：
由于相互独立，所以与也独立同分布，故的概率分布为
即
3,设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布，且
求与的联合概率分布。
解 依题的概率分布为
；
；
；
.
即
0
1
0
0
1
4.求习题2.1第4，5，6题中的联合分布函数。
解 （习题2.1第4题）
当时，有
；
当时，有.
所以的联合分布函数为
（习题2.1第5题）
当时，有；
当时，有
；
当时，有
；
当时，有
；
当时，有.
所以的联合分布函数为
（习题2.1第6题）
类似地可求得的联合分布函数为
5．设二维随机向量的联合概率密度为
求的联合分布函数。
解 当时，有；
当时，有
；
当时，有
；
当时，有
；
当时，有.
所以的联合分布函数为
6,设随机变量与相互独立，其概率密度函数分别为
求：（1）常数；
（2）随机变量的概率密度函数。
解 (1) .
（2）因与相互独立，故的联合概率密度为
于是当时，有
；
当时，有
；
当时，有
；
利用分布函数法求得的概率密度函数为
7,设的联合分布函数为
求,（1）常数；
（2）的联合概率密度；
（3）的边缘分布函数和边缘概率密度；
（4），，；
（5）判断与的独立性。
解 （1）依分布函数的性质知
；
；
解得，.
(2)
;
(3) 依联合分布函数的性质知
，
;
所以的边缘概率密度分别为
,.
(4) ，，
(5) 因为
所以与相互独立.
8,设某仪器由两个部件构成，用、分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知的联合分布函数为
试求：（1）求的两个边缘分布函数；
（2）求联合概率密度与边缘概率密度；
（3）与是否独立；
（4）两个部件寿命都超过100小时的概率。
解 （1）当时，有
；
当时，有.
所以关于的边缘分布函数为
类似地关于的边缘分布函数为
(2) 当时，有
所以联合概率密度为
相应地其边缘概率密度分别为
(3) 因为
所以与相互独立。
(4) 所求事件的概率为
9,设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：
（1）联合概率密度与边缘概率密度；
（2）；
（3）在取值的概率。
解（1）依题知
所以联合概率密度
当时，有
所以联合分布函数
（2）；
（3）.
10,对随机变量，有
,
求，.
解 依题得
11,的联合概率密度为
求概率密度函数。
解 当时，有
；
当时，有
；
当时，有.
所以的概率密度函数为
