Chapter 1(2)
方阵的行列式教学要求：
1,了解行列式的定义和性质 ;
2,掌握三阶、四阶行列式的计算法，
会计算简单的 n阶行列式 ;
3,了解排列与对换 ;
4,会用 Gramer法则解线性方程组,
行列式的定义一,
,行列式的性质二
,行列式的计算举例三
,方阵乘积的行列式四
,排列与对换五
)G r am e r (,法则克莱姆六
,行列式的定义一定义 1,二阶行列式定义为
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算定义 2,三阶行列式定义为
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三阶行列式的计算 ---对角线法则
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa考察三阶行列式如下：
322311332112312213
213213312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
)(
)()(
3122213213
31233321123223332211
aaaaa
aaaaaaaaaa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11
)1(
)1()1(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
133113122112111111 )1()1()1( MaMaMa
记为
131312121111 AaAaAa
记为分别是和称 131211131211,,,,AAAMMM
.,,131211 的余子式和代数余子式aaa
定义 3,代数余子式,
21
22221
11211
列行与第所在的第中划去元素在 jia
aaa
aaa
aaa
ij
nnnn
n
n
剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式
,
111
1111111
1111111
1111111
ij
nnnjnjn
nijijii
nijijii
njj
M
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
记为
.)1(;,
的代数余子式称为而记为的余子式称为元素
ijij
ji
ij
ijij
aMA
Ma
定义 4.
21
22221
11211
2
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Dnn
阶行列式个数组成的由是一个算式，且
,
1,
1,
1112121111
1
11
11
nAaAaAaAa
na
D
nn
n
j
jj?
.),,2,1(11 的代数余子式是其中 njaA jj
注意：
(1)行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成的,
).(! )2( 11121 11 CCCCnn nn有项阶行列式中共
(3) 定义 4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列展开，甚至按行列式中任意行或列展开,
由此可计算一些行列式,
Example1.
,
00
0
2211
222
11211
nn
nn
n
n
n aaa
a
aa
aaa
D?
证明,)4( 淆不要与绝对值记号相混一阶行列式 aa?
Proof.（数学归纳法）;1 时结论成立当?n 则阶行列式成立假设结论对,1?n
nn
n
n
a
aa
aD
0
222
11?
)( 2211 nnaaa nnaaa?2211?
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
2211
21
2221
11
0
00
同理下三角行列式
n
n
ddd
d
d
d
21
2
1
00
00
00
,?对角行列式特别地
00
00
00
2
1
n?
而不是对角行列式，
n
nn
n
21
2
)1(
2
1
)1(
00
00
00
且
,行列式的性质二性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式,TD D
记
nn
a
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn
aa
a
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
TD
nn
a
a
a
22
11
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
例如推论 如果行列式有两行 (列 )完全相同,则行列式为零,
,
571571
266
853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266
853
证明 互换相同的两行，有,0 D,DD
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0?
注意与矩阵数乘运算的区别,.nnn AkkA?
性质 5 若行列式 D的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111例如性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
nnnjnin
nji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
nnnjnjnin
njji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如性质 7,行列式按行（列）展开法则
;,0
,,
1 ji
jiAAAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiAAAa
ij
n
k
jkik 当当
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中下面证明,
.,02211
1
jiAaAaAaAa jninjiji
n
k
jkik
证 行展开，有按第把行列式 jaA ij )d e t (?
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
1
1
1
111
11
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
1
1
1
111
11
行第 j
行第 i 相同
,时当 ji?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
性质 8,Laplace定理
.)1(,
,,,,,;,;,
),11(,)1(
2121
2121
2
的代数余子式叫做则所在列的序号为所在行的序号为子式阶若的余子式称为阶行列式位置组成一个剩下的元素按原来的阶子式的称为阶行列式序组成一个个元素按原来的位置顺列交叉处的行位于这列行任取中阶行列式在
MMj
jjiiiM
kMMkn
kAMk
kkk
nkkkAn
kk
jjjiii
k
k
.
)(
),11)((,
A
kk
nkkAn
积之和等于行列式数余子式的乘阶子式与它们对应的代中所有列行则含在这列行任取中阶行列式在
(2) Laplace定理
21000
32100
03210
00321
00032
A如
210
321
032
21
32
210
320
031
31
02
10
,行列式的计算举例三为方便起见，引用以下符号：
.
,,,,
ji
ijii
rkrjki
krkirrjiri
行记为倍加到行的倍记为行的行记为交换行记为
.
,,,,
ji
ijii
ckcjki
kckiccjici
列记为倍加到列的倍记为列的列记为交换列记为其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值,
19 942
10 221
30 113
.2 计算ex
Solution.
120 042
210 021
130 013
19 942
10 221
30 113
142
221
113
20042
10021
30013
142
221
113
0
252414446
ex3.已知 204,527,255三数都能被 17整除，
不计算行列式的值，证 明 三阶行列式
552
725
402
也能被 17整除,
Solution.
25552
52725
20402
552
725
402
整除能被由已知条件可得 17
25 552
52 725
20 402
.结论成立?
3351
1102
4315
2113
.4
Dex 计算
Solution.
21 ccD
3315
1120
4351
2131
14
12 5rr rr
72160
1120
6480
2131
32 rr
72160
6480
1120
2131
24
23 84rr rr
151000
10800
1120
2131
2
5
000
10800
1120
2131
40?
0
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
.5
2222
2222
2222
2222
dddd
cccc
bbbb
aaaa
Dex 证明
Solution.
523212
523212
523212
523212
2
2
2
2
dddd
cccc
bbbb
aaaa
D
4212
4212
4212
4212
2
2
2
2
dd
cc
bb
aa
0?
3111
1311
1131
1113
.6?Dex 计算
Solution,4321 rrrrD
3111
1311
1131
6666
3111
131
113
1111
6?
其二、当行列式各行 (列 )元素之和相同时，应先把各列 (行 )加到第 1列 (行 )，提取公因式后再考虑,
14
13
12
rr
rr
rr
2000
0200
0020
1111
6
48?
0.7
21
21
21
xaaa
axaa
aaxa
xex
n
n
n
的方程求解关于
Solution.
xaaxaaa
axaxaaa
aaxaaa
nn
nn
nn
221
221
221
左边
xaa
axa
aa
xaaa
n
n
n
n
2
2
2
21
1
1
1
)(
x
x
aa
xaaa
n
n
rr
ni
i
00
00
1
)(
2
21
1
1
)()1( 2111 xaaax nnn
故原方程的解为
nnn aaaxxxx 21121,0
思考
01111
10111
11011
11101
11110
D计算行列式
)1()1( 1 nn
其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行 (列 )化出尽量多的 0元素，然后由定义按该行 (列 )展开,
22
1111
1111
1111
1111
.8 ba
b
b
a
a
ex?
证明
Solution.
12
34
rr
rr
左边
bb
b
aa
a
00
1111
00
1111
1100
1111
0011
1111
b
a
ab
421
423
rrr
rrr
1100
000
0011
000
b
a
ab
110
00
001
baab
右边 22 ba
11111
11111
11111
1321
.9
n
n
n
nn
Dex
计算
Solution.
各列加到第一列D
11110
11110
11110
132
2
)1(
n
n
n
nn
nn
1111
1111
1111
2
)1(
n
n
n
nn
按第一列展开
1111
1111
1111
2
)1(
n
nnn
各行加到第一行
100
100
100
1000
2
)1(
n
n
n
nn
各列减最后一列
212
)2)(1(
)1()1(2 )1(
nn
nn
nnn
12
)1(
2
1)1( nnn nn
其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值,
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
.10
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
Dex
证明
)(
)())(())((
1
22311312
nn
nn
xx
xxxxxxxxxx
nji ij
xx
1
)(
Solution,（数学归纳法）
)(11,2 12
21
2 xxxxDn 时当则阶行列式成立假设结论对,1?n
1
21
1
2
2
1
2
1
2
12
2
2
112
1
0
0
0
111
11
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
nn
nrxr
ni
n
ii
)()()(
)()()(
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
按第一列展开
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
nji
ij xx
1
)(
由假设得这个行列式称为 Vandermonde（范德蒙）行列式，
可见 Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是
.,,,21 中至少有两个相等nxxx?
注意
4444
2222
1111
dcba
dcba
dcba
D?
不是 Vandermonde行列式
))()()()()()(( dcbadcdbcbdacabaD
实际上
0,
111
111
111
.11 21
2
1
n
n
n aaa
a
a
a
Dex?
其中计算解法 1
n
n
a
a
a
a
a
D
00
111
111
111
111
111
2
1
2
1
拆项其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果,
1
2
1
111
00
00
nn Da
a
a
1121 nnn Daaaa?
)( 21221121 nnnnn Daaaaaaaa
121221121 Daaaaaaaaaa nnnnn
)1( 121221121 aaaaaaaaaaa nnnnn
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
解法 2
:
1
)1(,
行都加到第倍行的然后把第行各行都减去第
n
a
niin
i
n
n
n
n
n
a
aa
aa
aa
D
11111
000
000
000
3
2
1
n
i i
nn
n
n
n
a
aa
aa
aa
aa
1
3
2
1
1
10000
000
000
000
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
其六,当行列式为三线非 0行列式时，将其转化为三角行列式来计算,
其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列,用于主对角线上元素不同，其余元素相同 (或各行其余元素成比例 )的行列式,0,
111
111
111
.12 21
2
1
n
n
n aaa
a
a
a
Dex?
其中计算
Solution.
n
n
a
a
a
D
1110
1110
1110
1111
2
1
n
n
i i
c
a
c
ni
a
a
a
a
i
i
000
000
000
111
1
1
2
1
11
2
11
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
n
a
a
a
001
001
001
1111
2
1
,方阵乘积的行列式四
BABAAB,1
mm AAAAAA 2121,2?
否则称为奇异方阵是非奇异方阵阶方阵称若;,0,3 AnA?
阵中至少有一个是奇异方是奇异方阵 BAAB,.4?
AkkA?,注意
.,0
,,,.13
BABAEBBBB
EAAAAnBAex
求及满足阶方阵为设
Solution,ABBA,0?
EBAEBA而 BAABBA
BABA )( BBAA )(
BBAA )( BBAA )(
BBAA BAA 2
0)1( 2 BAA故
0 BA
,排列与对换五定义 1.
.,,2,1 级排列为一个组成的一个有序数组称由 nn?
如 2431是一个 4级排列,
.,12)2(;!)1(:
这个排列具有自然顺序也是一个排列个级排列总共有所有不同的注意
n
nn
定义 2.
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,
即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序逆序逆序
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
定义 3,逆序数为偶数的排列称为偶排列 ;
逆序数为奇数的排列称为奇排列,
定义 4.
在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换,
将相邻两个数字对换，叫做相邻对换,
结论 1,对换改变排列的奇偶性,
结论 2,关于 n阶行列式的另一定义
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
ex14.已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x
Solution,含 的项有两项,即在3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
中对应于
433422111 2 4 31 aaaat 44332211)1 2 3 4(1 aaat?
,1 344332211)1 2 3 4( xaaaat
3433422111243 21 xaaaat
.13?的系数为故 x
)G r am e r (,法则克莱姆六
1,线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为,
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为 非齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
2,Gramer法则如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
A
1,1,1
11,111,111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为
1
其中 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
jA A
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjA njjj?
在把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知,
,,,2,1 njAxA jj
,Ax j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jix i?,jA又等式右端为于是2
当 时,方程组 (2) 有唯一的一个解0?A
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
由于方程组 与方程组 等价,21 故也是方程组 (1)的解,
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
3,重要定理定理 1,如果线性方程组的系数行列式不等于 0，则方程组一定有解，且解是唯一的,
定理 2,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为 0.
推论 1,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一零解,
,0?A
推论 2,如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式,0?A
01123
2532
242
5
.15
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
ex 解线性方程组
Solution.
11213
5132
4121
1111
A?
,01 4 2
11210
5132
4122
1115
1
A
142
142,426,284 432 AAA同理可得
1,3,2,1 4321 xxxx
02
0
0
,,.16
有非零解齐次方程组为何值时问
zyx
zyx
zyx
ex
Solution.
要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零,
121
11
11
A而
1120
110
101
)12)(1()1)(1( )1(
010 或得由 A The end
方阵的行列式教学要求：
1,了解行列式的定义和性质 ;
2,掌握三阶、四阶行列式的计算法，
会计算简单的 n阶行列式 ;
3,了解排列与对换 ;
4,会用 Gramer法则解线性方程组,
行列式的定义一,
,行列式的性质二
,行列式的计算举例三
,方阵乘积的行列式四
,排列与对换五
)G r am e r (,法则克莱姆六
,行列式的定义一定义 1,二阶行列式定义为
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算定义 2,三阶行列式定义为
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三阶行列式的计算 ---对角线法则
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa考察三阶行列式如下：
322311332112312213
213213312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
)(
)()(
3122213213
31233321123223332211
aaaaa
aaaaaaaaaa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11
)1(
)1()1(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
133113122112111111 )1()1()1( MaMaMa
记为
131312121111 AaAaAa
记为分别是和称 131211131211,,,,AAAMMM
.,,131211 的余子式和代数余子式aaa
定义 3,代数余子式,
21
22221
11211
列行与第所在的第中划去元素在 jia
aaa
aaa
aaa
ij
nnnn
n
n
剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式
,
111
1111111
1111111
1111111
ij
nnnjnjn
nijijii
nijijii
njj
M
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
记为
.)1(;,
的代数余子式称为而记为的余子式称为元素
ijij
ji
ij
ijij
aMA
Ma
定义 4.
21
22221
11211
2
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Dnn
阶行列式个数组成的由是一个算式，且
,
1,
1,
1112121111
1
11
11
nAaAaAaAa
na
D
nn
n
j
jj?
.),,2,1(11 的代数余子式是其中 njaA jj
注意：
(1)行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成的,
).(! )2( 11121 11 CCCCnn nn有项阶行列式中共
(3) 定义 4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列展开，甚至按行列式中任意行或列展开,
由此可计算一些行列式,
Example1.
,
00
0
2211
222
11211
nn
nn
n
n
n aaa
a
aa
aaa
D?
证明,)4( 淆不要与绝对值记号相混一阶行列式 aa?
Proof.（数学归纳法）;1 时结论成立当?n 则阶行列式成立假设结论对,1?n
nn
n
n
a
aa
aD
0
222
11?
)( 2211 nnaaa nnaaa?2211?
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
2211
21
2221
11
0
00
同理下三角行列式
n
n
ddd
d
d
d
21
2
1
00
00
00
,?对角行列式特别地
00
00
00
2
1
n?
而不是对角行列式，
n
nn
n
21
2
)1(
2
1
)1(
00
00
00
且
,行列式的性质二性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式,TD D
记
nn
a
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn
aa
a
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
TD
nn
a
a
a
22
11
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
例如推论 如果行列式有两行 (列 )完全相同,则行列式为零,
,
571571
266
853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266
853
证明 互换相同的两行，有,0 D,DD
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0?
注意与矩阵数乘运算的区别,.nnn AkkA?
性质 5 若行列式 D的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111例如性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
nnnjnin
nji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
nnnjnjnin
njji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如性质 7,行列式按行（列）展开法则
;,0
,,
1 ji
jiAAAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiAAAa
ij
n
k
jkik 当当
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中下面证明,
.,02211
1
jiAaAaAaAa jninjiji
n
k
jkik
证 行展开，有按第把行列式 jaA ij )d e t (?
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
1
1
1
111
11
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
1
1
1
111
11
行第 j
行第 i 相同
,时当 ji?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
性质 8,Laplace定理
.)1(,
,,,,,;,;,
),11(,)1(
2121
2121
2
的代数余子式叫做则所在列的序号为所在行的序号为子式阶若的余子式称为阶行列式位置组成一个剩下的元素按原来的阶子式的称为阶行列式序组成一个个元素按原来的位置顺列交叉处的行位于这列行任取中阶行列式在
MMj
jjiiiM
kMMkn
kAMk
kkk
nkkkAn
kk
jjjiii
k
k
.
)(
),11)((,
A
kk
nkkAn
积之和等于行列式数余子式的乘阶子式与它们对应的代中所有列行则含在这列行任取中阶行列式在
(2) Laplace定理
21000
32100
03210
00321
00032
A如
210
321
032
21
32
210
320
031
31
02
10
,行列式的计算举例三为方便起见，引用以下符号：
.
,,,,
ji
ijii
rkrjki
krkirrjiri
行记为倍加到行的倍记为行的行记为交换行记为
.
,,,,
ji
ijii
ckcjki
kckiccjici
列记为倍加到列的倍记为列的列记为交换列记为其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值,
19 942
10 221
30 113
.2 计算ex
Solution.
120 042
210 021
130 013
19 942
10 221
30 113
142
221
113
20042
10021
30013
142
221
113
0
252414446
ex3.已知 204,527,255三数都能被 17整除，
不计算行列式的值，证 明 三阶行列式
552
725
402
也能被 17整除,
Solution.
25552
52725
20402
552
725
402
整除能被由已知条件可得 17
25 552
52 725
20 402
.结论成立?
3351
1102
4315
2113
.4
Dex 计算
Solution.
21 ccD
3315
1120
4351
2131
14
12 5rr rr
72160
1120
6480
2131
32 rr
72160
6480
1120
2131
24
23 84rr rr
151000
10800
1120
2131
2
5
000
10800
1120
2131
40?
0
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
.5
2222
2222
2222
2222
dddd
cccc
bbbb
aaaa
Dex 证明
Solution.
523212
523212
523212
523212
2
2
2
2
dddd
cccc
bbbb
aaaa
D
4212
4212
4212
4212
2
2
2
2
dd
cc
bb
aa
0?
3111
1311
1131
1113
.6?Dex 计算
Solution,4321 rrrrD
3111
1311
1131
6666
3111
131
113
1111
6?
其二、当行列式各行 (列 )元素之和相同时，应先把各列 (行 )加到第 1列 (行 )，提取公因式后再考虑,
14
13
12
rr
rr
rr
2000
0200
0020
1111
6
48?
0.7
21
21
21
xaaa
axaa
aaxa
xex
n
n
n
的方程求解关于
Solution.
xaaxaaa
axaxaaa
aaxaaa
nn
nn
nn
221
221
221
左边
xaa
axa
aa
xaaa
n
n
n
n
2
2
2
21
1
1
1
)(
x
x
aa
xaaa
n
n
rr
ni
i
00
00
1
)(
2
21
1
1
)()1( 2111 xaaax nnn
故原方程的解为
nnn aaaxxxx 21121,0
思考
01111
10111
11011
11101
11110
D计算行列式
)1()1( 1 nn
其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行 (列 )化出尽量多的 0元素，然后由定义按该行 (列 )展开,
22
1111
1111
1111
1111
.8 ba
b
b
a
a
ex?
证明
Solution.
12
34
rr
rr
左边
bb
b
aa
a
00
1111
00
1111
1100
1111
0011
1111
b
a
ab
421
423
rrr
rrr
1100
000
0011
000
b
a
ab
110
00
001
baab
右边 22 ba
11111
11111
11111
1321
.9
n
n
n
nn
Dex
计算
Solution.
各列加到第一列D
11110
11110
11110
132
2
)1(
n
n
n
nn
nn
1111
1111
1111
2
)1(
n
n
n
nn
按第一列展开
1111
1111
1111
2
)1(
n
nnn
各行加到第一行
100
100
100
1000
2
)1(
n
n
n
nn
各列减最后一列
212
)2)(1(
)1()1(2 )1(
nn
nn
nnn
12
)1(
2
1)1( nnn nn
其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值,
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
.10
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
Dex
证明
)(
)())(())((
1
22311312
nn
nn
xx
xxxxxxxxxx
nji ij
xx
1
)(
Solution,（数学归纳法）
)(11,2 12
21
2 xxxxDn 时当则阶行列式成立假设结论对,1?n
1
21
1
2
2
1
2
1
2
12
2
2
112
1
0
0
0
111
11
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
nn
nrxr
ni
n
ii
)()()(
)()()(
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
按第一列展开
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
nji
ij xx
1
)(
由假设得这个行列式称为 Vandermonde（范德蒙）行列式，
可见 Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是
.,,,21 中至少有两个相等nxxx?
注意
4444
2222
1111
dcba
dcba
dcba
D?
不是 Vandermonde行列式
))()()()()()(( dcbadcdbcbdacabaD
实际上
0,
111
111
111
.11 21
2
1
n
n
n aaa
a
a
a
Dex?
其中计算解法 1
n
n
a
a
a
a
a
D
00
111
111
111
111
111
2
1
2
1
拆项其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果,
1
2
1
111
00
00
nn Da
a
a
1121 nnn Daaaa?
)( 21221121 nnnnn Daaaaaaaa
121221121 Daaaaaaaaaa nnnnn
)1( 121221121 aaaaaaaaaaa nnnnn
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
解法 2
:
1
)1(,
行都加到第倍行的然后把第行各行都减去第
n
a
niin
i
n
n
n
n
n
a
aa
aa
aa
D
11111
000
000
000
3
2
1
n
i i
nn
n
n
n
a
aa
aa
aa
aa
1
3
2
1
1
10000
000
000
000
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
其六,当行列式为三线非 0行列式时，将其转化为三角行列式来计算,
其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列,用于主对角线上元素不同，其余元素相同 (或各行其余元素成比例 )的行列式,0,
111
111
111
.12 21
2
1
n
n
n aaa
a
a
a
Dex?
其中计算
Solution.
n
n
a
a
a
D
1110
1110
1110
1111
2
1
n
n
i i
c
a
c
ni
a
a
a
a
i
i
000
000
000
111
1
1
2
1
11
2
11
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
n
a
a
a
001
001
001
1111
2
1
,方阵乘积的行列式四
BABAAB,1
mm AAAAAA 2121,2?
否则称为奇异方阵是非奇异方阵阶方阵称若;,0,3 AnA?
阵中至少有一个是奇异方是奇异方阵 BAAB,.4?
AkkA?,注意
.,0
,,,.13
BABAEBBBB
EAAAAnBAex
求及满足阶方阵为设
Solution,ABBA,0?
EBAEBA而 BAABBA
BABA )( BBAA )(
BBAA )( BBAA )(
BBAA BAA 2
0)1( 2 BAA故
0 BA
,排列与对换五定义 1.
.,,2,1 级排列为一个组成的一个有序数组称由 nn?
如 2431是一个 4级排列,
.,12)2(;!)1(:
这个排列具有自然顺序也是一个排列个级排列总共有所有不同的注意
n
nn
定义 2.
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,
即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序逆序逆序
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
定义 3,逆序数为偶数的排列称为偶排列 ;
逆序数为奇数的排列称为奇排列,
定义 4.
在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换,
将相邻两个数字对换，叫做相邻对换,
结论 1,对换改变排列的奇偶性,
结论 2,关于 n阶行列式的另一定义
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
ex14.已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x
Solution,含 的项有两项,即在3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
中对应于
433422111 2 4 31 aaaat 44332211)1 2 3 4(1 aaat?
,1 344332211)1 2 3 4( xaaaat
3433422111243 21 xaaaat
.13?的系数为故 x
)G r am e r (,法则克莱姆六
1,线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为,
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为 非齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
2,Gramer法则如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
A
1,1,1
11,111,111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为
1
其中 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
jA A
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjA njjj?
在把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知,
,,,2,1 njAxA jj
,Ax j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jix i?,jA又等式右端为于是2
当 时,方程组 (2) 有唯一的一个解0?A
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
由于方程组 与方程组 等价,21 故也是方程组 (1)的解,
.,,,,332211 AAxAAxAAxAAx nn
3,重要定理定理 1,如果线性方程组的系数行列式不等于 0，则方程组一定有解，且解是唯一的,
定理 2,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为 0.
推论 1,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一零解,
,0?A
推论 2,如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式,0?A
01123
2532
242
5
.15
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
ex 解线性方程组
Solution.
11213
5132
4121
1111
A?
,01 4 2
11210
5132
4122
1115
1
A
142
142,426,284 432 AAA同理可得
1,3,2,1 4321 xxxx
02
0
0
,,.16
有非零解齐次方程组为何值时问
zyx
zyx
zyx
ex
Solution.
要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零,
121
11
11
A而
1120
110
101
)12)(1()1)(1( )1(
010 或得由 A The end
