Chapter 3(2)
n维向量空间教学要求：
1,了解 n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念 ;
2,了解内积的概念 ;
3,了解标准正交基的概念 ;
4,掌握线性无关向量组标准规范化的 Schimidt
(施密特 )方法,
,向量空间一
,,维数和坐标基二
,向量的内积三
,标准正交基四
Sc him id t—
,
正交化方法位化线性无关组的正交化单五
,向量空间一注意
.,,VRV 则若
2,维向量的集合是一个向量空间,记作,n nR;,,VVV 则若定义 1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指V
3,向量空间也称为线性空间,为满足一定条件的向量组,
.,3,1 3 是一个向量空间维向量的全体 Rex
.33
,33
3R维向量，它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个
.
间
，也是一个向量空维向量的全体类似地,nRn
Solution.
ex2,判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,0 221
Solution.,V 是向量空间
1
的任意两个元素因为对于 1V
TnTn bbaa,,,0,,,,0 22,V1?
122,,,0 Vbaba Tnn 有
,,,,0 12 Vaa Tn
ex3,判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,1 222
Solution.
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
.V 不是向量空间2
,,,,1 22 Vaa Tn因为若维向量，集合为两个已知的设 nbaex,.4
RbaxV,
试判断集合是否为向量空间,
S o lu tio n,
，bax 222
则有,)()( 212121 Vbaxx
.)()( 111 Vbkakkx
.
,
间所生成的向量空量这个向量空间称为由向 ba
.是一个向量空间V
,111 bax因为若
RaaaxV mmm,,,212211
间所生成的向量空由向量组 maaa,,,21?一般地，
为
.
,,
,,,
,,,,.5
21
2122112
2122111
11
VV
RbbbxV
RaaaxV
bbaaex
sss
mmm
sm
试证：
等价，记与向量组设向量组
Proof,
.,,11 线性表示可由，则设 maaxVx
,,,12 VxVx 则若类似地可证
.211221 VVVVVV,所以，因为线性表示，
可由线性表示，故可由因
s
sm
b
bxbbaa,,,,,,111
.2Vx?所以
，，则这就是说，若 21 VxVx
.21 VV?因此
.12 VV?因此证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样 !
定义 2 设有向量空间 及,若向量空间,
就说 是 的子空间．
21 VV?1V
2V1V
2V
实例
RV n?显然
.的子空间总是所以 RV n
设 是由 维向量所组成的向量空间，V n
,,维数和坐标基二定义 3
且满足个向量如果是向量空间设,,,,,21 VrV r;,,,)1( 21 线性无关r
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
.,,,,21 的一个基就称为向量空间向量组那么 Vr
r 称为向量空间的维数,并称 V 为 r 维向量空间,
.
,,,)4( 1
是它的一个基基本单位向量组中在向量空间 nnR
R,,xV rrr 12211
（ 1）只含有零向量的向量空间称为 0维向量空间，因此它没有基．
注意
（ 3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为
r,,,21
V
V
（ 2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩,
V V
V
可见，基不唯一！
定义 4.
,,,,,
,,,,
21
21
使组总有且仅有一组有序数的一个基维向量空间是设
n
n
n
n
xxxR
Rn
nnxxx2211
,,,,,,,2121 下的坐标在为则称 nnxxx
,),,,( ),,,,( 2121 nn xxxxxx 或记为注意,(1) 同一向量在不同基下的坐标一般是不同的 ;
(2) 用待定系数法可求得某一向量在基下的坐标,
ex6,见 P63/例 2.5.2
,向量的内积三定义 5,维向量设有 n,,2
1
2
1
nn b
b
b
a
a
a
nn bababa2211,令
,,的内积与为向量称
,,0,是正交的与则称若
内积的运算性质
),( )1(
0),( )2(?o? —— 零向量与任何向量是正交的,
),(),( )3(
),(),( )4(
),(),(),( )5(
,0),(,0),( )6( 时有且当 o
定义 6.
非负性)1(
齐次性)2(
三角不等式)3(
,),( 22221 naaa令
,或范数或模的长度维向量为称 n
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx 时当时当;xx
.yxyx
定理 1,Cauchy-Schwarz(柯西 -许瓦尔兹 )不等式
.),(,, 则设 nR
证明见 P65
定义 7.,,1)1( 为单位向量称时当
),(a r c c o s,0,0)2( 时当
,的夹角与维向量称为n
定义 8.定义了内积运算的 n维向量空间称为
n维欧氏空间,
,标准正交基四 —— 正交的单位向量组
1.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
使设有 r,,,21?Proof,
02211 rr
2.正交向量组的性质线性无关.,,,则,非零向量是一组两两正交的,,,维向量若
r
rn
21
21,2
组定理
0),( 22111 rr
0),(),(),( 1212111 rr
0),( 111得
0211 01
.032 r同理
.,,,21 线性无关故 r
3,向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
ex7,已知三维向量空间中两个向量
1
2
1
,
1
1
1
21
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基,
3? 321,,
02),(
0),(
32132
32131
xxx
xxx
.0,231 xxx
则有若令,13?x )1,0,1() ( 3213 xxx?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321,,
则有 0),(),( 3231
Solution,,,,0,,213213 正交且分别与设 Txxx
4,标准正交基定义 9,
.,,,,
,,,,)
(,,,
21
21
21
的一个标准正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
定义 10,
.,,,
),,2,1,(
0
1
),(
,,,,
21
21
的一个标准正交基是则称若设
n
n
ji
n
n
R
nji
ji
ji
R
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且且由于
.,,,44321 的一个标准正交基为所以 Reeee
例如
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
同理可知
.4 的一个标准正交基也为 R
Sc hi m i dt—
,
正交化方法位化线性无关组的正交化单五
,,,,,21 将其正交化单位化线性无关设 r
,,,,)1( 2121 正交要使线性无关设
1?
2?
,11可设
1?
2?
1?k
.0),(,21122 且则 k
),(),(0 12121 k由 ),(),( 1121 k
,),( ),(
11
21
k,
),(
),(
1
11
2122?
1,正交化
,,,,,,)2( 321321 正交要使线性无关设
,11可设 1
11
2122
),(
),(?
1?
2?
3?
3?
11?k
22?k
,221133 kk则
.0),(),( 3231且
),(
),(0
221131
31
kk
由
),(),( 11131 k
,),( ),(
11
311
k
),(),(0 22113232 kk由
),(),( 22232 k
,),( ),(
22
322
k
.),( ),(),( ),( 2
22
321
11
3133?
一般地,
.),( ),(),( ),( 1
11
11
11
1?
r
rr
rrrrr?
.,,,21 为正交向量组这样 r
称为的过程构造出正交向量组上述由线性无关向量组
,,,
,,
1
1
r
r
施密特正交化过程,
11
1
11
2122
),(
),(?
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
……………………
1
11
11
11
1
),(
),(
),(
),(
r
rr
rrrrr?
2,单位化
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r?
.,,,21 的一个标准正交基为那么 Vr
ex8,用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321
正交化单位化,
Solution,正交化：
1,1,1,1 11取
1
11
2122
),(
),(?
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1?
14
3,
14
1,
14
2,03,1,2,0
14
1
2
22
0,
6
2,
6
1,
6
10,2,1,1
6
1
3
33
单位化
ex9.
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量正交化单位化特正交化过程把这组向试用施密设
Solution,;11取
1
11
2122
),(
),(?
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
再把它们单位化，
1
1
1?
,
1
2
1
6
1
2
2
2?
,
1
1
1
3
1
3
3
3?
.
1
0
1
2
1
.,,321 即为所求
The end
定义 5.
它们的关系是的两个基维线性空间是与设
,
,,,,,,2121 Vnnn
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
2121 ),,,(),,,(即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称
.,,,,,,2121 的过渡矩阵到为由基 nn
n维向量空间教学要求：
1,了解 n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念 ;
2,了解内积的概念 ;
3,了解标准正交基的概念 ;
4,掌握线性无关向量组标准规范化的 Schimidt
(施密特 )方法,
,向量空间一
,,维数和坐标基二
,向量的内积三
,标准正交基四
Sc him id t—
,
正交化方法位化线性无关组的正交化单五
,向量空间一注意
.,,VRV 则若
2,维向量的集合是一个向量空间,记作,n nR;,,VVV 则若定义 1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指V
3,向量空间也称为线性空间,为满足一定条件的向量组,
.,3,1 3 是一个向量空间维向量的全体 Rex
.33
,33
3R维向量，它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个
.
间
，也是一个向量空维向量的全体类似地,nRn
Solution.
ex2,判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,0 221
Solution.,V 是向量空间
1
的任意两个元素因为对于 1V
TnTn bbaa,,,0,,,,0 22,V1?
122,,,0 Vbaba Tnn 有
,,,,0 12 Vaa Tn
ex3,判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,1 222
Solution.
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
.V 不是向量空间2
,,,,1 22 Vaa Tn因为若维向量，集合为两个已知的设 nbaex,.4
RbaxV,
试判断集合是否为向量空间,
S o lu tio n,
，bax 222
则有,)()( 212121 Vbaxx
.)()( 111 Vbkakkx
.
,
间所生成的向量空量这个向量空间称为由向 ba
.是一个向量空间V
,111 bax因为若
RaaaxV mmm,,,212211
间所生成的向量空由向量组 maaa,,,21?一般地，
为
.
,,
,,,
,,,,.5
21
2122112
2122111
11
VV
RbbbxV
RaaaxV
bbaaex
sss
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sm
试证：
等价，记与向量组设向量组
Proof,
.,,11 线性表示可由，则设 maaxVx
,,,12 VxVx 则若类似地可证
.211221 VVVVVV,所以，因为线性表示，
可由线性表示，故可由因
s
sm
b
bxbbaa,,,,,,111
.2Vx?所以
，，则这就是说，若 21 VxVx
.21 VV?因此
.12 VV?因此证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样 !
定义 2 设有向量空间 及,若向量空间,
就说 是 的子空间．
21 VV?1V
2V1V
2V
实例
RV n?显然
.的子空间总是所以 RV n
设 是由 维向量所组成的向量空间，V n
,,维数和坐标基二定义 3
且满足个向量如果是向量空间设,,,,,21 VrV r;,,,)1( 21 线性无关r
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
.,,,,21 的一个基就称为向量空间向量组那么 Vr
r 称为向量空间的维数,并称 V 为 r 维向量空间,
.
,,,)4( 1
是它的一个基基本单位向量组中在向量空间 nnR
R,,xV rrr 12211
（ 1）只含有零向量的向量空间称为 0维向量空间，因此它没有基．
注意
（ 3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为
r,,,21
V
V
（ 2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩,
V V
V
可见，基不唯一！
定义 4.
,,,,,
,,,,
21
21
使组总有且仅有一组有序数的一个基维向量空间是设
n
n
n
n
xxxR
Rn
nnxxx2211
,,,,,,,2121 下的坐标在为则称 nnxxx
,),,,( ),,,,( 2121 nn xxxxxx 或记为注意,(1) 同一向量在不同基下的坐标一般是不同的 ;
(2) 用待定系数法可求得某一向量在基下的坐标,
ex6,见 P63/例 2.5.2
,向量的内积三定义 5,维向量设有 n,,2
1
2
1
nn b
b
b
a
a
a
nn bababa2211,令
,,的内积与为向量称
,,0,是正交的与则称若
内积的运算性质
),( )1(
0),( )2(?o? —— 零向量与任何向量是正交的,
),(),( )3(
),(),( )4(
),(),(),( )5(
,0),(,0),( )6( 时有且当 o
定义 6.
非负性)1(
齐次性)2(
三角不等式)3(
,),( 22221 naaa令
,或范数或模的长度维向量为称 n
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx 时当时当;xx
.yxyx
定理 1,Cauchy-Schwarz(柯西 -许瓦尔兹 )不等式
.),(,, 则设 nR
证明见 P65
定义 7.,,1)1( 为单位向量称时当
),(a r c c o s,0,0)2( 时当
,的夹角与维向量称为n
定义 8.定义了内积运算的 n维向量空间称为
n维欧氏空间,
,标准正交基四 —— 正交的单位向量组
1.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
使设有 r,,,21?Proof,
02211 rr
2.正交向量组的性质线性无关.,,,则,非零向量是一组两两正交的,,,维向量若
r
rn
21
21,2
组定理
0),( 22111 rr
0),(),(),( 1212111 rr
0),( 111得
0211 01
.032 r同理
.,,,21 线性无关故 r
3,向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
ex7,已知三维向量空间中两个向量
1
2
1
,
1
1
1
21
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基,
3? 321,,
02),(
0),(
32132
32131
xxx
xxx
.0,231 xxx
则有若令,13?x )1,0,1() ( 3213 xxx?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321,,
则有 0),(),( 3231
Solution,,,,0,,213213 正交且分别与设 Txxx
4,标准正交基定义 9,
.,,,,
,,,,)
(,,,
21
21
21
的一个标准正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设
Veee
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VVeeen
r
r
n
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定义 10,
.,,,
),,2,1,(
0
1
),(
,,,,
21
21
的一个标准正交基是则称若设
n
n
ji
n
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21
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eeee
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
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且且由于
.,,,44321 的一个标准正交基为所以 Reeee
例如
.
1
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,
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4321
同理可知
.4 的一个标准正交基也为 R
Sc hi m i dt—
,
正交化方法位化线性无关组的正交化单五
,,,,,21 将其正交化单位化线性无关设 r
,,,,)1( 2121 正交要使线性无关设
1?
2?
,11可设
1?
2?
1?k
.0),(,21122 且则 k
),(),(0 12121 k由 ),(),( 1121 k
,),( ),(
11
21
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),(
),(
1
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1,正交化
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,11可设 1
11
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),(
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,221133 kk则
.0),(),( 3231且
),(
),(0
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31
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由
),(),( 11131 k
,),( ),(
11
311
k
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,),( ),(
22
322
k
.),( ),(),( ),( 2
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11
3133?
一般地,
.),( ),(),( ),( 1
11
11
11
1?
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rr
rrrrr?
.,,,21 为正交向量组这样 r
称为的过程构造出正交向量组上述由线性无关向量组
,,,
,,
1
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施密特正交化过程,
11
1
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2122
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11
11
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),(
),(
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,,,,
2
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.,,,21 的一个标准正交基为那么 Vr
ex8,用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321
正交化单位化,
Solution,正交化：
1,1,1,1 11取
1
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),(
),(
),(?
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1?
14
3,
14
1,
14
2,03,1,2,0
14
1
2
22
0,
6
2,
6
1,
6
10,2,1,1
6
1
3
33
单位化
ex9.
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量正交化单位化特正交化过程把这组向试用施密设
Solution,;11取
1
11
2122
),(
),(?
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
再把它们单位化，
1
1
1?
,
1
2
1
6
1
2
2
2?
,
1
1
1
3
1
3
3
3?
.
1
0
1
2
1
.,,321 即为所求
The end
定义 5.
它们的关系是的两个基维线性空间是与设
,
,,,,,,2121 Vnnn
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
2121 ),,,(),,,(即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称
.,,,,,,2121 的过渡矩阵到为由基 nn
