Chapter 2(5)
线性方程组的解的判定一、线性方程组有解的判定条件
1,齐次线性方程组 Ax?O有非零解的条件
,2211 可得结论由方程的向量形式 Oxxx nn
定理 1.,)( nAr an kOAx 有非零解推论,,)( nAr an kOAx 只有零解
)0,(?AA 则为方阵若
,
,,),,( )2( 1
的解仍是则的解是若
OAx
ROAxkk n



的解．讨论线性方程组的秩，和增广矩阵如何利用系数矩阵
bAx
BA
问题：
,,
2
的秩阵的秩等于增广矩矩阵的充分必要条件是系数有解元非齐次线性方程组定理
bAB
A
bxAn nm

2,非齐次线性方程组 Ax?b有解的条件小结 有唯一解bAx nBRAR
nBRAR 有无穷多解,bAx?
方程组的通解．
性程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
ex1,求解下列方程组




03345
0622
0323
07332
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Solution.
13345
62210
31123
73321
A?


36121260
62210
248840
73321
二、线性方程组的解法
00000
00000
62210
73321

00000
00000
62210
51101
,52)(Ar a n k? 所以原方程组有非零解,
同解方程组为


55
44
33
5432
5431
622
5
xx
xx
xx
xxxx
xxxx

5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
3
x
0
1
0
2
1
4
x
1
0
0
6
5
5
x
1
0
0
6
5
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
321
kkk
.332211 kkk
),,( 321 Rkkk?
例２ 求解非齐次线性方程组



.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，


32212
23513
11321
B
13
12 2
rr
rr


10450
10450
11321
23 rr? 200
,3)(,2)( BRAR显然,故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321



xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换



213211
13111
01111
B


212100
14200
01111
~
.
00000
212100
211011
~

,2 BRAR由于 故方程组有解，且有



212
21
43
421
xx
xxx




424
423
422
421
0
2120
0
21
xxx
xxx
xxx
xxx
.
0
21
0
21
1
2
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1








xx
x
x
x
x
.,42 任意其中 xx
所以方程组的通解为例４
求出它的一切解．
在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组
.0
54321
515
454
343
232
121






aaaaa
axx
axx
axx
axx
axx
解证 对增广矩阵 B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
5
4
3
2
1
10001
11000
01100
00110
00011
a
a
a
a
a
B
5
1
4
3
2
1
00000
11000
01100
00110
00011
~
i
i
a
a
a
a
a

0
5
1

i
ia
BRAR?
.0
5
1

i
ia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组




454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
由此得通解：




544
5433
54322
543211
xax
xaax
xaaax
xaaaax
.5 为任意实数x
思考题
.,
,,
12105
,3153
,363
,132
4321
4321
4321
4321
求出一般解况下情在方程组有无穷多解的有无穷多解有唯一解方程组无解取何值时当讨论线性方程组
tp
txxxx
xxpxx
xxxx
xxxx




思考题解答


t
p
B
121051
31513
31631
13211
解


191260
06640
22420
13211
~
t
p



53000
42200
11210
13211
~
t
p;,4)()(,2)1( 方程组有唯一解时当 BRARp




10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
~~
tt
B 有时当,2)2(?p;,4)(3)(,1 方程组无解时当 BRARt

00000
21000
30210
80001
00000
21000
11210
13211
~~B
且
.,3)()(,1 方程组有无穷多解时当 BRARt
组为与原方程组同解的方程
).(
2
0
3
8
0
1
2
0
4
3
2
1
Rkk
x
x
x
x









,2
,32
,8
4
32
1
x
xx
x
故原方程组的通解为