Chapter 4(4)
实对称矩阵的对角化教学要求：
1,掌握实对称矩阵的性质 ;
2,掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法,
,特征向量的性质实对称矩阵的特征值与一
,实对称矩阵的对角化二
,特征向量的性质实对称矩阵的特征值与一
1.实对称矩阵的特征值为实数,
Proof.,的特征值为设 A?
.0, xxAx?则
,的表示用 共轭复数
xAxA? 则Ax?
,
1
的共轭向量表示 x
x
x
x
n?
.
1
为对应的特征向量
nx
x
x?
)( xxxx )Axx
xxA )(
,xx
xAx
xxxx )(
0)( xx即
n
n
x
x
xxxx
1
1 而
011 nn xxxx?
,
.,
0,
0)(
,
以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵
AE
xAE
A
i
i
i
2.实对称矩阵的特征向量为实向量,
3.实对称矩阵 A对应于不同 特征值的特征向量是正交的,
Proof.,,,21222111 且pAppAp
,,AAA对称?
于是 212 pp
,02121 pp
,21,21 正交与即 pp.021 pp
21 App
21 )( pAp
4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等,
221 pp 21 pAp
211 )( pp,211 pp
,实对称矩阵的对角化二
.,
),(
,,
1
1
1
的特征值是其中使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
A
d i a gAPP
PnA
n
n
定理,
利用 正交矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求;,,,,,)3( 11 nn pp 单位化得正交化将
).,,( ),,( )4( 111 nn di a gAPPppP则令利用 可逆矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求
).,,( ),,( )3( 111 nn di a gAPPP则令
,
0111
1011
1101
1110
,1
1
为对角阵使求一正交矩阵已知
APPP
Aex
Solution,)3()1( 3 AE?
3,1 4321特征值为有代入将,0)(11 xAE
1111
1111
1111
1111
AE
0000
0000
0000
1111
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
求得基础解系
,
0
0
1
1
1
,
0
1
0
1
2
,
1
0
0
1
3
正交化,,)0,0,1,1(1,)0,1,21,21(2
.)1,31,31,31(3
单位化,,)0,0,21,21(1p,)0,62,61,61(2p
.)123,121,121,121(3p
有代入将,0)(34 xAE
3111
1311
1131
1113
3 AE
0000
1100
1010
1001
44
43
42
41
xx
xx
xx
xx
求得基础解系为 )1,1,1,1(4
单位化,)21,21,21,21(4p
,
2
1
12
3
00
2
1
12
1
6
2
0
2
1
12
1
6
1
2
1
2
1
12
1
6
1
2
1
P令
.
3000
0100
0010
0001
1
APP则
,,,.2 2 OAOAAex 则若为实对称矩阵设
Proof.,为实对称矩阵A?
故存在正交矩阵 Q使 ),,( 11 ndi agAQQ
11 ),,( QQ di agA n从而 (*)
12212 ),,( QQ di agA n
12 可逆得与及由 QQOA
OQAQdi ag n 21221 ),,(
,02 i? ),,2,1( 0 nii
,( *) OA?可得再由
,1 1,3?或的特征值为试证实对称的正交矩阵 Aex
Proof.,为实对称正交矩阵A?
EAAAAA2 故又由 A为实对称矩阵,故存在正交矩阵 Q使
),,( 11 ndi agAQQ
11 ),,( QQ di agA n从而
EQQ d i agA n 12212 ),,(
EQQdi a g n 1221 ),,(故
,12 i?,1 i?
,1
,,.4
EA
nAex
证明其特征值全为非负数阶实对称矩阵为设
Proof.,为实对称矩阵A? 故存在正交矩阵 Q使
),,( 11 ndi agAQQ
11 ),,( QQ di agA n从而
11 )1,,1( QQ di agQQE?
11 )1,,1( QQ di agEA n
11 )1,,1( QQ di agEA n
.1)1()1( 1 n
.0?i?不妨设
ex5,见 P95/例 4.4.2,例 4.4.3
思考题 1.,
111
111
111
A,
001
001
00
n
B,,是否相似判断下列两矩阵 BA
Solution.,)( 1 nnAE
.0,21 nnA的特征值为使得存在可逆矩阵是实对称矩阵又,,1PA
),0,,0,(111?nd i a gPAP
,)( 1 nnBE又,有相同的特征值与即 AB
,
1,02
特征向量个线性无关的有对应特征值 nn
使得故存在可逆矩阵,2P
,212 PBP
,212111 BPPAPP从而
,121112 BPAPPP即
.相似与故 BA
,)()( 1211121 BPPAPP即
The end
思考题 2,
.2
,,2
的值试求行列式的秩为且满足阶实对称矩阵设
AE
rAAAAn
Solution.,0 1 2 或的特征值为可得由 AAA?
.
,
00
0
1-
阶单位阵是其中 rE
E
APP
r
r
1122 PPPPAE E2
rn
r
E
E
20
0d e t
.2 rn
使得故存在可逆阵且秩为是实对称阵又,,,PrA
The end
实对称矩阵的对角化教学要求：
1,掌握实对称矩阵的性质 ;
2,掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法,
,特征向量的性质实对称矩阵的特征值与一
,实对称矩阵的对角化二
,特征向量的性质实对称矩阵的特征值与一
1.实对称矩阵的特征值为实数,
Proof.,的特征值为设 A?
.0, xxAx?则
,的表示用 共轭复数
xAxA? 则Ax?
,
1
的共轭向量表示 x
x
x
x
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.
1
为对应的特征向量
nx
x
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)( xxxx )Axx
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,xx
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,
.,
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AE
xAE
A
i
i
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2.实对称矩阵的特征向量为实向量,
3.实对称矩阵 A对应于不同 特征值的特征向量是正交的,
Proof.,,,21222111 且pAppAp
,,AAA对称?
于是 212 pp
,02121 pp
,21,21 正交与即 pp.021 pp
21 App
21 )( pAp
4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等,
221 pp 21 pAp
211 )( pp,211 pp
,实对称矩阵的对角化二
.,
),(
,,
1
1
1
的特征值是其中使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
A
d i a gAPP
PnA
n
n
定理,
利用 正交矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求;,,,,,)3( 11 nn pp 单位化得正交化将
).,,( ),,( )4( 111 nn di a gAPPppP则令利用 可逆矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求
).,,( ),,( )3( 111 nn di a gAPPP则令
,
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1011
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1110
,1
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为对角阵使求一正交矩阵已知
APPP
Aex
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3,1 4321特征值为有代入将,0)(11 xAE
1111
1111
1111
1111
AE
0000
0000
0000
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xx
xx
xx
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.)1,31,31,31(3
单位化,,)0,0,21,21(1p,)0,62,61,61(2p
.)123,121,121,121(3p
有代入将,0)(34 xAE
3111
1311
1131
1113
3 AE
0000
1100
1010
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44
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xx
xx
xx
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求得基础解系为 )1,1,1,1(4
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.
3000
0100
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1
APP则
,,,.2 2 OAOAAex 则若为实对称矩阵设
Proof.,为实对称矩阵A?
故存在正交矩阵 Q使 ),,( 11 ndi agAQQ
11 ),,( QQ di agA n从而 (*)
12212 ),,( QQ di agA n
12 可逆得与及由 QQOA
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,02 i? ),,2,1( 0 nii
,( *) OA?可得再由
,1 1,3?或的特征值为试证实对称的正交矩阵 Aex
Proof.,为实对称正交矩阵A?
EAAAAA2 故又由 A为实对称矩阵,故存在正交矩阵 Q使
),,( 11 ndi agAQQ
11 ),,( QQ di agA n从而
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,12 i?,1 i?
,1
,,.4
EA
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证明其特征值全为非负数阶实对称矩阵为设
Proof.,为实对称矩阵A? 故存在正交矩阵 Q使
),,( 11 ndi agAQQ
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11 )1,,1( QQ di agEA n
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.0?i?不妨设
ex5,见 P95/例 4.4.2,例 4.4.3
思考题 1.,
111
111
111
A,
001
001
00
n
B,,是否相似判断下列两矩阵 BA
Solution.,)( 1 nnAE
.0,21 nnA的特征值为使得存在可逆矩阵是实对称矩阵又,,1PA
),0,,0,(111?nd i a gPAP
,)( 1 nnBE又,有相同的特征值与即 AB
,
1,02
特征向量个线性无关的有对应特征值 nn
使得故存在可逆矩阵,2P
,212 PBP
,212111 BPPAPP从而
,121112 BPAPPP即
.相似与故 BA
,)()( 1211121 BPPAPP即
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思考题 2,
.2
,,2
的值试求行列式的秩为且满足阶实对称矩阵设
AE
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Solution.,0 1 2 或的特征值为可得由 AAA?
.
,
00
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E
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使得故存在可逆阵且秩为是实对称阵又,,,PrA
The end
