Chapter 4(1)
正交矩阵与正交变换教学要求：
1,了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的性质,
,正交矩阵的定义与性质一
,正交变换二
,正交矩阵的定义与性质一
1,定义
,,正交矩阵为则称满足阶方阵若 AEAAAn
2,性质;1 )1(A,)1,1,( 2 AAAEAA?;,,)2( 也是正交矩阵则为正交矩阵 ABBA
.))()()(( EBBBAABABAB; )3( 1 AAA是正交矩阵,)( EAA; )4( 也是正交矩阵是正交矩阵 AA
.))(( 1 EAAAAAA
,)(
)5(
量组向量组是正交的单位向行的列是正交矩阵方阵
A
A?
Proof.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A

21
22221
11211
设
),,,( 21 n

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A

21
22212
12111
则
n?
2
1
EAA
En
n

,,,21
2
1
E
nnnn
n
n







21
22212
12111
E
nnnn
n
n
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
22212
12111




,,,2,1,,0,1),( njiji jiji


ex1,下列矩阵是不是正交矩阵：
,
6
2
2
2
3
2
3
2
00
2
1
2
1
6
5
2
1
6
1
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)1(

.
102
211
403
)2(
Solution.
是不是
.,.2 * 也是正交矩阵则为正交矩阵若 AAex
Proof.,为正交矩阵A?,1,1 AAA
1* AAA又
11** )( AAAAAA
,A?
1 AAAA
1 AAAA
12 AAA
.E?
,
)1,1,1,1(,)1,1,1,1(,3 21
为前两列的正交矩阵求以ex
Method1,)1,0,0,0(,)0,0,0,1( 43取
,,,,4321 线性无关显然
正交化,,)1,1,1,1(11取
),( ),( 1
11
1222?

则,)1,1,1,1(
),( ),(),( ),( 2
22
231
11
1333?



),0,0,
2
1,
2
1(?
),( ),(),( ),(),( ),( 3
33
342
22
241
11
1444?





).
2
1,
2
1,0,0(
4
单位化,,)21,21,21,21(1p,)21,21,21,21(2p
,)0,0,2 2,2 2(3p,)2 2,2 2,0,0(4p
,
2
2
0
2
1
2
1
2
2
0
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
1

P
Method2.
则正交与设,,),,,( 214321 xxxx?


0
0
4321
4321
xxxx
xxxx

1111
1111A?


1100
0011


44
43
22
21
xx
xx
xx
xx

1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)1,1,0,0(,)0,0,1,1( 43取单位化,,)21,21,21,21(1p,)21,21,21,21(2p
,)0,0,2 2,2 2(3p,)2 2,2 2,0,0(4p
,
2
2
0
2
1
2
1
2
2
0
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
1

P
,正交变换二定义,若 P为正交矩阵,则线性变换 y=Px称为正交变换,
定理,正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间的内积及夹角,
Proof.,为正交变换设 Pxy?
yyy
,EPP则
PxPx )(
.xxxPxPx
The end