Chapter 5(3)
正定二次型教学要求：
1,了解惯性定理 ;
2,了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法,
,惯性定理一
,正定二次型与正定矩阵二
,判定法三
,惯性定理一定理 1.无论作怎样的可逆线性变换,由二次型 Axxf
得到的标准形中,正平方项的项数 p与负平方项的项数 q是唯一确定的,且 p?q?r(A).
即
.
,,,,
,0
,0
,,
11
22
22
2
11
22
22
2
11
相等中正数的个数中正数的个数与则及使及有两个可逆变换它的秩为设有实二次型
rr
irr
irr
kk
zzzf
kykykykf
PzxCyx
rAxxf
,正定二次型与正定矩阵二定义 1,)0(,都有若对于实二次型 nRxAxxf;,,0 )1( 为正定矩阵为正定二次型则 AfAxx;,,0 )2( 为负定矩阵为负定二次型则 AfAxx;,,0 )3( 为半正定矩阵为半正定二次型则 AfAxx;,,0 )4( 为半负定矩阵为半负定二次型则 AfAxx
.,,)5( 是不定的是不定的称否则 Af
.,,,0,0,0,0
,
半负定半正定负定正定记通常以为了方便
AAAAA
,判定法三定理 2.
.
:
个系数全为正它的标准形的正定的充要条件是实二次型
n
Axxf
推论,
.
:
的特征值全部为正数正定的充要条件是对称矩阵
A
A
定义 2.
,,
1
111
阶子式列构成的行的前设 iiiA
aa
aa
A
nnn
n
,
1
111
阶顺序主子式的称为 iA
aa
aa
P
iii
i
i
定理 3.
.0
)1(
于的所有顺序主子式全大正定实二次型
A
Axxf
0
,0
)2(
于偶数阶顺序主子式全大小于的奇数阶顺序主子式全负定实二次型
A
Axxf
正定二次型 （ 正定矩阵 ）的判别方法：
(1) 定义法
(2) 顺次主子式判别法
(3) 特征值判别法正定矩阵具有以下一些简单性质;,,,)1( 1 均为正定矩阵则为正定实对称阵设 AAAA
由特征值法来证明
.,,)2( 也是正定矩阵则阶正定矩阵均为若 BAnBA?
.0)( BxxAxxxBAx?
ex1,判别二次型的正定性：
4342
413121
2
4
2
3
2
2
2
1
3121
2
3
2
2
2
1
126
2421993)2(
22462)1(
xxxx
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxf
Solution.,
401
061
112
)1(
Af 的矩阵二次型
,021P 61
12
2?
P,011
.0383P
.是负定的f?
19631
6902
3031
1211
)2( A
,011P,0231
11
2
P
,06
902
031
211
3
P
.0244P
.是正定的f?
ex2,t 为何值时,下列二次型是正定的：
2222 222)( wzxyzxyzyxtf
Solution.
1000
011
011
011
t
t
t
Af 的矩阵二次型
01 tP
0122 tP
02333 ttP
02334 ttP
.2 t
).,,2,1(0,)(,3 nianaAex iiij 证明阶正定矩阵是设
Proof.,0Axx?
,)0,,0,1,0,,0(x取
0
1
0
010
1
1
1111
nnnin
iniii
ni
aaa
aaa
aaa
Axx则
.0 iia
结论成立,
,
,,.4
2BA
BnAex
使得则存在正定矩阵阶正定矩阵是若
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,(),,( 11 Pd ia gP d ia g nn
),,(),,( 11 PP d ia gPP d ia g nn
,),,( 1 PP d ia gB n取
,,2 正定且则 BBA?
,1
,,.5
的行列式大于证明阶单位矩阵是阶正定矩阵是设
EA
nEnAex
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,( 111 PPPP d i agEA n
)1,,1( 11 PP d i a g n
,1)1()1( 1 nEA
,,.6 必为单位矩阵则阶正交正定矩阵是若 AnAex
Proof.,是正交正定矩阵A?
,,EAAAA 且
,2 EA?从而
,))(( OEAEA
,)(,正定可知正定由 EAA?
.可逆EA
,OEA故
.EA
The end
定义 1.,的标准形中在二次型 Axxf
正平方项的项数 p称为二次型的 正惯性指数,
负平方项的项数 q称为二次型的 负惯性指数,
p?q称为符号差,
推论,
)0,,0,1,,1,1,,1(~
,,
diagA
qpAxxf 则的正负惯性指数分别为若二次型
22 1221 qppp yyyyAxxf即称上式右边的二次型为规范形,
,)0,,0,1,,1,1,,1( 的合同规范形称为 Adi ag
,判定法三定理 2,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是正定矩阵即是正定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA 即的正惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全大于个特征值的 nnA
定理 3,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是负定矩阵即是负定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA?即的负惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全小于个特征值的 nnA
.,
442,3 32212221
是哪一类二次型并判别惯性指数及符号差的正负求出二次型
f
xxxxxxfex
Solution.,
020
212
022
Af 的矩阵二次型
20
212
022
AE令
0)4)(1)(2(
.4,1,2 321
,2 p正惯性指数,1?q负惯性指数,1 qp符号差为也可用配方法化为标准形后得所求,
,02 1P又,022P,是不定的f?
正定二次型教学要求：
1,了解惯性定理 ;
2,了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法,
,惯性定理一
,正定二次型与正定矩阵二
,判定法三
,惯性定理一定理 1.无论作怎样的可逆线性变换,由二次型 Axxf
得到的标准形中,正平方项的项数 p与负平方项的项数 q是唯一确定的,且 p?q?r(A).
即
.
,,,,
,0
,0
,,
11
22
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2
11
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相等中正数的个数中正数的个数与则及使及有两个可逆变换它的秩为设有实二次型
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PzxCyx
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,正定二次型与正定矩阵二定义 1,)0(,都有若对于实二次型 nRxAxxf;,,0 )1( 为正定矩阵为正定二次型则 AfAxx;,,0 )2( 为负定矩阵为负定二次型则 AfAxx;,,0 )3( 为半正定矩阵为半正定二次型则 AfAxx;,,0 )4( 为半负定矩阵为半负定二次型则 AfAxx
.,,)5( 是不定的是不定的称否则 Af
.,,,0,0,0,0
,
半负定半正定负定正定记通常以为了方便
AAAAA
,判定法三定理 2.
.
:
个系数全为正它的标准形的正定的充要条件是实二次型
n
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推论,
.
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的特征值全部为正数正定的充要条件是对称矩阵
A
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定义 2.
,,
1
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定理 3.
.0
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A
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0
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于偶数阶顺序主子式全大小于的奇数阶顺序主子式全负定实二次型
A
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正定二次型 （ 正定矩阵 ）的判别方法：
(1) 定义法
(2) 顺次主子式判别法
(3) 特征值判别法正定矩阵具有以下一些简单性质;,,,)1( 1 均为正定矩阵则为正定实对称阵设 AAAA
由特征值法来证明
.,,)2( 也是正定矩阵则阶正定矩阵均为若 BAnBA?
.0)( BxxAxxxBAx?
ex1,判别二次型的正定性：
4342
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2
4
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3
2
2
2
1
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2
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Solution.,
401
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,021P 61
12
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.0383P
.是负定的f?
19631
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,011P,0231
11
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,06
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.是正定的f?
ex2,t 为何值时,下列二次型是正定的：
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1000
011
011
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t
t
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01 tP
0122 tP
02333 ttP
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).,,2,1(0,)(,3 nianaAex iiij 证明阶正定矩阵是设
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,)0,,0,1,0,,0(x取
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1
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Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
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,,2 正定且则 BBA?
,1
,,.5
的行列式大于证明阶单位矩阵是阶正定矩阵是设
EA
nEnAex
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
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),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
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)1,,1( 11 PP d i a g n
,1)1()1( 1 nEA
,,.6 必为单位矩阵则阶正交正定矩阵是若 AnAex
Proof.,是正交正定矩阵A?
,,EAAAA 且
,2 EA?从而
,))(( OEAEA
,)(,正定可知正定由 EAA?
.可逆EA
,OEA故
.EA
The end
定义 1.,的标准形中在二次型 Axxf
正平方项的项数 p称为二次型的 正惯性指数,
负平方项的项数 q称为二次型的 负惯性指数,
p?q称为符号差,
推论,
)0,,0,1,,1,1,,1(~
,,
diagA
qpAxxf 则的正负惯性指数分别为若二次型
22 1221 qppp yyyyAxxf即称上式右边的二次型为规范形,
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,判定法三定理 2,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是正定矩阵即是正定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA 即的正惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全大于个特征值的 nnA
定理 3,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是负定矩阵即是负定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA?即的负惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全小于个特征值的 nnA
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442,3 32212221
是哪一类二次型并判别惯性指数及符号差的正负求出二次型
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xxxxxxfex
Solution.,
020
212
022
Af 的矩阵二次型
20
212
022
AE令
0)4)(1)(2(
.4,1,2 321
,2 p正惯性指数,1?q负惯性指数,1 qp符号差为也可用配方法化为标准形后得所求,
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