Chapter 5(1)
曲面与曲线教学要求：
1,理解曲面方程的概念 ;
2,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ;
3,了解空间曲线的参数方程和一般方程 ;
4,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程,
,曲面及其方程一
,空间曲线及其方程二旋转曲面柱面投影方程曲线的参数方程球面曲面的参数方程
,曲面及其方程一
1,曲面方程的定义如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
关于曲面讨论两个方面的问题,
(1) 已知曲面上点的轨迹,求方程 ;
(2) 已知方程,研究该方程表示的曲面的形状,
2,球面方程建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为 R 的球面方程,
Solution.设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为讨论,
0)(222 2202020000222 Rzyxzzyyxxzyx
(2) 球心在原点时方程为 2222 Rzyx
.,,,,,222 项且不含的系数相同可见 zxyzxyzyx
(1) 球面方程的一般形式为
0222 DCzByAxzyx
04
222
CBAD其中
0242,1 222 表示什么曲面方程 zyxzyxex
Solution,经配方可知,
,6),1,2,1( 的球面半径为方程表示球心在
3,旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,定曲线叫旋转曲面的 母线,
播放
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
d
,0,22 zyxf得方程
,
0),(
曲面方程轴旋转一周所得的旋转绕坐标面上的已知曲线上式即为
z
zyfy o z?
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为,0,22 zxyf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 yyxfxoy?
0),( 22 yzxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 xyxfxoy?
0),( 22 zyxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 zzxfz o x?
0),( 22 zyxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 xzxfz o x?
0),( 22 zyxf
ex2,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．; 10 )1( 2
2
2
2
轴轴和分别绕面上的双曲线 zxczaxxz
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面;
0
1
)2( 2
2
2
2
轴轴和绕椭圆 zy
x
c
z
a
y
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面;
0
2 )3( 2 轴绕抛物线 z
x
pzy
pzyx 222
旋转抛物面反之,
,)( 222 可视为yxaz
,轴旋转一周所得绕面上的曲线 zxazx o z
,轴旋转一周所得绕面上的曲线或 zyazyoz
ex 3,直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
Solution,y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM
),,( zyxM
圆锥面方程为
c o t22 yxz
)(c o t 2222 yxz )( 2222 yxaz即播放定义
4.柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
yx 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,(柱面方程为缺项的方程 )
0),(?yxF 表母线平行于 z 轴的柱面 ;
0),(?zyG 表母线平行于 x 轴的柱面 ;
0),(?xzH 表母线平行于 y 轴的柱面,
注意：
(1)准线 C并不唯一,只是为了方便通常选择坐标面上的曲线 ;
(2) 母线平行于坐标轴的柱面是我们研究的,
实例 12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
ex4,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
Solution.
平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 yx
1 xy
平行于 y 轴的直线平行于 y oz 面的平面圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面方程
,空间曲线及其方程二
1,一般方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
6332
1,6 22 表示怎样的曲线方程组
zyx
yxex
Solution,122 yx 表示圆柱面，
6332 zyx 表示平面，
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
x
y
z
o
4
)
2
(
,7 2
22
222
表示怎样的曲线方程组
a
y
a
x
yxaz
ex
Solution.
222 yxaz 上半球面,
4)2(
2
22 ayax 圆柱面,
交线如图,
2,投影方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
设空间曲线 C的一般方程：
定义 1,以曲线 C为准线,母线平行于 z轴的柱面叫做关于 xoy面的投影柱面,
定义 2,投影柱面与 xoy面的交线叫做 C在 xoy面上的投影曲线,即投影,
由 C消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
e x 8,求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
Solution.
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影
,
0
045 22
z
xxyyx
.
2
1
1
,9
222
在坐标面上的投影求曲线
z
zyx
ex
Solution.
（ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
x
y
z
o
x
y
z
o
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
所以在 yoz 面上的投影为线段,
.
2
3
||,
0
2
1
y
x
z
(3) 同理,在 xoz 面上的投影也为线段,;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
ex10.
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
Solution.半球面和锥面的交线为?
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 x o yC
.0
,122
z
yx
一个圆,
面上的投影为所求立体在 x o y?,122 yx
x
y
z
o
.,0
2,4,11 2222
面上的投影面所围成的立体在及平面圆柱面求由半球面
y ozxoyz
yyxyxzex
Solution.
x
y
z
o
在 xoy面上,
0
222
z
yyx
在 yoz面上,
0
20
40 2
x
y
yz
3,参数方程
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点 ),,( 111 zyx,
随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程如何得到曲线的参数方程？
(1)由已知曲线的一般方程,引入适当参数得到相应的参数方程,
(2) 视曲线为动点运动的轨迹,适当选取参数 t使得动点坐标 (x,y,z)分别用关于 t的函数来表示,
.
0
64,12 222 为参数方程化
zy
zyxex
Solution.,代入第一方程得令 yz
0
642 22
zy
yx
tz
ty
tx
s i n24
s i n24
co s8
从而得
)20( t
曲线的参数方程不唯一！
动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点
ex 13,如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中?,v 都是常数），那么点 M
构成的图形叫做 螺旋线,试建 立其参数方程,
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c o s?
tay?s in?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，Solution.
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
si n
co s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
The end
5.曲面的参数方程
(1) 定义：,,,,),,( 即表示用其它变量中的将 vuzyxzyxP
,,,,
),(
),(
),(
dvcbuavu
vuhz
vugy
vufx
且为参数称为曲面的参数方程,
(2) 参数方程与一般方程 F(x,y,z)=0的相互转化
.,5 2222 转化为参数方程将球面方程 rzyxex
Method1.
x
y
z
o
),,( zyxM
r?
),( yxP?
则为参数选取
,0
,20
x
y
z
o
),,( zyxM
r?
),( yxP?
c o ss inrx?
s ins inry?
c o srz?
Method2.
x
y
z
o
),,( zyxM
r
),( yxP
则为参数选取
,0
,20
c o s?x
s in?y
22 rz
22 rz或参数方程不唯一！
曲面与曲线教学要求：
1,理解曲面方程的概念 ;
2,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ;
3,了解空间曲线的参数方程和一般方程 ;
4,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程,
,曲面及其方程一
,空间曲线及其方程二旋转曲面柱面投影方程曲线的参数方程球面曲面的参数方程
,曲面及其方程一
1,曲面方程的定义如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
关于曲面讨论两个方面的问题,
(1) 已知曲面上点的轨迹,求方程 ;
(2) 已知方程,研究该方程表示的曲面的形状,
2,球面方程建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为 R 的球面方程,
Solution.设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为讨论,
0)(222 2202020000222 Rzyxzzyyxxzyx
(2) 球心在原点时方程为 2222 Rzyx
.,,,,,222 项且不含的系数相同可见 zxyzxyzyx
(1) 球面方程的一般形式为
0222 DCzByAxzyx
04
222
CBAD其中
0242,1 222 表示什么曲面方程 zyxzyxex
Solution,经配方可知,
,6),1,2,1( 的球面半径为方程表示球心在
3,旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,定曲线叫旋转曲面的 母线,
播放
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
d
,0,22 zyxf得方程
,
0),(
曲面方程轴旋转一周所得的旋转绕坐标面上的已知曲线上式即为
z
zyfy o z?
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为,0,22 zxyf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 yyxfxoy?
0),( 22 yzxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 xyxfxoy?
0),( 22 zyxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 zzxfz o x?
0),( 22 zyxf
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 xzxfz o x?
0),( 22 zyxf
ex2,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．; 10 )1( 2
2
2
2
轴轴和分别绕面上的双曲线 zxczaxxz
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面;
0
1
)2( 2
2
2
2
轴轴和绕椭圆 zy
x
c
z
a
y
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面;
0
2 )3( 2 轴绕抛物线 z
x
pzy
pzyx 222
旋转抛物面反之,
,)( 222 可视为yxaz
,轴旋转一周所得绕面上的曲线 zxazx o z
,轴旋转一周所得绕面上的曲线或 zyazyoz
ex 3,直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
Solution,y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM
),,( zyxM
圆锥面方程为
c o t22 yxz
)(c o t 2222 yxz )( 2222 yxaz即播放定义
4.柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
yx 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,(柱面方程为缺项的方程 )
0),(?yxF 表母线平行于 z 轴的柱面 ;
0),(?zyG 表母线平行于 x 轴的柱面 ;
0),(?xzH 表母线平行于 y 轴的柱面,
注意：
(1)准线 C并不唯一,只是为了方便通常选择坐标面上的曲线 ;
(2) 母线平行于坐标轴的柱面是我们研究的,
实例 12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
ex4,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
Solution.
平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 yx
1 xy
平行于 y 轴的直线平行于 y oz 面的平面圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面方程
,空间曲线及其方程二
1,一般方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
6332
1,6 22 表示怎样的曲线方程组
zyx
yxex
Solution,122 yx 表示圆柱面，
6332 zyx 表示平面，
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
x
y
z
o
4
)
2
(
,7 2
22
222
表示怎样的曲线方程组
a
y
a
x
yxaz
ex
Solution.
222 yxaz 上半球面,
4)2(
2
22 ayax 圆柱面,
交线如图,
2,投影方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
设空间曲线 C的一般方程：
定义 1,以曲线 C为准线,母线平行于 z轴的柱面叫做关于 xoy面的投影柱面,
定义 2,投影柱面与 xoy面的交线叫做 C在 xoy面上的投影曲线,即投影,
由 C消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
e x 8,求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
Solution.
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影
,
0
045 22
z
xxyyx
.
2
1
1
,9
222
在坐标面上的投影求曲线
z
zyx
ex
Solution.
（ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
x
y
z
o
x
y
z
o
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
所以在 yoz 面上的投影为线段,
.
2
3
||,
0
2
1
y
x
z
(3) 同理,在 xoz 面上的投影也为线段,;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
ex10.
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
Solution.半球面和锥面的交线为?
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 x o yC
.0
,122
z
yx
一个圆,
面上的投影为所求立体在 x o y?,122 yx
x
y
z
o
.,0
2,4,11 2222
面上的投影面所围成的立体在及平面圆柱面求由半球面
y ozxoyz
yyxyxzex
Solution.
x
y
z
o
在 xoy面上,
0
222
z
yyx
在 yoz面上,
0
20
40 2
x
y
yz
3,参数方程
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点 ),,( 111 zyx,
随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程如何得到曲线的参数方程？
(1)由已知曲线的一般方程,引入适当参数得到相应的参数方程,
(2) 视曲线为动点运动的轨迹,适当选取参数 t使得动点坐标 (x,y,z)分别用关于 t的函数来表示,
.
0
64,12 222 为参数方程化
zy
zyxex
Solution.,代入第一方程得令 yz
0
642 22
zy
yx
tz
ty
tx
s i n24
s i n24
co s8
从而得
)20( t
曲线的参数方程不唯一！
动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点
ex 13,如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中?,v 都是常数），那么点 M
构成的图形叫做 螺旋线,试建 立其参数方程,
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c o s?
tay?s in?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，Solution.
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
si n
co s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
The end
5.曲面的参数方程
(1) 定义：,,,,),,( 即表示用其它变量中的将 vuzyxzyxP
,,,,
),(
),(
),(
dvcbuavu
vuhz
vugy
vufx
且为参数称为曲面的参数方程,
(2) 参数方程与一般方程 F(x,y,z)=0的相互转化
.,5 2222 转化为参数方程将球面方程 rzyxex
Method1.
x
y
z
o
),,( zyxM
r?
),( yxP?
则为参数选取
,0
,20
x
y
z
o
),,( zyxM
r?
),( yxP?
c o ss inrx?
s ins inry?
c o srz?
Method2.
x
y
z
o
),,( zyxM
r
),( yxP
则为参数选取
,0
,20
c o s?x
s in?y
22 rz
22 rz或参数方程不唯一！
