Chapter 4(2)
方阵的特征值与特征向量教学要求：
1,理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质 ;
2,会求方阵的特征值和特征向量,
,义特征值与特征向量的定一
,质特征值与特征向量的性二
,法特征值与特征向量的求三
,义特征值与特征向量的定一
.
,,,
,
的特征向量的对应于特征值称为非零向量的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果存在数阶方阵是设
A
xA
xAx
xnnA
定义,
注意
.,0 言的特征值问题是对方阵而特征向量?x
,质特征值与特征向量的性二
.)0(
,.1
00
00
的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是如果
Akkp
Ap
Proof.,000 pAp
)()( 00 ApkkpA )( 00 pk )( 00 kp
.00 的特征向量的对应于是?Akp?
,
)0,(
,.2
0212211
021
特征向量的的对应于也是不同时为则的两个特征向量的对应于特征值是与如果
Akkpkpk
App
Proof.,101 pAp
)( 2211 pkpkA
)()( 202101 pkpk )( 22110 pkpk
,202 pAp
)()( 2211 ApkApk
.02211 的特征向量的对应于是?Apkpk
推广,
.)0,(
,,,,
01
2211
021
的特征向量的对应于也是不同时为则非零线性组合的特征向量的对应于是如果
Akk
pkpkpk
Appp
s
ss
s
.,,,
,,,,
,,,,3.
21
21
21
线性无关则向量依次是与之对应的特征个特征值的各不相同的是方阵若
m
m
m
ppp
ppp
mA
Proof,使设有常数 mxxx,,,21?
.02211 mm pxpxpx?
,0 2211 mm pxpxpxA?则
,0 222111 mmm pxpxpx即类推之,有,0222111 mmkmkk pxpxpx
1,,2,1 mk?
把上述各式合写成矩阵形式，得
mm
m
m
mm
m
px
px
px
22
11
11
2
1
1
21
111
0
0
0
于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端的系数矩
.
,0,,i?
,0,,0,0,,,2211 mm pxpxpx
.,,2,10 mjpx jj即,0?jp但.,,2,10 mjx j故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp?
注意
(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
,法特征值与特征向量的求三
,xAx
,)( OxAE
,,解即上述矩阵方程有非零Ox
也就是含有 n个未知数 n个方程的方程组有非 0解,
.0 AE? 0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
即由此可求得特征值,; 的特征多项式叫做 AAE; )( 的特征矩阵叫做 AAE
,0 的特征方程叫做 AAE
,0 )( 解的非特征向量即为 OxAE
,)( OxAEi 代入方程现将已求得的特征值
,0 1?的解若求得一个非 的全部特征向量为则对应于 i?
).0( 1?kk?
,,0 21的解若求得两个非 的全部特征向量为则对应于 i?
).0,( 212211 不同时为kkkk
,)(,21 的一个基础解系就是且 OxAEi
求特征值与特征向量的步骤,
0; )1( AEA?的特征方程写出; 0 )2( iλAE 的全部根求出
,0
,,)( )3(
的全部特征向量线性组合即为对应于其非求得一个基础解系代入将每个
i
i OxAE
,
1111
1111
1111
1111
,1
量的全部特征值与特征向求矩阵
Aex
Solution,
1111
1111
1111
1111
AE?
)2()2( 3
,0 得令 AE?,2,2 4321 为全部特征值
.)2(,2)1( 1 OxAE 有时当?
3111
1311
1131
1113
)2( AE而
0000
1100
1010
1001
44
43
42
41
xx
xx
xx
xx
从而
1
1
1
1
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
).0( )1,1,1,1(21 kk的全部特征向量为对应于?
.)2(,2)2( 432 OxAE 有时当
1111
1111
1111
1111
)2( AE而
0000
0000
0000
1111
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
从而
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
432
4
3
2
1
xxx
x
x
x
x
2 的全部特征向量为对应于
).0,,(
)( 1,0,0,1)( 1,0,1,0)0,0,1,1(
321
321
不同时为kkk
kkk
.
201
034
011
,2 的特征值和特征向量求矩阵
Aex
Solution,的特征多项式为A
.1,2 321的特征值为所以 A
.0)2(,21 xAE解方程组时当?
201
034
011
AE
,)1)(2( 2
001
014
013
)2( AE
33
2
1
0
0
xx
x
x
从而
.2)0( 1111 的全部特征向量是对应于所以kpk
,0)(,132 xAE解方程组时当
,
000
010
001
,
1
0
0
3
3
2
1
x
x
x
x
,
1
0
0
1
p基础解系为
101
024
012
)( AE
33
32
31
2
xx
xx
xx
从而
.1)0( 32222 的全部特征向量是对应于所以kpk
,
000
210
101
,
1
2
1
2
p基础解系为
,
1
2
1
3
3
2
1
xx
x
注意,
,)1( 0 的特征值是若 A AE0?则
)( 0 AEr OxAE )( 0?
,0
,n? 有非 0解,
的为则称重根的为若 00,0)2( kkAE.代数重数的称其为的个数为的基础解系中所含向量得对应于
00
00
),(
)(,
AEr a n kn
OxAE
.几何重数结论 1,方阵 A的特征值的几何重数不超过它的代数重数,
结论 2,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素,
结论 3.,的特征值相同与方阵 AA?
结论 4.
,,,,)( 21
则有的特征值为阶方阵设 nijaAn; )1( 221121 nnn aaa
,)2( 21 An
结论 5,若? 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于?的特征向量,则
,)1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
.,)3( 11 的特征值是可逆时当 AA?
,)2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)4( *1 的特征值是可逆时当 AAA
.)()(,)5( 的特征值是为多项式函数时当 Afff?
Proof.,)1( xAx
),()( xkAxk,)()( xkxkA
,的特征值是 kAk
,)2( xAx
xAAxAAxx
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm
.
,
征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA
,0,)3(可逆时当 A 可得由 xAx
,11 xAAxA ),( 1 xx
xxA 11
.
,1111
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA
,0,)4(可逆时当 A 可得由 xAx
,** xAAxA ),( * xAxA
,* xAxA
.
,**
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故
A
AxA
A
(5) 类似可证,
xEaAaAaxAf nnnn )()( 011
ExaxAaxAa nnnn 011
xaxaxa nnnn 011
xaaa nnnn )( 011 xf )(
.
)()(,)()(
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 fAfxAff
.5,,5
,2,1,1 3,3
*23 EABAAAB
Aex
与的特征值计算设矩阵的特征值为阶矩阵已知
Solution.,22)1(1A?
,*?AA 的特征值,1,2,2即
,,2,1,1 时的特征值为当?A,8,1,1 3?的特征值为A
,4,1,1 2 的特征值为A
,12,6,4的特征值为B 2 8 8)12)(6)(4(B
,3,6,4 )5( 的特征值为EA
.72)3)(6)(4(5 EA
.0,)2(
,10,( 1 ),4 2
的特征值全为则若和的特征值只有则若
AOA
AAAex
k?
Solution,则对应的特征向量为有特征值设,,xA?
xAx
,( 1 ) 得左乘 A )(2 xAxA x2
,2 AA?又 xAx 2 xx 2
,0)1( x
,Ox?又,0)1(,1,0 或
,1( 2) 得次左乘 Ak? xxA kk
,OA k,Oxk,Ox?又,0
,0,0,.5 则若的特征值为方阵设 AAex
Proof,xAx
法 1.,0反设 )( 1 xAx则,0)( 1 xA?
,0 矛盾与?x,0
法 2.,0反设,0 xAx?则,0?x又
,00 解有非则?Ax,0?A故,0 矛盾与?A,0
法 3.,0反设,0)1(0 AAAE n故
,0 矛盾与?A,0
法 4.,021 nA,0 i?
ex6,设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
0111 aaaAEf nnnA
.的特征多项式求 A T
Solution, AEf TA T
0111 aaa nnn
TAE
AE
.1,1,.7 的特征值是证明已知 AAEAAex
Proof, AE? AEn )1( 0
AAAAE 而 AEA )(
AEA )( AEA )( AAE
AE
0 AE
0 AE
.1 的特征值是即 A
.,0,2
,03,4
的一个特征值求满足条件阶方阵设
AAEAA
AEA
T
思考题
.,0 可逆故 AA
,3 的一个特征值是 A?
,162 2 EAAEAA TT 得又由
,162?A即
.34有一个特征值为故 A?
Solution.
知由 AEAE 303
,4A于是
,4,0 AA 因此但 The end
方阵的特征值与特征向量教学要求：
1,理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质 ;
2,会求方阵的特征值和特征向量,
,义特征值与特征向量的定一
,质特征值与特征向量的性二
,法特征值与特征向量的求三
,义特征值与特征向量的定一
.
,,,
,
的特征向量的对应于特征值称为非零向量的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果存在数阶方阵是设
A
xA
xAx
xnnA
定义,
注意
.,0 言的特征值问题是对方阵而特征向量?x
,质特征值与特征向量的性二
.)0(
,.1
00
00
的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是如果
Akkp
Ap
Proof.,000 pAp
)()( 00 ApkkpA )( 00 pk )( 00 kp
.00 的特征向量的对应于是?Akp?
,
)0,(
,.2
0212211
021
特征向量的的对应于也是不同时为则的两个特征向量的对应于特征值是与如果
Akkpkpk
App
Proof.,101 pAp
)( 2211 pkpkA
)()( 202101 pkpk )( 22110 pkpk
,202 pAp
)()( 2211 ApkApk
.02211 的特征向量的对应于是?Apkpk
推广,
.)0,(
,,,,
01
2211
021
的特征向量的对应于也是不同时为则非零线性组合的特征向量的对应于是如果
Akk
pkpkpk
Appp
s
ss
s
.,,,
,,,,
,,,,3.
21
21
21
线性无关则向量依次是与之对应的特征个特征值的各不相同的是方阵若
m
m
m
ppp
ppp
mA
Proof,使设有常数 mxxx,,,21?
.02211 mm pxpxpx?
,0 2211 mm pxpxpxA?则
,0 222111 mmm pxpxpx即类推之,有,0222111 mmkmkk pxpxpx
1,,2,1 mk?
把上述各式合写成矩阵形式，得
mm
m
m
mm
m
px
px
px
22
11
11
2
1
1
21
111
0
0
0
于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端的系数矩
.
,0,,i?
,0,,0,0,,,2211 mm pxpxpx
.,,2,10 mjpx jj即,0?jp但.,,2,10 mjx j故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp?
注意
(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
,法特征值与特征向量的求三
,xAx
,)( OxAE
,,解即上述矩阵方程有非零Ox
也就是含有 n个未知数 n个方程的方程组有非 0解,
.0 AE? 0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
即由此可求得特征值,; 的特征多项式叫做 AAE; )( 的特征矩阵叫做 AAE
,0 的特征方程叫做 AAE
,0 )( 解的非特征向量即为 OxAE
,)( OxAEi 代入方程现将已求得的特征值
,0 1?的解若求得一个非 的全部特征向量为则对应于 i?
).0( 1?kk?
,,0 21的解若求得两个非 的全部特征向量为则对应于 i?
).0,( 212211 不同时为kkkk
,)(,21 的一个基础解系就是且 OxAEi
求特征值与特征向量的步骤,
0; )1( AEA?的特征方程写出; 0 )2( iλAE 的全部根求出
,0
,,)( )3(
的全部特征向量线性组合即为对应于其非求得一个基础解系代入将每个
i
i OxAE
,
1111
1111
1111
1111
,1
量的全部特征值与特征向求矩阵
Aex
Solution,
1111
1111
1111
1111
AE?
)2()2( 3
,0 得令 AE?,2,2 4321 为全部特征值
.)2(,2)1( 1 OxAE 有时当?
3111
1311
1131
1113
)2( AE而
0000
1100
1010
1001
44
43
42
41
xx
xx
xx
xx
从而
1
1
1
1
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
).0( )1,1,1,1(21 kk的全部特征向量为对应于?
.)2(,2)2( 432 OxAE 有时当
1111
1111
1111
1111
)2( AE而
0000
0000
0000
1111
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
从而
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
432
4
3
2
1
xxx
x
x
x
x
2 的全部特征向量为对应于
).0,,(
)( 1,0,0,1)( 1,0,1,0)0,0,1,1(
321
321
不同时为kkk
kkk
.
201
034
011
,2 的特征值和特征向量求矩阵
Aex
Solution,的特征多项式为A
.1,2 321的特征值为所以 A
.0)2(,21 xAE解方程组时当?
201
034
011
AE
,)1)(2( 2
001
014
013
)2( AE
33
2
1
0
0
xx
x
x
从而
.2)0( 1111 的全部特征向量是对应于所以kpk
,0)(,132 xAE解方程组时当
,
000
010
001
,
1
0
0
3
3
2
1
x
x
x
x
,
1
0
0
1
p基础解系为
101
024
012
)( AE
33
32
31
2
xx
xx
xx
从而
.1)0( 32222 的全部特征向量是对应于所以kpk
,
000
210
101
,
1
2
1
2
p基础解系为
,
1
2
1
3
3
2
1
xx
x
注意,
,)1( 0 的特征值是若 A AE0?则
)( 0 AEr OxAE )( 0?
,0
,n? 有非 0解,
的为则称重根的为若 00,0)2( kkAE.代数重数的称其为的个数为的基础解系中所含向量得对应于
00
00
),(
)(,
AEr a n kn
OxAE
.几何重数结论 1,方阵 A的特征值的几何重数不超过它的代数重数,
结论 2,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素,
结论 3.,的特征值相同与方阵 AA?
结论 4.
,,,,)( 21
则有的特征值为阶方阵设 nijaAn; )1( 221121 nnn aaa
,)2( 21 An
结论 5,若? 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于?的特征向量,则
,)1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
.,)3( 11 的特征值是可逆时当 AA?
,)2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)4( *1 的特征值是可逆时当 AAA
.)()(,)5( 的特征值是为多项式函数时当 Afff?
Proof.,)1( xAx
),()( xkAxk,)()( xkxkA
,的特征值是 kAk
,)2( xAx
xAAxAAxx
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm
.
,
征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA
,0,)3(可逆时当 A 可得由 xAx
,11 xAAxA ),( 1 xx
xxA 11
.
,1111
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA
,0,)4(可逆时当 A 可得由 xAx
,** xAAxA ),( * xAxA
,* xAxA
.
,**
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故
A
AxA
A
(5) 类似可证,
xEaAaAaxAf nnnn )()( 011
ExaxAaxAa nnnn 011
xaxaxa nnnn 011
xaaa nnnn )( 011 xf )(
.
)()(,)()(
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 fAfxAff
.5,,5
,2,1,1 3,3
*23 EABAAAB
Aex
与的特征值计算设矩阵的特征值为阶矩阵已知
Solution.,22)1(1A?
,*?AA 的特征值,1,2,2即
,,2,1,1 时的特征值为当?A,8,1,1 3?的特征值为A
,4,1,1 2 的特征值为A
,12,6,4的特征值为B 2 8 8)12)(6)(4(B
,3,6,4 )5( 的特征值为EA
.72)3)(6)(4(5 EA
.0,)2(
,10,( 1 ),4 2
的特征值全为则若和的特征值只有则若
AOA
AAAex
k?
Solution,则对应的特征向量为有特征值设,,xA?
xAx
,( 1 ) 得左乘 A )(2 xAxA x2
,2 AA?又 xAx 2 xx 2
,0)1( x
,Ox?又,0)1(,1,0 或
,1( 2) 得次左乘 Ak? xxA kk
,OA k,Oxk,Ox?又,0
,0,0,.5 则若的特征值为方阵设 AAex
Proof,xAx
法 1.,0反设 )( 1 xAx则,0)( 1 xA?
,0 矛盾与?x,0
法 2.,0反设,0 xAx?则,0?x又
,00 解有非则?Ax,0?A故,0 矛盾与?A,0
法 3.,0反设,0)1(0 AAAE n故
,0 矛盾与?A,0
法 4.,021 nA,0 i?
ex6,设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
0111 aaaAEf nnnA
.的特征多项式求 A T
Solution, AEf TA T
0111 aaa nnn
TAE
AE
.1,1,.7 的特征值是证明已知 AAEAAex
Proof, AE? AEn )1( 0
AAAAE 而 AEA )(
AEA )( AEA )( AAE
AE
0 AE
0 AE
.1 的特征值是即 A
.,0,2
,03,4
的一个特征值求满足条件阶方阵设
AAEAA
AEA
T
思考题
.,0 可逆故 AA
,3 的一个特征值是 A?
,162 2 EAAEAA TT 得又由
,162?A即
.34有一个特征值为故 A?
Solution.
知由 AEAE 303
,4A于是
,4,0 AA 因此但 The end
