Chapter 4(5)
特征值与矩阵对角化习题课一、内容小结
1,正交矩阵的定义与性质
3,相似矩阵的定义与性质
4,矩阵可对角化的条件
2,特征值特征向量的定义与性质
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质二、题型与方法
2,判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似
1,求特征值特征向量
3,实对称矩阵的对角化（ 可逆变换与正交变换 ）
.,
,
400
00
005
124
22
421
.
yx
yxA
求相似与设方阵一
Solution.
524
242
425
4
xAE由
524
242
909
31
x
rr
124
442
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13
x
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442
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cc
]8)3)(4) [ (5( )20)(5( 2
)4)(5)(5(,0?
.4,5 321得,5 y; 321 可得或由A
,332211321 可得或由 aaa
.,)2,1,2(
,)1,2,2(,)2,2,1(;1,0,13.
3
21
321
Ap
pp
A
求方阵特征向量依次为对应的的特征值为阶方阵设二
Solution 1.,
212
122
221
),,( 321
pppP取
,
100
000
001
1
APP则有 1
1
212
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P又
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1
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202
102
201
9
1
.
066
630
603
9
1
或者
),,(),,( 332211321 ppppppA),0,( 31 pp
,
202
102
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1
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066
630
603
9
1
.,)1,1,1(
6,3,3,63.
1 Ap
A
求矩阵的特征向量为对应与特征值的特征值为阶实对称矩阵设三
Solution 1.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 32 pp的特征向量为故对应特征值
,
101
011
111
),,( 321
pppP取
,
300
030
006
1
APP则有,
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211
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411
141
114
Solution 2,),,(),,( 332211321 ppppppA
.),,( 1332211 PpppA
Solution 3.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有?
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 21的特征向量为故对应特征值
:,21 正交化得将,)0,1,1(11
,)1,21,21(),( ),( 1
11
2122
:,211 单位化得将p,)31,31,31(1
,)0,21,21(2,)62,61,61(3
,
6
2
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411
141
114
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122
221
212
,8910 AAAAA
设四
Solution,0)1)(1)(5(
122
221
212
AE由
,1,1,5 321得
,)1,1,1( 5 11 p的特征向量为对应?
,)0,1,1( 1 22 p的特征向量为对应?
,)2,1,1( 1 33 p的特征向量为对应?
,),,,( 1321 APPpppP 使得存在可逆阵
,1 PPA则
,
100
010
005
且
3
1
6
1
6
1
3
2
6
7
6
1
3
1
3
1
3
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1
P
8910 56)( AAAA
1819110 56 PPPPPP
18910 )56( PP
1
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000
201
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113
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111
113
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422
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The end
特征值与矩阵对角化习题课一、内容小结
1,正交矩阵的定义与性质
3,相似矩阵的定义与性质
4,矩阵可对角化的条件
2,特征值特征向量的定义与性质
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质二、题型与方法
2,判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似
1,求特征值特征向量
3,实对称矩阵的对角化（ 可逆变换与正交变换 ）
.,
,
400
00
005
124
22
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.
yx
yxA
求相似与设方阵一
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524
242
425
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3
21
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,)0,1,1( 1 22 p的特征向量为对应?
,)2,1,1( 1 33 p的特征向量为对应?
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