Chapter 4(3)
相似矩阵与矩阵对角化教学要求：
1,了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的充要条件,
,相似矩阵的定义与性质一
,矩阵的对角化二
,相似矩阵的定义与性质一
1,定义
,,
,
,,,
1
相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶方阵都是设
BAAB
BAPP
PnBA
,~ BA记为
.
,1
的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对
BAP
AAPPA?
2,性质;~ )1( AA,)( 1 AAEE;~,~ )2( ABBA 则若
,( 1 BAPP,1 AP B P,))( 111 ABPP即;~,~,~ )3( CACBBA 则若
,( 1 BAPP,1 CBQQ
,11 CA P QPQ,))()( 1 CPQAPQ即
);)(()4( 2111211 PAPPAPPAAP
;)5( 21211122111 PAPkPAPkPAkAkP
.,21 是任意常数其中 kk;,~ )6( BABA?则若
,( 1 BAPP,)11 APAPAPPB;~,~ )7( mm BABA 则若
,( 1 BAPP
APPAPPAPPB m 111,)1 PAP m;~,~ )8( 11 BABA 则若
,( 1 BAPP,)111 PAPB;),(~)(,~ )9( 为多项式函数其中则若 fBfAfBA;,~ )10( 的特征值相同与则若 BABA
,( 1 BAPP
APPEBE 1 11 APPEPP
)(1 PAEP,)A
反之不一定成立 !,10
11
10
01?
与如;,,,
),,,,(~ )11(
21
21
个特征值的是则若
nA
d i agA
n
n
n
AE
1
(
)()( 1 n
,),,0 1 的特征值是得令 AAE n
,,.1 相似与证明可逆如果 BAABAex
Proof.,)(1 BAAABA
,相似与 BAAB?
,矩阵的对角化二
,,~,可对角化则称即相似与对角阵若 AAA
.,
,,
1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对
AAPP
PAn
定理 1.
.
)(
个线性无关的特征向量有能对角化即与对角阵相似阶方阵
nA
AAn
Proof.,),,,( 21 相似与设 ndiagA
,,1 APPP 使则存在可逆阵
, PAP则
,,,,21 npppPP用其列向量表示为把
n
nn ppppppA
2
1
2121,,,,,,即
,,,,2211 nn ppp
nn ApApAppppA,,,,,,2121
nn ppp,,,2211
,,,2,1 nipAp iii于是有
.
,
的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见
i
ii
A
pPA
,可逆又 P,0 P
.,,,21 线性无关nppp
.立反推回去即得充分性成?
,;
.,1
的特征值的对角线上的元素是对角矩阵作为列构成个线性无关的特征向量的由阵的最简单形式为对角矩的满足可见
A
nAP
BBAPP
注意 P与?的对应写法 !
结论 1,若 n阶矩阵 A有 n个互不相等的特征值,
则 A与对角阵相似,
说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．A
A
n
n
A
结论 2.
.重数的几何重数等于其代数的每个特征值与对角阵相似阶矩阵
iA
An
结论 3,实对称矩阵一定可对角化,
.,
,1,,2,1,0,2
BEAB
nnAnex
求相似与且方阵个特征值有阶方阵设?
Solution,!321 nnBE
ex3,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
Solution.
AE由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
有代入将,0221 xAE
442
442
221
)2( AE
000
000
221
213)2(3 221 AEr的几何重数为
=其代数重数,
因而 A可对角化,
有代入将,073 xAE
542
452
228
)7( AE
000
110
452
1)7(3 73 AEr的几何重数为? =其代数重数,
201
335
212
)2(
AE
31
.1321的特征值为所以 A
有代入把,01 xAE
,31)(3 1 代数重数的几何重数为 AEr?
故 不能化为对角矩阵,A
101
325
213
AE
000
110
101
,
163
053
064
,4
Aex 设 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵 P,
.1 为对角阵使 APP?
Solution.
163
053
064
AE?
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
0121 得方程组的系数阵为代入将 xAE
063
063
063
)( AE
000
000
021
33
22
21 2
xx
xx
xx
得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
32
3
2
1
xx
x
x
x
,023 得方程组的系数阵为代入将 xAE
363
033
066
)2( AE
000
110
101
33
32
31
xx
xx
xx
.
1
1
1
3
.,,321 线性无关由于
,
110
101
102
,,321
P令,
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
1
1
1
3
3
2
1
x
x
x
x
得基础解系注意
,
,,213
P若令
1
1
1?
0
1
2?
1
0
0
.
1
APP则有
0
0
0
0
0
02?
1
1
即矩阵 P 的 列向量 和对角矩阵中 特征值 的位置要相互对应．
,
11
11
321
,5
x
xAex 设 且知 A有一特征值为 1,求 x的值及 A的其它特征值,并判断
A是否能与对角阵相似？
Solution.,0,1 AEA 有特征值?
x
xAE
111
10
320
而
)2)(12( xx
.21 2 xx 或
,
211
112
321
,2
Ax 时当
211
112
321
AE
)4)(1)(1(
.4,1,1 321特征值为
.,2 可对角化时且当 Ax?,
2
1
11
11
2
1
321
,
2
1
Ax 时当
2
1
11
11
2
1
321
AE
)52)(1(21 2
.25,1,1 321特征值为
.,21 可对角化时且当 Ax?
.,
340
430
241
,6 1 0 0AAex 求设
Solution,)5)(5)(1( AE?
.5,5,1 321的特征值为A
.)1,2,1(
,)2,1,2(
,)0,0,1(
3
2
1
p
p
p可分别求得特征向量
,
120
210
121
P存在,
500
050
001
1
APP使得
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
1
P而
11 0 01 0 0 PPA
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
500
050
001
120
210
121
100
100
.
500
050
1501
1 0 0
1 0 0
1 0 0
The end
相似矩阵与矩阵对角化教学要求：
1,了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的充要条件,
,相似矩阵的定义与性质一
,矩阵的对角化二
,相似矩阵的定义与性质一
1,定义
,,
,
,,,
1
相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶方阵都是设
BAAB
BAPP
PnBA
,~ BA记为
.
,1
的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对
BAP
AAPPA?
2,性质;~ )1( AA,)( 1 AAEE;~,~ )2( ABBA 则若
,( 1 BAPP,1 AP B P,))( 111 ABPP即;~,~,~ )3( CACBBA 则若
,( 1 BAPP,1 CBQQ
,11 CA P QPQ,))()( 1 CPQAPQ即
);)(()4( 2111211 PAPPAPPAAP
;)5( 21211122111 PAPkPAPkPAkAkP
.,21 是任意常数其中 kk;,~ )6( BABA?则若
,( 1 BAPP,)11 APAPAPPB;~,~ )7( mm BABA 则若
,( 1 BAPP
APPAPPAPPB m 111,)1 PAP m;~,~ )8( 11 BABA 则若
,( 1 BAPP,)111 PAPB;),(~)(,~ )9( 为多项式函数其中则若 fBfAfBA;,~ )10( 的特征值相同与则若 BABA
,( 1 BAPP
APPEBE 1 11 APPEPP
)(1 PAEP,)A
反之不一定成立 !,10
11
10
01?
与如;,,,
),,,,(~ )11(
21
21
个特征值的是则若
nA
d i agA
n
n
n
AE
1
(
)()( 1 n
,),,0 1 的特征值是得令 AAE n
,,.1 相似与证明可逆如果 BAABAex
Proof.,)(1 BAAABA
,相似与 BAAB?
,矩阵的对角化二
,,~,可对角化则称即相似与对角阵若 AAA
.,
,,
1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对
AAPP
PAn
定理 1.
.
)(
个线性无关的特征向量有能对角化即与对角阵相似阶方阵
nA
AAn
Proof.,),,,( 21 相似与设 ndiagA
,,1 APPP 使则存在可逆阵
, PAP则
,,,,21 npppPP用其列向量表示为把
n
nn ppppppA
2
1
2121,,,,,,即
,,,,2211 nn ppp
nn ApApAppppA,,,,,,2121
nn ppp,,,2211
,,,2,1 nipAp iii于是有
.
,
的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见
i
ii
A
pPA
,可逆又 P,0 P
.,,,21 线性无关nppp
.立反推回去即得充分性成?
,;
.,1
的特征值的对角线上的元素是对角矩阵作为列构成个线性无关的特征向量的由阵的最简单形式为对角矩的满足可见
A
nAP
BBAPP
注意 P与?的对应写法 !
结论 1,若 n阶矩阵 A有 n个互不相等的特征值,
则 A与对角阵相似,
说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．A
A
n
n
A
结论 2.
.重数的几何重数等于其代数的每个特征值与对角阵相似阶矩阵
iA
An
结论 3,实对称矩阵一定可对角化,
.,
,1,,2,1,0,2
BEAB
nnAnex
求相似与且方阵个特征值有阶方阵设?
Solution,!321 nnBE
ex3,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
Solution.
AE由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
有代入将,0221 xAE
442
442
221
)2( AE
000
000
221
213)2(3 221 AEr的几何重数为
=其代数重数,
因而 A可对角化,
有代入将,073 xAE
542
452
228
)7( AE
000
110
452
1)7(3 73 AEr的几何重数为? =其代数重数,
201
335
212
)2(
AE
31
.1321的特征值为所以 A
有代入把,01 xAE
,31)(3 1 代数重数的几何重数为 AEr?
故 不能化为对角矩阵,A
101
325
213
AE
000
110
101
,
163
053
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,4
Aex 设 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵 P,
.1 为对角阵使 APP?
Solution.
163
053
064
AE?
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
0121 得方程组的系数阵为代入将 xAE
063
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)( AE
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021
33
22
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xx
xx
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,
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,
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xx
x
x
x
,023 得方程组的系数阵为代入将 xAE
363
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110
101
33
32
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xx
xx
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,
110
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,,321
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1
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,
,,213
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0
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02?
1
1
即矩阵 P 的 列向量 和对角矩阵中 特征值 的位置要相互对应．
,
11
11
321
,5
x
xAex 设 且知 A有一特征值为 1,求 x的值及 A的其它特征值,并判断
A是否能与对角阵相似？
Solution.,0,1 AEA 有特征值?
x
xAE
111
10
320
而
)2)(12( xx
.21 2 xx 或
,
211
112
321
,2
Ax 时当
211
112
321
AE
)4)(1)(1(
.4,1,1 321特征值为
.,2 可对角化时且当 Ax?,
2
1
11
11
2
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321
,
2
1
Ax 时当
2
1
11
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2
1
321
AE
)52)(1(21 2
.25,1,1 321特征值为
.,21 可对角化时且当 Ax?
.,
340
430
241
,6 1 0 0AAex 求设
Solution,)5)(5)(1( AE?
.5,5,1 321的特征值为A
.)1,2,1(
,)2,1,2(
,)0,0,1(
3
2
1
p
p
p可分别求得特征向量
,
120
210
121
P存在,
500
050
001
1
APP使得
,
5
1
5
2
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5
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1
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301
1
P而
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,
5
1
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1
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001
120
210
121
100
100
.
500
050
1501
1 0 0
1 0 0
1 0 0
The end
