第八章随机模拟技术
8.1 随机模拟概述
8.2 蒙特卡洛模拟
8.3 库存问题的随机模拟
8.4 排队问题的随机模拟
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.1 随机模拟概述一、什么是随机模拟？
模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术系统模拟物理模拟数学模拟解析模拟随机模拟
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术离散型随机模拟连续型随机模拟二、随机模拟的分类状态变量的变化性质变量是否随时间变化动态随机模拟静态随机模拟问题识别是否采用模拟技术？
建立模型确定随机变量及其分布产生均匀随机数产生随机变量的模拟数据模型演算试验结果分析是否满意？
采用解析法或其他数值解法三、随机模拟的步骤决策修正试验参数模型修正
Y
N
Y
N N
模拟
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.2 蒙特卡洛模拟一、蒙特卡洛模拟概述二、随机数的产生三、蒙特卡洛模拟实例
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术一、蒙特卡洛模拟概述蒙特卡洛模拟的起源：普丰投针试验
x
F(x)
1
1
N
n
S
Nn
heart
≈易知：
，总数与落入正方形内随机点随机点数计算落于心型区域内的随机点，可以在正方形内均匀选
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术为了估算某道路口每天的车流量，对道路口每分钟通过的车辆数做了100次的统计，如表所示：
引例每分钟通过车数
30~39 40~49 50~59 60~69 70及以上发生次数
5254028 2
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术概率分布表如下：
每分钟通过车辆数 概率
30~39 0.05
40~49 0.25
50~59 0.4
60~69 0.28
70及以上 0.02
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术概率分布和随机数取值每分钟通过车辆次数概率 累积概率 随机数取值
30~39 0.05 0.05
0.30
0.70
0.98
1
01~05
40~49 0.25 06~30
50~59 0.4 31~70
60~69 0.28 71~98
70及以上 0.02 99~100
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术如何有效地产生与真实系统相似的输入变量？
即如何产生具有一定分布的随机数？
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术二、随机数的产生方法
1、均匀分布随机数及其产生方法均匀分布随机数是在[0，1]区间内，以同样的概率产生的一系列随机数，其概率密度和分布函数为：
>
≤≤
=
≤≤
=
1,0
10,
)(
,0
10,1
)(
x
xx
xF
x
xf
其他
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术随机数表随机数发生器利用数学的方法产生随机数
“Rand Table”
1、放射性物质随机蜕变
、放射性物质随机蜕变
2、电子管回路的热噪声
、电子管回路的热噪声
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
2、给定概率分布的随机数逆转换法上服从均匀分布。在变量，则定义的随机是由的随机变量，为及分布函数是具有概率密度函数定理：设
]1,0[
)(
Y
XFYYF
fX
=
求得。由
，然后变量区间上均匀分布的随机，产生的随机变量，就要由此，要产生服从分布
)(
]10[
1
RF
R
F
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术证明
)(
1
RFY
X
=记
))(())(( xFFxFRP
XRX
=≤=
成立即XY
xFxFF
XXR
=
=∴ )())((
≥
≤≤
≤
=
11
10
00
)(
x
xx
x
xF
R
))(()()(
1
xRFPxYPxF
XY
≤=≤=
1)(0 ≤≤ xF
X
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
（1）连续型随机变量的模拟
1
r
X
F
1?
X
F
0
r
0
x
1
x
x
0
1
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术例1：求任意区间[a,b]内的均匀分布随机变量的模拟数据。
其分布密度函数为：均匀分布的随机变量，
上是。区间的均匀随机数记作，解：将],[]10[ baxR
≤≤
=
其他0
,
1
)(
bxa
ab
xf
>
≤≤
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
,0
)(
Rabax
bx
ax
xFR )(,)(?+=
==得令
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术例2：产生参数为u的负指数分布的模拟数据。
x
exf
μ
μ
=)(
x
exF
μ?
=1)(
RxeR
R
eRexFR
x
xx
ln
1
,
1
1,1)(
μ
μ
μμ
==
===
则也来自均匀分布，故令因为即令
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
（2）离散型随机变量的模拟
0
x
1
其方法为：的随机数为基础产生该随机变量区间上均匀分布随机数，现在欲以
，其中，知为离散型随机变量，已设
,
,,]10[
1,0,}{
21
nullxx
pppaZPZ
i
iiii ∑
=≥==
++<≤+++
+<≤
<≤
=
+
…
nullnull
null
ikii
k
k
i
ppxpppa
ppxpa
pxa
Z
1121
2112
11;
0;
当当当
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
3、蒙特卡洛模拟实例某生产电子产品的企业，要对某型号的产品平均无故障运行时间做出估计。该产品由A、B、C三个部件串联而成。因此，当这三个部件中任何一个部件发生故障而失效时，则该电子产品也即告失效。如果根据该产品投入运行后再对其无故障运行时间做出估计，则费用较高。现在企业已经得到每一种部件的有关运行试验记录资料，其中包括用来确定部件失效时间的概率分布。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
A部件 B部件 C部件失效时间 概率 随机数 失效时间 概率 随机数 失效时间 概率 随机数
4 0.1 01~10 2 0.05 01~05 6 0.2 01~20
5 0.2 11~30 3 0.1 06~15 7 0.3 21~50
6 0.3 31~60 4 0.2 16~35 8 0.25 51~75
7 0.2 61~80 5 0.3 36~65 8 0.15 76~90
8 0.15 81~95 6 0.25 66~90 10 0.1 91~00
9 0.05 96~00 7 0.1 91~00
部件失效概率分布和随机数取值表产品序号 A随机数 A失效时间 B随机数 B失效时间 C随机数 C失效时间 产品失效时间
1 33 6 24 4 52 8 4
2 50 6 72 6 85 9 6
3 13 5 19 4 79 9 4
4 82 8 20 4 86 9 4
5 59 6 91 7 72 8 6
6 30 5 88 6 20 6 5
7 24 5 95 7 12 6 5
8 02 4 38 5 21 7 4
9 15 5 41 5 99 10 5
10 38 6 51 5 58 8 5
11 12 5 08 3 04 6 3
12 85 8 23 4 36 7 4
13 92 8 55 5 01 6 5
14 79 7 27 4 84 9 4
15 59 6 80 6 13 6 6
16 11 5 26 4 06 6 4
17 97 9 54 5 15 6 5
18 39 6 47 5 73 8 5
19 71 7 14 3 64 8 3
产品失效时间仿真表
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术结论：产品失效时间为4.6个月
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.3 库存问题的随机模拟有某种货物的存贮系统，市场对这种货物的需求量和订货提前期都是随机的，它们的概率分布如下：
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求量 概率累积概率
0 0.02 0.02
1 0.08 0.10
2 0.22 0.32
3 0.34 0.66
4 0.18 0.84
5 0.09 0.93
6 0.07 1.00
提前期 概率 累积概率
1 0.23 0.23
2 0.45 0.68
3 0.17 0.85
4 0.09 0.94
5 0.06 1.00
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术现在考虑订货、存贮、缺货损失三项费用：订货费用每次25元，订货量每次20单位，订货点为15单位。（即存货低于15单位时订货，但已订货未到前不再订）存贮费每件每周10元，缺货损失费每件每周500元。对于缺货，货到后不补，设开始时存货为20单位。试利用所给随机数R1（在下表内）模拟需求量，R2（50，
86，15…… ）模拟订货提前期。模拟14周的运行情况：
并求订货费用、存贮费用、缺货费用以及周平均费用。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求 订货提前期随机数
R
1
需求量 是否订货
R
2
提前期缺货量
020
168
252
390
459
508
672
744
到货量存贮量周
—
4
3
5
3
1
4
3
—
16
13 √√
50 2
8
25
24
20
17
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求 订货提前期随机数 R1
需求量是否订货
R
2
提前期缺货量
895
981
10 94
11 28
12 89
13 60
14 03
到货量存贮量周
6
4
6
2
5
3
1
11
√
√
86
4
7
1
0
15
12
√
√
1
15 1
31
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
×× ×可求得：订货费用25 3=75，存贮费用10 200=2000，缺货费用500 1=500
1
周平均费用 （75+2000+500）=183.9。
14
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.4 排队问题的随机模拟有一单服务台的排队系统，根据经验资料知道到达的间隔时间和服务时间的概率分布如下表，其他条件符合标准情形。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术到达间隔概率累积概率对应随机数(a)
2 0.4
6 0.3
10 0.2
14 0.1
服务时间概率累积概率对应随机数(b)
1 0.4
3 0.4
5 0.2
0.4
0.7
0.9
1.0
0.0-0.4
0.4-0.7
0.7-0.9
0.9-1.0
0.4
0.8
1.0
0.0-0.4
0.4-0.8
0.8-1.0
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
(1)今由随机数表任选两组随机数
RNa：902,321,211,021,198,383,107,799,439
RNb：612,484,048,605,583,773,054,853,313,200
试根据这两组随机数分别产生表示开始十位顾客的到达间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。
(2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少分钟？
(3)求系统空闲的概率P
0
。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术服务时间顾客
RNa AT 进入系统时刻
RNb ST
开始 结束系统空闲时间
1
—
612
2 902 484
3 321 048
4 211 605
5 021 583
6 198 773
7 383 054
8 107 853
9 799 313
10 439 200
—
14
2
2
2
2
2
2
10
6
0
14
16
18
20
22
24
26
36
42
3
3
1
3
3
3
1
5
1
1
0
14
17
18
21
24
27
28
36
42
3
17
18
21
24
27
28
33
37
43
11
3
5
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。
（见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所需的有关数据。
求解结果：
(1)AT与ST见表
(2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟
(3)空闲率P
0
=（11+3+5）/43=19/43=0.44
8.1 随机模拟概述
8.2 蒙特卡洛模拟
8.3 库存问题的随机模拟
8.4 排队问题的随机模拟
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.1 随机模拟概述一、什么是随机模拟？
模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术系统模拟物理模拟数学模拟解析模拟随机模拟
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术离散型随机模拟连续型随机模拟二、随机模拟的分类状态变量的变化性质变量是否随时间变化动态随机模拟静态随机模拟问题识别是否采用模拟技术？
建立模型确定随机变量及其分布产生均匀随机数产生随机变量的模拟数据模型演算试验结果分析是否满意？
采用解析法或其他数值解法三、随机模拟的步骤决策修正试验参数模型修正
Y
N
Y
N N
模拟
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8.2 蒙特卡洛模拟一、蒙特卡洛模拟概述二、随机数的产生三、蒙特卡洛模拟实例
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术一、蒙特卡洛模拟概述蒙特卡洛模拟的起源：普丰投针试验
x
F(x)
1
1
N
n
S
Nn
heart
≈易知：
，总数与落入正方形内随机点随机点数计算落于心型区域内的随机点，可以在正方形内均匀选
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术为了估算某道路口每天的车流量，对道路口每分钟通过的车辆数做了100次的统计，如表所示：
引例每分钟通过车数
30~39 40~49 50~59 60~69 70及以上发生次数
5254028 2
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术概率分布表如下：
每分钟通过车辆数 概率
30~39 0.05
40~49 0.25
50~59 0.4
60~69 0.28
70及以上 0.02
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术概率分布和随机数取值每分钟通过车辆次数概率 累积概率 随机数取值
30~39 0.05 0.05
0.30
0.70
0.98
1
01~05
40~49 0.25 06~30
50~59 0.4 31~70
60~69 0.28 71~98
70及以上 0.02 99~100
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术如何有效地产生与真实系统相似的输入变量？
即如何产生具有一定分布的随机数？
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术二、随机数的产生方法
1、均匀分布随机数及其产生方法均匀分布随机数是在[0，1]区间内，以同样的概率产生的一系列随机数，其概率密度和分布函数为：
>
≤≤
=
≤≤
=
1,0
10,
)(
,0
10,1
)(
x
xx
xF
x
xf
其他
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术随机数表随机数发生器利用数学的方法产生随机数
“Rand Table”
1、放射性物质随机蜕变
、放射性物质随机蜕变
2、电子管回路的热噪声
、电子管回路的热噪声
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2、给定概率分布的随机数逆转换法上服从均匀分布。在变量，则定义的随机是由的随机变量，为及分布函数是具有概率密度函数定理：设
]1,0[
)(
Y
XFYYF
fX
=
求得。由
，然后变量区间上均匀分布的随机，产生的随机变量，就要由此，要产生服从分布
)(
]10[
1
RF
R
F
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术证明
)(
1
RFY
X
=记
))(())(( xFFxFRP
XRX
=≤=
成立即XY
xFxFF
XXR
=
=∴ )())((
≥
≤≤
≤
=
11
10
00
)(
x
xx
x
xF
R
))(()()(
1
xRFPxYPxF
XY
≤=≤=
1)(0 ≤≤ xF
X
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（1）连续型随机变量的模拟
1
r
X
F
1?
X
F
0
r
0
x
1
x
x
0
1
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术例1：求任意区间[a,b]内的均匀分布随机变量的模拟数据。
其分布密度函数为：均匀分布的随机变量，
上是。区间的均匀随机数记作，解：将],[]10[ baxR
≤≤
=
其他0
,
1
)(
bxa
ab
xf
>
≤≤
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
,0
)(
Rabax
bx
ax
xFR )(,)(?+=
==得令
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术例2：产生参数为u的负指数分布的模拟数据。
x
exf
μ
μ
=)(
x
exF
μ?
=1)(
RxeR
R
eRexFR
x
xx
ln
1
,
1
1,1)(
μ
μ
μμ
==
===
则也来自均匀分布，故令因为即令
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（2）离散型随机变量的模拟
0
x
1
其方法为：的随机数为基础产生该随机变量区间上均匀分布随机数，现在欲以
，其中，知为离散型随机变量，已设
,
,,]10[
1,0,}{
21
nullxx
pppaZPZ
i
iiii ∑
=≥==
++<≤+++
+<≤
<≤
=
+
…
nullnull
null
ikii
k
k
i
ppxpppa
ppxpa
pxa
Z
1121
2112
11;
0;
当当当
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3、蒙特卡洛模拟实例某生产电子产品的企业，要对某型号的产品平均无故障运行时间做出估计。该产品由A、B、C三个部件串联而成。因此，当这三个部件中任何一个部件发生故障而失效时，则该电子产品也即告失效。如果根据该产品投入运行后再对其无故障运行时间做出估计，则费用较高。现在企业已经得到每一种部件的有关运行试验记录资料，其中包括用来确定部件失效时间的概率分布。
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A部件 B部件 C部件失效时间 概率 随机数 失效时间 概率 随机数 失效时间 概率 随机数
4 0.1 01~10 2 0.05 01~05 6 0.2 01~20
5 0.2 11~30 3 0.1 06~15 7 0.3 21~50
6 0.3 31~60 4 0.2 16~35 8 0.25 51~75
7 0.2 61~80 5 0.3 36~65 8 0.15 76~90
8 0.15 81~95 6 0.25 66~90 10 0.1 91~00
9 0.05 96~00 7 0.1 91~00
部件失效概率分布和随机数取值表产品序号 A随机数 A失效时间 B随机数 B失效时间 C随机数 C失效时间 产品失效时间
1 33 6 24 4 52 8 4
2 50 6 72 6 85 9 6
3 13 5 19 4 79 9 4
4 82 8 20 4 86 9 4
5 59 6 91 7 72 8 6
6 30 5 88 6 20 6 5
7 24 5 95 7 12 6 5
8 02 4 38 5 21 7 4
9 15 5 41 5 99 10 5
10 38 6 51 5 58 8 5
11 12 5 08 3 04 6 3
12 85 8 23 4 36 7 4
13 92 8 55 5 01 6 5
14 79 7 27 4 84 9 4
15 59 6 80 6 13 6 6
16 11 5 26 4 06 6 4
17 97 9 54 5 15 6 5
18 39 6 47 5 73 8 5
19 71 7 14 3 64 8 3
产品失效时间仿真表
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术结论：产品失效时间为4.6个月
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8.3 库存问题的随机模拟有某种货物的存贮系统，市场对这种货物的需求量和订货提前期都是随机的，它们的概率分布如下：
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求量 概率累积概率
0 0.02 0.02
1 0.08 0.10
2 0.22 0.32
3 0.34 0.66
4 0.18 0.84
5 0.09 0.93
6 0.07 1.00
提前期 概率 累积概率
1 0.23 0.23
2 0.45 0.68
3 0.17 0.85
4 0.09 0.94
5 0.06 1.00
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术现在考虑订货、存贮、缺货损失三项费用：订货费用每次25元，订货量每次20单位，订货点为15单位。（即存货低于15单位时订货，但已订货未到前不再订）存贮费每件每周10元，缺货损失费每件每周500元。对于缺货，货到后不补，设开始时存货为20单位。试利用所给随机数R1（在下表内）模拟需求量，R2（50，
86，15…… ）模拟订货提前期。模拟14周的运行情况：
并求订货费用、存贮费用、缺货费用以及周平均费用。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求 订货提前期随机数
R
1
需求量 是否订货
R
2
提前期缺货量
020
168
252
390
459
508
672
744
到货量存贮量周
—
4
3
5
3
1
4
3
—
16
13 √√
50 2
8
25
24
20
17
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术需求 订货提前期随机数 R1
需求量是否订货
R
2
提前期缺货量
895
981
10 94
11 28
12 89
13 60
14 03
到货量存贮量周
6
4
6
2
5
3
1
11
√
√
86
4
7
1
0
15
12
√
√
1
15 1
31
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
×× ×可求得：订货费用25 3=75，存贮费用10 200=2000，缺货费用500 1=500
1
周平均费用 （75+2000+500）=183.9。
14
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
8.4 排队问题的随机模拟有一单服务台的排队系统，根据经验资料知道到达的间隔时间和服务时间的概率分布如下表，其他条件符合标准情形。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术到达间隔概率累积概率对应随机数(a)
2 0.4
6 0.3
10 0.2
14 0.1
服务时间概率累积概率对应随机数(b)
1 0.4
3 0.4
5 0.2
0.4
0.7
0.9
1.0
0.0-0.4
0.4-0.7
0.7-0.9
0.9-1.0
0.4
0.8
1.0
0.0-0.4
0.4-0.8
0.8-1.0
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术
(1)今由随机数表任选两组随机数
RNa：902,321,211,021,198,383,107,799,439
RNb：612,484,048,605,583,773,054,853,313,200
试根据这两组随机数分别产生表示开始十位顾客的到达间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。
(2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少分钟？
(3)求系统空闲的概率P
0
。
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术服务时间顾客
RNa AT 进入系统时刻
RNb ST
开始 结束系统空闲时间
1
—
612
2 902 484
3 321 048
4 211 605
5 021 583
6 198 773
7 383 054
8 107 853
9 799 313
10 439 200
—
14
2
2
2
2
2
2
10
6
0
14
16
18
20
22
24
26
36
42
3
3
1
3
3
3
1
5
1
1
0
14
17
18
21
24
27
28
36
42
3
17
18
21
24
27
28
33
37
43
11
3
5
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天津大学管理学院第八章 随机模拟技术解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。
（见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所需的有关数据。
求解结果：
(1)AT与ST见表
(2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟
(3)空闲率P
0
=（11+3+5）/43=19/43=0.44
