第三节 对偶问题与灵敏度分析一,对偶问题及其模型例 7：回顾例 1
0,
3 0 0103
2 0 054
3 6 049
..
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
21 127 xxM a x z
乙甲油电煤这时有另一家厂商提出要购买其煤、电、
油全部资源，并希望花费尽量少。试建立购买者的线性规划模型。
则总花费为分别为的价格解：设其购买三种资源
,,,,321 wyyy
0,,
54
49
..
21
21
21
1210
7 3
yyy
yyy
yyy
ts
321 300200360 yyyM in w
油电煤乙甲例 7称为例 1的对偶问题，记为
（ D），例 1称为例 7的原问题,
记为（ P）。
对偶模型的一般式则对偶问题为，记 ),,( 321 yyyY?以例 7为例，原问题为
0
..
X
bAX
ts
CXzm ax
（ P）
0
..
m in
Y
CYA
ts
Ybw（ D）
这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶模型。二者间具有十分对称的对应关系：
原问题（ P） 对偶问题 （ D）
目标 max型 目标 min型有 n个变量（非负） 有 n个约束（大于等于）
有 m个约束 （小于等于） 有 m个变量（非负）
价格系数 资源向量资源向量 价格系数技术系数矩阵 技术系数矩阵的转置此外，还有一种情形原问题（ P） 对偶问题 （ D）
第 j个变量为自由变量 第 j个约束为等式约束第 i个约束为等式约束 第 i个变量为自由变量例 8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
0
13
52
32
..
32
1
21
21
21
21
x
xx
xx
xx
ts
xxzm ax
例 8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
0
13
52
32
..
32m ax
x
xx
xx
xx
ts
xxz
则对偶目标为解：设对偶变量为,,,,wyyy
0,
3
22
..
53
21
321
321
321
yy
yyy
yyy
ts
yyyw
32
m in
二,对偶的性质
0
..
X
bAX
ts
CXzm ax
（ P）
0
..
Y
CYA
ts
Ybzm in
（ D）
考虑
1,对称性 （ P）与（ D）互为对偶。
.DP,2 YbCXYX?）的可行解，则），（分别是（，设弱对偶性证：由（ P）、（ D） 的约束可得 bAX? YY? X C
.,
,DP 3.
YYXX
bYXCYX
则
）的可行解，且）与（分别是（与若解的最优性
.XCbYCXX，由弱对偶性，证：对任可行解
., YYXX 同理，故几何意义,CX Yb
1
2
21
9 1,
,,
0
2,
0
M ax z CX Y
AX b
st
X
M ax z CX k
AX b k
s.t.
X
M ax z M ax z Y
例,设 线 性 规 划 问 题 为 是 其 对 偶 问 题 的 最 优 解 ；
又 设 线 性 规 划 问 题 为 其 中 是 已 知 常 向 量 。
求 证,k
。
0
.,
0
.,
21
Y
CYA
ts
Y
CYA
ts
YkYbM i n wYbM i n w ）（）（
的对偶问题分别是与问题证：问题
）的可行解。是（）的最优解）的约束相同，故（）与（（Y
，，而由解的最优性，由弱对偶性,M a x zbYkYbYM a x z
得证。
4.对偶定理 若（ P） 有最优解，则（ D） 也有最优解，
且最优值相同。
证：对（ P）增加松弛变量 Xs，化为
0,
..
XX
bIXAX
ts
CXM a x z
设其最优基为 B，终表为 XXC 0
IBAB 11 bBC?
IBCABCC 0
00
0
IBC
ABCC
其检验数为 满足则取 YBCY,1
0Y
CAY
zbBCbYY 1D ）的可行解，且是（即
.3 YY，由性质问题,(1) 由性质 4可知，对偶问题最优解的表达式 Y* =？
(2) 求 Y*是否有必要重新求解（ D）？
—— CBB-1
—— 不必。可以从原问题（ P） 的单纯形终表获得。
0,
2
5
..
21
21
21
xx
xx
xx
ts 105
153
212,5 xxM a xz例如，在前面的练习中已知 的终表为
5
1 0
5
2 1
5
3- 1
5
19 0
2
9
1
3
x
x
2.5
0
0,5- 0 0 0
X )09,0,2,(
5z
请指出其对偶问题的最优解和最优值。 5
)5.0,0(
w
Y
5.互补松弛定理
。最优解的充要条件是
、是和的可行解，则、分别是与若
0
)()()D()P(
XYXY
DPYXYX
ss
（自证）。
。故只有而即是最优解，所以、因为的约束化为等式：、证：将
0
,0,),()(
,
,,)D()P(
XYXY
XYXYXIXAYXIYAY
bYXCYX
CIYYAbIXAX
ss
ssss
ss
y1… y i… y m ym+1 … y m+j … yn+m
x1 … x j … x n xn+1…x n+i…x n+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量原始问题的变量 原始问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于 0，另一个一定等于 0
直观上
6,对偶问题的经济解释
（ 1）对偶最优解的经济解释 —— 资源的影子价格 （ Shadow Price）
CBB-1 —— 对偶问题的最优解 —— 买主的最低出价；
—— 原问题 资源的影子价格 —— 当该资源增加 1单位时引起的总收入的增量 —— 卖主的内控价格。
例 10：例 1（煤电油例）的单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）请指出资源煤电油的影子价格，并解释其经济意义。
（ 2）由单纯形终表还可得到哪些有用的信息？
例 10,例 1（煤电油例）的单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）请指出资源煤、电、油的影子价格，并解释其经济意义。
（ 2）由单纯形终表还可得到哪些有用的信息？
解：（ 1）煤、电、油的影子价格分别是 0,1.36,0.52；
其经济意义是当煤、电、油分别增加 1单位时可使总收入分别增加 0,1.36,0.52。
（ 2）由单纯形终表还可得到：原问题的最优生产计划、
最大收入、资源剩余，对偶问题的最低购买价格、最少的购买费用等。
y1
y2
ym
（ 2）对偶约束的经济解释 —— 产品的机会成本 (Opportunity Cost)
机会成本表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
mmjiijjj yayayaya2211
增加单位资源可以增加的利润减少一件产品可以节省的资源
0xxxx
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxas,t,
xcxcxcxczm a x
nj21
mnmnjmj2m21m1
2n2nj2j222121
1n1nj1j212111
nnjj2211
机会成本 利润差额成本
0
..
m i n
2121
2211
222222112
111221111
2211
nmmmm
nnmmmnnn
mmm
mmm
mm
yyyyyy
cyyayaya
cyyayaya
cyyayayats
ybybybw
（ 3）对偶松弛变量的经济解释 —— 产品的差额成本 （ Reduced Cost）
差额成本 =机会成本 － 利润
jj
T
jmjmjjjm caYcayayayy )( 2211?
00
00
0
00
00
0
jjm
jmj
jmj
iin
ini
ini
xy
yx
yx
yx
xy
xy
在利润最大化的生产计划中
（ 1）影子价格大于 0的资源没有剩余；
（ 2）有剩余的资源影子价格等于 0；
（ 3）安排生产的产品机会成本等于利润；
（ 4）机会成本大于利润的产品不安排生产。
（ 4）互补松弛关系的经济解释三、灵敏度分析讨论模型的系数或变量发生小的变化时对解的影响
（如它们在何范围内变化时可使原最优解或最优基不变？）
我们主要讨论 C,b和变量结构 变化时对解的影响。
对解怎样影响？ —— 影响解的 - 最优性
- 可行性 0
0
bB
1,b变化时的分析不变。则原最优基使得故只要变化后的因为它只影响可行性，变为种资源设第
BbBb
bbbr
0,
,
1?
的范围即可。解出只要由 b
b
bb
b
BbB
0
2,C变化时的分析但要分两种情况讨论。只影响最优性时变为价格,,ccc
即可。故只要
，为因只影响自己的检验数的价格系数是非基变量
0
,
( 1 )
1
PBCcc
xc
的范围。解得只需由 c 0?
。解得公共的应由所有的数这时要影响所有的检验的价格系数是基变量
ji
imiiii
jj
c
PBccccc
xc
0
,)(
( 2 )
1
1
3.增加新变量时的分析主要讨论增加新变量 xn+1是否有利。经济意义是第 n+1
种新产品是否应当投产，数学意义是 xn+1是否 应进基。
，即投产无利。，则不增加若
，即投产有利；，则增加若的检验数方法：计算
0
0
,
x
x
PBCcx
PBCc?经济意义：
市场价 影子价例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？
（ 2）若有人愿以每度 1元的价格向该厂供应 25度电，是否值得接受？
（ 3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
（ 4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为 10,2,5，
售价为 6.5，问该产品是否可投产？
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？
解：（ 1）电的影子价格是 1.36。
解得由 0
0,1 2
0,4
3,1 2
24
20
84
3 0 0
2 0 0
3 6 0
22
1
bbB
仍适用的范围。，即使原最优基 Bb 2 6,9 250 2
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 2）若有人愿以每度 1元的价格向该厂供应 25度电，是否值得接受？
解：（ 2）值得。
因 25在 B的适用范围内（即影子价格适用），且
1.36-1.00>0。
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格 c1是基变量的价格系数。
044.14.08.2
12.0
4.0
12.3
12700
114
cc?由
，得 4.3 c
01,9 20,2.41
0,1 6
0,2-
1,1 6
12700
115
cc?由
，得,6 1 2 c
。的变化范围为：不变的故使 6.24.3 ccX
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为 10,2,5，
售价为 6.5，问该产品是否可投产？
032.55.6
5
2
10
52.036.105.6
丙解：因为?
故丙产品可以投产。
首先将线性规划与经济问题联系起来的是
T.G.Koopman（库普曼）和
L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了 1975年的第 7届诺贝尔经济学奖。
求解线性规划的计算机软件举例 —— LINDO,EXCEL
LINDO可以从下面的网址下载,WWW.Lindo.com
LINDO由美国芝加哥大学开发，可求解线性规划和线性整数规划等。其可按自然格式输入模型，使用方便。
输入例,MAX 2X+3Y
？ ST
？ 4X+9Y<9
？ 7X+6Y<13
？ END
,GO
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?
？ Y
可用 HELP命令得到帮助。
计算结果说明：
REDUCED COST 为使该变量进基，其价格系数至少应增加的数值；
SLACK OR SUPLUS 松弛或剩余变量；
DUAL PRICES 影子价格 ;
ALLOWABLE INCREASE 灵敏度分析中可使最优基不变的系数可增量之上界；
ALLOWABLE DECREASE 灵敏度分析中可使最优基不变的系数可减量之上界；
使用 EXCEL求解线性规划
-进入 EXCEL后先在表格的第一列输入变量、约束和目标的名称，在后面某一列对应位置输入约束和目标的表达式 (前加等号提示符 )；
-然后在工具中调用规划求解，按提示操作。
（可参看关于使用 EXCEL的书，如谢国锋等,,EXCEL2000中文版入门与提高,,清华大学出版社,1999）
0,
3 0 0103
2 0 054
3 6 049
..
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
21 127 xxM a x z
乙甲油电煤这时有另一家厂商提出要购买其煤、电、
油全部资源，并希望花费尽量少。试建立购买者的线性规划模型。
则总花费为分别为的价格解：设其购买三种资源
,,,,321 wyyy
0,,
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21
21
21
1210
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yyy
yyy
ts
321 300200360 yyyM in w
油电煤乙甲例 7称为例 1的对偶问题，记为
（ D），例 1称为例 7的原问题,
记为（ P）。
对偶模型的一般式则对偶问题为，记 ),,( 321 yyyY?以例 7为例，原问题为
0
..
X
bAX
ts
CXzm ax
（ P）
0
..
m in
Y
CYA
ts
Ybw（ D）
这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶模型。二者间具有十分对称的对应关系：
原问题（ P） 对偶问题 （ D）
目标 max型 目标 min型有 n个变量（非负） 有 n个约束（大于等于）
有 m个约束 （小于等于） 有 m个变量（非负）
价格系数 资源向量资源向量 价格系数技术系数矩阵 技术系数矩阵的转置此外，还有一种情形原问题（ P） 对偶问题 （ D）
第 j个变量为自由变量 第 j个约束为等式约束第 i个约束为等式约束 第 i个变量为自由变量例 8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
0
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..
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1
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x
xx
xx
xx
ts
xxzm ax
例 8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
0
13
52
32
..
32m ax
x
xx
xx
xx
ts
xxz
则对偶目标为解：设对偶变量为,,,,wyyy
0,
3
22
..
53
21
321
321
321
yy
yyy
yyy
ts
yyyw
32
m in
二,对偶的性质
0
..
X
bAX
ts
CXzm ax
（ P）
0
..
Y
CYA
ts
Ybzm in
（ D）
考虑
1,对称性 （ P）与（ D）互为对偶。
.DP,2 YbCXYX?）的可行解，则），（分别是（，设弱对偶性证：由（ P）、（ D） 的约束可得 bAX? YY? X C
.,
,DP 3.
YYXX
bYXCYX
则
）的可行解，且）与（分别是（与若解的最优性
.XCbYCXX，由弱对偶性，证：对任可行解
., YYXX 同理，故几何意义,CX Yb
1
2
21
9 1,
,,
0
2,
0
M ax z CX Y
AX b
st
X
M ax z CX k
AX b k
s.t.
X
M ax z M ax z Y
例,设 线 性 规 划 问 题 为 是 其 对 偶 问 题 的 最 优 解 ；
又 设 线 性 规 划 问 题 为 其 中 是 已 知 常 向 量 。
求 证,k
。
0
.,
0
.,
21
Y
CYA
ts
Y
CYA
ts
YkYbM i n wYbM i n w ）（）（
的对偶问题分别是与问题证：问题
）的可行解。是（）的最优解）的约束相同，故（）与（（Y
，，而由解的最优性，由弱对偶性,M a x zbYkYbYM a x z
得证。
4.对偶定理 若（ P） 有最优解，则（ D） 也有最优解，
且最优值相同。
证：对（ P）增加松弛变量 Xs，化为
0,
..
XX
bIXAX
ts
CXM a x z
设其最优基为 B，终表为 XXC 0
IBAB 11 bBC?
IBCABCC 0
00
0
IBC
ABCC
其检验数为 满足则取 YBCY,1
0Y
CAY
zbBCbYY 1D ）的可行解，且是（即
.3 YY，由性质问题,(1) 由性质 4可知，对偶问题最优解的表达式 Y* =？
(2) 求 Y*是否有必要重新求解（ D）？
—— CBB-1
—— 不必。可以从原问题（ P） 的单纯形终表获得。
0,
2
5
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xx
ts 105
153
212,5 xxM a xz例如，在前面的练习中已知 的终表为
5
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请指出其对偶问题的最优解和最优值。 5
)5.0,0(
w
Y
5.互补松弛定理
。最优解的充要条件是
、是和的可行解，则、分别是与若
0
)()()D()P(
XYXY
DPYXYX
ss
（自证）。
。故只有而即是最优解，所以、因为的约束化为等式：、证：将
0
,0,),()(
,
,,)D()P(
XYXY
XYXYXIXAYXIYAY
bYXCYX
CIYYAbIXAX
ss
ssss
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y1… y i… y m ym+1 … y m+j … yn+m
x1 … x j … x n xn+1…x n+i…x n+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量原始问题的变量 原始问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于 0，另一个一定等于 0
直观上
6,对偶问题的经济解释
（ 1）对偶最优解的经济解释 —— 资源的影子价格 （ Shadow Price）
CBB-1 —— 对偶问题的最优解 —— 买主的最低出价；
—— 原问题 资源的影子价格 —— 当该资源增加 1单位时引起的总收入的增量 —— 卖主的内控价格。
例 10：例 1（煤电油例）的单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）请指出资源煤电油的影子价格，并解释其经济意义。
（ 2）由单纯形终表还可得到哪些有用的信息？
例 10,例 1（煤电油例）的单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
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12
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0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
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（ 1）请指出资源煤、电、油的影子价格，并解释其经济意义。
（ 2）由单纯形终表还可得到哪些有用的信息？
解：（ 1）煤、电、油的影子价格分别是 0,1.36,0.52；
其经济意义是当煤、电、油分别增加 1单位时可使总收入分别增加 0,1.36,0.52。
（ 2）由单纯形终表还可得到：原问题的最优生产计划、
最大收入、资源剩余，对偶问题的最低购买价格、最少的购买费用等。
y1
y2
ym
（ 2）对偶约束的经济解释 —— 产品的机会成本 (Opportunity Cost)
机会成本表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
mmjiijjj yayayaya2211
增加单位资源可以增加的利润减少一件产品可以节省的资源
0xxxx
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxas,t,
xcxcxcxczm a x
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mnmnjmj2m21m1
2n2nj2j222121
1n1nj1j212111
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机会成本 利润差额成本
0
..
m i n
2121
2211
222222112
111221111
2211
nmmmm
nnmmmnnn
mmm
mmm
mm
yyyyyy
cyyayaya
cyyayaya
cyyayayats
ybybybw
（ 3）对偶松弛变量的经济解释 —— 产品的差额成本 （ Reduced Cost）
差额成本 =机会成本 － 利润
jj
T
jmjmjjjm caYcayayayy )( 2211?
00
00
0
00
00
0
jjm
jmj
jmj
iin
ini
ini
xy
yx
yx
yx
xy
xy
在利润最大化的生产计划中
（ 1）影子价格大于 0的资源没有剩余；
（ 2）有剩余的资源影子价格等于 0；
（ 3）安排生产的产品机会成本等于利润；
（ 4）机会成本大于利润的产品不安排生产。
（ 4）互补松弛关系的经济解释三、灵敏度分析讨论模型的系数或变量发生小的变化时对解的影响
（如它们在何范围内变化时可使原最优解或最优基不变？）
我们主要讨论 C,b和变量结构 变化时对解的影响。
对解怎样影响？ —— 影响解的 - 最优性
- 可行性 0
0
bB
1,b变化时的分析不变。则原最优基使得故只要变化后的因为它只影响可行性，变为种资源设第
BbBb
bbbr
0,
,
1?
的范围即可。解出只要由 b
b
bb
b
BbB
0
2,C变化时的分析但要分两种情况讨论。只影响最优性时变为价格,,ccc
即可。故只要
，为因只影响自己的检验数的价格系数是非基变量
0
,
( 1 )
1
PBCcc
xc
的范围。解得只需由 c 0?
。解得公共的应由所有的数这时要影响所有的检验的价格系数是基变量
ji
imiiii
jj
c
PBccccc
xc
0
,)(
( 2 )
1
1
3.增加新变量时的分析主要讨论增加新变量 xn+1是否有利。经济意义是第 n+1
种新产品是否应当投产，数学意义是 xn+1是否 应进基。
，即投产无利。，则不增加若
，即投产有利；，则增加若的检验数方法：计算
0
0
,
x
x
PBCcx
PBCc?经济意义：
市场价 影子价例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？
（ 2）若有人愿以每度 1元的价格向该厂供应 25度电，是否值得接受？
（ 3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
（ 4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为 10,2,5，
售价为 6.5，问该产品是否可投产？
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？
解：（ 1）电的影子价格是 1.36。
解得由 0
0,1 2
0,4
3,1 2
24
20
84
3 0 0
2 0 0
3 6 0
22
1
bbB
仍适用的范围。，即使原最优基 Bb 2 6,9 250 2
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 2）若有人愿以每度 1元的价格向该厂供应 25度电，是否值得接受？
解：（ 2）值得。
因 25在 B的适用范围内（即影子价格适用），且
1.36-1.00>0。
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格 c1是基变量的价格系数。
044.14.08.2
12.0
4.0
12.3
12700
114
cc?由
，得 4.3 c
01,9 20,2.41
0,1 6
0,2-
1,1 6
12700
115
cc?由
，得,6 1 2 c
。的变化范围为：不变的故使 6.24.3 ccX
例 11：在例 1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0,2- 0,4 0 1
1,1 6 0,3 2- 1 0
0,1 6 0,1 2- 0 0 2
1
3
x
x
x
12
7
0
0,5 2- 1,3 6- 0 0 0
24
20
84
1
0
0
428z
（ 4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为 10,2,5，
售价为 6.5，问该产品是否可投产？
032.55.6
5
2
10
52.036.105.6
丙解：因为?
故丙产品可以投产。
首先将线性规划与经济问题联系起来的是
T.G.Koopman（库普曼）和
L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了 1975年的第 7届诺贝尔经济学奖。
求解线性规划的计算机软件举例 —— LINDO,EXCEL
LINDO可以从下面的网址下载,WWW.Lindo.com
LINDO由美国芝加哥大学开发，可求解线性规划和线性整数规划等。其可按自然格式输入模型，使用方便。
输入例,MAX 2X+3Y
？ ST
？ 4X+9Y<9
？ 7X+6Y<13
？ END
,GO
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?
？ Y
可用 HELP命令得到帮助。
计算结果说明：
REDUCED COST 为使该变量进基，其价格系数至少应增加的数值；
SLACK OR SUPLUS 松弛或剩余变量；
DUAL PRICES 影子价格 ;
ALLOWABLE INCREASE 灵敏度分析中可使最优基不变的系数可增量之上界；
ALLOWABLE DECREASE 灵敏度分析中可使最优基不变的系数可减量之上界；
使用 EXCEL求解线性规划
-进入 EXCEL后先在表格的第一列输入变量、约束和目标的名称，在后面某一列对应位置输入约束和目标的表达式 (前加等号提示符 )；
-然后在工具中调用规划求解，按提示操作。
（可参看关于使用 EXCEL的书，如谢国锋等,,EXCEL2000中文版入门与提高,,清华大学出版社,1999）
