第三节 M/M/1排队模型一,标准的 M/M/1模型（ M/M/1/ ） /
1.问题的一般提法设,泊松输入 /负指服务 /单服务台 /系统无限制 /顾客源无限制求,（ 1）系统状态概率 Pn；
（ 2） 系统运行指标 Ls,Lq,Ws,Wq。
2,系统状态概率
（ 1）利用状态转移图列出平衡方程状态转移图是处理稳态 M/M/C系统 的一种工具，设到达与服务率分别为,则


由此列出平衡方程：

1,)(11
10
nPPP
PP
nnn

和
...,..n-1 n n+10 2 1
由平衡方程

1,)(11
10
nPPP
PP
nnn

可解得状态概率：


1),1()(
1
0
nP
P
n
n
记,称为服务强度，规定 （为什么？），则?
1

0
0 1
PP
P
n
n?
（ 2）由平衡方程解得状态概率
3,系统运行指标
（ 1） Ls与 Lq













1
)1
1
))1(
2
0
1
1
0 0
(1
1
)(1
d
d
)(1
d
d
)(1
d
d
)(1
(1
1n
n
n
n
n
n
n n
n
ns
s
nnnpL
L 数，由期望定义，表示系统中的平均顾客?


s
s
n n n
nnnq
L
PLPnPPnL
)1()1( 0
1 0 1
。其中 1 ）呢？而不是问题：为什么 1(1qs LL
—— 因为是均值。
（ 2） Ws与 Wq


1
1

sq
s
WW
W
W
时间，即逗留时间减去平均服务平均等待时间等于平均均逗留时间于其参数的倒数，故平而负指数分布的均值等的负指数分布，服从参数为首先可证，逗留时间
（ 3）上述 4个指标之间的关系 —— 里特公式
1 qsqsqqss WWLLWLWL
。统容量无限制，故系统率。本模型中因系际进入，称有效到达率，即实应为一般的里特公式中


e
e
例 2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时 4人；修理时间服从负指数分布，平均需 6分钟。求：（ 1）修理店空闲的概率；（ 2）店内有 3个顾客的概率；（ 3）店内至少有 1个顾客的概率；（ 4）店内顾客的平均数；（ 5）顾客在店内的平均逗留时间；（ 6）等待服务的顾客平均数；（ 7）平均等待修理时间；（ 8）必须在店内消耗 15分钟以上的概率。
。
小时，人分钟人小时，人模型，解：此为标准的
5
2
/10/
6
1
/4M / M / 1



。
人）小时小时）人人）小时小时）人
0.2 23)
4
1
(1)
4
1
(1)
4
1
( ( 8);/(
15
1
10
1
6
11
( 7);/(
15
4
5
2
3
2
( 6);/(
6
11
( 5);/(
3
2
6
4
( 4);
5
2
1 ( 3)
0.0 384;)
5
3
()
5
2
()(1 ( 2);
5
3
1 ( 1)
1,5
4
1
4)( 1 0
0
33
3
0









eeFWPWP
WW
LL
LW
L
P
P
P
sq
sq
ss
s


二,系统容量有限的 M/M/1模型（ M/M/1/ ）?/N
1.与（ M/M/1/ ） 的区别 /
)1(
NNNe
PPP
Nn
Nnλ
Nn

0)(1
0,
当,
( 2);10 ( 1)
故平均到达率
，
当进入系统的速率
，，，系统状态?
。
故速率应等于离去速率，达到统计平衡，即进入注：由于系统稳态时应
)P-(1)(1 0 NP
2,状态概率

0
10
0
0
1
0000
0
1
1
1
1
1
PP
P
PPPPPP
PP
N
N
N
N
n
N
N
n
n
n

故
，可解得再由
，先解得


NN-
nnn
PP
NnPPP
PP



1
1-,1,,)(11
10
由此列出平衡方程：


nn-1...,..n+1 N-1 N2 10
3,系统 运行指标
。
，
，
，
e
q
q
e
s
s
sq
N
NN
n
ns
L
W
L
W
PLL
N
nPL


)(1
1
1)(
1
0
1
1
0
为有效到达率。其中 )1( Ne P
例 3 某修理站只有 1个修理工，且站内最多只能停放 3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到达 1台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25小时可修理 1
台。试求：（ 1）站内空闲率；（ 2）顾客损失率；（ 3）有效到达率；（ 4）站内平均队长；（ 5）机器为修理而需等待的平均时间。
。，，排队系统，解：此为 25.18.0 18.01)/4/1//(MM
。小时；台
)2.2 3(
0.7 02
0.1 22)(12.4 4)(1
( 5)
)2.4 4(
1.2 51
1.2 55
1.2 51
1.2 5
1
1)(4
1
( 4)
0.7 02;0.2 98)(11)(1 ( 3)
0.2 98;0.1 221.2 5 ( 2)
0.1 22;
1.2 51
1.2 51
1
1
( 1)
0
5
5
5
5
4
4
0
4
4
5140





e
s
e
q
q
s
e
PLL
W
L
P
PP
P


例 4,为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从泊松分布，平均每 4分钟 1辆，冲洗的时间服从负指数分布，平均每 3分钟洗 1辆。试计算当所提供的场地仅能容纳（ a） 1辆；（ b） 3辆；（ c） 5辆（包括正在被冲洗的 1辆 ） 时，由于等待场地不足而转向其它冲洗站的汽车的比例。
。分钟，辆分钟，辆，解,43/31/4141
428.0
7
3
,
7
4
16
9
1
4
3
1
1
1
,1 )( 01
20

PPPNa?
154.0
175
27
,
175
64
256
81
1
4
3
1
1
1
,3 )( 033
40

PPPNb?
072.0304.0237.0
,304.0
178.01
4
3
1
1
1
,5 )(
0
5
5
60


PP
PNc
三,顾客源有限的 M/M/1模型（ M/M/1/ ）/m?
1.与（ M/M/1/ ） 的区别 /
,)/(;
:/
( 2);10 ( 1)

）。次（每人率同即单位时间每人到率，表每个顾客的平均到达人（每人率不同）即单位时间平均到率，表全体顾客的平均到达）（
的含义
，，，系统状态

m
mn?





,)(
)()()(
])[(
,,0
,,
/
/
)3(
s
e
Lm
nEmnEmE
nmE
mn
mnnm
m


故平均到达率
（为什么？））（
）：（
（与状态无关）；）：（
实际进入率说明（进入率与状态有关）,如 m=5,n=3,如下图所示
丙乙甲
3 进入的或甲或乙或丙，故?3


1
11
10
1-,1,,])([)1(
mm
nnn
PP
mnPm - nPPnm
PPm



由此列出平衡方程：
m?)1(?m?)1( nm?)( nm

nn-1...,..n+1 m-1 m2 10
2,状态概率

mnP
im
m
P
im
m
P
n
n
m
i
i
,,1,)(
)!(
!
)(
)!(
!
1
0
0
0
解得
3,系统 运行指标
).1(
,1;
)(
),(
0
0
PmL
PLL
Lm
LL
Lm
s
qs
se
qs
se





解得另一方面，
由里特公式，
问题,的直观意义为何？
sL
例 5,某车间有 5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为 15分钟。有 1个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次需 12分钟。
求 （ 1）修理工空闲的概率；（ 2） 5台机器都出故障的概率；（ 3）出故障机器的平均台数；（ 4）等待修理机器的平均台数；（ 5） 每台机器的 平均停工时间；（ 6） 每台机器的 平均等待修理时间。
。，，排队系统，解：此为 8.0151212 115 1)5//1//(MM；台 )3,7 6 ()0073.01(
8.0
1
5 ( 3 )
0,2 8 7;( 0,8 )
!0
!5
( 2 )
0,0 0 73 ;]( 0,8 )
!0
!5
( 0,8 )
!1
!5
( 0,8 )
!2
!5
( 0,8 )
!3
!5
( 0,8 )
!4
!5
( 0,8 )
!5
!5
[ ( 1 )
0
5
5
1-543210
0



s
L
PP
P

mnP
im
m
P
im
m
P
n
n
m
i
i
,,1,)(
)!(
!
)(
)!(
!
1
0
0
0
。分钟分钟；台
)(431246 ( 6)
)(4615
)00 73.01(
12
1
5
)5(
)(77.2)00 73.01(76.3 )4(



q
s
q
W
W
L
求 （ 1）修理工空闲的概率；（ 2） 5台机器都出故障的概率；
（ 3）出故障机器的平均台数；（ 4）等待修理机器的平均台数；（ 5） 每台机器的 平均停工时间；（ 6） 每台机器的 平均等待修理时间。
由此可对该排队系统做何分析？
—— 机器 停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间应当提高服务率或增加修理工，或购置高效机器减少需修理率。