第七章 风险型决策
（ Risk Type Decision ）
第一节 基本概念第二节 风险型决策第一节 基本概念一、决策问题的组成
1.决策者：决策的主体，一个人或团体；
2.决策：两个以上可供选择的行动方案，记 dj；
3.状态（事件）：决策实施后可能遇到的自然状况，记 ；
4.状态概率：对各状态发生可能性大小的主观估计，记 ；
5.结局（损益）：当决策 dj实施后遇到状态 时所产生的效益（利润）或损失（成本），记,用损益表表示。
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)( iP?
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iju
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jd
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11u nu1
mnu1mu

例 1 某厂需要对明年的生产投资做出决策：是增加设备投资还是维持现状。该厂产品明年在市场上的销售情况可能有 3种：销量大、销量中、销量小。若增加设备投资遇到各种情况后的收益（万元）分别为 80,20,-5；若维持现状遇到各种情况后的收益（万元）分别为 40,7,1。
请用决策分析的术语描述该问题。
解,设决策 d1:增加设备投资,d2:维持现状 ;
状态,销量大,：销量中,：销量小。
1? 3?2?
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1d 2d
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80
20
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40
7
1
二、决策问题的分类
1.确定型：状态只有一种；
2.不确定型：状态不只一种；又可分为完全不确定型
（状态概率未知）和风险型（状态概率可知）。
损益表：
第二节 风险型决策又可分为：
-先验分析 —— 利用先验信息进行终端决策；
-后验分析 —— 利用后验信息进行终端决策；
-预后分析 —— 后验分析的预分析。
一,先验分析
1.问题的一般提法设：利润表与状态概率为
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jd
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1d nd
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mnu1mu

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)( 1?P
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求：最优决策 d*。
问题：怎样构造解法？
2.解法一：最大期望利润（收益）准则步骤,-求每个决策 dj的期望利润 E (dj )；
-最大期望利润 max E (dj )对应的决策即 d*。
例 2 条件同例 1，并知状态概率为 0.2,0.5,0.3，求 d*。
解,由设，利润与概率表为
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80
20
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1
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0.5
0.3
0.2
E (d1 )=80× 0.2+20× 0.5+(-5) × 0.3=24.5;
E (d2 )=40× 0.2+7× 0.5+1× 0.3=11.8。
E (d1 ) ＞ E (d2 ),∴ d*= d1，即增加设备投资。
3.解法二：最小期望机会损失准则步骤,-由利润表 导出机会损失表 ；
其中 称为当实施 dj而发生 时的机会损失；
（问题：机会损失的含义为何？）
-求每个决策 dj 的期望机会损失 EOL (dj )；
-最小期望机会损失 min EOL (dj )对应的决策即 d*。
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iju)( iP? i?
jd
ijr)( iP?
ijikkij uur m ax i?
(问题：如果已知的不是利润表，而是费用表，那么最小期望机会损失的公式应作何调整？ )
例 3 用最小期望机会损失准则再解例 2。
解,先由利润表 导出机会损失表
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0.2
EOL (d1 )=0× 0.2+0× 0.5+6 × 0.3=1.8;
E OL(d2 )=40× 0.2+13× 0.5+0× 0.3=14.5。
EOL (d1 ) ＜ EOL (d2 ),∴ d*= d1，即增加设备投资。
4.完全信息期望值（ EVPI）
完全信息：能够准确无误地预报将发生状态的信息；
具有完全信息的期望利润：当 必发生时的最优决策利润期望值 。
i?
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i j iji
uP
1
m ax)(?
例 4 求例 2中的具有完全信息的期望利润。
解,由利润表 可得
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0.5
0.3
0.2
具有完全信息的期望利润为 80× 0.2+20× 0.5+1 × 0.3 = 26.3 ;
问题：回顾例 5.2中无附加信息时最优决策的期望利润是多少？ —— 24.5
差额 26.3-24.5 = 1.8 说明什么？ —— 完全信息的价值。
完全信息期望值：具有完全信息的期望利润与 无附加信息时最优决策的期望利润之差，记 EVPI。
ij
m
i ij
m
i ijji uPuP 11 )(m axm ax)(E V PI
在例 2中,EVPI= 26.3-24.5 = 1.8,恰好等于 EOL(d*) 。
既然 EVPI反映了完全信息的价值，而完全信息是可获信息的最高水准，因此,EVPI在决策分析中提供了为获取附加信息而值得付费的 上限 。
一般地,EVPI= min EOL(dj) 。 （思考原因）
例 5 商店现需对某种货物下周的进货数量做出决策。
设这种货物进货成本为每件 800元，售价为每件 1000元，但一周内如不能售出则变质报废。已知市场对这种货物的一周需求量的概率分布如下：
需求量（件） 25 26 27 28
概率 0.1 0.3 0.5 0.1
因此进货数量也决定由 25,26,27,28（件）四种可能中做出决策。
（ 1）列出本问题的损益表，由最大期望收益准则确定最优决策；
（ 2）列出机会损失表，由最小期望机会损失准则确定最优决策；
（ 3）求本问题的 EVPI。
解 （ 1） 损益表,i? jd
5000
)( iP?
0.3
0.5
0.1
0.1
26
27
25
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25 26 27 28
5000
5000
5000
4200
5200
5200
5200
3400
4400
5400
5400
2600
3600
4600
5600
E (d1 )=5000; E (d2 )=5100; E (d3 )=4900; E (d4 )=4200 。
d*= d2，即进货 26件。
i?
jd
0
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0.3
0.5
0.1
0.1
26
27
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28
25 26 27 28
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400
600
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0
200
400
1600
800
0
200
2400
1600
1000
0
（ 2）机会损失表：
EOL (d1 )=320; EOL(d2 )=220; EOL(d3 )=420; EOL(d4 )=1220 。
d*= d2，即进货 26件。
（ 3） EVPI = 220。
练习 某轻工企业利用剩余生产能力生产一种季节性新产品,自产自销 。 产品成本每盒 50元,售价每盒 80元 。
如果当日未售出将半价 （ 40元 ） 出售 。 现估计出该产品今年的市场需求量及它们出现的概率如表：
该企业拟订今年该产品日产量的备选方案为 100盒,110
盒,120盒,130盒 。 试根据最大期望收益准则确定适当的日产量,并求出企业为调查市场信息所值得付费的上限 。
日销量 100 110 120 130
概率 0.20 0.30 0.40 0.10
解 损益表：
i?
jd
3000
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0.3
0.4
0.2
0.1
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100
130
100 110 120 130
3000
3000
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2900
3300
3300
3300
2800
3200
3600
3600
2700
3100
3500
3900
E (d1 )=3000; E (d2 )=3220; E (d3 )=3320; E (d4 )=3260 。
d*= d3，即进货 120件。
34201.039004.036003.033002.03000
润：具有完全信息的期望利
EVPI = 3420-3320=100，即 企业为调查市场信息所值得付费的上限为 100。
5.决策树分析法回顾：什么是树？ —— 无圈的连通图。
决策树的结点与分枝
-决策结点,由此出发的分枝称决策分枝；
-状态结点,由此出发的分枝称机会（概率）分枝；
-后果结点,后标结局（损益）值。
解,i?
jd
1?
3?
1d 2d
2?
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20
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40
7
1
)( iP?
0.5
0.3
0.2
例 6 用决策树方法再解例 2。
d1
d2
)2.0(1?
)5.0(2?
)3.0(3?
80
20
-5
)2.0(1?
)3.0(3?
)5.0(2?
40
7
1
24.5
24.5
11.8
最优决策 d1,最大期望收益 24.5。
二,后验分析比较 -先验分析,用先验概率 作期望值进行决策
-后验分析,用后验概率 作期望值进行决策
)( iP?
)( kiP
1.问题设：利润表与状态概率如右表，又获得信息：将发生状态,准确度为 ；
i?
jd
1?
m?
1d nd
11u nu1
mnu1mu

)(
iP?
)( 1?P
)( mP?
k )( ikP
求：最优决策 d*。
2.方法,-先求后验概率,)(
kiP
)( kiP )( iP?
)(
)()()()()(
1 k
k
kik
m
i
iki P
PPPPP


-再以 作期望值进行决策（同先验分析）。)(
kiP
例 7 条件同例 2（即如右表），
现预报明年将发生,销量中,,记为
，准确度 为
i?
jd
1?
3?
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0.5
0.3
0.2
2 )( 2 iP
2
1? 2? 3?
0.3 0.7 0.2,求 d
*。
解,先求,)(
2iP
0.3
0.7
0.2
0.2
0.5
0.3
0.06
0.35
0.06
47.0)( 2P
)( 2 iPi?
1?
2?
3?
)( iP? )( 2 iP )( 2iP
0.128
0.745
0.128
E (d1 )=80× 0.128+20× 0.745+(-5) × 0.128=24.5;
E (d2 )=40× 0.128+7× 0.745+1× 0.128=10.46。
E (d1 ) ＞ E (d2 ),∴ d*= d1，即增加设备投资。
三,预 后分析比较 -后验分析,用已得的附加信息修正概率后做计算
-预后分析,附加信息需付费，在买之前先分析是否应买
1.问题设：利润表与状态概率如右表，现还可购买价值 C
元的状态预报，预报的准确度为 ；
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jd
1?
m?
1d nd
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mnu1mu

)(
iP?
)( 1?P
)( mP?
)( ikP
问：是否值得买预报，买后相应于预报的各状态应采取何决策？
2.方法分析 -C EVPI，不买；
-C < EVPI,-买后获利 -C 买前获利，不买；
-买后获利 -C > 买前获利，买。
（ 1）由最大期望利润准则（如下图）得到买与不买预报所得的期望利润，若买后所得利润 -C>买前所得利润，则值得买，否则不买；
（ 2）由下图的分析可得，若买预报，预报状态为,
应采取的最优决策为,k=1,…,m，称为最优策略。
k
*kd ),,( **1* mdd
)( 1?Pd
1
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11
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)( '1 mP
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mna
)( '1?P
)( 'mP?
买预报不买预报做先验分析做 m 个后验分析例 8,在前例中,原始信息如下左表,现可购买一份价值 0.8万元的预报,预报结果可能为 准确度如下右表。问是否应买预报，买后决策为何？
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2?
80
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1
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0.5
0.3
0.2
1 2 3销 量 大,销 量 中,销 量 小 。
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0,7
1 2 3
0,2 0,1
0,70,1
0,15 0,7
0,15
0,2
方法,-求不买预报时的期望利润，即做一个先验分析；
-求买预报时的期望利润，即做 3个后验分析，并对 3个的结果再平均（为此需要计算后验概率）；
-比较买与不买的差异，做出决定。