第一节 特尔菲（ Delphi）法第二节 层次分析法（ AHP）
(Analytics Hierarchy Process)
第三节 数据包络分析法（ DEA)
第四节 多准则评估的区间评估方法
（ Interval Analysis)
第十章 多目标决策多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价单目标,方案 dj ← 评价值 f(dj)
多目标：方案 dj← 评价向量 (f1(dj),f2(dj)…,fp(dj))
全序与半序,方案 di与 dj之间单目标问题,di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好,多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。
解概念区别解的概念单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：
绝对最优解劣解有效解 (pereto解 )
弱有效解数学 外语 专业 解的类型
d1 80 75 88 有效解
d2 75 81 85 有效解
d3 76 78 89 有效解
d4 85 82 92
劣解d5 79 74 86
绝对最优解多目标决策解的例子第一节 特尔菲 (Ｄ eｌｐｈｉ )法特尔菲法是美国兰德公司于 1964年首先用于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。
思路：特尔菲法是请一批有经验的专家 (老手 )
对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。
步骤,
1,把较为详尽的背景资料发送给选定的 n位专家,
请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中 。
目标权重估计值专家数
f1 f2 …… fp
1 w11 w12 …… w1p
2 w21 w22 …… w2p
M …… …… …… ……
N wn1 wn2 …… wnp
2
样本平均值为?
=
==
n
i
ijj pjwnwM
1
,,2,1,1)( L
每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为
)( jijij wMw -=D
3．进一步分析 )( jwM 是否合理，特别让估计值偏差 △ ij 较大
4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值 wij
=
=
--=
==
n
i
jijj
n
i
ijj
wMwnwD
pjwnwM
1
2
1
)](~[11)(~
,,2,1,1)(~ L
5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第 k 步估计方差小于或等于预先给定的标准 )0( >ee 。
6,确定最终的目标函数权重估计值。
令niliM
ij
j
,,2,1,:
)(
L=?=?
其中
是预先给定的标准，且
10
。
则第 j 个目标之权数的最终估计值为：
=
)(
/
)(
1
j
Mi
ij
j
j
w
M
w
其中
)( j
M
表示集合
)( j
M
中元素的个数。
这种方法实质是先以
为尺子，将信任度达不到
的估计值全部删除，以余下估计值的平均值作为权数的最终估计值，因此，该方法有一定的合理性。
7,可构造线性加权评价函数为
)(
1
XfwXFU
j
p
i
j?
=
=
DELPHI法使用要点独立性,专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）
统计处理滤波技术第二节 层次分析法
(Analytics Hierarchy Process,AHP)
一、简介二、基本模型三、基本步骤四、应用案例简 介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授
T.L.Saaty在 70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，
并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。
层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
基本模型 — 单层次模型
1,单层次模型结构
C— 目标，
Ai— 隶属 C的 n个评价元素决策者问题,由决策者在这个目标意义下对这 n 个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
C
A1 A2 An……
2,思想：
(1) 整体判断 n个元素的两两比较 。
(2) 定性判断 定量表示 （ 通过标量 ）
（ 3） 通过数学公式 （ 特征值 ） 确定各元素评价权重
3.计算步骤
（ 1） 构造两两比较判断矩阵
（ 2） 计算单一准则下元素的相对重要性 (层次单排序 )
（ 3） 单层次判断矩阵 A的一致性检验
(1)判断矩阵标度（ aij） 的含义,Ai比 Aj 时由决策者回答下列问题所得
C K A 1 A 2 A n
A 1 a 11 a 12 a 1n
A 2 a 21 a 22 a 2n
M M M M M
A n a n1 a n2 a nn
1 表示两个元素相比，具有同样重要性
3 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
5 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
9 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为 Ai比 Aj明显重要，则 aij＝ 5
这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是
AHP的特点之一。
1)(
1
)( 0)( ==> ii
ji
ijij ai i iaaiiai
计算判断矩阵 A 的最大特征根 λ m a x 和其对应的经归一化后的特征向量 TnwwwW ),,,( 21 L=
A W = λ m a x W
由此得到的特征向量 W= (w1,w2,…,w n) T 就作为对应评价单元的权重向量。
λmax和 W的计算一般采用幂法、和法和方根法
(2)层次单排序
AHP方法计算原理问题：为什么两两比较判断矩阵 A的最大特征值的向量
W=(w1,w2,…,wn)T，
可以作为评价单元 A1,A2,…,An的权重向量？
解释,假设事先已知这 n个 评价单元的权重 向量为 W= (w1,w2,…,wn) T,
比较 Ai与 Aj重要性时,
标量 aij=wi/wj 是一精确比值所构成的两两比较判断矩阵是完全精确的 判断矩阵
=
n
nn
n
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
A
LL
LLLL
LL
L
1
2
1
2
1
2
1
1
1
满足
W是 的最大特征值的向量。
=
=?
nn
n
nn
n
n
w
w
w
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
WA
MM
LL
LLLL
LL
L
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
WnWA?=?
A
实际评价时,并不知道这权重向量比较 Ai与 Aj重要性时,通过询问决策者只能得到近似的比值 aij
aij～ wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵 A.
A ～
精确判断矩阵 的最大特征值的向量
W= (w1,w2,…,wn) T
是完全 精确的权重向量近似判断矩阵 A最大特征值的向量
W= (w1,w2,…,wn) T
可以作为近似的权重向量
A
A
(3) 单层次判断矩阵 A的一致性检验在单层次判断矩阵 A 中,当
jk
ik
ij
a
a
a = 时，称判断矩阵为一致性矩阵。
（ a ）计算一致性指标 C.I.,
1
..
m a x
-
-
=
n
n
IC
，式中 n 为判断矩阵的阶数。
（ b ）计算平均随机一致性指标 R.I.
R.I,是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出 1 ～
5 维矩阵重复计算 10 00
维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R,I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（ c ）计算一致性比例 C,R,
..
..
..
IR
IC
RC =
当 C,R,< 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
多层次分析法的基本步骤
1．
2,计算单一准则下元素的相对重要性 (单层次模型 )
3,计算各层次上元素的组合权重 (层次总排序 )
4,评价层次总排序计算结果的一致性递阶层次结构决策目标准则 1 准则 2 准则 k
子准则 1 子准则 2 子准则 m
方案 1 方案 2 方案 n
……
……
……
…… …… ……
目标层准则层子准则层方案层计算单一准则下元素的相对重要性这一步是计算各层中元素相对于上层各目标元素的相对重要性（层次单排序），参见前面的单层次模型。
例：如图相对于目标 A1而言,C1,C2,C3,C4相对重要性权值为
w11,w12,w13,w14，
同理相对目标 A2,C1,C2,C3,C4相对重要性权值为
w21,w22,w23,w24。
A1 A2
C1 C2 C3 C4
w11 w12 w13 w14
A
1
A
2
A
m
层次 A
权重层次 B
a
1
a
2
a
m
B 层次元素组合权重
B
1
1
1
b
2
1
b
m
b
1?
=
=
m
i
i
i
bab
1
11
B
2
1
2
b
2
2
b
m
b
2
=
=
m
i
i
i
bab
1
22
M M M M M M
B
n
1
n
b 2
n
b
m
n
b
=
=
m
i
i
nin
bab
1
计算各元素的总权重评价层次总排序计算结果的一致性设,CI
RI
其计算公式为,
i
m
I
i
CIaCI?
=
=
1
CI
i
为 A
i
相应的 B
i
m
I
i
RIaRI?
=
=
1
RI
i
为 A
i
相对应的 B
并取
RI
CI
CR =
当 CR ≤ 0.10
应 用 例 子某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；
办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。
层 次 结 构 图合理使用企业留利 ×× 万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金 扩建集体福利设施 办技校 建图书馆 购买新 设施准则层 C
方案层 D
目标层 A A
C1 C2 C3
d1 d
2 d3 d4 d5
计算单一准则下元素的相对重要性
1,第二层相对于第一层的判断矩阵
W=(0.105,0.637,0.258) λmax=3.308
对判断矩阵进行一致性检验,即计算 C.I.和 C.R.
C.I.=0.019 C.R.=0.033<0.1
说明判断矩阵的一致性可以接受 。
A- C C 1 C 2 C 3
C 1 1 1 / 5 1 / 3
C 2 5 1 3
C 3 3 1 / 3 1
（ 1 ）（ ）
C1 C2 C3
w1=0.105 W2=0.637 W3=0.258
A
2.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
w11 W12 W13
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w14 w15
2) C1-D d1 d2 d3 d4 d5
d1 1 2 3 4 7
d2 1/2 1 3 2 5
d3 1/3 1/3 1 1/2 1
d4 1/4 1/2 2 1 3
d5 1/7 1/5 1 1/3 1
W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
126.5max =?
C.I=0.032
C.R.=0.028<0.1
C
2
- D d
2
d
3
d
4
d
5
d
2
1 1/ 7 1/ 3 1/ 5
d
3
7 1 5 2
d
4
3 1/ 5 1 1/ 3
d
5
5 1/ 2 3 1
W = ( 0.0 55,0.5 64,0,1 18,0.2 6 5)
117.4
m a x
=?
C.I = 0.0 39
C.R,= 0,04 2 < 0.1
C
3
- D d
1
d
2
d
3
d
4
d
1
1 1 3 3
d
2
1 1 3 3
d
3
1/ 3 1/ 3 1 1
d
4
1/ 3 1/ 3 1 1
W = ( 0.4 06,0.4 06,0,09 4,0.0 94 )
4
m a x
=?
C.R,=0
w21 W22 W23
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w24 w25
w31 W32 W33
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w34 w35
计算各元素的总权重
C
1
C
2
C
3
准则权重方案
0.105 0.637 0.258
总权重
d
1
0.491 0 0.406 0,157
d
2
0.232 0.055 0.406 0,164
d
3
0.092 0.564 0.094 0,393
d
4
0.136 0,1 18 0.094 0,1 1 3
d
5
0.046 0.265 0 0,172
结论发奖金,福利设施,办技校,建图书馆,新设备
W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)
C.I.=0.028
R.I.=0.923
CR=0.03<0.10
计算结果表明,对于合理使用企业留成利润来说,
办技校 是首选的方案 。
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AHP案例分析案例 1 运用 AHP方法选择世界杯上场队员案例本案例运用 AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比赛中应该首发出场的中后卫人选进行决策；
目标 A是在世界杯比赛中取得好成绩；
准则 C有四个：技术、心理、经验、伤病；
方案 D（ 可供选择的球员）是范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。
据此建立模型的递阶层次结构如下图：
D1范志毅
A,比赛中取得好成绩
C1,技术 C2,心理 C3,经验 C4,伤病
D2杜威 D3李伟峰 D4张恩华 D5徐云龙构造第二层相对第一层的判断矩阵：
W=(0.398,0.236,0.167,0.199)
λ max=4.060
C.I.=0.020
C.R.=0.022<0.1
判断矩阵的一致性可以接受
1C4:伤病
11C3:经验
121C2:心理
2221C1:技术
C4:伤病C3:经验C2:心理C1:技术A-----C
A
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：
1D5:徐云龙
21D4:张恩华
531D3:李伟峰
2 11/21D2:杜威
311/221D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技术
W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)
λmax=5.015
C.I.=0.017 C.R.=0.015<0.1
一致性检验通过
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)
λmax=5.018
C.I.=0.012 C.R.=0.011<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
51D4:张恩华
31/21D3:李伟峰
1 1/41/31D2:杜威
51351D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
C2:心理
W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)
λmax=5,186
C.I.=0.047 C.R.=0.042<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
1/21D4:张恩华
31/31D3:李伟峰
1/3 1/51/41D2:杜威
62471D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
C3:经验
W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)
λmax=5.010
C.I.=0.002 C.R.=0.002<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
11D4:张恩华
1/21D3:李伟峰
1 121D2:杜威
1/31/31/21/31D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C4:伤病
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐最后计算出层次总排序的权重向量为：
W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)
C.I.=0.049 R.I.=1.120 C.R.=0.044<0.1
层次总排序一致性检验通过计算结果表明,中国国家足球队在世界杯比赛中,首发的中后卫应该是范志毅和李伟峰,
替补的顺序应该依次为张恩华,杜威和徐云龙 。
AHP方法练习
1，根据评价问题建立评价指标体系
2，通过询问建立判断矩阵以下工作由程序完成,
3，计算判断矩阵的特征值、一至性检验
4，计算各评价单元的权重学生对教师评价指标体系总评价学术水平 表达 能力 教学态度教师 1 教师 2 教师 3 教师 4
第三节 数据包络分析 (DEA)方法一、简介二,DEA的基本模型三,DEA有效性 (C2R)的经济含义四,DEA的一般工作过程五、应用案例六、研究进展一,DEA简介数据包络分析 (Data Envelopment Analysis,简记
DEA) 运筹学家 A.Charnes和 W.W.Cooper提出的 效率 评价方法 。
应用领域：管理科学,系统工程,决策评价技术 。
优点：客观性 （ 通过数据和数学规划模型评估 ）
方便 （ 不用考虑量纲 ）
经济意义明确给主管部门提供管理信息 。
DEA特点效率评价相对有效性根据投入产出数据，使用数学规划模型计算每一评价单元的有效值
DEA方法的主要步骤
1确定 N个同类评价单元 DMUJ
2选择投入产出指标投入指标,X=（ x1x2 。。。 Xm）
产出指标,Y=（ y1y2。。。 Ys）
3选择 模型类型：常用 C2R,BCC模型
4对每 一 评价单元 DMU求解其对应的模型得其有效性评价值数据结构与效率评价指数每个决策单元都有相应的效率评价指数,njX
Yuh
j
T
j
T
j,,2,1,L==?
y11 y12 …… y1n
y21 y22 …… y2n
… … …… …
ys1 ys2 …… ysn
x11 x12 …… x 1n
x21 x22 …… x2n
… … …… …
xm1 xm2 …… x mn
DMU1 DMU 2 …… DMUn
v1 1
v2 2
… …
vm m
1 u1
2 u2
… …
s us
二,DEA的基本模型
1,C2R
2,具有非阿基米德无穷小量的
C2R模型
3,效率与 DEA评估模型
1.C2R模型的基本形式决策单元 —— DMUi
输入指标 —— Xj=(x1j,…,xmj)T（ j=1,…,s）
xij—— 第 j个 DMU对第 i种类型输入的投入量输出指标 —— Yj=(y1j,…,ysj)T（ j=1,…,m）
yrj—— 第 j个 DMU对第 r种类型输出的产出量权重 ——υ=(υ1,…,υm)T,u=(u1,…,us)T分别为各输入,输出指标的权重数据结构与效率评价指数每个决策单元都有相应的效率评价指数,njX
Yuh
j
T
j
T
j,,2,1,L==?
y11 y12 …… y1n
y21 y22 …… y2n
… … …… …
ys1 ys2 …… ysn
x11 x12 …… x 1n
x21 x22 …… x2n
… … …… …
xm1 xm2 …… x mn
DMU1 DMU 2 …… DMUn
v1 1
v2 2
… …
vm m
1 u1
2 u2
… …
s us
原始模型对第 j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划模型其中模型的变量为 υ和 u。
=?=
==
0,0
,,2,1,1
m a x
)(
0
0
0
u
nj
X
Yu
h
ts
pV
X
Yu
h
P
j
T
j
T
j
T
T
L
C2R— P模型利用 Charnes-Cooper变换，可以将化为一个等价的线性规划问题。令得：
其中 WT=（ w1,w2,…,wn） 和 μT=(μ1,μ2,… μs)是变量
,),/(1 0 tutwXt T ===
=
=?-
=
0,0
1
,,2,1,0
m a x
)(
0
10
1
w
Xw
njYXw
ts
VpY
P
T
j
T
j
T
T
L
对偶规划 D
加入松驰变量 s+及 s-以后可得对偶规划模型：
λ=(λ1,λ2,…,λn)及 θ为 n+1个变量
=?
=-
=?
=
-?
=
=
-
0 ;0 ;,,2,1,0
m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
ssnj
YsY
XsX
ts
V
D
j
jj
n
j
jj
D
L?
C2R模型下 DEA有效的定义
P模型下：
弱 DEA有效,若线性规划问题 (P1)的最优解 w0及 u0满足
Vp1=u0TY0=1,则称 DMUj0为弱 DEA有效 。
DEA有效,若线性规划问题 (P1)存在某一最优解
w0与 u0满足 VP1=u0TY0=1,并且 w0>0,u0>0,则称
DMUj0为 DEA有效 。
D模型下：
弱 DEA有效,规划问题 (D1)的最优值 θ* = VD1 =1
DEA有效,规划问题 (D1)的最优值 θ* = VD1 =1,并且它的每个最优解都满足 S-0=S+0=0。
2,具有非阿基米德无穷小量的 C2R模型
P模型和 D模型判断 DEA有效的困难：
1,在 P模型中，需要判断 是否存在 最优解
w0,u0满足：
2.在 D模型中，需要判断是否其 所有最优解 都满足：
非阿基米德无穷小量 ε是一个小于任何正数且大于零的,抽象数,。再实际使用中一般取 ε=10-7
1,0,0 0100 ==>> YuVuw TP
0,0,1 0001 ==== -? ssV D?
具有非阿基米德无穷小量的模型（ P）
=
=?-
=
- TT
T
T
T
j
T
j
T
T
eew
Xw
njYXw
ts
VpY
P
e?e
e
e
,
1
,,2,1,0
m a x
)(
0
10
1
L
具有非阿基米德无穷小量的模型（ Dε）
=?
=-
=?
=?-
=
-?
=
=
-
--
0 ;0 ;,,2,1,0
)]([ m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
ssnj
YsY
XsX
ts
Vsese
D
j
jj
n
j
jj
D
TT
L?
e?
e
e
其中 e - T = ( 1,1,?,1 ) sTm EeE?= )1,,1,1(,L 。
DεDEA有效性判断规划问题 ( D 1 ε ) 的最优解为 0000,、,?- ss
i)若 θ0=1,则 DMUj0为 弱 DEA有效 。
ii)若 θ0=1,并且 s-0=0,s+0=0，
则 DMUj0为 DEA有效 。
3、效率与 DEA评估模型效率一般 含义效率含义 ------在业务活动中投入与产出或成本与收益之间的对比关系,
它是其资源的有效配置,是市场竞争能力,投入产出能力 和可持续发展能力的总称技术效率 与 规模效率技术效率反映在给定投入的情况下获取最大产出的能力规模效率则反映了是否在最合适的投资规模下进行经营经济学下效率的概念
y
x
y=f(x)
A
DC
B
O
E F
G
1,A的技术效率＝ BD/BA
2,A的规模效率＝ BC/BD
3,A的总效率＝ BC/BA
规模效率规模收益递增：在 E点左面,函数,加速上升,,
增加投入量可以使产出有较高的增加,
被考察单元有投资的积极性,。
规模收益递减：在 E点右面,,投入量为 x时,
如再增加,产出 y增加的效率不高,
被考察单元已没有再继续增加投资的积极性 。
规模有效,E点所代表被考察单元的投入规模是最适当的 。
总效率＝ BC/BA
总效率 =技术效率 × 规模效率被考察单元的总效率值为 1时,称为有效 。
被考察单元同时达到技术有效和规模有效时，则为有效，
二,效率的评估模型 —— DEA模型
DEA方法来能对被考察单元进行相对效率评价 。
最高的的效率定为 1,其它被考察单元的效率定在 0到 1之间 。
CR模型与总效率
=?
=
=
nj
YY
XX
ts
j
k
n
j
jj
k
n
j
jj
,,1,0
..)CCR(
m i n
1
1
L?
模型得出的 θ即是第 k家被考察单元的总效率模型得出的 θ即是第 k家被考察单元的总效率值,
满足 0≤θ≤1。
其经济含义是当第 k家被考察单元的产出水平保持不变 (投入导向 )时,
如以样本中最佳表现 (处于效率前沿面上 )的考察单元为标准与实际所需要的投入比例 。
θ就是第 k家被考察单元是可以减少 (或称浪费 )
投入的最大比例 。
当 θ=1时,有效状态,被考察单元是效率前沿面上的点,。
求解 （ CCR） 模型 n遍,可得到每家被考察单元的效率值
BCC模型与技术效率
CCR模型是需规模收益不变的假设规模收益不变是假设被考察单元可以通过增加投入等比例地扩大产出规模,
这一假设相当严格,与实际差距较大,
在许多情况下并不满足,
在 CCR模型中增加一个凸性假设
1
1
=?
=
n
j
j?
模型得出的 θ 即是第 k家被考察单元的技术效率
=?
=
=
=
=
nj
YY
XX
ts
j
n
j
j
k
n
j
jj
k
n
j
jj
,,1,0
1
..)B CC(
m i n
1
1
1
L?
三,DEA有效性 (C2R)的经济含义
1,基本概念
(1)
(2) 生产函数
(3)
2,DEA有效性 （ C2R） 的经济含义
(1)生产可能集
(x,y)— 生产活动
X=(x1,…,xm)T— 投入量,
Y=(y1,y2,… ys) — 产出量
(Xj,Yj) — 经验生产活动，观察值表示 DMUj
— 参考集
T= (x,y） —— 生产可能集,产出 y能用输入 x生产出来为所有可能的生产活动构成的集合。
经济分析目的 —— 根据上述参考集去估计生产可能集 T,并确定哪些决策单元的生产活动是相对有效的。
),(,),,(),,(? 2211 nn YXYXYXT L=
T满足的公理
1) 凸性,]1,0[,)
,
(,),(TYXTYX
TYYXXYXYX?-?-?=-? )
)1(,
)1(()
,
)(1(),(
2) 锥性：
,0,),( KTYX
都有,
TKYKXYXK?= ),(),(
。
即若以投入量 X 的 K 倍进行输入，那么输出量为原来产出的 K 倍是可能的。
3) 无效性：
TYX ),(
,都有：
YYTYXXXTYX
,)
,(
,),
( ；
即在原来的基础上，单方面增加投入或减少产出总是可能的生产活动，
4) 最小性：生产可能集 T 是满足上述条件 1) — 3) 的所有集合的交集。
经验生产可能集（ CCR）
==
= =
n
j
n
j
jjjjjCCR njYYXXYXT
1 1
,2,1,0,,),( L
决策单元的经验生产可能集（ CCR）,它为一凸锥。
( x
4
,y
4
)
0
y
x
T
A
( x
2
,y
2
)
( x
3
,y
3
)
¤
( x
1
,y
1
)
(2) 生产函数技术有效,设 (X,Y)∈ T,若不存在 (X’,Y’) ∈ T，
X≥X’,且 Y≤ Y’
生产函数,Y=f(X)；
生产函数表示在一定的技术条件下，生产处于最理想状态时，
投入量为 X所能获得的最大产出量 Y。
对生产可能集 T,所有有效生产活动点 (X,Y)构成的 Rm+s
空间的超曲面称为 生产函数 。
处于生产函数上的生产活动均为,技术有效,生产活动。
(3)规模收益规模收益：产出增量的相对百分比与对应投入增量的相对百分比的比值。
规模收益递增：
规模收益不变：
规模收益递减：
规模有效,对投入规模 X0,无论投入规模大于或小于 X0都不是最好的，这样的 DMU0为规模收益不变或规模有效。
1/ >DD= xxyy?
1/ =DD= xxyy?
1/?DD= xxyy?
DEA有效性（ C2R） 的经济含义
（ 1） C2R模型求解的经济意义解释模型 (D1)求解是致力于在生产可能集 T内，保持产出 Y0不变，
同时将投入量 X0按同一比例尽量减少。如果 X0不能按同一比例减少，即 (D1)的最优值 V0=θ0=1,则是有效的生产活动。
=?
=
=
=;,,2,1,0
m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
nj
YY
XX
ts
V
D
j
jj
n
j
jj
D
L?
(2) DMUj DEA有效的信息 —— 此 DMUj规模有效和技术有效
(3) DMU0 非 DEA有效包含,
1.存在一个更优的 DMU0’（ X0’,Y0’),Y0’=Y0
且 X0’< X0并指出投入的改进值为
2.规模收益分析
=
-=D
n
j
jjXXX
1
00
当 1/
0
1
0
=?
=
n
j
j
时,D MU
j0
，为规模收益不变，
当 1/
0
1
0
=
n
j
j
时,D MU
j0
为规模收益递增，
当 1/
0
1
0
>?
=
n
j
j 时,DM U j0 为规模收益递减。
几何与投影分析
(1) 由参考集 T
生成的凸锥是指集合
=?=?
=
n
j
jjjj
njYXTC
1
,,2,1,0|),()
( L
(2) 有效生产前沿面是多面锥 )
( TC 的某个平面,)
( TC 在该平面法方向同侧。
(3) 多面凸锥 )
( TC 与经验生产可能集
==
= =
n
j
n
j
jjjjjCCR
njYYXXYXT
1 1
,2,1,0,,),( L
的有效生产前沿面完全一致。
(4)DMUj0对应的点位于有效生产前沿面上，则 DMUj0为 DEA有效。
( 5 ) 若 D M U j0 为 D E A 有效，则可方便确定决策单元的有效生产前沿面。
(6)所有位于生产前沿面上的生产点均为 DEA有效，
反之为非 DEA有效。
(7) DEA投影分析：如何改进一个非 DEA有效的决策单元。
D M U
0
￡¨ X
0
￡? Y
0
￡?
D E A?T D§
|è X
0
￡¨ |è X
0
￡? Y
0
￡?
X
0
四,DEA的一般工作过程
1.
2,选择评价模型
3.
4,求解 DEA
5,结果分析及辅助决策五、应用案例 (1)
案例：利用 BCC模型对天津,上海,海口等城市共七个污水处理厂的实际进行测评分析 。 选用的投入和产出指标为：
投入指标,(1)年总运行成本 （ 万元 ） ； (2)总投资额 （ 万元 ）
产出指标,(1)日处理污水量 （ 万立方米,/日 ） ； (2)投资利税率 （ %）
各污水厂投入产出指标数据序号 污水厂代号总投资额
（万元）
年总运行成本
（万元）
日处理污水量
（万立方米 / 日）
投资利税率
（ % ）
1 污水一厂 4950 292 9 12.22
2 污水二厂 14000 203 20 10.97
3 污水三厂 65800 1408 31 10.87
4 污水四厂 23558 2305 35 1 1.29
5 污水五厂 28562 2275 40 8.91
6 污水六厂 61600 895 22 11
7 污水七厂 16300 2349 30 15
各污水厂有效性评价结果（评价模型,BCC）
污水一厂,?*=1,?1*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
污水二厂,?*=1,?2*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
污水三厂,?*=1,?3*=1,结论,DEA有效,规模收益递减 。
污水四厂,?*=.9677,?2*=.0367,?5*=.5367,?7*=.4266，
S2+*=.2935,结论：非 DEA有效,规模收益递减 。
污水五厂,?*=1,?5*=1,结论,DEA有效,规模收益递减 。
污水六厂,?*=.4853,?2*=.8171,?3*=.1712,?7*=.0117，
S1-*=7002.089,结论：非 DEA有效,规模收益递减 。
污水七厂,?*=1,?7*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
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DEA案例分析 (2)
案例 1 华北石化公司产品经营有效性评价案例本案例选取华北石化公司 2001年 1月份的投入产出数据，对华北石化公司各不同产品的生产经营效率进行评价。
决策单元,9种产品
DMU1 液化气 DMU4 200#溶剂油 DMU7 0#溶剂油
DMU2 石脑油 DMU5 90#溶剂油 DMU8 5#溶剂油
DMU3 120#溶剂油 DMU6 93#溶剂油 DMU9 10#溶剂油评价指标体系投入指标,X1 原材料成本 （ 万元 ）
X2 辅助材料 （ 万元 ）
X3 制造费用 （ 万元 ）
产出指标,Y1 产量 （ 万吨 ）
Y2 销售收入 （ 万元 ）
各产品投入产出指标数据
DM U X 1 X 2 X 3 Y 1 Y 2
DM U 1 1808.1 25.6 58 1.31 2923.7
DM U 2 1618.9 5.1 29 1.03 2373.9
DM U 3 788 2.5 11 0.5 1195
DM U 4 1826.3 5.6 17 1.16 2824
DM U 5 5435.2 71.1 158 3.95 9029.7
DM U 6 1194.4 16.5 30 0.87 2002.5
DM U 7 2521.6 8.2 34 1.6 3844.8
DM U 8 2476.8 37.8 49 1.8 4316.4
DM U 9 4225.2 14.6 84 2.7 6172.2
评价结果：
上表显示华北石化目前产品中第 2,4,5,6,8,9种产品的生产是有效率的，而第 1,3,7种产品的生产效率则有待改进。
序号 θ k 评价结论
D MU 1 99.47% D EA 无效
D MU 2 100.00% D EA 有 效
D MU 3 99.73% D EA 无效
D MU 4 100.00% D EA 有 效
D MU 5 100.00% D EA 有 效
D MU 6 100.00% D EA 有 效
D MU 7 99.62% D EA 无效
D MU 8 100.00% D EA 有 效
D MU 9 100.00% D EA 有 效
DEA评价案例 (3)
普通中学相对有效性评价参考评价指标体系输入指标
X1,师资力量
X2：
X3,仪器设备,
X4,学生入学平均成绩输入指标
Y1：
Y2：
Y3：
Y4：
指标意义解释师资力量 (X1)：
教育经费 (X2),按国家和社会拨给的学校的年办学经费，或评估阶段中的全部经费。
仪器设备和图书资料总额 (X3),学校拥有的全部仪器设备，图书资料折合成人民币值。
学生入学人平均成绩 (X4),指毕业生当时入学统考的总成绩除以人数所得到的结果。
毕业生人数 (Y1)：
毕业生平均成绩 (Y2),按全体毕业生的毕业统考成绩除以毕业人数得到。
毕业生的身体素质 (Y3),按毕业生的毕业体检合格率，或按毕业生毕业生的德育合格率 (Y4),指毕业生中未受学校处分无社会犯罪的由于 DEA方法评估结论与输入输出的量纲无关，所以不必对各数据进行无量纲化处理。
河北某市普通中学有效性评实例评价单元,该市市区二十个普通中学市二中 市四中 ;
市六中 ; 市十中市九中 市十一中 ;
市十二中 ; 北二中北三中 山一中山二中 山三中山四中 山五中耀化中学 秦铁中泰附中 农技中黄庄中学 山桥中输出
Y1,毕业生人数 。 按 90届毕业人数 。
Y2,毕业生平均成绩 。 以 90届毕业生毕业统考的人均成绩计算 。
Y3,毕业生的身体素质 。 以 90届毕业生的体育达标率计算 。
输入,
X1,师资力量 。 X1=2z1+1.5z2+1.2z3+z4,其中 z1,z2,z3分别为学校在编的特级,一级,二级教师人数,z4为其它人数 。
X2,教育经费 。 按 90年度下拨教育经费计算 。
X3,仪器设备 。 图书资料总额,按截止到 90年 8月普通初中所拥有仪器设备,图书资料总额计算 。
数据结构单位名称 编号 X
1
X
2
X
3
Y
1
Y
2
Y
3
市二中 1 92 25.2 2.82 354 412 1
市四中 2 80 24.0 2.87 227 368 1
市六中 3 72 18.0 3.57 120 378 1
市十中 4 68 14.0 2.75 181 376 1
市九中 5 90 15.4 2.38 174 341 1
市十一中 6 98 21.95 10.3 223 323 1
市十二中 7 98 21.95 10.3 223 323 1
北二中 8 4 5 2 1.4 139 441 1
北三中 9 34 14.5 2.22 91 409 0.87
山一中 10 66 8.5 2.54 174 356 1
山二中 11 57 6.3 1.83 140 360 1
山三中 12 57 13.8 7.47 158 296 0.98
山四中 13 71 12.8 1.7 137 345 0.91
山五中 14 61 12.7 2.20 145 342 1
耀化中学 15 61 22.0 3.75 129 362 0.85
秦铁中 16 6 9 4.5 3.8 1 18 345 1
泰附中 17 34 10 1.5 128 349 1
农技中 18 29 12.6 8.42 76 248 0.94
黄庄中学 19 43 1 1.5 4 3.42 43 288 1
山桥中 20 46 15.2 5.56 167 409 1
评价结论
DMU 评价结果 结论市二中 1.00 DEA 有效市四中 0.74 DEA 无效市六中 0.51 DEA 无效市十中 0.74 DEA 无效市九中 0.69 DEA 无效市十一 0.62 DEA 无效市十二 0.62 DEA 无效北二中 1.00 DEA 有效北三中 1.00 DEA 有效山一中 0.79 DEA 无效山二中 0.78 DEA 无效山三中 0.75 DEA 无效山四中 0.76 DEA 无效山五中 0.69 DEA 无效耀化中 0.57 DEA 无效秦铁中 0.64 DEA 无效泰附中 1.00 DEA 有效农技中 0.78 DEA 无效黄庄中 0.81 DEA 无效山桥中 0.96 DEA 无效
DEA评价案例 (4)----
商业银行的效率评价商业银行的效率评价指标体系投入指标,期内平均人数 (x1)、
期内平均资产总额 (x2)、
期内综合费用 (x3)；
产出指标,期内存款总额 (y1)、
期内贷款总额 (y2)、
期内利润总额（ y3）
某省 20家 商业银行 投入产出数据
DMU
投入指标 产出指标期内平均人数（
个）
期内平均资产总额 期内综合费用 期内存款总额 期内贷款总额 期内利润总额银行 1 20505 2412.13 121.44 2291.99 1825.4 2.77
银行 2 32967 1953.2 75.73 1885.54 1462.7 6.45
银行 3 14915 942.33 50.13 903.38 811.86 -1.27
银行 4 26980 1628.96 72.8 1466.18 1263.44 6.64
银行 5 3640 381.49 10.16 372.64 273.3 0.58
银行 6 1404 243.67 9.38 228.77 189.1 -0.34
银行 7 620 190.78 5.72 177.13 137.47 0.62
银行 8 746 184.7 6.13 161.36 145.1 0.754
银行 9 244 54.12 2.17 45.39 51.97 -0.24
银行 10 805 176.81 5.47 137.26 172.79 1.35
银行 11 242 117.57 3.59 104.55 112.66 0.33
银行 12 203 85.58 2.88 76.47 71.18 0.6
银行 13 154 50.98 1.71 43.98 39.92 0.0945
银行 14 1020 199.42 3.98 131.24 93.23 1.24
银行 15 8481 168.19 6.21 122.71 102.41 0.56
银行 16 1093 140.33 4.3 98.63 70.41 0.53
银行 17 1496 134.34 6.4 94.38 78.62 0.3
银行 18 688 58.09 2.2 53.89 41.45 0.094
银行 19 474 39.29 1.14 28.61 22.98 0.16
银行 20 1004 85.6 3.14 58.33 47.35 0.36
DEA
计算结果表
DMU 效率值 技术效率值 规模效率值 规模递增 /递减银行 1 0.989 1.000 0.989 递减银行 2 1.000 1.000 1.000 不变银行 3 1.000 1.000 1.000 不变银行 4 0.964 1.000 0.964 递减银行 5 1.000 1.000 1.000 不变银行 6 0.998 1.000 0.998 递减银行 7 1.000 1.000 1.000 不变银行 8 0.954 0.976 0.977 递减银行 9 0.994 1.000 0.994 递增银行 10 1.000 1.000 1.000 不变银行 11 1.000 1.000 1.000 不变银行 12 1.000 1.000 1.000 不变银行 13 0.945 1.000 0.945 递增银行 14 1.000 1.000 1.000 不变银行 15 0.776 0.782 0.991 递增银行 16 0.766 0.774 0.989 递增银行 17 0.741 0.754 0.983 递增银行 18 0.957 1.000 0.957 递增银行 19 0.822 1.000 0.822 递增银行 20 0.741 0.779 0.952 递增六,DEA 研究进展
DEA 模型的发展
1 抉择者偏好信息的 DEA模型
2具有无穷多个 DMU的 DEA模型
3 随机 DEA模型
4 含模糊灰色因素的 DEA模型
5 反映输入输出指标特性的 DEA模型
6 综合 DEA模型
DEA 理论发展
1 对 DEA有效性研究
2 对 DEA评价效果研究
3 DEA灵敏度分析
4 DEA和其他方法比较
DEA 应用进展
1 管理效率和效益评价方面的应用
2 预测和预警方面的应用
3 经济系统建模和参数估计应用第四节 多准则评估的区间评估方法
1 区间分析简介
2 区间评估与决策的思想
3 区间评估的模型与方法
---区间层次分析法
---区间线性规划
---区间 DEA
1 区间分析 （ Interval Analysis） 简介一、区间分析的产生源于数值计算中的误差分析某观测值 x,误差限 ε,则准确值,[x – ε,x +ε]
二、区间数及其四则运算区间数 (Interval Number):
区间数的另一表示：
},:{],[== xaxaxaaA
>=? )(),( AwAmA,其中
)(21)( aaAm?= )(21)( aaAw -=
，
区间数的四则运算
}{ ByAxyxBA=?,/}{,，,?-，其中
],[],[],[ bababbaa=?
],[],[],[ bababbaa --=-
],,,m a x (],,,,[ m i n (],[],[ bababababababababbaa =?
],[0,1,1],[],/[],[ bbbbaabbaa
=
特殊地：
],[0,1,1
],[
1 aa
aaaa
=
区间数四则运算 -----应用举例例,证明
30)4(
16)7()(
-----= xxxxxf
在区间 [8,10]
上没有根。
解,把 x= [8,10]带入函数，可得：
f([8,10])=…… =[1.5,23.9],0? [1.5,23.9].
三、区间向量与区间矩阵区间向量：
TnXXXX ),,,( 21 L=
，其中
iX
为区间数区间矩阵：
=
mnmm
n
n
AAA
AAA
AAA
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
，其中
ijA
为区间数区间向量与区间矩阵的运算,运算法则同一般的向量和矩阵区间矩阵的特征值与特征向量：
设 A为一区间矩阵,λ是一区间数，若存在一个非零区间数向量 x,使得 Ax= λ x,则称 λ为 A的一个 特征值,x为 A对应于 λ的一个 特征向量 。
四、区间分析的其它内容
区间序列及其收敛性
区间函数及其计算
区间线性方程组估计一般函数的积分值区间求区间函数的积分
区间积分
……
2 区间评估与决策的思想传统的评估与决策：
点数据 刚性模型 刚性评估完全理性决策区间评估与决策：
区间数据 柔性模型 柔性评估有限理性决策信息充分静态系统约束确定信息不充分动态系统约束不确定注：处理不确定信息的工具模糊数学随机数学区间数学区间评估模型举例例 某鸡场有 1000只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料喂养，每只鸡每天要吃 1-1.3公斤饲料，从营养方面看，每只鸡每天需要 0.004-0.006公斤的钙，并至少需要 0.21-
0.23公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为 48%-52%，
钙的含量为 0.5%-0.8%，其价格为每公斤 0.38-0.42元；
玉米的蛋白质含量为 8.5%-11.5%，钙的含量为 0.3%，
其价格为每公斤 0.2元；问每天如何配料最节省？
例 层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比第二方案的重要程度，介于,稍微重要,和
,明显重要,之间。
例 S省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，
但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。
评价单元 总投资额（百万元） 年运营成本（十万元） 日处理污水规模（万 m3）
S省拟建 23.0— 27.5 8.0— 9.5 3.0
A省以建 34.27 1.52 2.3
B省以建 59.25 5.17 5.1
C省以建 18.86 18.01 3.5
D省以建 12.04 5.68 1.2
3 区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（ Interval AHP）
简单回顾 —— AHP的一般步骤：
建立递阶层次结构建立判断矩阵层次单排序及一致性检验层次总排序及一致性检验问题,（ 1）构造判断阵时，某些判断没有把握
（ 2）群组 AHP中，各专家意见不尽相同解决办法区间标度 → 区间层次分析法
(1 ) 区间判断矩阵的建立定义,称
nnijaA?= )(
为 区间判断矩阵,如果 ji,? 均有
991],,[)1= ijijijijij aaaaa 且
ji
ij aa
1)2 =
例：
=
1]3,1[]
2
1
,
5
1
[]
3
1
,
5
1
[
]1,
3
1
[1]2,1[]
3
1
,
5
1
[
]5,2[]1,
2
1
[1]
2
1
,
4
1
[
]5,3[]5,3[]4,2[1
A
区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：
1）对于不确定判断，分别估计区间的中值 rij 和变异度 δ,则 aij=[rij - δ,rij + δ]
2）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最大值作为区间数的两端
(2) 一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：
kji
a
aa
jk
ik
ij,,?=
问题,尚无可操作的判断方法
(3) 层次单排序的方法
随机抽样法详见,许树柏，层次分析法原理，天津大学出版社,1988,
传统单排序方法的区间扩展 如：
----区间特征根方法（区间幂法），参考,吴育华，区间层次分析法 —
— IAHP,天津大学学报,1995,9,700-705”
----区间对数最小二乘法
----区间梯度特征向量法
以点推面法通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排序向量，参考
（ 1）樊治平等，不确定性判断矩阵权重计算的一种实用方法，系统工程，
1996,3,57-61
（ 2）许先云等，不确定 AHP判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工程理论与实践,1998,2,19-22
4 层次总排序的问题
IAHP的最后的权重结果为一些区间数问题,如何对之排序例：
=
1]3,1[]
2
1
,
5
1
[]
3
1
,
5
1
[
]1,
3
1
[1]2,1[]
3
1
,
5
1
[
]5,2[]1,
2
1
[1]
2
1
,
4
1
[
]5,3[]5,3[]4,2[1
A
w1=[0.4646,0.5205] w2=[0.1746,0.2443]
w3=[0.1313,0.1646] w4=[0.1117,0.1585]
w1w
2
w3w4
∴ 最后排序结果 w1＞ w2 ＞ w3 ＞ w4
二、区间线性规划
（ interval linear programming,简称 IvLP）
简单回顾 —— LP的一般模型：
Min Z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn =b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn =b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm
x1,x2,…,xn ≥ 0
s.t.
Min Z = CX
AX=b
X ≥ 0s.t.
矩阵表示问题,三种系数 A,b,C不确定解决方法,IvLP
=?
=?
=
=
=
njx
mibbxaa
ts
xccZM i n
j
i
i
n
j
j
ij
ij
n
j
j
j
j
，，
，，
L
L
10
1],[],[
..
],[
1
1
IvLP的一般模型：
IvLP的求解：
客观的方法主观的方法
(1) 客观方法求解 IvLP
即分别求解 IvLP的最好最优值和最差最优值，由此得到其区间最优值。
最好最优值模型：
=
=
n
j
jj xcZMi n
1
STEP1,确定最优目标函数例：约束条件,[1,2]x1+ [1,4]x2≥[2,4]
边界不等式：
1 x1+ 1x2≥2
1 x1+ 4x2≥2
2x1+ 1x2≥2
2 x1+ 4x2≥2
1 x1+ 1x2≥4
1 x1+ 4x2≥4
2x1+ 1x2≥4
2 x1+ 4x2≥4
1 x1+ 1x2≥4
2 x1+ 4x2≥2
最大范围不等式最小范围不等式
STEP2,确定最大范围约束：
=?
=?
=
=
=
njx
mibxa
xcZM i n
j
i
n
j
j
ij
n
j
jj
,,10
,,1
1
1
L
L
STEP3,确定最好最优值模型 最差最优值模型：
=?
=?
=
=
=
njx
mibxa
xcZM i n
j
i
n
j
jij
n
j
j
j
,,10
,,1
1
1
L
L
最优值记为,Z 最优值记为：
Z
IvLP的最优值为,],[ ZZ
例、求解 IvLP的最优值区间
=
0,
]1,25.0[
]4,2[]4,1[]2,1[
]2,1[3
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
解,分别建立该 IvLP的最好、最差模型,
=
0,
25.0
242
13
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
=
0,
1
4
23
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
分别求解两 LP,得 IvLP的最优值区间为,[0.5,8]
(2) 主观方法求解 IvLP
思路：基于区间数的序关系，将 IvLP化为一确定型 LP并求解。
)()(
)()()(
BwAw
AmBmBA
-=
>=? )(),( AwAmA两个区间数,>=? )(),( BwBmB 称为 A≤B的满意度。
],[],[
1
ii
n
j
jijij bbxaa
=
当决策者给定满意度 λ0,IvLP中的约束
0
1
],[],[
=
ii
n
j
jijij bbxaa
ii
n
j
jijij bbxaa )1()1(])1()1[( 00
1
00-?-
=
=?
=-?-
=
=
=
njx
mibbxaa
ts
xccZM i n
j
i
n
j
j
ij
ij
n
j
j
j
j
，，
，，
L
L
10
1)1()1(])1()1[(
..
)(
2
1
00
1
00
1
'
于是,IvLP化为一个确定型 LP
例、给定满意度 0.5，求解 IvLP
=
0,
]1,25.0[
]4,2[]4,1[]2,1[
]2,1[3
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
解,化为确定型 LP
=
0,
625.12
75.35.2
5.13
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
求解
3
,)2,0(
*
*
=
=
Z
X T
三、区间数据包络分析
（ interval DEA,简称 IDEA）
xmn……xm2xm1m
……………
x2n……x22x212
x1n……x12x111
…
ysn
…
y2n
y1n
s……ys2ys1
…………
2……y22y21
1……y12y11
…
X1 X2 Xn……
Y1 Y2 Yn
……
n个 DMU,m个投入,s个产出问题：由于 观测误差,
信息不完备,导致数据不准确
=?-
=
=
==
=
=
ri
njyyxx
xx
ts
yyh
ri
s
r
rj
rj
r
m
i
ij
iji
m
i
i
ii
s
r
r
r
r
,0,
,,1,0],[],[
1],[
..
],[m a x
11
1
0
0
1
0
0
0
L
(1) 区间 DEA模型：
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
,,1,0
],[],[
],[],[
..
m i n
0
0
1
0
0
1
L?
对偶模型：
(2) 区间 DEA的求解
客观的方法：
=?
=
=
nj
YYY
XXX
ts
j
n
j
j
jj
n
j
j
j
j
,,1,0
..
m i n
00
0
0
1
000
0
1
L?
分为 客观的方法、主观的方法
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
,,1,0
],[],[
],[],[
..
m i n
0
0
1
0
0
1
L?
STEP1,考虑对 DMU0最有利的情形，求得
0?
主观的方法：基于 IvLP的主观求解
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
,,1,0
],[],[
],[],[
..
m i n
0
0
1
0
0
1
L?
STEP2,考虑对 DMU0最不利的情形，求得
0?
=?
=
=
nj
YYY
XXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
jj
,,1,0
..
m i n
000
0
1
00
0
0
1
L?
STEP3,得到 DMU0的区间效率值 ],[
00
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例：
1=?首先建立确定型模型，求得其最高效率值
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例：
首先建立确定型模型，求得其最高效率值 1=?
∴ A的区间效率值为,]1,17.0[=?
17.0=?
再建立确定型模型，求得其最高效率值计算结果：
DMU X1 Y1 Y2 区间效率值
A [1,2] [4,6] [7,8] [0.17,1]
B [2,3] [4,5] [6,8] [0.1,0.6]
C [4,6] [30,34] [32,34] [0.25,1]
D [2,4] [10,13] [4,5] [0.09,0.72]
E [1,3] [27,29] [20,21] [1,1]
(3) 区间 DMU的评价
区间 DMU的分类：
区间有效区间部分有效区间无效
区间 DMU的排序：
-----按区间效率值对其排序，最终归结为区间数的排序
(4) 区间 DEA的其它研究领域
DEA其它模型（除 C2R外）的区间扩展及其应用研究
投影问题
DMU的鲁棒性分析 ……
(Analytics Hierarchy Process)
第三节 数据包络分析法（ DEA)
第四节 多准则评估的区间评估方法
（ Interval Analysis)
第十章 多目标决策多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价单目标,方案 dj ← 评价值 f(dj)
多目标：方案 dj← 评价向量 (f1(dj),f2(dj)…,fp(dj))
全序与半序,方案 di与 dj之间单目标问题,di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好,多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。
解概念区别解的概念单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：
绝对最优解劣解有效解 (pereto解 )
弱有效解数学 外语 专业 解的类型
d1 80 75 88 有效解
d2 75 81 85 有效解
d3 76 78 89 有效解
d4 85 82 92
劣解d5 79 74 86
绝对最优解多目标决策解的例子第一节 特尔菲 (Ｄ eｌｐｈｉ )法特尔菲法是美国兰德公司于 1964年首先用于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。
思路：特尔菲法是请一批有经验的专家 (老手 )
对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。
步骤,
1,把较为详尽的背景资料发送给选定的 n位专家,
请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中 。
目标权重估计值专家数
f1 f2 …… fp
1 w11 w12 …… w1p
2 w21 w22 …… w2p
M …… …… …… ……
N wn1 wn2 …… wnp
2
样本平均值为?
=
==
n
i
ijj pjwnwM
1
,,2,1,1)( L
每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为
)( jijij wMw -=D
3．进一步分析 )( jwM 是否合理，特别让估计值偏差 △ ij 较大
4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值 wij
=
=
--=
==
n
i
jijj
n
i
ijj
wMwnwD
pjwnwM
1
2
1
)](~[11)(~
,,2,1,1)(~ L
5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第 k 步估计方差小于或等于预先给定的标准 )0( >ee 。
6,确定最终的目标函数权重估计值。
令niliM
ij
j
,,2,1,:
)(
L=?=?
其中
是预先给定的标准，且
10
。
则第 j 个目标之权数的最终估计值为：
=
)(
/
)(
1
j
Mi
ij
j
j
w
M
w
其中
)( j
M
表示集合
)( j
M
中元素的个数。
这种方法实质是先以
为尺子，将信任度达不到
的估计值全部删除，以余下估计值的平均值作为权数的最终估计值，因此，该方法有一定的合理性。
7,可构造线性加权评价函数为
)(
1
XfwXFU
j
p
i
j?
=
=
DELPHI法使用要点独立性,专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）
统计处理滤波技术第二节 层次分析法
(Analytics Hierarchy Process,AHP)
一、简介二、基本模型三、基本步骤四、应用案例简 介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授
T.L.Saaty在 70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，
并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。
层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
基本模型 — 单层次模型
1,单层次模型结构
C— 目标，
Ai— 隶属 C的 n个评价元素决策者问题,由决策者在这个目标意义下对这 n 个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
C
A1 A2 An……
2,思想：
(1) 整体判断 n个元素的两两比较 。
(2) 定性判断 定量表示 （ 通过标量 ）
（ 3） 通过数学公式 （ 特征值 ） 确定各元素评价权重
3.计算步骤
（ 1） 构造两两比较判断矩阵
（ 2） 计算单一准则下元素的相对重要性 (层次单排序 )
（ 3） 单层次判断矩阵 A的一致性检验
(1)判断矩阵标度（ aij） 的含义,Ai比 Aj 时由决策者回答下列问题所得
C K A 1 A 2 A n
A 1 a 11 a 12 a 1n
A 2 a 21 a 22 a 2n
M M M M M
A n a n1 a n2 a nn
1 表示两个元素相比，具有同样重要性
3 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
5 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
9 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为 Ai比 Aj明显重要，则 aij＝ 5
这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是
AHP的特点之一。
1)(
1
)( 0)( ==> ii
ji
ijij ai i iaaiiai
计算判断矩阵 A 的最大特征根 λ m a x 和其对应的经归一化后的特征向量 TnwwwW ),,,( 21 L=
A W = λ m a x W
由此得到的特征向量 W= (w1,w2,…,w n) T 就作为对应评价单元的权重向量。
λmax和 W的计算一般采用幂法、和法和方根法
(2)层次单排序
AHP方法计算原理问题：为什么两两比较判断矩阵 A的最大特征值的向量
W=(w1,w2,…,wn)T，
可以作为评价单元 A1,A2,…,An的权重向量？
解释,假设事先已知这 n个 评价单元的权重 向量为 W= (w1,w2,…,wn) T,
比较 Ai与 Aj重要性时,
标量 aij=wi/wj 是一精确比值所构成的两两比较判断矩阵是完全精确的 判断矩阵
=
n
nn
n
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
A
LL
LLLL
LL
L
1
2
1
2
1
2
1
1
1
满足
W是 的最大特征值的向量。
=
=?
nn
n
nn
n
n
w
w
w
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
WA
MM
LL
LLLL
LL
L
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
WnWA?=?
A
实际评价时,并不知道这权重向量比较 Ai与 Aj重要性时,通过询问决策者只能得到近似的比值 aij
aij～ wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵 A.
A ～
精确判断矩阵 的最大特征值的向量
W= (w1,w2,…,wn) T
是完全 精确的权重向量近似判断矩阵 A最大特征值的向量
W= (w1,w2,…,wn) T
可以作为近似的权重向量
A
A
(3) 单层次判断矩阵 A的一致性检验在单层次判断矩阵 A 中,当
jk
ik
ij
a
a
a = 时，称判断矩阵为一致性矩阵。
（ a ）计算一致性指标 C.I.,
1
..
m a x
-
-
=
n
n
IC
，式中 n 为判断矩阵的阶数。
（ b ）计算平均随机一致性指标 R.I.
R.I,是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出 1 ～
5 维矩阵重复计算 10 00
维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R,I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（ c ）计算一致性比例 C,R,
..
..
..
IR
IC
RC =
当 C,R,< 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
多层次分析法的基本步骤
1．
2,计算单一准则下元素的相对重要性 (单层次模型 )
3,计算各层次上元素的组合权重 (层次总排序 )
4,评价层次总排序计算结果的一致性递阶层次结构决策目标准则 1 准则 2 准则 k
子准则 1 子准则 2 子准则 m
方案 1 方案 2 方案 n
……
……
……
…… …… ……
目标层准则层子准则层方案层计算单一准则下元素的相对重要性这一步是计算各层中元素相对于上层各目标元素的相对重要性（层次单排序），参见前面的单层次模型。
例：如图相对于目标 A1而言,C1,C2,C3,C4相对重要性权值为
w11,w12,w13,w14，
同理相对目标 A2,C1,C2,C3,C4相对重要性权值为
w21,w22,w23,w24。
A1 A2
C1 C2 C3 C4
w11 w12 w13 w14
A
1
A
2
A
m
层次 A
权重层次 B
a
1
a
2
a
m
B 层次元素组合权重
B
1
1
1
b
2
1
b
m
b
1?
=
=
m
i
i
i
bab
1
11
B
2
1
2
b
2
2
b
m
b
2
=
=
m
i
i
i
bab
1
22
M M M M M M
B
n
1
n
b 2
n
b
m
n
b
=
=
m
i
i
nin
bab
1
计算各元素的总权重评价层次总排序计算结果的一致性设,CI
RI
其计算公式为,
i
m
I
i
CIaCI?
=
=
1
CI
i
为 A
i
相应的 B
i
m
I
i
RIaRI?
=
=
1
RI
i
为 A
i
相对应的 B
并取
RI
CI
CR =
当 CR ≤ 0.10
应 用 例 子某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；
办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。
层 次 结 构 图合理使用企业留利 ×× 万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金 扩建集体福利设施 办技校 建图书馆 购买新 设施准则层 C
方案层 D
目标层 A A
C1 C2 C3
d1 d
2 d3 d4 d5
计算单一准则下元素的相对重要性
1,第二层相对于第一层的判断矩阵
W=(0.105,0.637,0.258) λmax=3.308
对判断矩阵进行一致性检验,即计算 C.I.和 C.R.
C.I.=0.019 C.R.=0.033<0.1
说明判断矩阵的一致性可以接受 。
A- C C 1 C 2 C 3
C 1 1 1 / 5 1 / 3
C 2 5 1 3
C 3 3 1 / 3 1
（ 1 ）（ ）
C1 C2 C3
w1=0.105 W2=0.637 W3=0.258
A
2.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
w11 W12 W13
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w14 w15
2) C1-D d1 d2 d3 d4 d5
d1 1 2 3 4 7
d2 1/2 1 3 2 5
d3 1/3 1/3 1 1/2 1
d4 1/4 1/2 2 1 3
d5 1/7 1/5 1 1/3 1
W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
126.5max =?
C.I=0.032
C.R.=0.028<0.1
C
2
- D d
2
d
3
d
4
d
5
d
2
1 1/ 7 1/ 3 1/ 5
d
3
7 1 5 2
d
4
3 1/ 5 1 1/ 3
d
5
5 1/ 2 3 1
W = ( 0.0 55,0.5 64,0,1 18,0.2 6 5)
117.4
m a x
=?
C.I = 0.0 39
C.R,= 0,04 2 < 0.1
C
3
- D d
1
d
2
d
3
d
4
d
1
1 1 3 3
d
2
1 1 3 3
d
3
1/ 3 1/ 3 1 1
d
4
1/ 3 1/ 3 1 1
W = ( 0.4 06,0.4 06,0,09 4,0.0 94 )
4
m a x
=?
C.R,=0
w21 W22 W23
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w24 w25
w31 W32 W33
C1 C2 C3
d1 d2 d3 d4 d5
w34 w35
计算各元素的总权重
C
1
C
2
C
3
准则权重方案
0.105 0.637 0.258
总权重
d
1
0.491 0 0.406 0,157
d
2
0.232 0.055 0.406 0,164
d
3
0.092 0.564 0.094 0,393
d
4
0.136 0,1 18 0.094 0,1 1 3
d
5
0.046 0.265 0 0,172
结论发奖金,福利设施,办技校,建图书馆,新设备
W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)
C.I.=0.028
R.I.=0.923
CR=0.03<0.10
计算结果表明,对于合理使用企业留成利润来说,
办技校 是首选的方案 。
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AHP案例分析案例 1 运用 AHP方法选择世界杯上场队员案例本案例运用 AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比赛中应该首发出场的中后卫人选进行决策；
目标 A是在世界杯比赛中取得好成绩；
准则 C有四个：技术、心理、经验、伤病；
方案 D（ 可供选择的球员）是范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。
据此建立模型的递阶层次结构如下图：
D1范志毅
A,比赛中取得好成绩
C1,技术 C2,心理 C3,经验 C4,伤病
D2杜威 D3李伟峰 D4张恩华 D5徐云龙构造第二层相对第一层的判断矩阵：
W=(0.398,0.236,0.167,0.199)
λ max=4.060
C.I.=0.020
C.R.=0.022<0.1
判断矩阵的一致性可以接受
1C4:伤病
11C3:经验
121C2:心理
2221C1:技术
C4:伤病C3:经验C2:心理C1:技术A-----C
A
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：
1D5:徐云龙
21D4:张恩华
531D3:李伟峰
2 11/21D2:杜威
311/221D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技术
W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)
λmax=5.015
C.I.=0.017 C.R.=0.015<0.1
一致性检验通过
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)
λmax=5.018
C.I.=0.012 C.R.=0.011<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
51D4:张恩华
31/21D3:李伟峰
1 1/41/31D2:杜威
51351D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
C2:心理
W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)
λmax=5,186
C.I.=0.047 C.R.=0.042<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
1/21D4:张恩华
31/31D3:李伟峰
1/3 1/51/41D2:杜威
62471D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐
C3:经验
W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)
λmax=5.010
C.I.=0.002 C.R.=0.002<0.1
一致性检验通过
1D5:徐云龙
11D4:张恩华
1/21D3:李伟峰
1 121D2:杜威
1/31/31/21/31D1:范志毅
D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C4:伤病
C1:技术 C2:心理 C3:经验 C4:伤病
D1:范 D3:李D2:杜 D4:张 D5:徐最后计算出层次总排序的权重向量为：
W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)
C.I.=0.049 R.I.=1.120 C.R.=0.044<0.1
层次总排序一致性检验通过计算结果表明,中国国家足球队在世界杯比赛中,首发的中后卫应该是范志毅和李伟峰,
替补的顺序应该依次为张恩华,杜威和徐云龙 。
AHP方法练习
1，根据评价问题建立评价指标体系
2，通过询问建立判断矩阵以下工作由程序完成,
3，计算判断矩阵的特征值、一至性检验
4，计算各评价单元的权重学生对教师评价指标体系总评价学术水平 表达 能力 教学态度教师 1 教师 2 教师 3 教师 4
第三节 数据包络分析 (DEA)方法一、简介二,DEA的基本模型三,DEA有效性 (C2R)的经济含义四,DEA的一般工作过程五、应用案例六、研究进展一,DEA简介数据包络分析 (Data Envelopment Analysis,简记
DEA) 运筹学家 A.Charnes和 W.W.Cooper提出的 效率 评价方法 。
应用领域：管理科学,系统工程,决策评价技术 。
优点：客观性 （ 通过数据和数学规划模型评估 ）
方便 （ 不用考虑量纲 ）
经济意义明确给主管部门提供管理信息 。
DEA特点效率评价相对有效性根据投入产出数据，使用数学规划模型计算每一评价单元的有效值
DEA方法的主要步骤
1确定 N个同类评价单元 DMUJ
2选择投入产出指标投入指标,X=（ x1x2 。。。 Xm）
产出指标,Y=（ y1y2。。。 Ys）
3选择 模型类型：常用 C2R,BCC模型
4对每 一 评价单元 DMU求解其对应的模型得其有效性评价值数据结构与效率评价指数每个决策单元都有相应的效率评价指数,njX
Yuh
j
T
j
T
j,,2,1,L==?
y11 y12 …… y1n
y21 y22 …… y2n
… … …… …
ys1 ys2 …… ysn
x11 x12 …… x 1n
x21 x22 …… x2n
… … …… …
xm1 xm2 …… x mn
DMU1 DMU 2 …… DMUn
v1 1
v2 2
… …
vm m
1 u1
2 u2
… …
s us
二,DEA的基本模型
1,C2R
2,具有非阿基米德无穷小量的
C2R模型
3,效率与 DEA评估模型
1.C2R模型的基本形式决策单元 —— DMUi
输入指标 —— Xj=(x1j,…,xmj)T（ j=1,…,s）
xij—— 第 j个 DMU对第 i种类型输入的投入量输出指标 —— Yj=(y1j,…,ysj)T（ j=1,…,m）
yrj—— 第 j个 DMU对第 r种类型输出的产出量权重 ——υ=(υ1,…,υm)T,u=(u1,…,us)T分别为各输入,输出指标的权重数据结构与效率评价指数每个决策单元都有相应的效率评价指数,njX
Yuh
j
T
j
T
j,,2,1,L==?
y11 y12 …… y1n
y21 y22 …… y2n
… … …… …
ys1 ys2 …… ysn
x11 x12 …… x 1n
x21 x22 …… x2n
… … …… …
xm1 xm2 …… x mn
DMU1 DMU 2 …… DMUn
v1 1
v2 2
… …
vm m
1 u1
2 u2
… …
s us
原始模型对第 j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划模型其中模型的变量为 υ和 u。
=?=
==
0,0
,,2,1,1
m a x
)(
0
0
0
u
nj
X
Yu
h
ts
pV
X
Yu
h
P
j
T
j
T
j
T
T
L
C2R— P模型利用 Charnes-Cooper变换，可以将化为一个等价的线性规划问题。令得：
其中 WT=（ w1,w2,…,wn） 和 μT=(μ1,μ2,… μs)是变量
,),/(1 0 tutwXt T ===
=
=?-
=
0,0
1
,,2,1,0
m a x
)(
0
10
1
w
Xw
njYXw
ts
VpY
P
T
j
T
j
T
T
L
对偶规划 D
加入松驰变量 s+及 s-以后可得对偶规划模型：
λ=(λ1,λ2,…,λn)及 θ为 n+1个变量
=?
=-
=?
=
-?
=
=
-
0 ;0 ;,,2,1,0
m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
ssnj
YsY
XsX
ts
V
D
j
jj
n
j
jj
D
L?
C2R模型下 DEA有效的定义
P模型下：
弱 DEA有效,若线性规划问题 (P1)的最优解 w0及 u0满足
Vp1=u0TY0=1,则称 DMUj0为弱 DEA有效 。
DEA有效,若线性规划问题 (P1)存在某一最优解
w0与 u0满足 VP1=u0TY0=1,并且 w0>0,u0>0,则称
DMUj0为 DEA有效 。
D模型下：
弱 DEA有效,规划问题 (D1)的最优值 θ* = VD1 =1
DEA有效,规划问题 (D1)的最优值 θ* = VD1 =1,并且它的每个最优解都满足 S-0=S+0=0。
2,具有非阿基米德无穷小量的 C2R模型
P模型和 D模型判断 DEA有效的困难：
1,在 P模型中，需要判断 是否存在 最优解
w0,u0满足：
2.在 D模型中，需要判断是否其 所有最优解 都满足：
非阿基米德无穷小量 ε是一个小于任何正数且大于零的,抽象数,。再实际使用中一般取 ε=10-7
1,0,0 0100 ==>> YuVuw TP
0,0,1 0001 ==== -? ssV D?
具有非阿基米德无穷小量的模型（ P）
=
=?-
=
- TT
T
T
T
j
T
j
T
T
eew
Xw
njYXw
ts
VpY
P
e?e
e
e
,
1
,,2,1,0
m a x
)(
0
10
1
L
具有非阿基米德无穷小量的模型（ Dε）
=?
=-
=?
=?-
=
-?
=
=
-
--
0 ;0 ;,,2,1,0
)]([ m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
ssnj
YsY
XsX
ts
Vsese
D
j
jj
n
j
jj
D
TT
L?
e?
e
e
其中 e - T = ( 1,1,?,1 ) sTm EeE?= )1,,1,1(,L 。
DεDEA有效性判断规划问题 ( D 1 ε ) 的最优解为 0000,、,?- ss
i)若 θ0=1,则 DMUj0为 弱 DEA有效 。
ii)若 θ0=1,并且 s-0=0,s+0=0，
则 DMUj0为 DEA有效 。
3、效率与 DEA评估模型效率一般 含义效率含义 ------在业务活动中投入与产出或成本与收益之间的对比关系,
它是其资源的有效配置,是市场竞争能力,投入产出能力 和可持续发展能力的总称技术效率 与 规模效率技术效率反映在给定投入的情况下获取最大产出的能力规模效率则反映了是否在最合适的投资规模下进行经营经济学下效率的概念
y
x
y=f(x)
A
DC
B
O
E F
G
1,A的技术效率＝ BD/BA
2,A的规模效率＝ BC/BD
3,A的总效率＝ BC/BA
规模效率规模收益递增：在 E点左面,函数,加速上升,,
增加投入量可以使产出有较高的增加,
被考察单元有投资的积极性,。
规模收益递减：在 E点右面,,投入量为 x时,
如再增加,产出 y增加的效率不高,
被考察单元已没有再继续增加投资的积极性 。
规模有效,E点所代表被考察单元的投入规模是最适当的 。
总效率＝ BC/BA
总效率 =技术效率 × 规模效率被考察单元的总效率值为 1时,称为有效 。
被考察单元同时达到技术有效和规模有效时，则为有效，
二,效率的评估模型 —— DEA模型
DEA方法来能对被考察单元进行相对效率评价 。
最高的的效率定为 1,其它被考察单元的效率定在 0到 1之间 。
CR模型与总效率
=?
=
=
nj
YY
XX
ts
j
k
n
j
jj
k
n
j
jj
,,1,0
..)CCR(
m i n
1
1
L?
模型得出的 θ即是第 k家被考察单元的总效率模型得出的 θ即是第 k家被考察单元的总效率值,
满足 0≤θ≤1。
其经济含义是当第 k家被考察单元的产出水平保持不变 (投入导向 )时,
如以样本中最佳表现 (处于效率前沿面上 )的考察单元为标准与实际所需要的投入比例 。
θ就是第 k家被考察单元是可以减少 (或称浪费 )
投入的最大比例 。
当 θ=1时,有效状态,被考察单元是效率前沿面上的点,。
求解 （ CCR） 模型 n遍,可得到每家被考察单元的效率值
BCC模型与技术效率
CCR模型是需规模收益不变的假设规模收益不变是假设被考察单元可以通过增加投入等比例地扩大产出规模,
这一假设相当严格,与实际差距较大,
在许多情况下并不满足,
在 CCR模型中增加一个凸性假设
1
1
=?
=
n
j
j?
模型得出的 θ 即是第 k家被考察单元的技术效率
=?
=
=
=
=
nj
YY
XX
ts
j
n
j
j
k
n
j
jj
k
n
j
jj
,,1,0
1
..)B CC(
m i n
1
1
1
L?
三,DEA有效性 (C2R)的经济含义
1,基本概念
(1)
(2) 生产函数
(3)
2,DEA有效性 （ C2R） 的经济含义
(1)生产可能集
(x,y)— 生产活动
X=(x1,…,xm)T— 投入量,
Y=(y1,y2,… ys) — 产出量
(Xj,Yj) — 经验生产活动，观察值表示 DMUj
— 参考集
T= (x,y） —— 生产可能集,产出 y能用输入 x生产出来为所有可能的生产活动构成的集合。
经济分析目的 —— 根据上述参考集去估计生产可能集 T,并确定哪些决策单元的生产活动是相对有效的。
),(,),,(),,(? 2211 nn YXYXYXT L=
T满足的公理
1) 凸性,]1,0[,)
,
(,),(TYXTYX
TYYXXYXYX?-?-?=-? )
)1(,
)1(()
,
)(1(),(
2) 锥性：
,0,),( KTYX
都有,
TKYKXYXK?= ),(),(
。
即若以投入量 X 的 K 倍进行输入，那么输出量为原来产出的 K 倍是可能的。
3) 无效性：
TYX ),(
,都有：
YYTYXXXTYX
,)
,(
,),
( ；
即在原来的基础上，单方面增加投入或减少产出总是可能的生产活动，
4) 最小性：生产可能集 T 是满足上述条件 1) — 3) 的所有集合的交集。
经验生产可能集（ CCR）
==
= =
n
j
n
j
jjjjjCCR njYYXXYXT
1 1
,2,1,0,,),( L
决策单元的经验生产可能集（ CCR）,它为一凸锥。
( x
4
,y
4
)
0
y
x
T
A
( x
2
,y
2
)
( x
3
,y
3
)
¤
( x
1
,y
1
)
(2) 生产函数技术有效,设 (X,Y)∈ T,若不存在 (X’,Y’) ∈ T，
X≥X’,且 Y≤ Y’
生产函数,Y=f(X)；
生产函数表示在一定的技术条件下，生产处于最理想状态时，
投入量为 X所能获得的最大产出量 Y。
对生产可能集 T,所有有效生产活动点 (X,Y)构成的 Rm+s
空间的超曲面称为 生产函数 。
处于生产函数上的生产活动均为,技术有效,生产活动。
(3)规模收益规模收益：产出增量的相对百分比与对应投入增量的相对百分比的比值。
规模收益递增：
规模收益不变：
规模收益递减：
规模有效,对投入规模 X0,无论投入规模大于或小于 X0都不是最好的，这样的 DMU0为规模收益不变或规模有效。
1/ >DD= xxyy?
1/ =DD= xxyy?
1/?DD= xxyy?
DEA有效性（ C2R） 的经济含义
（ 1） C2R模型求解的经济意义解释模型 (D1)求解是致力于在生产可能集 T内，保持产出 Y0不变，
同时将投入量 X0按同一比例尽量减少。如果 X0不能按同一比例减少，即 (D1)的最优值 V0=θ0=1,则是有效的生产活动。
=?
=
=
=;,,2,1,0
m i n
)(
n
1j
0
1
01
1
nj
YY
XX
ts
V
D
j
jj
n
j
jj
D
L?
(2) DMUj DEA有效的信息 —— 此 DMUj规模有效和技术有效
(3) DMU0 非 DEA有效包含,
1.存在一个更优的 DMU0’（ X0’,Y0’),Y0’=Y0
且 X0’< X0并指出投入的改进值为
2.规模收益分析
=
-=D
n
j
jjXXX
1
00
当 1/
0
1
0
=?
=
n
j
j
时,D MU
j0
，为规模收益不变，
当 1/
0
1
0
=
n
j
j
时,D MU
j0
为规模收益递增，
当 1/
0
1
0
>?
=
n
j
j 时,DM U j0 为规模收益递减。
几何与投影分析
(1) 由参考集 T
生成的凸锥是指集合
=?=?
=
n
j
jjjj
njYXTC
1
,,2,1,0|),()
( L
(2) 有效生产前沿面是多面锥 )
( TC 的某个平面,)
( TC 在该平面法方向同侧。
(3) 多面凸锥 )
( TC 与经验生产可能集
==
= =
n
j
n
j
jjjjjCCR
njYYXXYXT
1 1
,2,1,0,,),( L
的有效生产前沿面完全一致。
(4)DMUj0对应的点位于有效生产前沿面上，则 DMUj0为 DEA有效。
( 5 ) 若 D M U j0 为 D E A 有效，则可方便确定决策单元的有效生产前沿面。
(6)所有位于生产前沿面上的生产点均为 DEA有效，
反之为非 DEA有效。
(7) DEA投影分析：如何改进一个非 DEA有效的决策单元。
D M U
0
￡¨ X
0
￡? Y
0
￡?
D E A?T D§
|è X
0
￡¨ |è X
0
￡? Y
0
￡?
X
0
四,DEA的一般工作过程
1.
2,选择评价模型
3.
4,求解 DEA
5,结果分析及辅助决策五、应用案例 (1)
案例：利用 BCC模型对天津,上海,海口等城市共七个污水处理厂的实际进行测评分析 。 选用的投入和产出指标为：
投入指标,(1)年总运行成本 （ 万元 ） ； (2)总投资额 （ 万元 ）
产出指标,(1)日处理污水量 （ 万立方米,/日 ） ； (2)投资利税率 （ %）
各污水厂投入产出指标数据序号 污水厂代号总投资额
（万元）
年总运行成本
（万元）
日处理污水量
（万立方米 / 日）
投资利税率
（ % ）
1 污水一厂 4950 292 9 12.22
2 污水二厂 14000 203 20 10.97
3 污水三厂 65800 1408 31 10.87
4 污水四厂 23558 2305 35 1 1.29
5 污水五厂 28562 2275 40 8.91
6 污水六厂 61600 895 22 11
7 污水七厂 16300 2349 30 15
各污水厂有效性评价结果（评价模型,BCC）
污水一厂,?*=1,?1*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
污水二厂,?*=1,?2*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
污水三厂,?*=1,?3*=1,结论,DEA有效,规模收益递减 。
污水四厂,?*=.9677,?2*=.0367,?5*=.5367,?7*=.4266，
S2+*=.2935,结论：非 DEA有效,规模收益递减 。
污水五厂,?*=1,?5*=1,结论,DEA有效,规模收益递减 。
污水六厂,?*=.4853,?2*=.8171,?3*=.1712,?7*=.0117，
S1-*=7002.089,结论：非 DEA有效,规模收益递减 。
污水七厂,?*=1,?7*=1,结论,DEA有效,规模收益不变 。
返回提纲
DEA案例分析 (2)
案例 1 华北石化公司产品经营有效性评价案例本案例选取华北石化公司 2001年 1月份的投入产出数据，对华北石化公司各不同产品的生产经营效率进行评价。
决策单元,9种产品
DMU1 液化气 DMU4 200#溶剂油 DMU7 0#溶剂油
DMU2 石脑油 DMU5 90#溶剂油 DMU8 5#溶剂油
DMU3 120#溶剂油 DMU6 93#溶剂油 DMU9 10#溶剂油评价指标体系投入指标,X1 原材料成本 （ 万元 ）
X2 辅助材料 （ 万元 ）
X3 制造费用 （ 万元 ）
产出指标,Y1 产量 （ 万吨 ）
Y2 销售收入 （ 万元 ）
各产品投入产出指标数据
DM U X 1 X 2 X 3 Y 1 Y 2
DM U 1 1808.1 25.6 58 1.31 2923.7
DM U 2 1618.9 5.1 29 1.03 2373.9
DM U 3 788 2.5 11 0.5 1195
DM U 4 1826.3 5.6 17 1.16 2824
DM U 5 5435.2 71.1 158 3.95 9029.7
DM U 6 1194.4 16.5 30 0.87 2002.5
DM U 7 2521.6 8.2 34 1.6 3844.8
DM U 8 2476.8 37.8 49 1.8 4316.4
DM U 9 4225.2 14.6 84 2.7 6172.2
评价结果：
上表显示华北石化目前产品中第 2,4,5,6,8,9种产品的生产是有效率的，而第 1,3,7种产品的生产效率则有待改进。
序号 θ k 评价结论
D MU 1 99.47% D EA 无效
D MU 2 100.00% D EA 有 效
D MU 3 99.73% D EA 无效
D MU 4 100.00% D EA 有 效
D MU 5 100.00% D EA 有 效
D MU 6 100.00% D EA 有 效
D MU 7 99.62% D EA 无效
D MU 8 100.00% D EA 有 效
D MU 9 100.00% D EA 有 效
DEA评价案例 (3)
普通中学相对有效性评价参考评价指标体系输入指标
X1,师资力量
X2：
X3,仪器设备,
X4,学生入学平均成绩输入指标
Y1：
Y2：
Y3：
Y4：
指标意义解释师资力量 (X1)：
教育经费 (X2),按国家和社会拨给的学校的年办学经费，或评估阶段中的全部经费。
仪器设备和图书资料总额 (X3),学校拥有的全部仪器设备，图书资料折合成人民币值。
学生入学人平均成绩 (X4),指毕业生当时入学统考的总成绩除以人数所得到的结果。
毕业生人数 (Y1)：
毕业生平均成绩 (Y2),按全体毕业生的毕业统考成绩除以毕业人数得到。
毕业生的身体素质 (Y3),按毕业生的毕业体检合格率，或按毕业生毕业生的德育合格率 (Y4),指毕业生中未受学校处分无社会犯罪的由于 DEA方法评估结论与输入输出的量纲无关，所以不必对各数据进行无量纲化处理。
河北某市普通中学有效性评实例评价单元,该市市区二十个普通中学市二中 市四中 ;
市六中 ; 市十中市九中 市十一中 ;
市十二中 ; 北二中北三中 山一中山二中 山三中山四中 山五中耀化中学 秦铁中泰附中 农技中黄庄中学 山桥中输出
Y1,毕业生人数 。 按 90届毕业人数 。
Y2,毕业生平均成绩 。 以 90届毕业生毕业统考的人均成绩计算 。
Y3,毕业生的身体素质 。 以 90届毕业生的体育达标率计算 。
输入,
X1,师资力量 。 X1=2z1+1.5z2+1.2z3+z4,其中 z1,z2,z3分别为学校在编的特级,一级,二级教师人数,z4为其它人数 。
X2,教育经费 。 按 90年度下拨教育经费计算 。
X3,仪器设备 。 图书资料总额,按截止到 90年 8月普通初中所拥有仪器设备,图书资料总额计算 。
数据结构单位名称 编号 X
1
X
2
X
3
Y
1
Y
2
Y
3
市二中 1 92 25.2 2.82 354 412 1
市四中 2 80 24.0 2.87 227 368 1
市六中 3 72 18.0 3.57 120 378 1
市十中 4 68 14.0 2.75 181 376 1
市九中 5 90 15.4 2.38 174 341 1
市十一中 6 98 21.95 10.3 223 323 1
市十二中 7 98 21.95 10.3 223 323 1
北二中 8 4 5 2 1.4 139 441 1
北三中 9 34 14.5 2.22 91 409 0.87
山一中 10 66 8.5 2.54 174 356 1
山二中 11 57 6.3 1.83 140 360 1
山三中 12 57 13.8 7.47 158 296 0.98
山四中 13 71 12.8 1.7 137 345 0.91
山五中 14 61 12.7 2.20 145 342 1
耀化中学 15 61 22.0 3.75 129 362 0.85
秦铁中 16 6 9 4.5 3.8 1 18 345 1
泰附中 17 34 10 1.5 128 349 1
农技中 18 29 12.6 8.42 76 248 0.94
黄庄中学 19 43 1 1.5 4 3.42 43 288 1
山桥中 20 46 15.2 5.56 167 409 1
评价结论
DMU 评价结果 结论市二中 1.00 DEA 有效市四中 0.74 DEA 无效市六中 0.51 DEA 无效市十中 0.74 DEA 无效市九中 0.69 DEA 无效市十一 0.62 DEA 无效市十二 0.62 DEA 无效北二中 1.00 DEA 有效北三中 1.00 DEA 有效山一中 0.79 DEA 无效山二中 0.78 DEA 无效山三中 0.75 DEA 无效山四中 0.76 DEA 无效山五中 0.69 DEA 无效耀化中 0.57 DEA 无效秦铁中 0.64 DEA 无效泰附中 1.00 DEA 有效农技中 0.78 DEA 无效黄庄中 0.81 DEA 无效山桥中 0.96 DEA 无效
DEA评价案例 (4)----
商业银行的效率评价商业银行的效率评价指标体系投入指标,期内平均人数 (x1)、
期内平均资产总额 (x2)、
期内综合费用 (x3)；
产出指标,期内存款总额 (y1)、
期内贷款总额 (y2)、
期内利润总额（ y3）
某省 20家 商业银行 投入产出数据
DMU
投入指标 产出指标期内平均人数（
个）
期内平均资产总额 期内综合费用 期内存款总额 期内贷款总额 期内利润总额银行 1 20505 2412.13 121.44 2291.99 1825.4 2.77
银行 2 32967 1953.2 75.73 1885.54 1462.7 6.45
银行 3 14915 942.33 50.13 903.38 811.86 -1.27
银行 4 26980 1628.96 72.8 1466.18 1263.44 6.64
银行 5 3640 381.49 10.16 372.64 273.3 0.58
银行 6 1404 243.67 9.38 228.77 189.1 -0.34
银行 7 620 190.78 5.72 177.13 137.47 0.62
银行 8 746 184.7 6.13 161.36 145.1 0.754
银行 9 244 54.12 2.17 45.39 51.97 -0.24
银行 10 805 176.81 5.47 137.26 172.79 1.35
银行 11 242 117.57 3.59 104.55 112.66 0.33
银行 12 203 85.58 2.88 76.47 71.18 0.6
银行 13 154 50.98 1.71 43.98 39.92 0.0945
银行 14 1020 199.42 3.98 131.24 93.23 1.24
银行 15 8481 168.19 6.21 122.71 102.41 0.56
银行 16 1093 140.33 4.3 98.63 70.41 0.53
银行 17 1496 134.34 6.4 94.38 78.62 0.3
银行 18 688 58.09 2.2 53.89 41.45 0.094
银行 19 474 39.29 1.14 28.61 22.98 0.16
银行 20 1004 85.6 3.14 58.33 47.35 0.36
DEA
计算结果表
DMU 效率值 技术效率值 规模效率值 规模递增 /递减银行 1 0.989 1.000 0.989 递减银行 2 1.000 1.000 1.000 不变银行 3 1.000 1.000 1.000 不变银行 4 0.964 1.000 0.964 递减银行 5 1.000 1.000 1.000 不变银行 6 0.998 1.000 0.998 递减银行 7 1.000 1.000 1.000 不变银行 8 0.954 0.976 0.977 递减银行 9 0.994 1.000 0.994 递增银行 10 1.000 1.000 1.000 不变银行 11 1.000 1.000 1.000 不变银行 12 1.000 1.000 1.000 不变银行 13 0.945 1.000 0.945 递增银行 14 1.000 1.000 1.000 不变银行 15 0.776 0.782 0.991 递增银行 16 0.766 0.774 0.989 递增银行 17 0.741 0.754 0.983 递增银行 18 0.957 1.000 0.957 递增银行 19 0.822 1.000 0.822 递增银行 20 0.741 0.779 0.952 递增六,DEA 研究进展
DEA 模型的发展
1 抉择者偏好信息的 DEA模型
2具有无穷多个 DMU的 DEA模型
3 随机 DEA模型
4 含模糊灰色因素的 DEA模型
5 反映输入输出指标特性的 DEA模型
6 综合 DEA模型
DEA 理论发展
1 对 DEA有效性研究
2 对 DEA评价效果研究
3 DEA灵敏度分析
4 DEA和其他方法比较
DEA 应用进展
1 管理效率和效益评价方面的应用
2 预测和预警方面的应用
3 经济系统建模和参数估计应用第四节 多准则评估的区间评估方法
1 区间分析简介
2 区间评估与决策的思想
3 区间评估的模型与方法
---区间层次分析法
---区间线性规划
---区间 DEA
1 区间分析 （ Interval Analysis） 简介一、区间分析的产生源于数值计算中的误差分析某观测值 x,误差限 ε,则准确值,[x – ε,x +ε]
二、区间数及其四则运算区间数 (Interval Number):
区间数的另一表示：
},:{],[== xaxaxaaA
>=? )(),( AwAmA,其中
)(21)( aaAm?= )(21)( aaAw -=
，
区间数的四则运算
}{ ByAxyxBA=?,/}{,，,?-，其中
],[],[],[ bababbaa=?
],[],[],[ bababbaa --=-
],,,m a x (],,,,[ m i n (],[],[ bababababababababbaa =?
],[0,1,1],[],/[],[ bbbbaabbaa
=
特殊地：
],[0,1,1
],[
1 aa
aaaa
=
区间数四则运算 -----应用举例例,证明
30)4(
16)7()(
-----= xxxxxf
在区间 [8,10]
上没有根。
解,把 x= [8,10]带入函数，可得：
f([8,10])=…… =[1.5,23.9],0? [1.5,23.9].
三、区间向量与区间矩阵区间向量：
TnXXXX ),,,( 21 L=
，其中
iX
为区间数区间矩阵：
=
mnmm
n
n
AAA
AAA
AAA
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
，其中
ijA
为区间数区间向量与区间矩阵的运算,运算法则同一般的向量和矩阵区间矩阵的特征值与特征向量：
设 A为一区间矩阵,λ是一区间数，若存在一个非零区间数向量 x,使得 Ax= λ x,则称 λ为 A的一个 特征值,x为 A对应于 λ的一个 特征向量 。
四、区间分析的其它内容
区间序列及其收敛性
区间函数及其计算
区间线性方程组估计一般函数的积分值区间求区间函数的积分
区间积分
……
2 区间评估与决策的思想传统的评估与决策：
点数据 刚性模型 刚性评估完全理性决策区间评估与决策：
区间数据 柔性模型 柔性评估有限理性决策信息充分静态系统约束确定信息不充分动态系统约束不确定注：处理不确定信息的工具模糊数学随机数学区间数学区间评估模型举例例 某鸡场有 1000只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料喂养，每只鸡每天要吃 1-1.3公斤饲料，从营养方面看，每只鸡每天需要 0.004-0.006公斤的钙，并至少需要 0.21-
0.23公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为 48%-52%，
钙的含量为 0.5%-0.8%，其价格为每公斤 0.38-0.42元；
玉米的蛋白质含量为 8.5%-11.5%，钙的含量为 0.3%，
其价格为每公斤 0.2元；问每天如何配料最节省？
例 层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比第二方案的重要程度，介于,稍微重要,和
,明显重要,之间。
例 S省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，
但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。
评价单元 总投资额（百万元） 年运营成本（十万元） 日处理污水规模（万 m3）
S省拟建 23.0— 27.5 8.0— 9.5 3.0
A省以建 34.27 1.52 2.3
B省以建 59.25 5.17 5.1
C省以建 18.86 18.01 3.5
D省以建 12.04 5.68 1.2
3 区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（ Interval AHP）
简单回顾 —— AHP的一般步骤：
建立递阶层次结构建立判断矩阵层次单排序及一致性检验层次总排序及一致性检验问题,（ 1）构造判断阵时，某些判断没有把握
（ 2）群组 AHP中，各专家意见不尽相同解决办法区间标度 → 区间层次分析法
(1 ) 区间判断矩阵的建立定义,称
nnijaA?= )(
为 区间判断矩阵,如果 ji,? 均有
991],,[)1= ijijijijij aaaaa 且
ji
ij aa
1)2 =
例：
=
1]3,1[]
2
1
,
5
1
[]
3
1
,
5
1
[
]1,
3
1
[1]2,1[]
3
1
,
5
1
[
]5,2[]1,
2
1
[1]
2
1
,
4
1
[
]5,3[]5,3[]4,2[1
A
区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：
1）对于不确定判断，分别估计区间的中值 rij 和变异度 δ,则 aij=[rij - δ,rij + δ]
2）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最大值作为区间数的两端
(2) 一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：
kji
a
aa
jk
ik
ij,,?=
问题,尚无可操作的判断方法
(3) 层次单排序的方法
随机抽样法详见,许树柏，层次分析法原理，天津大学出版社,1988,
传统单排序方法的区间扩展 如：
----区间特征根方法（区间幂法），参考,吴育华，区间层次分析法 —
— IAHP,天津大学学报,1995,9,700-705”
----区间对数最小二乘法
----区间梯度特征向量法
以点推面法通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排序向量，参考
（ 1）樊治平等，不确定性判断矩阵权重计算的一种实用方法，系统工程，
1996,3,57-61
（ 2）许先云等，不确定 AHP判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工程理论与实践,1998,2,19-22
4 层次总排序的问题
IAHP的最后的权重结果为一些区间数问题,如何对之排序例：
=
1]3,1[]
2
1
,
5
1
[]
3
1
,
5
1
[
]1,
3
1
[1]2,1[]
3
1
,
5
1
[
]5,2[]1,
2
1
[1]
2
1
,
4
1
[
]5,3[]5,3[]4,2[1
A
w1=[0.4646,0.5205] w2=[0.1746,0.2443]
w3=[0.1313,0.1646] w4=[0.1117,0.1585]
w1w
2
w3w4
∴ 最后排序结果 w1＞ w2 ＞ w3 ＞ w4
二、区间线性规划
（ interval linear programming,简称 IvLP）
简单回顾 —— LP的一般模型：
Min Z = c1 x1 + c2 x2 + … + c n xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn =b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn =b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn =bm
x1,x2,…,xn ≥ 0
s.t.
Min Z = CX
AX=b
X ≥ 0s.t.
矩阵表示问题,三种系数 A,b,C不确定解决方法,IvLP
=?
=?
=
=
=
njx
mibbxaa
ts
xccZM i n
j
i
i
n
j
j
ij
ij
n
j
j
j
j
，，
，，
L
L
10
1],[],[
..
],[
1
1
IvLP的一般模型：
IvLP的求解：
客观的方法主观的方法
(1) 客观方法求解 IvLP
即分别求解 IvLP的最好最优值和最差最优值，由此得到其区间最优值。
最好最优值模型：
=
=
n
j
jj xcZMi n
1
STEP1,确定最优目标函数例：约束条件,[1,2]x1+ [1,4]x2≥[2,4]
边界不等式：
1 x1+ 1x2≥2
1 x1+ 4x2≥2
2x1+ 1x2≥2
2 x1+ 4x2≥2
1 x1+ 1x2≥4
1 x1+ 4x2≥4
2x1+ 1x2≥4
2 x1+ 4x2≥4
1 x1+ 1x2≥4
2 x1+ 4x2≥2
最大范围不等式最小范围不等式
STEP2,确定最大范围约束：
=?
=?
=
=
=
njx
mibxa
xcZM i n
j
i
n
j
j
ij
n
j
jj
,,10
,,1
1
1
L
L
STEP3,确定最好最优值模型 最差最优值模型：
=?
=?
=
=
=
njx
mibxa
xcZM i n
j
i
n
j
jij
n
j
j
j
,,10
,,1
1
1
L
L
最优值记为,Z 最优值记为：
Z
IvLP的最优值为,],[ ZZ
例、求解 IvLP的最优值区间
=
0,
]1,25.0[
]4,2[]4,1[]2,1[
]2,1[3
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
解,分别建立该 IvLP的最好、最差模型,
=
0,
25.0
242
13
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
=
0,
1
4
23
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
分别求解两 LP,得 IvLP的最优值区间为,[0.5,8]
(2) 主观方法求解 IvLP
思路：基于区间数的序关系，将 IvLP化为一确定型 LP并求解。
)()(
)()()(
BwAw
AmBmBA
-=
>=? )(),( AwAmA两个区间数,>=? )(),( BwBmB 称为 A≤B的满意度。
],[],[
1
ii
n
j
jijij bbxaa
=
当决策者给定满意度 λ0,IvLP中的约束
0
1
],[],[
=
ii
n
j
jijij bbxaa
ii
n
j
jijij bbxaa )1()1(])1()1[( 00
1
00-?-
=
=?
=-?-
=
=
=
njx
mibbxaa
ts
xccZM i n
j
i
n
j
j
ij
ij
n
j
j
j
j
，，
，，
L
L
10
1)1()1(])1()1[(
..
)(
2
1
00
1
00
1
'
于是,IvLP化为一个确定型 LP
例、给定满意度 0.5，求解 IvLP
=
0,
]1,25.0[
]4,2[]4,1[]2,1[
]2,1[3
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
解,化为确定型 LP
=
0,
625.12
75.35.2
5.13
21
2
21
21
xx
x
xx
st
xxZM i n
求解
3
,)2,0(
*
*
=
=
Z
X T
三、区间数据包络分析
（ interval DEA,简称 IDEA）
xmn……xm2xm1m
……………
x2n……x22x212
x1n……x12x111
…
ysn
…
y2n
y1n
s……ys2ys1
…………
2……y22y21
1……y12y11
…
X1 X2 Xn……
Y1 Y2 Yn
……
n个 DMU,m个投入,s个产出问题：由于 观测误差,
信息不完备,导致数据不准确
=?-
=
=
==
=
=
ri
njyyxx
xx
ts
yyh
ri
s
r
rj
rj
r
m
i
ij
iji
m
i
i
ii
s
r
r
r
r
,0,
,,1,0],[],[
1],[
..
],[m a x
11
1
0
0
1
0
0
0
L
(1) 区间 DEA模型：
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
,,1,0
],[],[
],[],[
..
m i n
0
0
1
0
0
1
L?
对偶模型：
(2) 区间 DEA的求解
客观的方法：
=?
=
=
nj
YYY
XXX
ts
j
n
j
j
jj
n
j
j
j
j
,,1,0
..
m i n
00
0
0
1
000
0
1
L?
分为 客观的方法、主观的方法
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
,,1,0
],[],[
],[],[
..
m i n
0
0
1
0
0
1
L?
STEP1,考虑对 DMU0最有利的情形，求得
0?
主观的方法：基于 IvLP的主观求解
=?
=
=
nj
YYYY
XXXX
ts
j
n
j
j
j
j
n
j
j
j
j
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STEP2,考虑对 DMU0最不利的情形，求得
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0
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L?
STEP3,得到 DMU0的区间效率值 ],[
00
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例：
1=?首先建立确定型模型，求得其最高效率值
DMU X1 Y1 Y2
A [1,2] [4,6] [7,8]
B [2,3] [4,5] [6,8]
C [4,6] [30,34] [32,34]
D [2,4] [10,13] [4,5]
E [1,3] [27,29] [20,21]
例 求每个 DMU的区间效率值解,以 A为例：
首先建立确定型模型，求得其最高效率值 1=?
∴ A的区间效率值为,]1,17.0[=?
17.0=?
再建立确定型模型，求得其最高效率值计算结果：
DMU X1 Y1 Y2 区间效率值
A [1,2] [4,6] [7,8] [0.17,1]
B [2,3] [4,5] [6,8] [0.1,0.6]
C [4,6] [30,34] [32,34] [0.25,1]
D [2,4] [10,13] [4,5] [0.09,0.72]
E [1,3] [27,29] [20,21] [1,1]
(3) 区间 DMU的评价
区间 DMU的分类：
区间有效区间部分有效区间无效
区间 DMU的排序：
-----按区间效率值对其排序，最终归结为区间数的排序
(4) 区间 DEA的其它研究领域
DEA其它模型（除 C2R外）的区间扩展及其应用研究
投影问题
DMU的鲁棒性分析 ……
