一、工程计划网络问题（关键路径法）
1,问题的一般提法设：有一项工程，分为若干道工序；已知各工序间的先后关系，以及各工序所需时间 t。
问,（ 1）工程完工期 T=？
（ 2）工程的关键工序有哪些？
2.解法 —— 关键路径法（ CPM）
（ 1）绘制工程网络图第六章 网络计划
1）顺序：按工序先后从左至右；
2）图中 弧（箭线）,表示工序；
顶点（结点）,表示相邻工序的时间分界点，称事项，用 表示。
相邻弧,表示工序前后衔接关系，称紧前（后）工序；
3）要求：图中不得有缺口、回路和多重边。
i
缺口：多个始点或多个终点的现象。
（应当只有一个始点和终点）
回路：方向一致的闭合链。
例 1 为筹建某餐馆，需制定计划。将工程分为
14道工序，各工序需时及先后关系如下表。试求该工程完工期 T及关键路径。
多重边：两点间有多于一条的边。
A
B
处理方法：增加虚工序。 A A’
B
工序 内容 紧前工序 所需天数
A 购买炉灶及材料 —— 10
B 购买室内设备 —— 3
C 招集工人 —— 1
D 选择开业地点 —— 2
E 申请许可得到执照 D 7
F 修理门窗、粉刷墙壁 E 3
G 砌炉灶、水池 A,F 5
H 接通上下水道 G 4
I 安装室内设备 B,H 4
J 做好室内装饰 B,H 3
K 购进米面及副食品 I,J 6
L 张贴开业广告 G 3
M 人员训练 C,I 4
N 开业前操作试验 K,L 7
工序 A B C D E F G H I J K L M N
紧前工序
_ _ _ _ D E A
F
G B
H
B
H
I
J
G C
I
K
L
所需天数
10 3 1 2 7 3 5 4 4 3 6 3 4 7
1
C
B
AD
2
E
3 F 4
G
5
H
6 I
J
7
I’
8
KL
9
I’’
M
10
N
11
（ 2）求完工期（用标号法）
1）标出各事项的最早开始时间,
-给始点 标 ；
-给任意点 标,Ej=Max{以 为箭头的各箭之
“箭尾 +箭长 tij”}
1 0
j Ej j
2) 终点 的 中的 T即完工期。n T
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
9
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38
（ 3）求关键路（用标号法）
2）计算各工序 的时差 R(i,j)= 的 -tij - 的 。i j j i
1）标出各事项的最晚开始时间,
-给终点 标 ； -给任意点 标,Li=Min{以为箭尾的各箭之,箭头 -箭长 tij”}
n i Li iT
3）关键路径：由 R(i,j)= 0的关键工序组成的由 至 的路。n1
9
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38 38
25
34
25
21
31
17
129
2
0
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
9
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38 38
25
34
25
21
31
17
12
9
2
0
完工期 T=38（天）；
关键路,D-E-F-G-H-I-K-N。
由本例可见,关键工序 头尾皆有 =,但反之未必。
关键工序时间之和 =工期 T。
二、工序时间不确定的工程计划网络问题
（计划评审技术 PERT）
的区别仅在于：与 C P M1.
。，服从于近似认为但由中心极限定理，可也是随机的。期是随机变量，从而完工工序时间
)(
2?TNT
Tt
的三时估计法：确定平均工序时间,2 ijt
,mba,最可能时间为，最悲观时间为设工序最乐观时间为
2
2
6,6
4
abtbmat? 的方差为则
2
.3
工期方差期望工期 ET
=关键工序的平均工序时间之和；
=关键工序时间方差之和。
天内完工的概率求工程在 kT.4
2
2
2
(,),
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
2
E
kEE
k
k E k E
z x
T N T
TTTT
P T T P
T T T T
PZ
z P Z z e dx
由 标 准 正 态 分 布 数 值 表 可 查 得,
例 2 某工程可分为 11项工作，有关资料如下表：
工作 紧前工作 工序时间a m b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
-
-
-
A
B
B
C
C
G,H
D,E
F,I,J
1
1
1
1
2
3
2
1
1
1
4
2
2
2
10.5
5
6
3
2
4
2
4
3
3
3
17
14
15
10
9
7
9
4
（ 1）画出施工网络图，确定关键路线及完工期 TE；
（ 2）估计工程在 20周内完工的概率。
工作 紧前工作 工序时间a m b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
-
-
-
A
B
B
C
C
G,H
D,E
F,I,J
1
1
1
1
2
3
2
1
1
1
4
2
2
2
10.5
5
6
3
2
4
2
4
3
3
3
17
14
15
10
9
7
9
4
t 2ij
2
2
2
10
6
7
4
3
4
3
4
0.33
0.33
0.33
2.67
2.00
2.00
1.33
1.33
1.00
1.33
0
0.11
0.11
0.11
7.13
4.00
4.00
1.77
1.77
1.00
1.77
0
1 B(2)
A(2)
C(2)
2 D(10)
E(6)3 5F(7)
4 G(4)
6
7
H(3)
8
I(4)
J(3) 9K(4) 190
2
2
2
12
5
6
15 191512
11
117
6
2
0
期望工期 TE=19；
关键路,A-D-J-K。
33,0 0 101,3 32,6 70,3 3 ( 2 ) 2222
)33.0()3 1920()20(TP
0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6338
z
)( zZP?
标准正态分布数值表
=0.6293
工程在 20周内完工的概率为 0.6293。
19 20
1,问题的一般提法设：有一项工程，分为若干道工序；已知各工序间的先后关系，以及各工序所需时间 t。
问,（ 1）工程完工期 T=？
（ 2）工程的关键工序有哪些？
2.解法 —— 关键路径法（ CPM）
（ 1）绘制工程网络图第六章 网络计划
1）顺序：按工序先后从左至右；
2）图中 弧（箭线）,表示工序；
顶点（结点）,表示相邻工序的时间分界点，称事项，用 表示。
相邻弧,表示工序前后衔接关系，称紧前（后）工序；
3）要求：图中不得有缺口、回路和多重边。
i
缺口：多个始点或多个终点的现象。
（应当只有一个始点和终点）
回路：方向一致的闭合链。
例 1 为筹建某餐馆，需制定计划。将工程分为
14道工序，各工序需时及先后关系如下表。试求该工程完工期 T及关键路径。
多重边：两点间有多于一条的边。
A
B
处理方法：增加虚工序。 A A’
B
工序 内容 紧前工序 所需天数
A 购买炉灶及材料 —— 10
B 购买室内设备 —— 3
C 招集工人 —— 1
D 选择开业地点 —— 2
E 申请许可得到执照 D 7
F 修理门窗、粉刷墙壁 E 3
G 砌炉灶、水池 A,F 5
H 接通上下水道 G 4
I 安装室内设备 B,H 4
J 做好室内装饰 B,H 3
K 购进米面及副食品 I,J 6
L 张贴开业广告 G 3
M 人员训练 C,I 4
N 开业前操作试验 K,L 7
工序 A B C D E F G H I J K L M N
紧前工序
_ _ _ _ D E A
F
G B
H
B
H
I
J
G C
I
K
L
所需天数
10 3 1 2 7 3 5 4 4 3 6 3 4 7
1
C
B
AD
2
E
3 F 4
G
5
H
6 I
J
7
I’
8
KL
9
I’’
M
10
N
11
（ 2）求完工期（用标号法）
1）标出各事项的最早开始时间,
-给始点 标 ；
-给任意点 标,Ej=Max{以 为箭头的各箭之
“箭尾 +箭长 tij”}
1 0
j Ej j
2) 终点 的 中的 T即完工期。n T
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
9
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38
（ 3）求关键路（用标号法）
2）计算各工序 的时差 R(i,j)= 的 -tij - 的 。i j j i
1）标出各事项的最晚开始时间,
-给终点 标 ； -给任意点 标,Li=Min{以为箭尾的各箭之,箭头 -箭长 tij”}
n i Li iT
3）关键路径：由 R(i,j)= 0的关键工序组成的由 至 的路。n1
9
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38 38
25
34
25
21
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129
2
0
1
C(1)
B(3)
A(10)D(2)
2
E(7)
3 F(3) 4
G(5)
5
H(4)
6 I(4)
J(3)
7
I’(0)
8
K(6)
L(3)
9
I’’(0)
M(4)
10
N(7)
11
0
2
9 12
17
21 25
25
31
25
38 38
25
34
25
21
31
17
12
9
2
0
完工期 T=38（天）；
关键路,D-E-F-G-H-I-K-N。
由本例可见,关键工序 头尾皆有 =,但反之未必。
关键工序时间之和 =工期 T。
二、工序时间不确定的工程计划网络问题
（计划评审技术 PERT）
的区别仅在于：与 C P M1.
。，服从于近似认为但由中心极限定理，可也是随机的。期是随机变量，从而完工工序时间
)(
2?TNT
Tt
的三时估计法：确定平均工序时间,2 ijt
,mba,最可能时间为，最悲观时间为设工序最乐观时间为
2
2
6,6
4
abtbmat? 的方差为则
2
.3
工期方差期望工期 ET
=关键工序的平均工序时间之和；
=关键工序时间方差之和。
天内完工的概率求工程在 kT.4
2
2
2
(,),
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
2
E
kEE
k
k E k E
z x
T N T
TTTT
P T T P
T T T T
PZ
z P Z z e dx
由 标 准 正 态 分 布 数 值 表 可 查 得,
例 2 某工程可分为 11项工作，有关资料如下表：
工作 紧前工作 工序时间a m b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
-
-
-
A
B
B
C
C
G,H
D,E
F,I,J
1
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10.5
5
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3
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3
3
17
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10
9
7
9
4
（ 1）画出施工网络图，确定关键路线及完工期 TE；
（ 2）估计工程在 20周内完工的概率。
工作 紧前工作 工序时间a m b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
-
-
-
A
B
B
C
C
G,H
D,E
F,I,J
1
1
1
1
2
3
2
1
1
1
4
2
2
2
10.5
5
6
3
2
4
2
4
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3
3
17
14
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7
9
4
t 2ij
2
2
2
10
6
7
4
3
4
3
4
0.33
0.33
0.33
2.67
2.00
2.00
1.33
1.33
1.00
1.33
0
0.11
0.11
0.11
7.13
4.00
4.00
1.77
1.77
1.00
1.77
0
1 B(2)
A(2)
C(2)
2 D(10)
E(6)3 5F(7)
4 G(4)
6
7
H(3)
8
I(4)
J(3) 9K(4) 190
2
2
2
12
5
6
15 191512
11
117
6
2
0
期望工期 TE=19；
关键路,A-D-J-K。
33,0 0 101,3 32,6 70,3 3 ( 2 ) 2222
)33.0()3 1920()20(TP
0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6338
z
)( zZP?
标准正态分布数值表
=0.6293
工程在 20周内完工的概率为 0.6293。
19 20
